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济南市莱芜区2022-2023八年级上册期末考试数学大题预测及答案
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这是一份济南市莱芜区2022-2023八年级上册期末考试数学大题预测及答案，共45页。试卷主要包含了解方程；，解分式方程，解方程，先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。
2022-2023八上期末考试大题预测自组1
一．解答题（共37小题）
1．（1）解方程； （2）解方程；
（3）分解因式6xy2﹣9x2y﹣y3．
2．（1）分解因式：x2y﹣6xy+9y； （2）解分式方程：﹣1＝．
3．（1）因式分解：a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）； （2）解方程：．
4．（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3； （2）解分式方程：．
5．（1）因式分解：3x2﹣6x+3； （2）解方程：﹣1＝．
6．（1）化简：（1+）÷； （2）解方程：＝1﹣．
7．（1）计算：（a+2﹣）； （2）解方程：＝+1．
8．解分式方程．
（1）； （2）．
9．先化简，再求值：，其中x＝4．
10．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
11．化简求值，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
÷（﹣1）+1．
12．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x＝2．
13．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
14．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，
（2）回答下列问题：
①△A1B1C1中顶点A1坐标为 ；②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为 ．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（﹣2，﹣2），则点B2的坐标为 ．
（3）若A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为 ．
18．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级20名学生的竞赛成绩为：3，5，7，6，9，8，6，7，10，9，8，8，6，6，8，8，8，9，9，8．
八、九年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
合格率
八年级
7.4
a
b
c
九年级
7.4
8
8
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）该校八、九年级共1600名学生参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级此次竞赛活动成绩更优异．
20．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
根据以上信息，解答下列问题
（1）这个班共有男生 人，共有女生 人；
（2）求初二1班女生体育成绩的众数是 ，男生体育成绩的中位数是 ．
（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A等，试估计全年级体育测试成绩达到A等的有多少名学生？
21．为普及新冠防疫知识，某校开展了“新冠防疫知识竞赛”，现随机抽取该校八年级九年级各二十名同学的成锁进行调查．满分为10分，6分以下为不及格．八年级二十个同学的得分为：6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10．
八、九年级抽取同学成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
7.85
7.5
中位数
a
8
众数
9
b
及格率
80%
85%
（1）填空：a＝ ，b＝ ，n＝ ．
（2）根据以上数据分析，该校“新冠防疫知识竞赛”中八年级和九年级的新冠防疫知识哪个年级掌握的情况更好？并说明理由．
（3）八年级有800人，九年级有600人，请估计该校八、九年级参加“新冠防疫知识竞赛”及格的学生约有多少人？
22．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有 名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为 册，众数为 册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
23．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
24．如图，在▱ABCD中，若点E、F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，DE，BF．DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形．
25．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠ABD的度数；
（3）求证：四边形ABFE是平行四边形．
28．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求∠ADE的度数；
（2）将△EAD绕点E逆时针旋转100°，点A的对应点为点F，连接BF，求证：四边形BDEF为平行四边形．
29．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝BC．
30．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
31．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
32．某超市购进甲，乙两种水果，
（1）若甲种水果的箱数是乙种水果箱数的2倍，甲，乙两种水果的费用分别为2400元和2000元，其中乙种水果每箱单价比甲种水果每箱单价多80元，求甲，乙两种水果每箱的单价；
（2）根据市场需要，该超市决定再购买甲，乙两种水果共18箱，甲，乙两种水果每箱的单价与（1）相同，设购进甲种水果a箱（a为正整数），所需费用为w（元），若乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，如何购买才能使费用w最低？最低费用为多少元？
33．2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
34．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．
（1）求证：△ADF≌△AEF；
（2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝ ．
36．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
37．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
（1）如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是 ；
（2）如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．
2022-2023八上期末考试大题预测
参考答案与试题解析
一．解答题（共37小题）
1．（1）解方程；
（2）解方程；
（3）分解因式6xy2﹣9x2y﹣y3．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出2（x﹣2）+1＝3﹣x，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；
（3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1），
2+＝，
方程两边都乘x﹣2，得2（x﹣2）+1＝3﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无实数根；
（2），
+＝1，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣3是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣3；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3
＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）
＝﹣y（y﹣3x）2．
【点评】本题考查了因式分解和解分式方程，能熟记因式分解的方法是解（3）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（1）（2）的关键．
2．（1）分解因式：x2y﹣6xy+9y；
（2）解分式方程：﹣1＝．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2y﹣6xy+9y
＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2；
（2）﹣1＝，
（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝12，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x2﹣4≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意解分式方程必须检验．
3．（1）因式分解：a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）；
（2）解方程：．
【分析】（1）先提取公因式x﹣y，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）方程两边乘3（x+1）得出6x＝3（x+1）﹣x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（2），
＝1﹣，
方程两边乘3（x+1），得6x＝3（x+1）﹣x，
解得：x＝，
检验：当x＝时，3（x+1）≠0，所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
【点评】本题考查了分解因式和解分式方程，能掌握因式分解的方法是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
4．（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x2y﹣2xy2+y3
＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（2），
x﹣4＝2x﹣5，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣5≠0，
∴x＝1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（1）因式分解：3x2﹣6x+3；
（2）解方程：﹣1＝．
【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出4x﹣（x﹣2）＝﹣3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）3x2﹣6x+3
＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2；
（2）﹣1＝，
方程两边都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x﹣2≠0，
所以x＝﹣是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣．
【点评】本题考查了分解因式和解分式方程，能性质适当的方法分解因式是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
6．（1）化简：（1+）÷；
（2）解方程：＝1﹣．
【分析】（1）先通分、分解因式，再求分式的和，最后把除法化为乘法约分；
（2）先分解因式、再去分母、去括号、移项合并同类项、最后检验．
【解答】解：（1）原式＝（+）÷
＝×
＝．
（2）＝1﹣，
＝1﹣，
6x＝3（x+1）﹣x，
6x＝3x+3﹣x，
6x﹣3x+x＝3，
x＝，
检验：把x＝代入3（x+1）≠0，
∴x＝是原方程的解．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式的混合运算，掌握运算法则、因式分解、解分式方程的步骤，因式分解是解题关键．
7．（1）计算：（a+2﹣）；
（2）解方程：＝+1．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序进行计算即可；
（2）根据分式方程的运算顺序进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（）×
＝×
＝a+3；
（2）方程两边乘以3（x+1），得
3x＝2x+3x+3，
2x＝﹣3，
x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入3（x+1）≠0，
所以x＝﹣是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程、分式的混合运算，解决本题的关键是掌握解分式方程、分式的混合运算．
8．解分式方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）去分母转化为整式方程求解，再检验方程的解即可．
（2）去分母转化为整式方程求解，再检验方程的解即可．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，
解得x＝0，
检验：当x＝0时，2x﹣5≠0，
故x＝0是原分式方程的解．
（2）去分母得：6x+3（x﹣1）＝x+5，
解得：x＝1．
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
故原分式方程无解．
【点评】本题考查解分式方程，解题关键是去分母转化为整式方程以及解完之后需要检验．
9．先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝•
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
10．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝（﹣）•
＝•﹣•
＝﹣
＝
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
∴x＝3，
∴原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
11．化简求值，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
÷（﹣1）+1．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再算加法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【解答】解：原式＝（）+1
＝+1
＝+1
＝
＝，
∵x（x+2）（x﹣4）≠0，
∴x≠0且x≠﹣2且x≠4，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝4．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
12．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x＝2．
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（）
＝
＝，
当x＝2时，
原式＝＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
13．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝2x（x+4）
＝2x2+8x，
当x＝﹣1时，
原式＝2×（﹣1）2+8×（﹣1）
＝2﹣8
＝﹣6．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
14．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（）•
＝•
＝，
由题意得：x≠±1，
当x＝2时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、二次根式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据旋转的性质作出对应点的位置即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，
（2）回答下列问题：
①△A1B1C1中顶点A1坐标为 （1，﹣2） ；②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为 （﹣a，﹣b） ．
【分析】（1）①利用关于原点对称的点的坐标特征得到点A1，B1，C2的坐标，然后描点即可；
②利用旋转的性质画图；
（2）①点A（﹣1，2）关于原点的对称点为A1坐标为（1．﹣2）；
②根据关于原点对称的点的坐标特征可确定点P1的坐标．
【解答】解：（1）①如图；
②如图；
（2）①顶点A1坐标为（1，﹣2）；
②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为（﹣a，﹣b）．
故答案为（1，﹣2），（﹣a，﹣b）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（﹣2，﹣2），则点B2的坐标为 （2，2） ．
（3）若A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】（1）根据旋转的性质，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，即可画出△AB1C1；
（2）根据中心对称的性质，即可画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，根据点B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得点B2的坐标；
（3）根据（1）、（2）所画图形，A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，即可得点P的坐标．
【解答】解：如图，
（1）△AB1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；
∵点B的坐标为（﹣2，﹣2），
则点B2的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）；
（3）∵A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，
如图，点P的坐标（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
【分析】（1）根据题意所述的旋转中心、旋转方向、旋转角度找到各点的对应点，顺次连接即可得出△A1B1C1，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
（2）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A2B2C2，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
【解答】解：（1）所画图形如下：
结合图形可得A1坐标为（3，﹣1）；B1坐标为（1，0）；C1坐标为（2，﹣2）；
（2）所画图形如下所示：
结合图形可得A2坐标为（﹣2，﹣2）；B2坐标为（﹣1，0）；C2坐标为（﹣3，﹣1）．
【点评】此题考查了旋转作图及中心对称的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级20名学生的竞赛成绩为：3，5，7，6，9，8，6，7，10，9，8，8，6，6，8，8，8，9，9，8．
八、九年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
合格率
八年级
7.4
a
b
c
九年级
7.4
8
8
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 7 ，c＝ 80% ；
（2）该校八、九年级共1600名学生参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级此次竞赛活动成绩更优异．
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据八、九年级8分及以上人数所占百分比，可以计算出参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少；
（3）根据统计表中的数据，可以得到该校八、九年级中哪个年级此次竞赛活动成绩更优异．
【解答】解：（1）∵八年级20名学生的测试成绩从小到大排列为：4，5，5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，其中第10，第11个数为7，8，
∴a＝（7+8）÷2＝7.5，
由条形统计图可得，八年级20名学生的竞赛成绩7出现的最多，有6次，
∴b＝7，
c＝（20﹣1﹣2﹣1）÷20×100%＝80%，
∴a＝7.5，b＝7，c＝80%；
（2）1600×＝880（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生共有880人；
（3）九年级此次竞赛活动成绩更优异，
理由：九年级的合格率，优秀率比八年级的高，故九年级此次竞赛活动成绩更优异．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
根据以上信息，解答下列问题
（1）这个班共有男生 20 人，共有女生 25 人；
（2）求初二1班女生体育成绩的众数是 8分 ，男生体育成绩的中位数是 8分 ．
（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A等，试估计全年级体育测试成绩达到A等的有多少名学生？
【分析】（1）从条形统计图可以求出男生的人数，进而求出女生的人数，
（2）根据出现次数最多的数是众数，处于中间位置的一个数或两个数的平均数为中位数进行解答，
（3）样本估计总体，求出初二1班的A等所占的百分比，进而估计总体A等所占的百分比，然后求出A等的人数．
【解答】解：（1）由男生的条形统计图得：男生人数为：1+2+6+3+5+3＝20（人），则女生为45﹣20＝25（人），
故答案为：20；25；
（2）从扇形统计图中可以看出，8分的占比最多28%，因此女生的众数为8分，男生20人的成绩从小到大排列后处于第10、11位的两个数都是8分，因此男生的中位数是8分，
故答案为：8分；8分；
