2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项突破模拟题（卷一卷二）含解析

这是一份2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项突破模拟题（卷一卷二）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项突破模拟题（卷一）
一、选一选
1. 下列图形中，没有是对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B. 圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
C. 弦垂直平分线过圆心
D. 相等的圆心角所对的弧也相等
3. 已知方程x2﹣10x+18=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆半径为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x﹣3）2=k，则b，k的值分别为（ ）．
A. 0，4 B. 0，5 C. ﹣6，5 D. ﹣6，4
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
6. 已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 无法判断
7. 如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（　　）

A 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，则下列说确的是 ( )
A 一定等于 B. 一定没有等于
C. 一定大于 D. 投掷的次数很多时，稳定在附近
9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A. 2 B. -2 C. 0 D. 4
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题
11. 已知、是关于的一元二次方程的两实根，那么的值是________．
12. 若抛物线y=2x2-8x-1的顶点在反比例函数y=的图像上，则k的值为_______．
13. 如图，的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所的路线的长为________________（结果用含的式子表示）．

14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，在线段AC上有一动点P（P没有与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为___________

15. 一元二次方程的解是_____．
16. 已知m是关于x的方程x2-2x-7=0的一个根，则2（m2-2m）=____________．
三、解 答 题
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
18. 如图（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．

（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形没有够用，请自己画图）
（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．
19. 根据某网站，2014年网民们最关注的话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
20. 某校在参加社会实践话动中，带队老师考问学生：计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的没有锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说确，为什么？
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）连接AF、DC，若BC＝3，写出求四边形AFCD面积的思路．

22. 已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.
23. 小强的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张．
（1）若从中随机取出1张纸币，求取出纸币的金额是20元的概率；
（2）若从中随机取出2张纸币，求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
















2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项突破模拟题（卷一）
一、选一选
1. 下列图形中，没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是对称图形，故本选项错误；
B、没有是对称图形，故本选项正确；
C、是对称图形，故本选项错误；
D、是对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查对称图形的概念，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B. 圆是轴对称图形，每一条直径都是它对称轴
C. 弦的垂直平分线过圆心
D. 相等的圆心角所对的弧也相等
【正确答案】C

【详解】试题分析：A、加入这条弦是直径，那么就没有正确了；B、对称轴是直径所在的直线；D、正确的应该是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧也相等．
考点：圆的性质
3. 已知方程x2﹣10x+18=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的外接圆半径为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的外接圆的性质解答即可．
解：设x2−10x+18=0的两根为a、b，
则a+b=10，ab=18，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=100−36=64，
∴直角三角形的斜边为，
∴这个直角三角形的外接圆半径为8÷2=4，
故选B.
点睛：本题主要考查勾股定理和直角三角形外接圆问题.利用转化思想将所求的外接圆的半径转化为求直角三角形的斜边的一半是解题的关键.
4. 若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x﹣3）2=k，则b，k的值分别为（ ）．
A. 0，4 B. 0，5 C. ﹣6，5 D. ﹣6，4
【正确答案】D

【分析】先把（x﹣3）2=k化成x2﹣6x+9﹣k=0，再根据一元二次方程x2+bx+5=0得出b=﹣6，9﹣k=5，然后求解即可．
【详解】∵（x﹣3）2=k，
∴x2﹣6x+9﹣k=0，
∵一元二次方程x2+bx+5=0配方后为（x﹣3）2=k，
∴b=﹣6，9﹣k=5，
∴k=4，
∴b，k的值分别为﹣6、4；
故选：D．
本题考查了解一元二次方程-配方法．理解配方后的方程与原方程的关系是解题的关键．
5. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C

【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选：C．
6. 已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 无法判断
【正确答案】B

【分析】比较OP与半径的大小即可判断.
【详解】，，
，
点P在外，
故选B．
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.
7. 如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（　　）

A 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】D

【详解】试题分析：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PAPB=PCPD，∵PA=2，PC=CD=3，
∴2PB=3×6，解得：PB=9．故选D．
考点：切割线定理．
8. 某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次，其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，则下列说确的是 ( )
A. 一定等于 B. 一定没有等于
C. 一定大于 D. 投掷的次数很多时，稳定在附近
【正确答案】D

