2022-2023学年广西省桂林市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年广西省桂林市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共44页。试卷主要包含了选一选，计算，作图题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西省桂林市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（30分）
1. 右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
2. 函数y＝与y＝kx＋k(k为常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中图象可能是(　　)
A. B. C. D.
3. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等四边形
4. 点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y1＜y3＜y2
5. 关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    )
A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1
6. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论没有正确的是（ ）

A. AB2＝BCBD B. AB2＝ACBD
C. ACBD＝ABAD D. ABAC＝ADBC
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于（　　）

A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.25
8. 济宁市某经济开发区，今年一月份工业产值达10亿元，季度总产值为75亿元，二、三月平均每月增长率是多少，若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A. 10（1+x）2=75 B. 10+10（1+x）+10（1+x）2=75
C. 10（1+x）+10（1+x）2=75 D. 10+10（1+x）2=75
9. 某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转.如果这三种可能性大小相同，那么这个十字路口的两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是(　　)
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
二、填 空 题：（40分）
11. 一个没有透明的袋子中装有黑球两个，白球三个，这些小球除颜色外无其他区别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为______.
12. 若将方程x2﹣8x=7化为（x﹣m）2=n，则m=_____，n=_____．
13. 将根式，，，化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，能与的被开方数相同的概率是________．
14. 已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的正视图和左视图如图所示，那么x的值是_____．

15. 如图所示，以边长为2的等边△ABO的顶点O为坐标原点，点B在x轴上，则点A的反比例函数的表达式为________ 

16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=_________.


17. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___．


18. 双曲线y=和直线y=x+1交于点（﹣2，m），则双曲线的表达式为_____．
19. 某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共60个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有_____个．
20. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC长为_____．

三、计算（12分）
21. 解方程：x2﹣x﹣1=0．
22. 解方程：
23. （x+3）2=（1﹣2x）2．
四、作图题（6分）
24. 同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子．

五、解 答 题（共62分）
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．

26. 如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1) 求证：△ADE≌△CFE；
(2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.

27. 如图，直线y=x+2与双曲线y=相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

28. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行，把结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将结果绘制成两幅没有完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：

（1）本次中，王老师一共了　 　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
29. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

30. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　 　是菱形吗？（填“可能”或“没有可能”）













2022-2023学年广西省桂林市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（30分）
1. 右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：从上面看，上面一排有两个正方形，下面一排只有一个正方形，故选B．
2. 函数y＝与y＝kx＋k(k为常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】当k＞0时，双曲线y＝的两支分别位于一、三象限，直线y＝kx＋k的图象过一、二、三象限；当k＜0时，双曲线y＝的两支分别位于二、四象限，直线y＝kx＋k的图象过二、三、四象限；由此可得，只有选项A符合要求，故选A.
点睛：本题考查函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y= 的图象当k＞0时，它的两个分支分别位于、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．函数图象与k、b的关系：①k>0，b>0时，图像一二三象限；②k>0，b<0，图像一三四象限；③k>0，b=0时，图像一三象限，并过原点；④k<0，b>0时，图像一二四象限；⑤k<0，b<0时，图像二三四象限；⑥k<0，b=0时，图像二四象限,并过原点.
3. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形
【正确答案】D

【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，

∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．

4. 点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y1＜y3＜y2
【正确答案】D

【详解】解：∵函数y＝中k＝6＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵－1＜0，∴点（－1，y1）在第三象限，
∴y1＜0，∵0＜2＜3，
∴（2，y2），（3，y3）在象限，∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1.
故选D.
5. 关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(    )
A. -1或5 B. 1 C. 5 D. -1
【正确答案】D

【分析】设方程的两根为、，根据根与系数的关系得到，，由于，变形得到，则，然后解方程，满足的的值为所求.
【详解】设方程的两根为、，则，，
，
，
，
，，
，
.
故选.
本题考查了一元二次方程（）的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，，也考查了一元二次方程的根的判别式.
6. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论没有正确是（ ）

A. AB2＝BCBD B. AB2＝ACBD
C. ACBD＝ABAD D. ABAC＝ADBC
【正确答案】B

【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，
故选B.
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于（　　）

