2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每题2分，共12分）
1. 已知⊙半径为，点为的中点，则当时，点与⊙的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 没有能确定
2. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A. B. C. （ D.
3. 如图，平行四边形的顶点、、在⊙上，顶点在⊙的直径上，连接，，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
4. 已知关于的方程的两根分别是，，且，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
5. 从这七个数中随机抽取一个数记为，则的值是没有等式组的解，但没有是方程的实数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每题2分，共20分）
7. 一元二次方程化为一般形式为__________，常数项为__________．
8. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.
9. 如图，在⊙中，半径垂直于弦，垂足，，，则__________．

10. 某商场以元/件的进价购进一批商品，按元/件出售，平均每天可以售出件．经市场，单价每降低元，则平均每天的量可增加件．若该商品想要平均每天获利元，则每件应降价多少元？设每件应降价元，可列方程为_________．
11. 已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．

12. 已知⊙的直径为，点的坐标是，那么⊙与轴的位置关系是________，与轴的位置关系是_________．
13. 如图，⊙与的三边分别切于点、、，，，是上的动点（与、没有重合），的度数为__________．

14. 如图，在半径为⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．

15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．

16. ⊙的半径为，点到直线的距离为，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是___________．

三、解 答 题（共88分）
17. 用适当方法解下列方程
（） （）
（） （）
18. 已知当时，二次三项式的值等于，这个二次三项式的值可能是吗？请说明理由．
19. 关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的整数时，求方程的根．
20. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x．
21. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
22. 如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．

（1）用尺规作出的中点B，再作出△ABC的外接圆（没有写作法，保留作图痕迹）．
（2）若，，求外接圆的半径．
23. 已知在以点O为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

24. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若AD=2BD，CD=1，则⊙O的半径为______．

25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

26. 直角梯形中，，，，，．为⊙的直径，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，点、分别从、两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．

（）求⊙的直径．
（）当为何值时，四边形为等腰梯形？
（）是否存在某一时刻，使直线与⊙相切？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由．






















2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每题2分，共12分）
1. 已知⊙的半径为，点为的中点，则当时，点与⊙的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 没有能确定
【正确答案】B

【详解】设⊙半径为，则．
∵为中点，
∴，
∴点在圆上．
故选．
2. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A. B. C. （ D.
【正确答案】C

【分析】可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式可列出方程．
【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有
，
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽．
3. 如图，平行四边形的顶点、、在⊙上，顶点在⊙的直径上，连接，，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】∵是⊙直径，
∴
．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
故选．

点睛：
圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半.
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

4. 已知关于的方程的两根分别是，，且，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】易知，，
，
即．
解得．
故选．
点睛：一元二次方程根与系数的关系
ax2+bx+c=0(a,
,
如果题目中有关于两个根的和，两个根的积，可以以上公式定，整体代入求值.
5. 从这七个数中随机抽取一个数记为，则的值是没有等式组的解，但没有是方程的实数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

分析】先解没有等式，再解一元二次方程，利用概率公式得到概率
详解】
解①得，，
解②得，．
∴．
∵的值是没有等式组的解，
∴．
方程，
解得，．
∵没有是方程的解，
∴或．
∴满足条件的的值为，（个）．
∴概率为．
故选．
6. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【分析】(1)利用切线的性质得出，进而得出（），即可得出 ，得出答案即可；

(2)利用（1）所求得出：，进而求出（），即可得出答案；
(3)利用全等三角形的判定得出（），进而得出；
(4)利用四边形是菱形，，则，则，求出即可.
【详解】（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
（），
，
与相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：，
在和中，
，
（），
，
，
四边形是菱形，
故（2）正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
故（3）正确；
（4）四边形是菱形，，
，则，
，
故（4）正确；
正确个数有4个.

故选.
此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.
二、填 空 题（每题2分，共20分）
7. 一元二次方程化为一般形式为__________，常数项为__________．
【正确答案】 ①. ， ②.

