山东省济南市莱芜区2022-2023鲁教版八年级上册数学期末综合模拟测试一

这是一份山东省济南市莱芜区2022-2023鲁教版八年级上册数学期末综合模拟测试一，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济南市莱芜区2022-2023鲁教版八年级上册数学
期末综合模拟测试一
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．下列各式：①﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y），②﹣x2+y2＝（﹣x+y）（x+y），③x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2，④x2+x+＝（x+）2中，分解因式正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
3．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.5
9.5
9.5
9.5
方差
8.5
7.3
8.8
7.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式S2＝，由公式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．样本容量是5 B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8 D．样本的众数是4
6．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
8．若关于x的方程+＝2﹣有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　　）
A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD
9. 10. 12.
11．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
12．在平行四边形ABCD中，AB≠BC，E是CD的中点，过点E作EF⊥AE交BC于点F，则下列结论：①AE平分∠DAF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，⑤S△ADE+S△CFE＝S△AEF，其中正确的是（　　）
A．①②⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．因式分解：9a3b﹣ab＝　 　．
14．计算：＝　 　．
15．某校举行广播体操比赛，评分项目包括服装统一度、进退场秩序、动作规范整齐度这三项，每项满分10分，总成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，总成绩满分10分．已知八（1）班在比赛中三项得分依次为10分、8分、9分，则八（1）班这次比赛的总成绩为　 　分．
16．如图，点E在▱ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是　 　．

17．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A′在直线y＝x﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B′的坐标为 　 　．

18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．解分式方程：
（1）＝ （2）＝﹣2



20．先化简，再求值：，其中x＝4．



21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．




22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点C2的坐标为　 　．


23．“聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿
者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况．从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）；A．x≤60；B.60＜x≤70；C．70＜x≤80；D．80＜x≤90，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取20名同学的完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88．
七、八年级抽取的同学完成作业时间统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75

八年级抽取20名同学中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．
七、八年级抽取的同学完成作业时间统计表在上表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
（3）该校七年级有900人，八年级有700人，估计七，八年级时间管理优秀的共有多少人？


24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC＝2，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F．
（1）求证：△DOF≌△BOE；
（2）当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形？并说明理由．




25．“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．
（1）求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
（2）该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共200件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？




26．如图，已知CD为△ABC中线，E为CD上一点，连接AE并延长至点F，使EF＝AE，连接BF、CF，CF∥AB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）设四边形ABFC的面积为S，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个面积等于S的三角形．

















27．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，2），B（b，4），且a，b满足关系式（a+5）2+＝0．
（1）直接写出A，B两点的坐标：A（　 　，　 　），B（　 　，　 　）；
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为A1，B1；（友情提示：S△ABO表示三角形ABO的面积）
①如图2，若线段A1B1交y轴于点C，当时，求平移时间t的值；
②若直线A1B1交y轴于点C，当时，试求出平移时间t的值，并直接写出点C的坐标．



山东省济南市莱芜区2022-2023鲁教版八年级上册数学
期末综合模拟测试一
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
D
C
A
B
B
D
A
D

1．下列各式：①﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y），②﹣x2+y2＝（﹣x+y）（x+y），③x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2，④x2+x+＝（x+）2中，分解因式正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别计算这4个算式即可得到答案．
【解答】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不符合题意；
②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y﹣x）（y+x）＝（﹣x+y）（x+y），符合题意；
③（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，不符合题意；
④x2+x+＝x2+2•x•+（）2＝（x+）2，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，考核学生的计算能力，熟记公式是解题的关键．
2．下列各分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．
【解答】解：A.＝，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.＝＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；
C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；
D.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
3．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.5
9.5
9.5
9.5
方差
8.5
7.3
8.8
7.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵四人的平均数相等，而乙的方差最小，
∴选择乙参加比赛，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式S2＝，由公式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．样本容量是5 B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8 D．样本的众数是4
【分析】由方差的计算公式得出这组数据为5、4、4、3、3，再根据中位数、众数和平均数的定义求解即可．
【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为5、4、4、3、3，
所以这组数据的样本容量为5，中位数为4，众数为3和4，平均数为＝3.8，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数、众数和平均数的定义．
6．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180＝1080，
解得n＝8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
7．第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减解答即可．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
∵P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
故选：A．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
8．若关于x的方程+＝2﹣有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值，从而求出2a﹣3的值．
【解答】解：方程两边都乘x（x+1），
得3（x+1）+ax2＝2x（x+1）﹣3x
∵原方程有增根为﹣1，
∴当x＝﹣1时，a＝3，
故2a﹣3＝3．
故选：B．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
10．如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（　　）

