2022-2023学年山东省济南市莱芜区八年级上册数学期末测试压轴题模拟(含答案)

这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜区八年级上册数学期末测试压轴题模拟(含答案)，共27页。试卷主要包含了某超市购进甲，乙两种水果，等内容，欢迎下载使用。
2022-2023济南市莱芜区八年级上册数学期末测试压轴题模拟

1．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．


2．如图，在▱ABCD中，若点E、F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，DE，BF．DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形．


3．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．


4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠ABD的度数；
（3）求证：四边形ABFE是平行四边形．

6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求∠ADE的度数；
（2）将△EAD绕点E逆时针旋转100°，点A的对应点为点F，连接BF，求证：四边形BDEF为平行四边形．

7．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝BC．

8．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．

9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．

10．某超市购进甲，乙两种水果，
（1）若甲种水果的箱数是乙种水果箱数的2倍，甲，乙两种水果的费用分别为2400元和2000元，其中乙种水果每箱单价比甲种水果每箱单价多80元，求甲，乙两种水果每箱的单价；
（2）根据市场需要，该超市决定再购买甲，乙两种水果共18箱，甲，乙两种水果每箱的单价与（1）相同，设购进甲种水果a箱（a为正整数），所需费用为w（元），若乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，如何购买才能使费用w最低？最低费用为多少元？







11．2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？





12．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？






13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．
（1）求证：△ADF≌△AEF；
（2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝　 　．





14．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．















15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
（1）如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是 　 　；
（2）如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．




答案及解析
1．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．

【分析】根据平行四边形的性质得到∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，求得AE＝CF，根据全等三角形的性质得到AH＝CG，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠F，
∵AD＝BC，DE＝BF，
∴AD+DE＝BC+BF，
即AE＝CF，
在△AEH与△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA），
∴AH＝CG，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
2．如图，在▱ABCD中，若点E、F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，DE，BF．DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形．

【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出四边形AECF是平行四边形，得出AF∥CE．同理：DE∥BF，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理：DE∥BF，
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，通过证明平行四边形得出AF∥CE．DE∥BF是解决问题的关键．
3．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，然后利用ASA可证明△AEM≌△CFN；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠FCN，
∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
在△AEM与△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵△AEM≌△CFN，
∴AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到△AEM≌△CFN．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．

【分析】（1）由题意可得AD∥BC，DO＝BO，则∠ADB＝∠DBC，即可证△DOE≌△BOF；
（2）由题意可证△ACD是等边三角形，即可得AC＝AD＝4，∠DAC＝60°．由旋转可得∠AOE＝30°，即∠AEO＝90°，即可求EO的长度，则可得EF的长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DO＝BO
∴∠ADB＝∠DBC
∵∠ADB＝∠DBC，BO＝DO，∠BOF＝∠DOE
∴△BOF≌△DOE
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝CD，
∵AB＝AD＝4，
∴CD＝AD＝4，且∠ADC＝60°
∴△ACD是等边三角形
∴∠DAC＝60°，AC＝CD＝AD＝4
∵α＝30°
∴∠AOE＝30°
∴∠AEO＝90°
∵AC＝4
∴AO＝2
在Rt△AEO中，AO＝2，∠AEO＝90°，∠AOE＝30°
∴AE＝1，EO＝AE＝
∵△BOF≌△DOE
∴OE＝OF＝
∴EF＝2
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握这些性质和判定解决问题是本题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠ABD的度数；
（3）求证：四边形ABFE是平行四边形．

【分析】（1）根据旋转证△ABD≌△ACE（SAS），即可得证结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出度数即可；
（3）同理（2）求出∠AEF的度数，根据平行线的判定得出AE∥BF，AB∥EF即可得证结论．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝100°，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知，AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
即∠ABD的度数为40°；
（3）证明：由（2）知，∠ABD＝40°，
同理可得，∠AEF＝40°，
∵∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝40°+100°＝140°，
∴∠BAE+∠ABD＝140°+40°＝180°，
∴AE∥BF，
同理∠AEF+∠BAE＝180°，
∴AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
【点评】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等知识，是解题的关键．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求∠ADE的度数；
（2）将△EAD绕点E逆时针旋转100°，点A的对应点为点F，连接BF，求证：四边形BDEF为平行四边形．