【详解】去括号，，
移项，，
合并同类项，，
常数项为：．
8. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.
【正确答案】 ①. 3 ②. -4

【详解】试题分析：根据韦达定理可得：·==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：+=－=4=－m，则m=－4.
考点：方程的解

9. 如图，在⊙中，半径垂直于弦，垂足为，，，则__________．

【正确答案】8

【详解】连接，
则．
∵，∴．
在中，，
，
∴．
故答案为．

10. 某商场以元/件的进价购进一批商品，按元/件出售，平均每天可以售出件．经市场，单价每降低元，则平均每天的量可增加件．若该商品想要平均每天获利元，则每件应降价多少元？设每件应降价元，可列方程为_________．
【正确答案】

【详解】利润单件利润数量，
本题中，单件利润售价成本单价

．
数量．
∴利润为时，单价利润数量，得到
．
11. 已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．

【正确答案】3＜r≤4或r＝．

【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．∴AB＝5，
如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
当直线与圆如图所示也可以有一个交点，
∴3＜r≤4，
故答案为3＜r≤4或r＝．

此题主要考查了直线与圆的位置关系，题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．
12. 已知⊙的直径为，点的坐标是，那么⊙与轴的位置关系是________，与轴的位置关系是_________．
【正确答案】 ①. 相交 ②. 相切

【详解】点的横坐标代表点到轴的距离为．
点的纵坐标为代表点到轴的距离为．
∵⊙的直径为，
∴⊙的半径为．
13. 如图，⊙与三边分别切于点、、，，，是上的动点（与、没有重合），的度数为__________．

【正确答案】65°

【详解】

．

连结、．
∵⊙与三边分别切于点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
14. 如图，在半径为的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．

【正确答案】①③④

【详解】
∵点是劣弧的中点，
∴，①正确．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．②错误．
同理可得为等边三角形，
∴，③正确．
∵，
∴四边形为菱形，④正确．
故答案为①③④．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．

【正确答案】6．

【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=cm．
又∵AP=，∴．
∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC．∴，即．
∴PE=AP=．
∴．
∵S1=2S2，∴，解得：t=6．
16. ⊙的半径为，点到直线的距离为，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是___________．

【正确答案】

【详解】
∵切于⊙于点，
∴，
∴．
又，
∴，即，
∴当最小时，有最小值．
又∵点到直线的距离为，
∴的最小值为，
∴．
故答案为．
三、解 答 题（共88分）
17. 用适当的方法解下列方程
（） （）
（） （）
【正确答案】（）；（），；（），；（），．

【详解】试题分析：（1）(2)利用十字相乘法解方程.(2)公式法解方程．(4)因式分解法解方程.
试题解析：
（）


解得．
故．
（）

解得，．
（）


根的判别式
．
解得，．
（）



解得，．
点睛：一元二次方程的解法（1）直接开平方法，没有项的方程适用（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，公式法需要先求判别式，根据判别式的正负，求方程的解（4）因式分解法，可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法.
18. 已知当时，二次三项式的值等于，这个二次三项式的值可能是吗？请说明理由．
【正确答案】没有可能 理由见解析

【详解】试题分析：把当时代入，可得m值，得到二次三项式的范围.
试题解析：当时，


解得．
此时这个二次三项式是

∴值没有可能为．
19. 关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的整数时，求方程的根．
【正确答案】（1）且；（2），

【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，整数为.
此时，方程化为.
解得，.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x．
【正确答案】（1）2.6（1+x）2；（2）10%．

【分析】(1) 将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率)． 根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本．
(2) 由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本． 现已知固定成本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值．
【详解】解：(1) ∵该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，
又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x，
∴该养殖户第2年的可变成本为：2.6(1+x) (万元)，
∴该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(1+x)](1+x)=2.6(1+x)2 (万元)．
故本小题应填：2.6(1+x)2．
(2) 根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程：
4+2.6(1+x)2=7.146
解此方程，得
x1=0.1，x2=－2.1，
由于x为可变成本平均每年增长的百分率，x2=－2.1没有合题意，故x的值应为0.1，即10%．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
本题考查了一元二次方程相关应用题中的“平均增长率”型问题． 对“平均增长率”意义的理解是这类应用题的难点． 这类实际问题中某量的增长一般分为两个阶段且每个阶段的实际增长率没有同． 假设该量的值在保持某一增长率没有变的前提下由原值增长两次，若所得的最终值与实际的最终值相同，则这一没有变的增长率就是该量的“平均增长率”．

21. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
【正确答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）□ABCD的周长是5.