A．GF＝EH
B．四边形EGFH是平行四边形
C．EG＝FH
D．EH⊥BD
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故D不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故ABC正确，
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
11．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．在平行四边形ABCD中，AB≠BC，E是CD的中点，过点E作EF⊥AE交BC于点F，则下列结论：①AE平分∠DAF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，⑤S△ADE+S△CFE＝S△AEF，其中正确的是（　　）

A．①②⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤
【分析】由“AAS”可证△DEM≌△CEF，可得EM＝EF，DM＝CF，由线段垂直平分线的性质可得AM＝AF，由等腰三角形的性质可得AE平分∠DAF，故①正确；由线段和差关系可得AF＝AD+CF，故③正确，②错误，由AF不一定是∠BAD的角平分线，则AB不一定等于BF，故④错误，由“SSS”可证△AEM≌△AEF，可得S△AEF＝S△AEM，由面积和差关系可得S△ADE+S△CFE＝S△AEF，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：延长AD，交FE的延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEM和△CEF中，
，
∴△DEM≌△CEF（AAS），
∴EM＝EF，DM＝CF，
∴EF⊥AE，
∴AM＝AF，
又∵EF⊥AE，
∴AE平分∠DAF，故①正确；
∵AM＝AD+DM，
∴AF＝AD+CF，故③正确，②错误，
∵AF不一定是∠BAD的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误，
∵AM＝AF，AE＝AE，EM＝EF，
∴△AEM≌△AEF（SSS），
∴S△AEF＝S△AEM，
∵△DEM≌△CEF，
∴S△DEM＝S△CEF，
∴S△ADE+S△CFE＝S△AEF，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．因式分解：9a3b﹣ab＝　ab（3a+1）（3a﹣1）　．
【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．
故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．计算：＝　1　．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
15．某校举行广播体操比赛，评分项目包括服装统一度、进退场秩序、动作规范整齐度这三项，每项满分10分，总成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，总成绩满分10分．已知八（1）班在比赛中三项得分依次为10分、8分、9分，则八（1）班这次比赛的总成绩为　8.9　分．
【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果，
【解答】解：＝8.9 （分），
故答案为：8.9．
【点评】考查加权平均数的意义和计算方法，体会权对平均数的影响．
16．如图，点E在▱ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是　4　．

【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2MN＝6，由平行四边形的性质可得AD＝6，由线段关系可求解．
【解答】解：∵M、N分别是BE、CE的中点，
∴BC＝2MN＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AE＝2ED，
∴EA＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A′在直线y＝x﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B′的坐标为 　（5，3）　．

【分析】根据图形平移后对应点的坐标变化规律得到△OAB沿x轴正方向平移得到△O′A′B′，再根据一次函数图象上点的坐标特征得x﹣1＝4，然后解方程求出x可得点A′的坐标为（4，4），可得出∠A'AO＝90°，则∠A'AB＝45°，根据平行四边形以及等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：延长B′B交y轴于点C，