（3）900×＝340（名），
答：估计全年级体育测试成绩达到A等的有340名学生．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的制作方法，众数、中位数的意义及求法，以及样本估计总体的统计方法，从统计图表中获取数据及数量之间的关系是正确解答的关键．
21．为普及新冠防疫知识，某校开展了“新冠防疫知识竞赛”，现随机抽取该校八年级九年级各二十名同学的成锁进行调查．满分为10分，6分以下为不及格．八年级二十个同学的得分为：6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10．
八、九年级抽取同学成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
7.85
7.5
中位数
a
8
众数
9
b
及格率
80%
85%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 9 ，n＝ 20 ．
（2）根据以上数据分析，该校“新冠防疫知识竞赛”中八年级和九年级的新冠防疫知识哪个年级掌握的情况更好？并说明理由．
（3）八年级有800人，九年级有600人，请估计该校八、九年级参加“新冠防疫知识竞赛”及格的学生约有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可求出a、b，用1分别及其其他部分所占百分比即可得出n的值；
（2）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、及格率的角度来分析；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由八年级二十个同学的得分为：6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10，从小到大排在中间的两个数为：8、8，
∴a＝8；
n%＝1﹣15%﹣5%﹣15%﹣25%﹣20%＝20%，
∴九年级二十个同学的得分中，出现次数最多的是9分，故b＝9．
故答案为：8；9；20；
（2）由（1）可得，九年级的及格率比八年级高，故九年级的新冠防疫知识掌握的情况更好；
（3）800×80%+600×85%
＝640+510
＝1150（人）．
答：估计该校八、九年级参加“新冠防疫知识竞赛”及格的学生约有1150人．
【点评】本题考查中位数、众数以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有 40 名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为 7 册，众数为 8 册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
【分析】（1）由捐书7册的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先用总人数乘以捐书4册和8册对应的百分比求出其人数，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中捐书7册人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）该班学生总人数为12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）捐书4册的人数为40×10%＝4（人），捐书8册的人数为40×35%＝14（人），
∵中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均为7册，
∴这组数据的中位数为7册，
∵数据8出现的次数最多，有14个，
∴众数为8册，
故答案为：7、8；
（3）估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数320×30%＝96（人）．
【点评】本题考查的是中位数、众数、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，求得AE＝CF，根据全等三角形的性质得到AH＝CG，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠F，
∵AD＝BC，DE＝BF，
∴AD+DE＝BC+BF，
即AE＝CF，
在△AEH与△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA），
∴AH＝CG，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
24．如图，在▱ABCD中，若点E、F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，DE，BF．DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出四边形AECF是平行四边形，得出AF∥CE．同理：DE∥BF，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理：DE∥BF，
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，通过证明平行四边形得出AF∥CE．DE∥BF是解决问题的关键．
25．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，然后利用ASA可证明△AEM≌△CFN；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠FCN，
∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
在△AEM与△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵△AEM≌△CFN，
∴AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到△AEM≌△CFN．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．
【分析】（1）由题意可得AD∥BC，DO＝BO，则∠ADB＝∠DBC，即可证△DOE≌△BOF；
（2）由题意可证△ACD是等边三角形，即可得AC＝AD＝4，∠DAC＝60°．由旋转可得∠AOE＝30°，即∠AEO＝90°，即可求EO的长度，则可得EF的长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DO＝BO
∴∠ADB＝∠DBC
∵∠ADB＝∠DBC，BO＝DO，∠BOF＝∠DOE
∴△BOF≌△DOE
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝CD，
∵AB＝AD＝4，
∴CD＝AD＝4，且∠ADC＝60°
∴△ACD是等边三角形
∴∠DAC＝60°，AC＝CD＝AD＝4
∵α＝30°
∴∠AOE＝30°
∴∠AEO＝90°
∵AC＝4
∴AO＝2
在Rt△AEO中，AO＝2，∠AEO＝90°，∠AOE＝30°
∴AE＝1，EO＝AE＝
∵△BOF≌△DOE
∴OE＝OF＝
∴EF＝2
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握这些性质和判定解决问题是本题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠ABD的度数；
（3）求证：四边形ABFE是平行四边形．
【分析】（1）根据旋转证△ABD≌△ACE（SAS），即可得证结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出度数即可；
（3）同理（2）求出∠AEF的度数，根据平行线的判定得出AE∥BF，AB∥EF即可得证结论．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝100°，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知，AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
即∠ABD的度数为40°；
（3）证明：由（2）知，∠ABD＝40°，
同理可得，∠AEF＝40°，
∵∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝40°+100°＝140°，
∴∠BAE+∠ABD＝140°+40°＝180°，
∴AE∥BF，
同理∠AEF+∠BAE＝180°，
∴AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
【点评】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等知识，是解题的关键．
28．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求∠ADE的度数；
（2）将△EAD绕点E逆时针旋转100°，点A的对应点为点F，连接BF，求证：四边形BDEF为平行四边形．
【分析】（1）根据等腰三角形 到现在和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）由（1）可知：∠DEC＝180°﹣∠AED＝100°，根据旋转的性质得到∠AEF＝100°，求得∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝20°，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠A＝80°，
在△DAE中，∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DAE＝20°；
（2）证明：由（1）可知：∠DEC＝180°﹣∠AED＝100°，
∵DE＝CE，
∴△EAD绕点E逆时针旋转100°，点D的对应点为点C，如图所示，
则∠AEF＝100°，
∴∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝20°，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴BD∥EF，
又∵AB＝AC，DA＝CE，
∴BD＝EF，
∴四边形BDEF为平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
29．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝BC．
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠DEC＝∠BCE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：如图，连接BH、EH、CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
30．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE＝CF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
31．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．
【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
32．某超市购进甲，乙两种水果，
（1）若甲种水果的箱数是乙种水果箱数的2倍，甲，乙两种水果的费用分别为2400元和2000元，其中乙种水果每箱单价比甲种水果每箱单价多80元，求甲，乙两种水果每箱的单价；