【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0，
解得：m＝，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．
本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值是解题关键
22. 如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．

（1）用尺规作出的中点B，再作出△ABC的外接圆（没有写作法，保留作图痕迹）．
（2）若，，求外接圆的半径．
【正确答案】（1）见解析（2）60cm

【分析】（1）利用垂径定理得出、的垂直平分线交点即是圆心到任意一点距离即是半径．
（2）先证明≌，再证明和是等边三角形，
是等边三角形，从而求得半径.
【详解】
（）利用垂径定理得出、的垂直平分线交点即是圆心到任意一点距离即是半径．
（）∵，，
∴．
又∵，，
∴≌，
∴和是等边三角形，
∴半径为．
23. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）8﹣

【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

24. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若AD=2BD，CD=1，则⊙O的半径为______．

【正确答案】．

【详解】试题解析：连接OB，

∵AB、CD都是⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，且DC=BD=1，
∴AD=2BD=2，
∴AB=2+1=3，
在Rt△ACD中，可求得AC=，
设半径为r，则OA=r+，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：OA2=OB2+AB2，
即（r+）2=r2+32，解得r=，
考点：切线的性质．
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

【正确答案】（1）证明见解析（2）6

【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
详解】(1)证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PBOC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为O半径，
∴CD为O的切线；
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，
∵O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5−x，
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0，
解得 .
∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
26. 直角梯形中，，，，，．为⊙的直径，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，点、分别从、两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．

（）求⊙的直径．
（）当为何值时，四边形为等腰梯形？
（）是否存在某一时刻，使直线与⊙相切？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（）⊙直径为；（）；（）存在，时，与⊙相切．

【详解】（）⊙直径为．
（）．
（）存在，时，与⊙相切．
试题分析：（1）过点作于，在中，利用勾股定理求DE.(2) 当四边形为等腰梯形时，,代入求值.(3) 存在，若与⊙相切，切点为，作于,,用t表示PQ,OH,勾股定理得，
求t.
试题解析：

（）过点作于，
．
∵，
∴，
在中．
∵，
∴．
∴⊙的直径为．
（）由题意知
，．
当四边形为等腰梯形时，
．
∵
解得．
（）存在，若与⊙相切，切点为，作于．
∴
．
又，
，
勾股定理得，
即，
解得，．
又∵，都符合．
综上所述，时，与⊙相切．























2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（共6小题，每小题2分，满分12分）
1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B. C. D. =0
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一元二次方程的两根为a，b，则下列说确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
5. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
6. 下列说确是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
二、填 空 题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7. 方程的根是_____．
8. 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为_____．

9. 如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm．则该圆玻璃镜的直径是_____cm．

10. 小颖同学在手工制作中，把一个圆形的纸片贴到边长为12cm的等边三角形纸片上，若三角形的三条边恰好都与圆相切，则圆的半径为_____cm．
11. 如果x2﹣2（m+1）x+m+3是一个完全平方式，则m=_____．
12. 如图，邻边没有等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．

13. 如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为_____．

14. 如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝_________．

15. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．
16. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
三、解 答 题（共11小题，满分88分）
17. 计算：．
18. 解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣2=0（用配方法）
（2）（x﹣2）2﹣3x（x﹣2）=0．
19. 先化简，再求值：，其中x2+2x﹣1=0．
20. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值.
21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，直线l与⊙O相切，切点为P，l∥BC，l与BC间的距离为7．

（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，没有写画法）．
（2）求弦BC长．
22. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，CE是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的弦，CF⊥AB， 垂足为D．若∠BCE=20°，求∠ACF 的度数．