【分析】（1）根据等腰三角形 到现在和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）由（1）可知：∠DEC＝180°﹣∠AED＝100°，根据旋转的性质得到∠AEF＝100°，求得∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝20°，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠A＝80°，
在△DAE中，∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DAE＝20°；
（2）证明：由（1）可知：∠DEC＝180°﹣∠AED＝100°，
∵DE＝CE，
∴△EAD绕点E逆时针旋转100°，点D的对应点为点C，如图所示，
则∠AEF＝100°，
∴∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝20°，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴BD∥EF，
又∵AB＝AC，DA＝CE，
∴BD＝EF，
∴四边形BDEF为平行四边形．

【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝BC．

【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠DEC＝∠BCE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：如图，连接BH、EH、CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
8．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．

【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE＝CF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．

【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．
【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．

【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
10．某超市购进甲，乙两种水果，
（1）若甲种水果的箱数是乙种水果箱数的2倍，甲，乙两种水果的费用分别为2400元和2000元，其中乙种水果每箱单价比甲种水果每箱单价多80元，求甲，乙两种水果每箱的单价；
（2）根据市场需要，该超市决定再购买甲，乙两种水果共18箱，甲，乙两种水果每箱的单价与（1）相同，设购进甲种水果a箱（a为正整数），所需费用为w（元），若乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，如何购买才能使费用w最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w关于a的函数解析式，然后根据种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，可以求得a的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值．
【解答】解：（1）设甲种水果每箱的单价为x元，乙种水果每箱的单价是（x+80）元，
由题意可得：，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解，
∴x+80＝200，
答：甲种水果每箱的单价为120元，乙种水果每箱的单价是200元；
（2）由题意可得：w＝120a+200（18﹣a）＝﹣80a+3600，
∴w随a的增大而减小，
∵乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，
∴18﹣a≥2a，
解得a≤6，
∴当a＝6时，w取得最小值，此时w＝3120，18﹣a＝12，
答：当购买甲种水果6箱，乙种水果12箱时，w取得最小值，最低费用为3120元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和分式方程，利用一次函数的性质求最值．
11．2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
【分析】（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合打折后购买的数量比打折前多100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质可得出w的最小值，将其与2400比较作差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，
依题意得：﹣＝100，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：打折前每个A品牌N95口罩的售价是6元．
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，
依题意得：w＝6×0.8m+7×0.8（800﹣m）＝﹣0.8m+4480，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤800×＝400，
∴当m＝400时，w取得最小值，最小值＝﹣0.8×400+4480＝4160．
∵4160＞2400，且4160﹣2400＝1760（元），
∴该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
12．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润与购买甲种水果数量的函数关系式，根据购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，可以得到相应的不等式组，然后即可得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设甲种水果的进价是x元，则乙种水果的进价是（x+4）元，
由题意可得：，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原分式方程的解，
∴x+4＝20，
答：甲种水果的进价是16元，乙种水果的进价是20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（2000﹣a）千克，利润为w元，
由题意可得：w＝（20﹣16）a+（25﹣20）（2000﹣a）＝﹣a+10000，
∴w随a的增大而减小，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，
∴，
解得1450≤a≤1500，
∴当a＝1450时，w取得最大值，此时w＝8550，2000﹣a＝550，
答：超市进货甲种水果1450千克，乙种水果550千克，才能获得最大利润，最大利润是8550元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程和列出不等式组，利用一次函数的性质求最值．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．
（1）求证：△ADF≌△AEF；
（2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝　3　．