（2）根据市场需要，该超市决定再购买甲，乙两种水果共18箱，甲，乙两种水果每箱的单价与（1）相同，设购进甲种水果a箱（a为正整数），所需费用为w（元），若乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，如何购买才能使费用w最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w关于a的函数解析式，然后根据种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，可以求得a的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值．
【解答】解：（1）设甲种水果每箱的单价为x元，乙种水果每箱的单价是（x+80）元，
由题意可得：，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解，
∴x+80＝200，
答：甲种水果每箱的单价为120元，乙种水果每箱的单价是200元；
（2）由题意可得：w＝120a+200（18﹣a）＝﹣80a+3600，
∴w随a的增大而减小，
∵乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，
∴18﹣a≥2a，
解得a≤6，
∴当a＝6时，w取得最小值，此时w＝3120，18﹣a＝12，
答：当购买甲种水果6箱，乙种水果12箱时，w取得最小值，最低费用为3120元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和分式方程，利用一次函数的性质求最值．
33．2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
【分析】（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合打折后购买的数量比打折前多100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质可得出w的最小值，将其与2400比较作差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，
依题意得：﹣＝100，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：打折前每个A品牌N95口罩的售价是6元．
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，
依题意得：w＝6×0.8m+7×0.8（800﹣m）＝﹣0.8m+4480，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤800×＝400，
∴当m＝400时，w取得最小值，最小值＝﹣0.8×400+4480＝4160．
∵4160＞2400，且4160﹣2400＝1760（元），
∴该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
34．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润与购买甲种水果数量的函数关系式，根据购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，可以得到相应的不等式组，然后即可得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设甲种水果的进价是x元，则乙种水果的进价是（x+4）元，
由题意可得：，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原分式方程的解，
∴x+4＝20，
答：甲种水果的进价是16元，乙种水果的进价是20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（2000﹣a）千克，利润为w元，
由题意可得：w＝（20﹣16）a+（25﹣20）（2000﹣a）＝﹣a+10000，
∴w随a的增大而减小，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，
∴，
解得1450≤a≤1500，
∴当a＝1450时，w取得最大值，此时w＝8550，2000﹣a＝550，
答：超市进货甲种水果1450千克，乙种水果550千克，才能获得最大利润，最大利润是8550元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程和列出不等式组，利用一次函数的性质求最值．
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．
（1）求证：△ADF≌△AEF；
（2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝ 3 ．
【分析】（1）根据角平分线和旋转可构造SAS证全等；
（2）由（1）得DF＝EF，EC＝BD，再利用勾股定理可得出BD2+FC2＝DF2；
（3）作AH⊥BC于H，根据线段关系分别求出DH和AH，再利用勾股定理即可得出AD的长度．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
由旋转可知，AD＝AE，
又∵AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS）；
（2）解：BD2+FC2＝DF2，理由如下：
由（1）知：△ADF≌△AEF，
∴DF＝EF，
由旋转知∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠FCE＝90°，
∴EC2+FC2＝EF2，
即BD2+FC2＝DF2；
（3）解：作AH⊥BC于H，
∵BD＝3，CF＝4，
由（2）得DF＝＝＝5，
∴BC＝3+4+5＝12，
∵AB＝AC，∠B＝45°，
∴BH＝AH＝BC＝6，
∴DH＝BH﹣BD＝6﹣3＝3，
∴AD＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查图形的变换综合题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识是解题的关键．
36．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，可得CP＝CQ，∠PCQ＝120°，结合△ABE≌△BCP，即可得∠DCQ＝∠BED，由AAS即可证明△EDB≌△CDQ；
②根据BP＝AE，ED＝CD，BC＝AC，且AC＝AE+ED+CD，即可得BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵AE＝BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴∠ABE＝∠BCP，
∴∠CFE＝∠CBE+∠BCP＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CFE＝120°；
（2）①△EDB≌△CDQ，证明如下：
∵将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝120°，
∴∠DCQ＝120°﹣∠ACP＝120°﹣（∠ACB﹣∠BCP）＝60°+∠BCP，
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE＝∠BCP，BE＝CP
∴∠DCQ＝60°+∠ABE，CQ＝BE，
∵∠BED＝∠A+∠ABE＝60°+∠ABE，
∴∠DCQ＝∠BED，
在△EDB和△CDQ中，
，
∴△EDB≌△CDQ（AAS）；
②BC＝BP+2CD，理由如下：
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴BP＝AE，
由①知△EDB≌△CDQ，
∴ED＝CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，
∵AC＝AE+ED+CD，
∴BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
37．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
（1）如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是 DE＝DF ；
（2）如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC＝90°＝∠ACB＝∠EDF，可得DF⊥BC，而AC＝BC，D为AB中点，知CD是∠ACB的平分线，即得DE＝DF；
（2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同（1）可得DM＝DN，由∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，可得∠MDN＝90°＝∠EDF，从而∠MDE＝∠NDF，可证△DME≌△DNF（AAS），故DE＝DF；
（3）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由（2）知△DME≌△DNF，可得ME＝NF，DE＝DF，DM＝DN，即可得EF2＝2DE2，而AC＝AB，∠ACB＝90°，有∠A＝∠B＝45°，从而AM＝DM＝DN＝BN，设ME＝NF＝x，则AM＝AE﹣x＝DM，BN＝BF+x＝DN，由AM＝BN，得AE﹣x＝BF+x，x＝，即ME＝，DM＝AE﹣x＝，
又DE2＝DM2+ME2，即可得EF2＝2DE2＝AE2+BF2．
【解答】解：（1）DE＝DF，理由如下：
连接CD，如图：
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ACB＝∠EDF，
∴∠DFC＝90°，即DF⊥BC，
∵AC＝BC，D为AB中点，
∴CD是∠ACB的平分线，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到两边的距离相等）；
故答案为：DE＝DF；
（2）将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：
同（1）可得DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，
∴∠MDN＝90°＝∠EDF，
∴∠MDN﹣∠EDN＝∠EDF﹣∠EDN，即∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝90°＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（3）EF2＝AE2+BF2，证明如下：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：
由（2）知△DME≌△DNF，
∴ME＝NF，DE＝DF，DM＝DN，
∵∠EDF＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴EF2＝2DE2，
∵AC＝AB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∴AM＝DM＝DN＝BN，
设ME＝NF＝x，则AM＝AE﹣x＝DM，BN＝BF+x＝DN，
∵AM＝BN，
∴AE﹣x＝BF+x，
∴x＝，即ME＝，
∴DM＝AE﹣x＝，
∵DE2＝DM2+ME2＝（）2+（）2＝，
∴EF2＝2DE2＝AE2+BF2．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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2022-2023八上期末考试大题预测自组1
一．解答题（共37小题）
1．（1）解方程； （2）解方程；
（3）分解因式6xy2﹣9x2y﹣y3．
2．（1）分解因式：x2y﹣6xy+9y； （2）解分式方程：﹣1＝．