【详解】解：某人随意投掷一枚均匀的骰子，投掷了n次,其中有m次掷出的点数是偶数，即掷出的点数是偶数的频率为，
则投掷的次数很多时稳定在附近，
故选：D.
本题考查了频率估计概率的知识点，根据在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近判断即可．
9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A. 2 B. -2 C. 0 D. 4
【正确答案】A

【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=，解得：m=2．故选A．
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
二、填 空 题
11. 已知、是关于的一元二次方程的两实根，那么的值是________．
【正确答案】

【详解】因为m、n是关于x的一元二次方程x2-2ax+a2+a-2=0的两实根，
所以，
所以，
又由根与系数的关系可得m+n=2a，
所以m+n=2a，
所以m+n的值是4．
故4
12. 若抛物线y=2x2-8x-1的顶点在反比例函数y=的图像上，则k的值为_______．
【正确答案】-2．

【详解】试题解析：∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C的坐标为（2，-1）；
∵点C（2，-1）在反比例函数y=的图像上
∴k=-1×2=-2．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
13. 如图，的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所的路线的长为________________（结果用含的式子表示）．

【正确答案】

【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，；点A先是以B点为旋转，顺时针旋转120°到，再以点为旋转，顺时针旋转90°到，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所的路线的长；
【详解】
解：∵中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°．
∵在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，
∴点A的路线长=
故答案：
本题考查了弧长公式（其中n为圆心角度数，r为班级），旋转的性质，以及含30度的直角三角形三边关系，熟练运用相关知识点是解题关键
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，在线段AC上有一动点P（P没有与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，则AQ的最小值为___________

【正确答案】

【详解】分析：连接CQ，可得∠CQB=∠CQP=90°，继而求出C、Q、B三点在圆E上，当三点共线时AQ的最小值.
解析：连接CQ，∵PC为直径，所以∠CQB=∠CQP=90°，所以C、Q、B三点在圆E上，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴CB＝3,∴CE＝1.5,所以当A、Q、E三点共线时AQ的最小值， .

故答案为.
点睛：解决本题的关键是要找点三点共圆和三点共线的问题，利用90°的圆周角所对的弦是直径，和圆外一点到圆上动点距离最短的原理解决问题.难点是辅助线的做法.
15. 一元二次方程的解是_____．
【正确答案】x1=3，x2=﹣1

【详解】解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=﹣1
故x1=3，x2=﹣1
16. 已知m是关于x的方程x2-2x-7=0的一个根，则2（m2-2m）=____________．
【正确答案】-14

【详解】试题分析：把x=m代入已知方程来求（m2-2m）的值．
试题解析：把x=m代入关于x的方程x2-2x-7=0，得
m2-2m-7=0，
则m2-2m=7，
所以2（m2-2m）=2×7=14．
考点：一元二次方程的解．
三、解 答 题
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】试题分析：（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．
试题解析：解：（1）连接OE．
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．
∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．
∵BD为⊙O的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线．
（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC．
∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：5，∴OE：BC=3：5．
∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴．

点睛：本题考查了切线的判定，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直．
18. 如图（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．

（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形没有够用，请自己画图）
（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．
【正确答案】（1）BG=3；见解析（2）PM=FN．

【详解】试题分析：（1）只需分点G在线段AB上（如图①）、在线段AB的延长线上（如图②）、在线段AB的反向延长线上（如图③）三种情况讨论，即可解决问题；
（2）如图2，由（1）可知，此时BG=PG=，BC=PC=4．易证△PGM∽△CPN，从而可得PM=CN；易证△FNC∽△BCD，从而可得FN=CN，即可得到PM=FN．
解：（1）存在点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等．
①若点G在线段AB上，如图①．

当BG=PC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，
此时∠GCB=∠CGP，
∴PG∥BC，
∴∠GPC+∠PCB=90°．
∵∠GPC=90°，
∴∠PCB=90°，
∴点P在点D处，
∴BG=PC=DC=AB=3；
②若点G在线段AB的延长线上，如图②．

当BG=PC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，
此时BC=PG，∠GCB=∠CGP，
∴OG=OC，OB=OP，
∴∠PBO=∠BPO=（180°﹣∠BOP），
∠OCG=∠OGC=（180°﹣∠GOC）．
∵∠BOP=∠GOC，
∴∠PBO=∠OCG，
∴BD∥CG．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，即BG∥DC，
∴四边形BGCD平行四边形，
∴BG=CD=3；
③若点G在线段AB的反向延长线上，如图③．