∵△OAB沿x轴正方向平移得到△O′A′B′，点A的坐标为（0，4），点A′在直线y＝x﹣1上，
∴x﹣1＝4，解得x＝4，
∴点A′的坐标为（4，4），
∴∠A'AO＝90°，
∵点B在∠A'AO的角平分线上，
∴∠A'AB＝∠OAB＝45°，
∵将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，
∴A'A＝B'B，A'A∥B'B，
∴四边形AA'B'B是平行四边形，∠ACB＝180°﹣∠A'AO＝90°，
∴B'B＝A'A＝4，△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵四边形AA'B'B的面积为4，
∴BB′•AC＝4，
∴AC＝BC＝1，
∴OC＝4﹣1＝3，B′C＝BC+B′B＝1+4＝5，
∴点B′的坐标为（5，3）．
故答案为：（5，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减）．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝　4　．
【分析】分别求出a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝﹣，……，发现每三次运算后结果循环出现，即可求a2022＝a3＝4．
【解答】解：∵a1＝﹣，
∴a2＝＝，a3＝＝4，a4＝＝﹣，……，
∴每三次运算后结果循环出现，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝•
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．

【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点C2的坐标为　（﹣3，1）　．

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
②利用所画图形写出C2点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）①画如图，△A2B2C2为所作；

②点C2的坐标为（﹣3，1）．
故答案为（﹣3，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．“聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿
者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况．从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）；A．x≤60；B.60＜x≤70；C．70＜x≤80；D．80＜x≤90，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取20名同学的完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88．

八年级抽取20名同学中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．
七、八年级抽取的同学完成作业时间统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　75　，b＝　78　，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
（3）该校七年级有900人，八年级有700人，估计七，八年级时间管理优秀的共有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
（3）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可．
【解答】解：（1）将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10，11个数均在C时段，
而C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75，
按从小到大排列为：72，74，75，75，75，75，76，78，
则第10，11个数均为75，所以中位数a＝＝75．
将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是78分，即b＝78，
故答案为：75，78，补全频数分布直方图如下：

（2）七年级落实的好，理由：七年级学生完成作业的平均时间为72分，比八年级的少；
（3）七年级作业管理为优秀所占的比例为，八年级作业管理为优秀所占的比例为，
所以七、八年级作业管理为优秀的人数为900×+700×＝1245（人），
答：七，八年级时间管理优秀的共有1245人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC＝2，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F．
（1）求证：△DOF≌△BOE；
（2）当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形？并说明理由．

【分析】（1）根据ASA定理得出△DOF≌△BOE，由此可得出结论；
（2）连接BF，DE，EF与BD互相平分可知，当EF⊥BD时四边形BEDF是菱形，得出∠BAC＝90°，根据等腰直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，BC∥AD，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（ASA）；
（2）解：AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，

由（1）知△DOF≌△BOE，
∴OF＝OE，
∴当EF⊥BD时四边形BEDF是菱形．
∵AB＝1，BC＝，AC＝2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵OA＝OC＝1，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOF＝90°﹣45°＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱．某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．
（1）求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
（2）该文旅店计划再订购这两种毛绒玩具共200件，其中购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时？购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元？

【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以写出费用与购买“雪容融”数量的函数关系式，根据购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，可以列出不等式，求出购买“雪容融”数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该文旅店购进“雪容融”毛绒玩具多少件时，购买两种玩具的总费用最低，最低费用是多少元．
【解答】解：（1）设“雪容融”毛绒玩具的单价为x元/件，则“冰墩墩”的毛绒玩具的单价为1.2x元/件，
由题意得：，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，
∴1.2x＝120，
答：“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具分别是120元/件、100元/件；
（2）设购买“雪容融”毛绒玩具m件，购买两种玩具的总费用为w元，
由题意，得：w＝100m+120（200﹣m）＝﹣20m+24000，
∴w随m的增大而减小，
∵购进“雪容融”毛绒玩具的数量不超过“冰墩墩”毛线玩具的数量的，
∴m≤（200﹣m），
解得m≤50，
∴当m＝50时，w取得最小值，此时w＝23000，
答：购买“雪容融”毛绒玩具50件时总费用最低，最低费用是23000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
26．如图，已知CD为△ABC中线，E为CD上一点，连接AE并延长至点F，使EF＝AE，连接BF、CF，CF∥AB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）设四边形ABFC的面积为S，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个面积等于S的三角形．