3．（1）因式分解：a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）； （2）解方程：．
4．（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3； （2）解分式方程：．
5．（1）因式分解：3x2﹣6x+3； （2）解方程：﹣1＝．
6．（1）化简：（1+）÷； （2）解方程：＝1﹣．
7．（1）计算：（a+2﹣）； （2）解方程：＝+1．
8．解分式方程．
（1）； （2）．
9．先化简，再求值：，其中x＝4．
10．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
11．化简求值，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
÷（﹣1）+1．
12．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x＝2．
13．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
14．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，
（2）回答下列问题：
①△A1B1C1中顶点A1坐标为 ；②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为 ．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（﹣2，﹣2），则点B2的坐标为 ．
（3）若A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为 ．
18．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级20名学生的竞赛成绩为：3，5，7，6，9，8，6，7，10，9，8，8，6，6，8，8，8，9，9，8．
八、九年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
合格率
八年级
7.4
a
b
c
九年级
7.4
8
8
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）该校八、九年级共1600名学生参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级此次竞赛活动成绩更优异．
20．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
根据以上信息，解答下列问题
（1）这个班共有男生 人，共有女生 人；
（2）求初二1班女生体育成绩的众数是 ，男生体育成绩的中位数是 ．
（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A等，试估计全年级体育测试成绩达到A等的有多少名学生？
21．为普及新冠防疫知识，某校开展了“新冠防疫知识竞赛”，现随机抽取该校八年级九年级各二十名同学的成锁进行调查．满分为10分，6分以下为不及格．八年级二十个同学的得分为：6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10．
八、九年级抽取同学成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
7.85
7.5
中位数
a
8
众数
9
b
及格率
80%
85%
（1）填空：a＝ ，b＝ ，n＝ ．
（2）根据以上数据分析，该校“新冠防疫知识竞赛”中八年级和九年级的新冠防疫知识哪个年级掌握的情况更好？并说明理由．
（3）八年级有800人，九年级有600人，请估计该校八、九年级参加“新冠防疫知识竞赛”及格的学生约有多少人？
22．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有 名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为 册，众数为 册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
23．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
24．如图，在▱ABCD中，若点E、F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，DE，BF．DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形．
25．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠ABD的度数；
（3）求证：四边形ABFE是平行四边形．
28．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求∠ADE的度数；
（2）将△EAD绕点E逆时针旋转100°，点A的对应点为点F，连接BF，求证：四边形BDEF为平行四边形．
29．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝BC．
30．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
31．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
32．某超市购进甲，乙两种水果，
（1）若甲种水果的箱数是乙种水果箱数的2倍，甲，乙两种水果的费用分别为2400元和2000元，其中乙种水果每箱单价比甲种水果每箱单价多80元，求甲，乙两种水果每箱的单价；
（2）根据市场需要，该超市决定再购买甲，乙两种水果共18箱，甲，乙两种水果每箱的单价与（1）相同，设购进甲种水果a箱（a为正整数），所需费用为w（元），若乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，如何购买才能使费用w最低？最低费用为多少元？
33．2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
34．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．
（1）求证：△ADF≌△AEF；
（2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝ ．
36．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
37．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
（1）如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是 ；
（2）如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．
2022-2023八上期末考试大题预测
参考答案与试题解析
一．解答题（共37小题）
1．（1）解方程；
（2）解方程；
（3）分解因式6xy2﹣9x2y﹣y3．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出2（x﹣2）+1＝3﹣x，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；
（3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1），
2+＝，
方程两边都乘x﹣2，得2（x﹣2）+1＝3﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无实数根；
（2），
+＝1，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣3是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣3；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3
＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）
＝﹣y（y﹣3x）2．
【点评】本题考查了因式分解和解分式方程，能熟记因式分解的方法是解（3）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（1）（2）的关键．
2．（1）分解因式：x2y﹣6xy+9y；
（2）解分式方程：﹣1＝．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2y﹣6xy+9y
＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2；
（2）﹣1＝，
（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝12，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x2﹣4≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意解分式方程必须检验．
3．（1）因式分解：a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）；
（2）解方程：．
【分析】（1）先提取公因式x﹣y，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）方程两边乘3（x+1）得出6x＝3（x+1）﹣x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；
（2），
＝1﹣，
方程两边乘3（x+1），得6x＝3（x+1）﹣x，
解得：x＝，
检验：当x＝时，3（x+1）≠0，所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
【点评】本题考查了分解因式和解分式方程，能掌握因式分解的方法是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
4．（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）x2y﹣2xy2+y3
＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（2），
x﹣4＝2x﹣5，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣5≠0，
∴x＝1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（1）因式分解：3x2﹣6x+3；
（2）解方程：﹣1＝．
【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出4x﹣（x﹣2）＝﹣3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）3x2﹣6x+3
＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2；
（2）﹣1＝，
方程两边都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x﹣2≠0，
所以x＝﹣是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣．
【点评】本题考查了分解因式和解分式方程，能性质适当的方法分解因式是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
6．（1）化简：（1+）÷；
（2）解方程：＝1﹣．
【分析】（1）先通分、分解因式，再求分式的和，最后把除法化为乘法约分；