当PC=BC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△GPC，
此时BG=PG，
∴点G、C在BP的垂直平分线上，
∴GC垂直平分BP，
∴∠BGC+∠GBD=90°．
∵∠CBD+∠GBD=90°，
∴∠BGC=∠CBD．
又∵∠GBC=∠BCD=90°，
∴△GCB∽△BDC，
∴=．
∵BC=4，CD=3，
∴=，
∴BG=；
（2）如图2，

由（1）可知，此时△GBC≌△GPC，且BG=PG=，BC=PC=4．
∵GM⊥EF，CN⊥EF，
∴∠GMP=∠PNC=90°，
∴∠MGP+∠GPM=90°．
∵∠GPC=90°，
∴∠GPM+∠NPC=90°，
∴∠MGP=∠NPC，
∴△PGM∽△CPN，
∴=．
∴==，即PM=CN．
∵PB=PF，∴∠F=∠PBC．
又∵∠FNC=∠BCD=90°，
∴△FNC∽△BCD，
∴=．
∵BC=4，DC=3，
∴=，
∴FN=CN，
∴PM=FN．
考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
19. 根据某网站，2014年网民们最关注的话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【正确答案】（1）作图见试题解析；（2）88；（3）．

【详解】试题分析：（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）利用列举法即可求解即可．
试题解析：（1）∵的总人数是：420÷30%=1400（人），
∴关注教育的人数是：1400×25%=350（人），补全图形如下：
．
（2）880×10%=88万人，
∴估计最关注环保问题的人数约为90万人；
（3）画树形图得：

则P（抽取的两人恰好是甲和乙）=．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20. 某校在参加社会实践话动中，带队老师考问学生：计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的没有锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说确，为什么？
【正确答案】（1）BC=72﹣2x（2）小英说确

【分析】（1）、BC的长度=围栏的长度-AB和CD的长度+门的宽度；
（2）、首先求出S和x的二次函数关系，然后根据二次函数的性质求出S取值时x的值，从而得出矩形没有是正方形．
【详解】（1）、设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x；

（2）、小英的说确；
矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，
∵56﹣2x＞0，
∴x＜28，
∴0＜x＜28，
∴当x＝14时，S取值，
此时x56﹣2x，
∴面积的没有是正方形．

21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）连接AF、DC，若BC＝3，写出求四边形AFCD面积的思路．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）思路见解析.

【详解】试题分析：(1)连接OE，因AC切⊙O于点E，根据切线的性质可得∠OEA=90° ；再由∠A=30°，∠ACB=90°，根据三角形的内角和定理可得∠AOE=60°，∠B=60°因OD=OE，可得∠ODE=∠OED=60°，所以∠F=∠B=∠ODE，即可判断△BDF是等边三角形 ；（2）如图，作DH⊥AC于点H，求四边形AFCD的面积思路有以下几步：①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3,可求AB，AC的长；②由∠AEO=90°，∠OAE=30°,可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的长； ③由（1）可知BF=BD，可求CF的长； ④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积.
试题解析：
（1）证明：连接OE．

∵AC切⊙O于点E，
∴．
∵，,
∴, .
∵，
∴．
∴．
∴△BDF是等边三角形．
（2）如图，作DH⊥AC于点H.

①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3,可求AB，AC的长；
②由∠AEO=90°，∠OAE=30°,可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的长；
③由（1）可知BF=BD，可求CF的长；
④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积.
22. 已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.
【正确答案】等腰三角形．

【详解】先根据两个相等的实数根，系数之间的关系必须满足△=b2-4ac=0，列出方程进行因式分解，找到a、b、c的关系，从而判断三角形的形状.
解：由已知条件得

整理为
∴
∵
∴ 这个三角形是等腰三角形．
23. 小强的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张．
（1）若从中随机取出1张纸币，求取出纸币的金额是20元的概率；
（2）若从中随机取出2张纸币，求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
【正确答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）从中随机取出1张纸币可能出现3种结果，取出纸币是20元的结果只有1种，然后根据概率公式计算；
（2）首先列表，找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
试题解析：（1）小强从钱包内随机取出1张纸币，可能出现的结果有3种，分别为：10元、20元和50元，并且它们出现的可能性相等．取出纸币的总数是20元（记为A）的结果有1种，即20元，所以P（A）=；
（2）列表：