A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.25
【正确答案】B

【分析】
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB，
∴，
∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，
∴BE=2.5，
∴，
解得：FC=2.4．
故选B.
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是确定相似三角形，构造成比例的线段，代入数据即可求解.
8. 济宁市某经济开发区，今年一月份工业产值达10亿元，季度总产值为75亿元，二、三月平均每月增长率是多少，若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A. 10（1+x）2=75 B. 10+10（1+x）+10（1+x）2=75
C. 10（1+x）+10（1+x）2=75 D. 10+10（1+x）2=75
【正确答案】B

【详解】本题是增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每月的增长率为x，则二月份的产值为：10（1+x）亿元，三月份的产值为：10（1+x）（1+x）=10（1+x）2亿元，根据题意，得10+10（1+x）+10（1+x）2=75．
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出二、三月份的产值，难度没有大．
9. 某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转.如果这三种可能性大小相同，那么这个十字路口的两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；
两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
∴P(两辆汽车一辆左转,一辆右转)= .
故选C.

10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
【正确答案】C

【详解】试题分析：设点P的坐标为（x，），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB是个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）×BO=（x+AO）×=+=+，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选C．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
二、填 空 题：（40分）
11. 一个没有透明的袋子中装有黑球两个，白球三个，这些小球除颜色外无其他区别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为______.
【正确答案】

【详解】∵袋子里装有3个黑球和2个白球，共5个球，
∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是 ,
∴两次摸出的小球都是黑球的概率为 .
故答案是：．
12. 若将方程x2﹣8x=7化为（x﹣m）2=n，则m=_____，n=_____．
【正确答案】 ①. 4 ②. 23

【详解】根据题意，利用配方法可知方程x2﹣8x=7化为x2﹣8x+16=7+16，配方为：（x﹣4）2=23，因此可求得m=4，n=23.
故答案为4；23.
点睛：此题主要考查了配方法的应用，关键是确定项系数的一半的平方，是中考常考题，比较简单.
13. 将根式，，，化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，能与的被开方数相同的概率是________．
【正确答案】

【详解】解：首先把上面的四个式子化成最简二次根式分别是，，，，随机抽取其中一个根式，则每个根式被抽到的机会相等，共有4种结果，而抽到能与的被开方数相同的结果有3个，则P（抽到能与的被开方数相同）=．
点睛：正确对根式进行化简，以及正确理解列举法求概率的条件是解决问题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的正视图和左视图如图所示，那么x的值是_____．

【正确答案】11

【详解】综合正视图和左视图，底面至多有3×3=9个小正方体，第二层至多有2个小正方体，那么x的值应该是9+2=11.
故答案为11．
点睛：本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．本题中虽然没有告诉俯视图，但是说明了x取值也就间接的说明了俯视图的情况．
15. 如图所示，以边长为2的等边△ABO的顶点O为坐标原点，点B在x轴上，则点A的反比例函数的表达式为________ 

【正确答案】

【详解】解：过A作AM⊥BO于点M，∵△ABO为等边三角形，∴AB=BO=AO=2，∵AM⊥BO，∴OM=BO=1，∴AM== ，则点A的坐标为（﹣1，），则这个反比例函数的解析式为．故答案为．

16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=_________.


【正确答案】##

【分析】过E作EF⊥DC于F，利用正方形的性质，角平分线的性质可得Rt△COE≌Rt△CFE，因此CF=CO,进而求得DF的长；再由勾股定理便可解答．
【详解】解：如图，


过E作EF⊥DC于F，AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO=EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中，
∵EC=EC，EO=EF，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO=FC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC= ，
∴CO=AC= ，
∴CF=CO=，
∴EF=DF=DC﹣CF= ，
∴DE= =.
故．
本题考查了正方形的性质（对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角）；角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；勾股定理的运用；正确作出辅助线是解题关键．
17. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___．


【正确答案】

【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD．
∴△ABE∽△DCE．
∴．
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC．
∵在RtACD中，∠D=30°，
∴．
∴．
故答案为
18. 双曲线y=和直线y=x+1交于点（﹣2，m），则双曲线的表达式为_____．
【正确答案】y=