（2）先分解因式、再去分母、去括号、移项合并同类项、最后检验．
【解答】解：（1）原式＝（+）÷
＝×
＝．
（2）＝1﹣，
＝1﹣，
6x＝3（x+1）﹣x，
6x＝3x+3﹣x，
6x﹣3x+x＝3，
x＝，
检验：把x＝代入3（x+1）≠0，
∴x＝是原方程的解．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式的混合运算，掌握运算法则、因式分解、解分式方程的步骤，因式分解是解题关键．
7．（1）计算：（a+2﹣）；
（2）解方程：＝+1．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序进行计算即可；
（2）根据分式方程的运算顺序进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（）×
＝×
＝a+3；
（2）方程两边乘以3（x+1），得
3x＝2x+3x+3，
2x＝﹣3，
x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入3（x+1）≠0，
所以x＝﹣是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程、分式的混合运算，解决本题的关键是掌握解分式方程、分式的混合运算．
8．解分式方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）去分母转化为整式方程求解，再检验方程的解即可．
（2）去分母转化为整式方程求解，再检验方程的解即可．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，
解得x＝0，
检验：当x＝0时，2x﹣5≠0，
故x＝0是原分式方程的解．
（2）去分母得：6x+3（x﹣1）＝x+5，
解得：x＝1．
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
故原分式方程无解．
【点评】本题考查解分式方程，解题关键是去分母转化为整式方程以及解完之后需要检验．
9．先化简，再求值：，其中x＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝•
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
10．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝（﹣）•
＝•﹣•
＝﹣
＝
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
∴x＝3，
∴原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
11．化简求值，其中x选取﹣2，0，1，4中的一个合适的数．
÷（﹣1）+1．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再算加法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【解答】解：原式＝（）+1
＝+1
＝+1
＝
＝，
∵x（x+2）（x﹣4）≠0，
∴x≠0且x≠﹣2且x≠4，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝4．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
12．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x＝2．
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（）
＝
＝，
当x＝2时，
原式＝＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
13．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝2x（x+4）
＝2x2+8x，
当x＝﹣1时，
原式＝2×（﹣1）2+8×（﹣1）
＝2﹣8
＝﹣6．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
14．先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（）•
＝•
＝，
由题意得：x≠±1，
当x＝2时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、二次根式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1三点的坐标．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据旋转的性质作出对应点的位置即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，
（2）回答下列问题：
①△A1B1C1中顶点A1坐标为 （1，﹣2） ；②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为 （﹣a，﹣b） ．
【分析】（1）①利用关于原点对称的点的坐标特征得到点A1，B1，C2的坐标，然后描点即可；
②利用旋转的性质画图；
（2）①点A（﹣1，2）关于原点的对称点为A1坐标为（1．﹣2）；
②根据关于原点对称的点的坐标特征可确定点P1的坐标．
【解答】解：（1）①如图；
②如图；
（2）①顶点A1坐标为（1，﹣2）；
②若P（a，b）为△ABC边上一点，则按照（1）中①作图，点P对应的点P1的坐标为（﹣a，﹣b）．
故答案为（1，﹣2），（﹣a，﹣b）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点B的坐标为（﹣2，﹣2），则点B2的坐标为 （2，2） ．
（3）若A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，则点P的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】（1）根据旋转的性质，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，即可画出△AB1C1；
（2）根据中心对称的性质，即可画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，根据点B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得点B2的坐标；
（3）根据（1）、（2）所画图形，A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，即可得点P的坐标．
【解答】解：如图，
（1）△AB1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；
∵点B的坐标为（﹣2，﹣2），
则点B2的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）；
（3）∵A2B2C2可看作是由△AB1C1绕点P顺时针旋转90°得到的，
如图，点P的坐标（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．
【分析】（1）根据题意所述的旋转中心、旋转方向、旋转角度找到各点的对应点，顺次连接即可得出△A1B1C1，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
（2）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A2B2C2，结合直角坐标系可得出各点的坐标．
【解答】解：（1）所画图形如下：
结合图形可得A1坐标为（3，﹣1）；B1坐标为（1，0）；C1坐标为（2，﹣2）；
（2）所画图形如下所示：
结合图形可得A2坐标为（﹣2，﹣2）；B2坐标为（﹣1，0）；C2坐标为（﹣3，﹣1）．
【点评】此题考查了旋转作图及中心对称的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．
19．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格，8分及8分以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级20名学生的竞赛成绩为：3，5，7，6，9，8，6，7，10，9，8，8，6，6，8，8，8，9，9，8．
八、九年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
合格率
八年级
7.4
a
b
c
九年级
7.4
8
8
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 7 ，c＝ 80% ；
（2）该校八、九年级共1600名学生参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级此次竞赛活动成绩更优异．
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；
（2）根据八、九年级8分及以上人数所占百分比，可以计算出参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少；
（3）根据统计表中的数据，可以得到该校八、九年级中哪个年级此次竞赛活动成绩更优异．
【解答】解：（1）∵八年级20名学生的测试成绩从小到大排列为：4，5，5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，其中第10，第11个数为7，8，
∴a＝（7+8）÷2＝7.5，
由条形统计图可得，八年级20名学生的竞赛成绩7出现的最多，有6次，
∴b＝7，
c＝（20﹣1﹣2﹣1）÷20×100%＝80%，
∴a＝7.5，b＝7，c＝80%；
（2）1600×＝880（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生共有880人；
（3）九年级此次竞赛活动成绩更优异，
理由：九年级的合格率，优秀率比八年级的高，故九年级此次竞赛活动成绩更优异．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
根据以上信息，解答下列问题
（1）这个班共有男生 20 人，共有女生 25 人；
（2）求初二1班女生体育成绩的众数是 8分 ，男生体育成绩的中位数是 8分 ．
（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A等，试估计全年级体育测试成绩达到A等的有多少名学生？
【分析】（1）从条形统计图可以求出男生的人数，进而求出女生的人数，
（2）根据出现次数最多的数是众数，处于中间位置的一个数或两个数的平均数为中位数进行解答，
（3）样本估计总体，求出初二1班的A等所占的百分比，进而估计总体A等所占的百分比，然后求出A等的人数．
【解答】解：（1）由男生的条形统计图得：男生人数为：1+2+6+3+5+3＝20（人），则女生为45﹣20＝25（人），
故答案为：20；25；
（2）从扇形统计图中可以看出，8分的占比最多28%，因此女生的众数为8分，男生20人的成绩从小到大排列后处于第10、11位的两个数都是8分，因此男生的中位数是8分，
故答案为：8分；8分；
（3）900×＝340（名），
答：估计全年级体育测试成绩达到A等的有340名学生．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图的制作方法，众数、中位数的意义及求法，以及样本估计总体的统计方法，从统计图表中获取数据及数量之间的关系是正确解答的关键．