【分析】（1）证明△DAE≌△CFE，可得AD＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
（2）根据四边形DBFC是平行四边形，可得S△BDC＝S△FCB＝S平行四边形DBFC，根据CD为△ABC中线，可得S△ADC＝S△BDC，再结合（1）可得S△ADC＝S△ACF，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠CFE，
在△DAE和△CFE中，
，
∴△DAE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF，
∵CD为△ABC中线，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∵CF∥AB，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABFC的面积为S，面积等于S的三角形有：△ADC，△BDC，△FCB，△ACF，理由如下：
∵四边形DBFC是平行四边形，
∴S△BDC＝S△FCB＝S平行四边形DBFC，
∵CD为△ABC中线，
∴S△ADC＝S△BDC，
∴S△ADC＝S△BDC＝S△FCB＝S；
∵△DAE≌△CFE，
∴S△DAE＝S△CFE，
∴S△DAE+S△AEC＝S△CFE+S△AEC，
∴S△ADC＝S△ACF，
∴S△ADC＝S△BDC＝S△FCB＝S△ACF＝S．
综上所述：面积等于S的三角形有：△ADC，△BDC，△FCB，△ACF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到△DAE≌△CFE．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，2），B（b，4），且a，b满足关系式（a+5）2+＝0．
（1）直接写出A，B两点的坐标：A（　﹣5　，　2　），B（　﹣4　，　4　）；
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，A，B的对应点分别为A1，B1；（友情提示：S△ABO表示三角形ABO的面积）
①如图2，若线段A1B1交y轴于点C，当时，求平移时间t的值；
②若直线A1B1交y轴于点C，当时，试求出平移时间t的值，并直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据（a+5）2+＝0求出a、b即可求出坐标；
（2）①作A1⊥x轴于M，B1⊥x轴于N，根据三角形ABO的面积＝梯形A1B1NM面积﹣三角形A1MO的面积﹣三角形B1NO的面积即可求出；
②根据面积的比值求出时间t，设C点坐标为（0，g），根据面积比例求出C点坐标即可．
【解答】解：（1）∵（a+5）2+＝0，
∴a+5＝0，b+4＝0，
∴a＝﹣5，b＝﹣4，
∴A（﹣5，2），B（﹣4，4），
故答案为：（﹣5，2），（﹣4，4）；
（2）∵线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，
∴平移t秒后，A（﹣5+2t，2），B（﹣4+2t，4），
①如图2，作A1⊥x轴于M，B1⊥x轴于N，
∵，
∴＝﹣﹣＝，
即（A1M+B1N）•MN﹣A1M•OM﹣B1N•ON＝4×（﹣4+2t）＝，
整理得：6﹣2t＝，
解得t＝；
②由题知线段AB在平移过程中存在以下两种情况使，
情况一：如图2，
∵，
即＝＝＝，
解得t＝，
∴此时A1（﹣，2），B1（，4），
∴＝﹣﹣＝×（2+4）×1﹣×2×﹣×4×＝，
即OC•OM+OC•ON＝，
∴OC×+OC×＝，
解得OC＝，
∴C点的坐标为（0，）；
情况二：如图3，作B1P⊥y轴于P，作A1Q⊥y轴于Q，

∵，
即＝＝＝，
解得t＝1，
∴此时A1（﹣3，2），B1（﹣2，4），
设直线A1B1的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
即直线A1B1的解析式为y＝2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
综上，符合条件的C点坐标为（0，）或（0，8）．

【点评】本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握直角坐标系，三角形面积等知识是解题的关键．
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