小强从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即（10，20）、（10、50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等．取出纸币的总额可购买一件51元的商品（记为B）的结果有2种，即（10，50）、（20，50）．所以P（B）=．
2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项突破模拟题（卷二）
一、选一选
1. 小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ）
A. 25% B. 50% C. 75% D. 85%
2. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4
3. 如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=，则∠EDC的度数为（　　）

A. 60° B. 90° C. 30° D. 75°
4. 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒．其中正确的结论个数为【 】

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 如图，正方形ABCD的边长AB＝4，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则的长是（　　）

A. B. π C. D.
6. 将方程3(2x2－1)＝(x＋)(x－)＋3x＋5化成一般形式后，其二次项系数、项系数、常数项分别(　　)
A. 5，3，5 B. 5，－3，－5 C. 7，，2 D. 8，6，1
7. 已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所的路线为（　　）

A. （ B. C. 2π D. π
9. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，若∠C＝30°，AB＝3，则⊙O的半径为（ ）

A. 3 B. 3 C. 3 D. 6
10. 某药品两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题
11. 已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是_____．
12. 如图，内接于，为的直径，，弦平分，若，则________．

13. 一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式为_______________．
14. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
15. 若方程x2-7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是_______________．
16. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______．
三、解 答 题
17. 已知等腰三角形ABC，如图．

（1）用直尺和圆规作△ABC外接圆；
（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC=128°，求∠BAC的度数．
18. 如图，⊙O的半径为4，B为⊙O外一点，连结OB，且OB＝6.过点B作⊙O的切线BD，切点为点D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为点C.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)求AC长．

19. 如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．

（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线．
20. 小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验得出，出现5点朝上的机会”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说确吗？为什么？
21. 已知，如图，⊙是的外接圆，，点在边上，∥，．

（1）求证：；
（2）如果点G在线段上（没有与点重合），且，求证：四边形是平行四边形．
22. 如图，抛物线与轴交于，两点（A在B的左侧），与轴交于点C，顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）以点B为直角顶点作直角三角形BCE，斜边CE与抛物线交于点P，且CP=EP，求点P的坐标．
（3）将△BOC绕着它的顶点顺时针在象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO’C’．当
旋转后的△BO’C’有一边与BD重合时，求△BO’C’没有在BD上的顶点的坐标．
23. 大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的量p件与的天数x的关系如下表：
x（天）

1

2

3

…

50

p（件）

118

116

114

…

20


单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+．
（1）请分析表格中量p与x的关系，求出量p与x的函数关系．
（2）求该超市该新商品第x天获得利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润？利润为多少？




2022-2023学年北京市房山区九年级上册数学期末专项突破模拟题（卷二）
一、选一选
1. 小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ）
A. 25% B. 50% C. 75% D. 85%
【正确答案】B

【详解】抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，
故正面朝上的概率=50%.
故选B.
2. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4
【正确答案】A

【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可.
【详解】解：移项得：x2-6x=5，
两边同时加上9得：x2-6x+9=14，
即（x-3）2=14，
故选A．
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键.
3. 如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=，则∠EDC的度数为（　　）

A. 60° B. 90° C. 30° D. 75°
【正确答案】C

【详解】试题分析：连接OC，与EF交于点G，再连接OE，由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OC与AB垂直，再由EF与AB平行，得到OC与EF垂直，利用垂径定理得到G为EF中点，求出EG的长，在直角三角形OEG中，利用勾股定理求出OG的长，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，求出∠OEG度数，进而得到∠EOC度数，利用圆周角定理即可求出所求角度数．如图：连接OC，与EF交于点G，再连接OE，∵AB为圆O的切线，∴OC⊥AB，∵EF∥AB，∴OC⊥EF，∴EG=FG=EF=，在Rt△OEG中，OE=2，EG=，根据勾股定理得：OG=1，∴∠OEG=30°，∴∠EOG=60°，∵∠EDC与∠EOC都对弧EC，则∠EDC=30°．故选C.