21．为普及新冠防疫知识，某校开展了“新冠防疫知识竞赛”，现随机抽取该校八年级九年级各二十名同学的成锁进行调查．满分为10分，6分以下为不及格．八年级二十个同学的得分为：6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10．
八、九年级抽取同学成绩统计表
年级
八年级
九年级
平均数
7.85
7.5
中位数
a
8
众数
9
b
及格率
80%
85%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 9 ，n＝ 20 ．
（2）根据以上数据分析，该校“新冠防疫知识竞赛”中八年级和九年级的新冠防疫知识哪个年级掌握的情况更好？并说明理由．
（3）八年级有800人，九年级有600人，请估计该校八、九年级参加“新冠防疫知识竞赛”及格的学生约有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可求出a、b，用1分别及其其他部分所占百分比即可得出n的值；
（2）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、及格率的角度来分析；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由八年级二十个同学的得分为：6，10，7，5，5，9，9，10，8，9，10，5，5，9，7，8，9，8，8，10，从小到大排在中间的两个数为：8、8，
∴a＝8；
n%＝1﹣15%﹣5%﹣15%﹣25%﹣20%＝20%，
∴九年级二十个同学的得分中，出现次数最多的是9分，故b＝9．
故答案为：8；9；20；
（2）由（1）可得，九年级的及格率比八年级高，故九年级的新冠防疫知识掌握的情况更好；
（3）800×80%+600×85%
＝640+510
＝1150（人）．
答：估计该校八、九年级参加“新冠防疫知识竞赛”及格的学生约有1150人．
【点评】本题考查中位数、众数以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）该班共有 40 名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为 7 册，众数为 8 册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
【分析】（1）由捐书7册的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先用总人数乘以捐书4册和8册对应的百分比求出其人数，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）用总人数乘以样本中捐书7册人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）该班学生总人数为12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）捐书4册的人数为40×10%＝4（人），捐书8册的人数为40×35%＝14（人），
∵中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均为7册，
∴这组数据的中位数为7册，
∵数据8出现的次数最多，有14个，
∴众数为8册，
故答案为：7、8；
（3）估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数320×30%＝96（人）．
【点评】本题考查的是中位数、众数、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，求得AE＝CF，根据全等三角形的性质得到AH＝CG，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠F，
∵AD＝BC，DE＝BF，
∴AD+DE＝BC+BF，
即AE＝CF，
在△AEH与△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA），
∴AH＝CG，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
24．如图，在▱ABCD中，若点E、F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，DE，BF．DE与AF相交于点G，CE与BF相交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出四边形AECF是平行四边形，得出AF∥CE．同理：DE∥BF，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理：DE∥BF，
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点评】考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，通过证明平行四边形得出AF∥CE．DE∥BF是解决问题的关键．
25．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，然后利用ASA可证明△AEM≌△CFN；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠FCN，
∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
在△AEM与△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵△AEM≌△CFN，
∴AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到△AEM≌△CFN．
26．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．
【分析】（1）由题意可得AD∥BC，DO＝BO，则∠ADB＝∠DBC，即可证△DOE≌△BOF；
（2）由题意可证△ACD是等边三角形，即可得AC＝AD＝4，∠DAC＝60°．由旋转可得∠AOE＝30°，即∠AEO＝90°，即可求EO的长度，则可得EF的长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DO＝BO
∴∠ADB＝∠DBC
∵∠ADB＝∠DBC，BO＝DO，∠BOF＝∠DOE
∴△BOF≌△DOE
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝CD，
∵AB＝AD＝4，
∴CD＝AD＝4，且∠ADC＝60°
∴△ACD是等边三角形
∴∠DAC＝60°，AC＝CD＝AD＝4
∵α＝30°
∴∠AOE＝30°
∴∠AEO＝90°
∵AC＝4
∴AO＝2
在Rt△AEO中，AO＝2，∠AEO＝90°，∠AOE＝30°
∴AE＝1，EO＝AE＝
∵△BOF≌△DOE
∴OE＝OF＝
∴EF＝2
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握这些性质和判定解决问题是本题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠ABD的度数；
（3）求证：四边形ABFE是平行四边形．
【分析】（1）根据旋转证△ABD≌△ACE（SAS），即可得证结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出度数即可；
（3）同理（2）求出∠AEF的度数，根据平行线的判定得出AE∥BF，AB∥EF即可得证结论．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝100°，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知，AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
即∠ABD的度数为40°；
（3）证明：由（2）知，∠ABD＝40°，
同理可得，∠AEF＝40°，
∵∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝40°+100°＝140°，
∴∠BAE+∠ABD＝140°+40°＝180°，
∴AE∥BF，
同理∠AEF+∠BAE＝180°，
∴AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
【点评】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等知识，是解题的关键．
28．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求∠ADE的度数；
（2）将△EAD绕点E逆时针旋转100°，点A的对应点为点F，连接BF，求证：四边形BDEF为平行四边形．
【分析】（1）根据等腰三角形 到现在和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）由（1）可知：∠DEC＝180°﹣∠AED＝100°，根据旋转的性质得到∠AEF＝100°，求得∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝20°，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠A＝80°，
在△DAE中，∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DAE＝20°；
（2）证明：由（1）可知：∠DEC＝180°﹣∠AED＝100°，
∵DE＝CE，
∴△EAD绕点E逆时针旋转100°，点D的对应点为点C，如图所示，
则∠AEF＝100°，
∴∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝20°，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴BD∥EF，
又∵AB＝AC，DA＝CE，
∴BD＝EF，
∴四边形BDEF为平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
29．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝BC．
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠DEC＝∠BCE＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：如图，连接BH、EH、CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
30．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE＝CF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
31．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度．
【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
32．某超市购进甲，乙两种水果，
（1）若甲种水果的箱数是乙种水果箱数的2倍，甲，乙两种水果的费用分别为2400元和2000元，其中乙种水果每箱单价比甲种水果每箱单价多80元，求甲，乙两种水果每箱的单价；
（2）根据市场需要，该超市决定再购买甲，乙两种水果共18箱，甲，乙两种水果每箱的单价与（1）相同，设购进甲种水果a箱（a为正整数），所需费用为w（元），若乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，如何购买才能使费用w最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w关于a的函数解析式，然后根据种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，可以求得a的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值．