【分析】（1）根据角平分线和旋转可构造SAS证全等；
（2）由（1）得DF＝EF，EC＝BD，再利用勾股定理可得出BD2+FC2＝DF2；
（3）作AH⊥BC于H，根据线段关系分别求出DH和AH，再利用勾股定理即可得出AD的长度．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
由旋转可知，AD＝AE，
又∵AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS）；
（2）解：BD2+FC2＝DF2，理由如下：
由（1）知：△ADF≌△AEF，
∴DF＝EF，
由旋转知∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠FCE＝90°，
∴EC2+FC2＝EF2，
即BD2+FC2＝DF2；
（3）解：作AH⊥BC于H，

∵BD＝3，CF＝4，
由（2）得DF＝＝＝5，
∴BC＝3+4+5＝12，
∵AB＝AC，∠B＝45°，
∴BH＝AH＝BC＝6，
∴DH＝BH﹣BD＝6﹣3＝3，
∴AD＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查图形的变换综合题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识是解题的关键．
14．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．

【分析】（1）根据SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，可得CP＝CQ，∠PCQ＝120°，结合△ABE≌△BCP，即可得∠DCQ＝∠BED，由AAS即可证明△EDB≌△CDQ；
②根据BP＝AE，ED＝CD，BC＝AC，且AC＝AE+ED+CD，即可得BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵AE＝BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴∠ABE＝∠BCP，
∴∠CFE＝∠CBE+∠BCP＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CFE＝120°；
（2）①△EDB≌△CDQ，证明如下：
∵将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝120°，
∴∠DCQ＝120°﹣∠ACP＝120°﹣（∠ACB﹣∠BCP）＝60°+∠BCP，
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE＝∠BCP，BE＝CP
∴∠DCQ＝60°+∠ABE，CQ＝BE，
∵∠BED＝∠A+∠ABE＝60°+∠ABE，
∴∠DCQ＝∠BED，
在△EDB和△CDQ中，
，
∴△EDB≌△CDQ（AAS）；
②BC＝BP+2CD，理由如下：
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴BP＝AE，
由①知△EDB≌△CDQ，
∴ED＝CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，
∵AC＝AE+ED+CD，
∴BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
（1）如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是 　DE＝DF　；
（2）如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．


【分析】（1）连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC＝90°＝∠ACB＝∠EDF，可得DF⊥BC，而AC＝BC，D为AB中点，知CD是∠ACB的平分线，即得DE＝DF；
（2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同（1）可得DM＝DN，由∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，可得∠MDN＝90°＝∠EDF，从而∠MDE＝∠NDF，可证△DME≌△DNF（AAS），故DE＝DF；
（3）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由（2）知△DME≌△DNF，可得ME＝NF，DE＝DF，DM＝DN，即可得EF2＝2DE2，而AC＝AB，∠ACB＝90°，有∠A＝∠B＝45°，从而AM＝DM＝DN＝BN，设ME＝NF＝x，则AM＝AE﹣x＝DM，BN＝BF+x＝DN，由AM＝BN，得AE﹣x＝BF+x，x＝，即ME＝，DM＝AE﹣x＝，
又DE2＝DM2+ME2，即可得EF2＝2DE2＝AE2+BF2．
【解答】解：（1）DE＝DF，理由如下：
连接CD，如图：

∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ACB＝∠EDF，
∴∠DFC＝90°，即DF⊥BC，
∵AC＝BC，D为AB中点，
∴CD是∠ACB的平分线，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到两边的距离相等）；
故答案为：DE＝DF；
（2）将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：

同（1）可得DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，
∴∠MDN＝90°＝∠EDF，
∴∠MDN﹣∠EDN＝∠EDF﹣∠EDN，即∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝90°＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（3）EF2＝AE2+BF2，证明如下：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：

由（2）知△DME≌△DNF，
∴ME＝NF，DE＝DF，DM＝DN，
∵∠EDF＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴EF2＝2DE2，
∵AC＝AB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∴AM＝DM＝DN＝BN，
设ME＝NF＝x，则AM＝AE﹣x＝DM，BN＝BF+x＝DN，
∵AM＝BN，
∴AE﹣x＝BF+x，
∴x＝，即ME＝，
∴DM＝AE﹣x＝，
∵DE2＝DM2+ME2＝（）2+（）2＝，
∴EF2＝2DE2＝AE2+BF2．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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