考点：切线的性质．
4. 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒．其中正确的结论个数为【 】

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】B

【详解】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，

∴BC=BE=5cm．∴AD=BE=5，故结论①正确．
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积没有变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，
∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF．
∴．
∴PF=PBsin∠PBF=t．
∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=．故结论②正确．
根据5～7秒面积没有变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，故点H的坐标为（11，0）．
设直线NH的解析式为y=kx+b，
将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：，解得：．
∴直线NH的解析式为：．故结论③错误．
如图2，当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，

∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，∴，即．
解得：t=．故结论④正确．
综上所述，①②④正确，共3个．故选B．
考点：动点问题函数图象，双动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的性质，分类思想的应用．
5. 如图，正方形ABCD的边长AB＝4，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则的长是（　　）

A. B. π C. D.
【正确答案】C

【分析】根据条件可以得到△ABE是等边三角形,然后利用弧长公式即可求解.
【详解】连接AE、BE,

∵AE=BE=AB,
∴△ABE是等边三角形.
∴∠BAE=60°,
∴弧BE=.
故选C.
本题考查了弧长的计算公式,正确得到△ABE是等边三角形是关键. 如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为.
6. 将方程3(2x2－1)＝(x＋)(x－)＋3x＋5化成一般形式后，其二次项系数、项系数、常数项分别为(　　)
A. 5，3，5 B. 5，－3，－5 C. 7，，2 D. 8，6，1
【正确答案】B

【详解】试题解析：先将方程化成一般形式：
3（2x2-1）=（x+）（x-）+3x+5可化为5x2-3x-5=0．
故其二次项系数，项系数，常数项分别为5，-3，-5．
故选B．
7. 已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：∵x=2是方程的一个解，
∴，
解得：a=3，
∴2a-1=5．
故选：C．
8. 如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所的路线为（　　）

A. （ B. C. 2π D. π
【正确答案】B

【详解】如下图：
∵在Rt△ABC中，AC为斜边，直角边AB=，BC=1，5
∴tan∠ACB=，AB=,
∴∠ACB=60°，
由旋转的性质可得：∠A1CB1=∠ACB=60°，∠A1B1A2=∠ABC=90°，
∴∠ACA1=180°-∠A1CB1=120°，
∴，，
∴点A运动到A2的位置所路线的长为.
故选B.

9. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，若∠C＝30°，AB＝3，则⊙O的半径为（ ）

A. 3 B. 3 C. 3 D. 6
【正确答案】A

【详解】试题解析：连接 如图所示.




∴是等边三角形，



即的半径为3.
故选A.
点睛：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角等于圆心角的一半.
10. 某药品两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1-x）2=108．
故选：B．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
二、填 空 题
11. 已知一元二次方程x2﹣x﹣c=0有一个根为2，则常数c的值是_____．
【正确答案】2

【详解】试题分析：把x=2代入方程x2﹣x﹣c=0，得出一个关于c的方程，求出方程的解即可．
解：把x=2代入方程x2﹣x﹣c=0得：4﹣2﹣c=0，
解得：c=2，
故答案为2．
考点：一元二次方程的解．
12. 如图，内接于，为的直径，，弦平分，若，则________．

【正确答案】

【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题.
【详解】解：连接BD．

∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4，
∴AC=AB•cos60°=2，
故答案为2．
本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13. 一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式为_______________．
【正确答案】

【详解】试题分析：根据题意可得：盒子的底部的长为（4-2x）dm，宽为（3-2x）dm，则根据题意可得：（4-2x）（3-2x）=4×3÷2，化简得：-14x-6=0.
考点：一元二次方程的应用
14. 若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．
【正确答案】4

【分析】与x轴交点就是令y=0求解即可
【详解】，令y=0，，解得：，所以A（-1，0），B（3，0），所以AB=4．
考点：抛物线与x轴的交点．
15. 若方程x2-7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是_______________．
【正确答案】5

【详解】解：解方程x2﹣7x+12=0，解得x=3，x=4；由勾股定理得：斜边长==5．故答案为5．
16. 设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______．
【正确答案】5

【分析】根据根与系数关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
【详解】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故5．
三、解 答 题
17. 已知等腰三角形ABC，如图．

（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
（2）设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC=128°，求∠BAC的度数．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）116°．

【详解】（1）先分别作线段AB、AC的垂直平分线EF、GH，EF与GH相交于点O，再连接OB，以点O为圆心，以OB的长为半径作圆，圆O即为的外接圆．

（2）在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC=128°，
∴∠BDC=∠BOC=64°，
∴∠BAC=180°-∠BDC=116°．
18. 如图，⊙O的半径为4，B为⊙O外一点，连结OB，且OB＝6.过点B作⊙O的切线BD，切点为点D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为点C.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)求AC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）AC=．