【解答】解：（1）设甲种水果每箱的单价为x元，乙种水果每箱的单价是（x+80）元，
由题意可得：，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解，
∴x+80＝200，
答：甲种水果每箱的单价为120元，乙种水果每箱的单价是200元；
（2）由题意可得：w＝120a+200（18﹣a）＝﹣80a+3600，
∴w随a的增大而减小，
∵乙种水果的箱数不少于甲种水果箱数的2倍，
∴18﹣a≥2a，
解得a≤6，
∴当a＝6时，w取得最小值，此时w＝3120，18﹣a＝12，
答：当购买甲种水果6箱，乙种水果12箱时，w取得最小值，最低费用为3120元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和分式方程，利用一次函数的性质求最值．
33．2022年疫情期间，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”．某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个．
（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个．B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？
【分析】（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合打折后购买的数量比打折前多100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质可得出w的最小值，将其与2400比较作差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x元，
依题意得：﹣＝100，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：打折前每个A品牌N95口罩的售价是6元．
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买800个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩（800﹣m）个，
依题意得：w＝6×0.8m+7×0.8（800﹣m）＝﹣0.8m+4480，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤800×＝400，
∴当m＝400时，w取得最小值，最小值＝﹣0.8×400+4480＝4160．
∵4160＞2400，且4160﹣2400＝1760（元），
∴该爱心企业计划用的2400元钱不够用，至少还需要再添加1760元钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
34．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润与购买甲种水果数量的函数关系式，根据购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，可以得到相应的不等式组，然后即可得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设甲种水果的进价是x元，则乙种水果的进价是（x+4）元，
由题意可得：，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原分式方程的解，
∴x+4＝20，
答：甲种水果的进价是16元，乙种水果的进价是20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（2000﹣a）千克，利润为w元，
由题意可得：w＝（20﹣16）a+（25﹣20）（2000﹣a）＝﹣a+10000，
∴w随a的增大而减小，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，
∴，
解得1450≤a≤1500，
∴当a＝1450时，w取得最大值，此时w＝8550，2000﹣a＝550，
答：超市进货甲种水果1450千克，乙种水果550千克，才能获得最大利润，最大利润是8550元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程和列出不等式组，利用一次函数的性质求最值．
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．
（1）求证：△ADF≌△AEF；
（2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝ 3 ．
【分析】（1）根据角平分线和旋转可构造SAS证全等；
（2）由（1）得DF＝EF，EC＝BD，再利用勾股定理可得出BD2+FC2＝DF2；
（3）作AH⊥BC于H，根据线段关系分别求出DH和AH，再利用勾股定理即可得出AD的长度．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
由旋转可知，AD＝AE，
又∵AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS）；
（2）解：BD2+FC2＝DF2，理由如下：
由（1）知：△ADF≌△AEF，
∴DF＝EF，
由旋转知∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠FCE＝90°，
∴EC2+FC2＝EF2，
即BD2+FC2＝DF2；
（3）解：作AH⊥BC于H，
∵BD＝3，CF＝4，
由（2）得DF＝＝＝5，
∴BC＝3+4+5＝12，
∵AB＝AC，∠B＝45°，
∴BH＝AH＝BC＝6，
∴DH＝BH﹣BD＝6﹣3＝3，
∴AD＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查图形的变换综合题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识是解题的关键．
36．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，可得CP＝CQ，∠PCQ＝120°，结合△ABE≌△BCP，即可得∠DCQ＝∠BED，由AAS即可证明△EDB≌△CDQ；
②根据BP＝AE，ED＝CD，BC＝AC，且AC＝AE+ED+CD，即可得BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵AE＝BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴∠ABE＝∠BCP，
∴∠CFE＝∠CBE+∠BCP＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CFE＝120°；
（2）①△EDB≌△CDQ，证明如下：
∵将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝120°，
∴∠DCQ＝120°﹣∠ACP＝120°﹣（∠ACB﹣∠BCP）＝60°+∠BCP，
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE＝∠BCP，BE＝CP
∴∠DCQ＝60°+∠ABE，CQ＝BE，
∵∠BED＝∠A+∠ABE＝60°+∠ABE，
∴∠DCQ＝∠BED，
在△EDB和△CDQ中，
，
∴△EDB≌△CDQ（AAS）；
②BC＝BP+2CD，理由如下：
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴BP＝AE，
由①知△EDB≌△CDQ，
∴ED＝CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，
∵AC＝AE+ED+CD，
∴BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
37．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
（1）如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是 DE＝DF ；
（2）如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC＝90°＝∠ACB＝∠EDF，可得DF⊥BC，而AC＝BC，D为AB中点，知CD是∠ACB的平分线，即得DE＝DF；
（2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同（1）可得DM＝DN，由∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，可得∠MDN＝90°＝∠EDF，从而∠MDE＝∠NDF，可证△DME≌△DNF（AAS），故DE＝DF；
（3）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由（2）知△DME≌△DNF，可得ME＝NF，DE＝DF，DM＝DN，即可得EF2＝2DE2，而AC＝AB，∠ACB＝90°，有∠A＝∠B＝45°，从而AM＝DM＝DN＝BN，设ME＝NF＝x，则AM＝AE﹣x＝DM，BN＝BF+x＝DN，由AM＝BN，得AE﹣x＝BF+x，x＝，即ME＝，DM＝AE﹣x＝，
又DE2＝DM2+ME2，即可得EF2＝2DE2＝AE2+BF2．
【解答】解：（1）DE＝DF，理由如下：
连接CD，如图：
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ACB＝∠EDF，
∴∠DFC＝90°，即DF⊥BC，
∵AC＝BC，D为AB中点，
∴CD是∠ACB的平分线，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到两边的距离相等）；
故答案为：DE＝DF；
（2）将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：
同（1）可得DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，
∴∠MDN＝90°＝∠EDF，
∴∠MDN﹣∠EDN＝∠EDF﹣∠EDN，即∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝90°＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（3）EF2＝AE2+BF2，证明如下：
过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：
由（2）知△DME≌△DNF，
∴ME＝NF，DE＝DF，DM＝DN，
∵∠EDF＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴EF2＝2DE2，
∵AC＝AB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∴AM＝DM＝DN＝BN，
设ME＝NF＝x，则AM＝AE﹣x＝DM，BN＝BF+x＝DN，
∵AM＝BN，
∴AE﹣x＝BF+x，
∴x＝，即ME＝，
∴DM＝AE﹣x＝，
∵DE2＝DM2+ME2＝（）2+（）2＝，
∴EF2＝2DE2＝AE2+BF2．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/11/28 19:45:17；用户：李金钰；邮箱：lzyxx11@xyh.com；学号：39033
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