23. 某公司今年一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
24. 如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．

25. 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践，在中他们参与了某种水果的工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格，那么每天可售出240千克．
小红：通过验证，我发现每天的量y（千克）与单价x（元）之间存在函数关系，每天200千克以上．
（1）求每天的量y（千克）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为多少元？
26. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．
（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．

27. 如图1，函数y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度没有断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠OAB=　 　°；
（2）在运动过程中，点P的坐标为　 　，⊙P的半径为　 　（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=时，弦EF长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若没有存在，请说明理由（利用图1解题）．

2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（共6小题，每小题2分，满分12分）
1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B. C. D. =0
【正确答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的次数是2；二次项系数没有为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、x2-2=（x+3）2，是一元方程，故A选项错误；
B、当a=0时，没有是一元二次方程，故B选项错误；
C、是分式方程，故C选项错误；
D、x2-1=0是一元二次方程，故D选项正确；
故选：D．
本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2．
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】


故选D．
3. 已知一元二次方程的两根为a，b，则下列说确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：由根与系数关系得：．故选．
4. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【正确答案】C

【详解】试题分析：由题意可知，∠ABC和∠AOC是同弧所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC，又因为∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC=60°．
故选C．
考点：圆周角和圆心角．

5. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
【正确答案】A

【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根，
∴△=b2−4ac=0，
又a+b+c=0，即b=−a−c，
代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，
即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，
∴a=c，
故选：A．
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系是解题关键．
6. 下列说确的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【正确答案】B

【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【详解】解：A、没有共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
二、填 空 题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7. 方程的根是_____．
【正确答案】，

【详解】方程变形得：x2+2x=0，即x（x+2）=0，
可得x=0或x+2=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故答案是：x1=0，x2=﹣2
8. 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为_____．

【正确答案】（6，2）

【详解】试题分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
解：设圆心坐标（x，y）；
依题意得，
A（4，6），B（2，4），C（2，0）
则有
==，
即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2，
化简后得x=6，y=2，
因此圆心坐标为（6，2）．
点评：本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
9. 如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm．则该圆玻璃镜的直径是_____cm．

【正确答案】10

【详解】∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm，
∴MN=cm，
故答案是：10．
10. 小颖同学在手工制作中，把一个圆形的纸片贴到边长为12cm的等边三角形纸片上，若三角形的三条边恰好都与圆相切，则圆的半径为_____cm．
【正确答案】2

【详解】如图，⊙O为等边△ABC的内切圆，
作OD⊥BC于D，连结OB，则OD为⊙O的半径，

∵点O为△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OD垂直平分OD，
∴∠OBD=30°，BD=CD=6，
在Rt△OBD中，
∵tan∠OBD=，
∴OD=×6=2，
即圆的半径为2cm．
故答案是：2．
11. 如果x2﹣2（m+1）x+m+3一个完全平方式，则m=_____．
【正确答案】1或﹣2．

【详解】∵x2﹣2（m+1）x+m+3=（x﹣m﹣1）2，
∴m+3=（m+1）2，
解得：m=1或﹣2．
故答案是：1或﹣2．
12. 如图，邻边没有等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．

【正确答案】1或2

【分析】设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6-2x），（6-2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
【详解】解：设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米．
依题意，得x（6-2x）=4．
整理，得x2-3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．
所以当x=1时，6-2x=4；
当x=2时，6-2x=2．
故1或2．
故答案为1．
13. 如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为_____．

【正确答案】9

详解】如图所示：

∵△ABC周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21﹣6=15，
设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，
∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE
=AD+DM+AE+EQ
=AB﹣BM+AC﹣CQ
=AC+AB﹣（BM+CQ）
=15﹣6=9，
故答案是：9．
考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
14. 如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝_________．

【正确答案】75°

【详解】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．
解：连接OA、OB、OC、OD，

∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
15. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．
【正确答案】4