【详解】(1)证明：连接OD．
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD．
∵AC⊥BD，
∴OD∥AC，
∴∠2＝∠3．
∵OA＝OD．
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AD平分∠BAC．
(2)解：∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，即．
解得．

19. 如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．

（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线．
【正确答案】（1）∠AOD=60°．（2）见解析

【分析】（1）根据CO与DO的数量关系，即可得出∠CDO的度数，进而求出∠AOD的度数；
（2）利用点E是弧BD的中点，进而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．
【详解】（1）∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°；
（2）如图，连接OE，

∵点E是的中点，
∴弧DE=弧BE，
∵由（1）得∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠AFO=90°，
∵DP∥AE，
∴PD⊥OD，
∴直线PD为⊙O的切线．
20. 小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验得出，出现5点朝上的机会”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说确吗？为什么？
【正确答案】（1）3点朝上的频率为；5点朝上的频率为；（2）小颖和小红说法都错．

【详解】解：（1）“3点朝上”的频率是；“5点朝上”的频率是.
（2）小颖的说法是错误的，因为“5点朝上”的频率并没有能说明“5点朝上”这一发生的概率，只有当试验的次数足够大时，该发生的频率稳定在发生的概率附近；小红的说法也是错误的，因为的发生具有随机性，所以“6点朝上”的次数没有一定是100次.
21. 已知，如图，⊙是的外接圆，，点在边上，∥，．

（1）求证：；
（2）如果点G在线段上（没有与点重合），且，求证：四边形是平行四边形．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．
【详解】（1）在⊙中，∵，
∴，
∴．
∵∥，
∴，
∴．
又∵，
∴≌，
∴；
（2）联结并延长，交边于点，

∵，是半径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形．
22. 如图，抛物线与轴交于，两点（A在B的左侧），与轴交于点C，顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）以点B为直角顶点作直角三角形BCE，斜边CE与抛物线交于点P，且CP=EP，求点P的坐标．
（3）将△BOC绕着它的顶点顺时针在象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO’C’．当
旋转后的△BO’C’有一边与BD重合时，求△BO’C’没有在BD上的顶点的坐标．
【正确答案】(1) ;(2) ;(3)或 .

【详解】试题分析：（1）利用根与系数的关系，列出方程求出m即可；
（2）根据图形，可设P（m，-m²+2m+3），求出A、B、C的坐标，根据PC=PB，利用两点间距离公式，列出方程即可；
（3）应分为两种情况讨论：①BC′与BP重合，此时O′为所求点，过O′作x轴的垂线，设垂足为D，再等量代换后根据两角对应相等的两三角形相似，证得△PBC∽△O′BD，即可由比例线段和勾股定理求出O′的坐标；②当BO′与BP重合时，C′为所求点，可过B作直线BE⊥x轴，过C′作C′E⊥BE与E，按照①可求C′的坐标.
试题解析：（），
即，
，
．
（），，，，
∵，，
∴，
设，
，
，
∴．
（）①与重合，
过作，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
即
，
，
∴．
②与重合时，过作轴，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
，
，
∴．
23. 大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的量p件与的天数x的关系如下表：
x（天）

1

2

3

…

50

p（件）

118

116

114

…

20


单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+．
（1）请分析表格中量p与x的关系，求出量p与x的函数关系．
（2）求该超市该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润？利润为多少？
【正确答案】（1）量p件与的天数x的函数表达式为p=﹣2x+120；
（2）当1≤x＜25时，y=﹣2x2+80x+2400，当25≤x≤50时，y=﹣2250；
（3）这50天中第20天时该超市获得利润，利润为3200元．

【详解】（1）由表格可以看出量p件与的天数x成函数，设出函数解析式，进一步代入求得答案即可；
（2）利用利润=售价﹣成本，分别求出在1≤x＜25和25≤x≤50时，求得y与x的函数关系式；
（3）利用（2）中的函数解析式分别求得值，然后比较两者的大小得出答案即可．
解：(1)p＝120－2x
(2)y＝p·(q－40)＝
(3)当1≤x＜25时，y＝－2(x－20)2＋3 200，
∴x＝20时，y的值为3 200元；
当25≤x≤50时，y＝－2 250，
∴x＝25时，y的值为3 150元，
∵3 150＜3 200，
∴该超市第20天获得利润为3 200元．
本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度没有大．