【分析】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，再将令y=将代数式转化为只含字母m的函数，通过函数的增减性即可得出结果．
【详解】解：∵m﹣n2=1，
即n2=m-1≥0，
∴m≥1，
令y=
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线m=-3
∴m>-3时，y随着m的增大而增大
∵m≥1，
∴当m=1时，y取得最小值：
∴代数式有最小值：4
故4
本题主要考查非负数的性质、配方法和二次函数最值等相关知识在求解过程中，是要将条件m﹣n2=1，转化为n2=m-1，即利用非负数的性质得出m的取值范围，又可将后面代数式中的n2用含m的式子进行替换，此时就可以用配方法并m的取值以及函数关系式就可得求出最小值．

16. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
【正确答案】（0，12）或（0，﹣12）

【详解】试题分析：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）.
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，

则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=.
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，则点C即为所求.
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=，
由勾股定理得：，
∴OC=OF+CF=5+7=12.
∴点C坐标为（0，12）.
（2）如答图2所示，根据的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）.

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）.
三、解 答 题（共11小题，满分88分）
17. 计算：．
【正确答案】

【详解】试题分析：先去值符号、计算0次方、负指数幂和二次根式，再加减即可.
试题解析：
原式=2﹣1+4+2
=2+5．
18. 解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣2=0（用配方法）
（2）（x﹣2）2﹣3x（x﹣2）=0．
【正确答案】(1) x1=，x2=﹣3；(2) x1=2，x2=﹣2．

【详解】试题分析：(1) 用配方法解；(2)因式分解法解.
试题解析：
（1）（2x﹣1）（x+3）=0，
2x﹣1=0或x+3=0，
所以x1=，x2=﹣3；
（2）（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）=0，
x﹣2=0或x﹣2﹣2x=0，
所以x1=2，x2=﹣2．
19. 先化简，再求值：，其中x2+2x﹣1=0．
【正确答案】．

【分析】先化简和求得x的值，再代入计算．
【详解】解：
=
=
=
=
由x2+2x﹣1=0．可得：x2=1﹣2x，
把x2=1﹣2x代入
=
=
=
=
由x2+2x﹣1=0．可得x=1±，
把x=1±代入．
20. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值.
【正确答案】（1）证明见解析；（2），3；

【分析】（1）要证明方程有两个没有相等的实数根，即证明△＞0即可；
（2）将x=1代入方程，求出m的值，进而得出方程的解．
【详解】（1）证明：∵
而≥0，
∴△＞0．
∴方程总有两个没有相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴1-（m+2）+2m-1=0，
解得：m=2，
∴原方程为：，
解得：．
即m的值为2，方程的另一个根是3．
∴方程总有两个没有相等的实数根；
此题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与△=有如下关系：
（1）△＞0方程有两个没有相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
第（2）问还可以利用根与系数的关系得到另一个解与m的二元方程组来解题．
21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，直线l与⊙O相切，切点为P，l∥BC，l与BC间的距离为7．

（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，没有写画法）．
（2）求弦BC的长．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）2．

【分析】（1）连结PO并延长交BC于Q，然后连结AQ并延长交⊙O于D，则弦AD为所求；
（2）连结OC，如图，根据切线的性质得OP⊥l，则根据平行线的性质得PQ⊥BC，则根据垂径定理得BQ=CQ，然后在Rt△OCQ中利用勾股定理计算出CQ，则利用BC=2CQ求解．
【详解】解：（1）如图，

（2）连结OC，如图，
∵直线l与⊙O相切，切点为P，
∴OP⊥l，
而l∥BC，
∴PQ⊥BC，
∴BQ=CQ，
∵PQ=7，OP=OC=4，
∴OQ=3，
在Rt△OCQ中，CQ=，
∴BC=2CQ=2．
22. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的弦，CF⊥AB， 垂足为D．若∠BCE=20°，求∠ACF 的度数．

【正确答案】20°．

【详解】试题分析：由CE是直径得∠CBE=90°，再由直角三角形两锐角互余得∠E=70°，又∠A=∠E=70°，再根据直角三角形两锐角互余得∠ACF的度数．
试题解析：∵CE是直径
∴∠CBE=90°
∴∠E=90°-∠BCE=90°-20°=70°
∵∠A=∠E
∴∠A=70°
∵CF⊥AB
∴∠ACF=90°-∠A=90°-70°=20°．
考点：圆周角定理．
23. 某公司今年一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
【正确答案】20%

【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解．
【详解】设这个增长率为x．
依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8，
解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（没有合题意，舍去）．
0. 2=20%．
答：这个增长率是20%．
24. 如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．

【正确答案】（1）详见解析；（2）∠CEF=45°．

【详解】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得出∠DCO＝∠ACB＝90°，然后根据等角的余角相等即可得出结论；
（2）根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解．
试题解析：
（1）证明：如图1中，连接OC．

∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，
∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，
∴∠DCO＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，
∵AB是直径，∴∠1＋∠B＝90°，
∴∠3＝∠B．
（2）解：∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠FDB，
∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°．
25. 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践，在中他们参与了某种水果的工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格，那么每天可售出240千克．
小红：通过验证，我发现每天的量y（千克）与单价x（元）之间存在函数关系，每天200千克以上．
（1）求每天的量y（千克）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为多少元？
【正确答案】（1）y=﹣20x+500；（2）该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为12元．

【分析】（1）用待定系数法求得函数的解析式；
（2）列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）设y=kx+b，
∵x=10，y=300；x=13，y=240，
∴ ，
解得，
∴y=﹣20x+500；
（2）（x﹣8）（﹣20x+500）=1040，
整理，得x2﹣33x+252=0，
解得x1=12，x2=21．
当x=12时，量为﹣20×12+500=260＞200，符合题意；
当x=21时，量为﹣20×21+500=80＜200，没有符合题意，舍去，
所以x=12．
即该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为12元．
26. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．
（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）AE=CH，理由见解析；（3）AE=1.

【详解】试题分析：（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE≌△CDH即可；
（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可证得BE=BH，BC和AB的长可求出AE．
试题解析：（1）如图所示，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）AE=CH，理由如下：
连接AD，
∵D是的中点，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，且∠AED=∠DHC，
在Rt△ADE和Rt△CDH中， ，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴AE=CH；
（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，
在△RtDBH和Rt△DBE中， ，∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），
∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，
又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，
∴AE=1．

本题主要考查切线的判定及圆周角定理等知识的综合运用，注意证明切线的两种思路，已知切点时可证明垂直，没有切点时可作垂直证明距离等于半径．
27. 如图1，函数y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度没有断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠OAB=　 　°；
（2）在运动过程中，点P的坐标为　 　，⊙P的半径为　 　（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=时，弦EF的长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若没有存在，请说明理由（利用图1解题）．

【正确答案】（1）（10，0），（0，10），45°．（2）（1+2t，0），1+t．（3）.

【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题．
（2）根据题意可得P（1+2t，0），⊙O半径为1+t．
（3）①如图1中，作⊥AB于K，连接PE．在Rt△A中，由∠A=90°，∠PAK=45°，PA=4，推出=PA=2 ，在Rt△PEK中，根据EK=计算即可．
②分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．分别列出方程求解即可.
试题解析：
解：（1）∵y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（10，0），B（0，10），
∴OA=OB=10，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
故答案分别为（10，0），（0，10），45°．
（2）由题意P（1+2t，0），⊙O半径为1+t，
故答案分别为（1+2t，0），1+t．
（3）①如图1中，作⊥AB于K，连接PE．

当t=时，P（6，0），半径为3.5，
在Rt△A中，∵∠A=90°，∠PAK=45°，PA=4，
∴=，PA=2，
在Rt△PEK中，EK==，
∴EF=2EK=．
②存在．
a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°

∵OP+PA=OA，
∴1+2t+1+t=10，
∴t=．
b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．

由OP﹣PF=OA，
∴1+2t﹣（1+t）=10，
∴t=10，
综上所述，t=s或10s时，存在以点P为直角顶点的Rt△PEF．
圆的综合题，运用了垂径定理、等腰直角三角形的性质、函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．