【详解】先利用代入法，把点（-2，m）代入y=x+1求得m=-1，然后再把求得的已知点（-2，-1）代入双曲线y=求得k=2，代入可得双曲线的解析式为y=.
故答案为y=.
19. 某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共60个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有_____个．
【正确答案】15

【详解】根据用频率估计概率可得到摸到黄球的概率25%，然后根据概率公式计算黄色玻璃球的个数=60×25%=15（个），因此估计口袋中黄色玻璃球有15个．
故15．
点睛：本题考查了用频率估计概率：大量重复实验时，发生的频率在某个固置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个的概率．
20. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为_____．

【正确答案】．

【详解】试题分析：∵DE∥BC，EF∥AB，∴，∵AB=8，BD=3，BF=4，∴，解得：FC=．故答案为．
考点：相似三角形的判定与性质．
三、计算（12分）
21. 解方程：x2﹣x﹣1=0．
【正确答案】x1=

【详解】试题分析：根据公式法解方程即可求解.此题主要是观察方程的特点，选择合适的方法求解即可.
试题解析：∵a=1，b=-1，c=-1
∴△=b2-4ac=5＞0
∴
∴x1=
22. 解方程：
【正确答案】解：原方程化为：x2－4x=1
配方，得x2－4x+4=1+4
整理，得（x－2）2=5
∴x－2=,即，．

【详解】解一元二次方程．根据一元二次方程的几种解法，本题没有能直接开平方，也没有可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
23. （x+3）2=（1﹣2x）2．
【正确答案】x1=4，x2=﹣

【详解】试题分析：利用移项，先变形，然后利用平方差公式变形，应用ab=0的形式求解即可.
试题解析：（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
分解因式得：（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，
可得4﹣x=0或3x+2=0，
解得：x1=4，x2=﹣．
四、作图题（6分）
24. 同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子．

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：首先根据影子可得光线相交处为光源，再过光源与木棒的顶端画直线即可确定出影子位置．
试题解析：解：如图所示：分别过木桩的顶端和它影子的顶端作直线，会发现两直线交于一点A，再过A、B画直线可得另一根木棒的影子．

点睛：此题主要考查了投影，关键是通过影子判断出光源的位置．
五、解 答 题（共62分）
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F．求证：四边形AECF是菱形．

【正确答案】见解析

【分析】先通过ASA判定△AOE≌△COF，然后证得EO=FO，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证得结论.
【详解】∵AD∥BC．
∴∠EAC=∠FCA．
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．
26. 如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1) 求证：△ADE≌△CFE；
(2) 若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长.

【正确答案】(1)证明见解析
(2)4

【详解】(1) ∵ AB∥FC，
∴∠A=∠CFE
在△ADE和△CFE中

∴ △ADE≌△CFE（ASA）
(2) ∵ AB∥FC，







考点：1、三角形全等判定；2、平行线分线段成比例定理
27. 如图，直线y=x+2与双曲线y=相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

【正确答案】（1）（2）(-6,0)或(-2,0).

【详解】解：（1）把A点坐标代入y=x+2，可得：3=m+2，解得：m=2，
∴A（2，3）．
∵A点也在双曲线上，
∴k=2×3=6，
∴双曲线解析式为y=；
（2）y=x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，
∴C（﹣4，0）．
∵点P在x轴上，
∴可设P点坐标为（t，0），
∴CP=|t+4|，且A（2，3），
∴S△ACP=×3|t+4|．
∵△ACP的面积为3，
∴×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，
∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
28. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行，把结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将结果绘制成两幅没有完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：

（1）本次中，王老师一共了　 　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【正确答案】（1）20；（2）作图见试题解析；（3）．

【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】（1）根据题意得：王老师一共学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：

（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，

男A1
男A2
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：．

29. 如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【正确答案】（1）18米；（2）米

【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△M∽△NAC，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出BN即可．
【详解】解：（1）如图1，∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴AP＝AB，
∵QB=AP，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△M∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．

本题考查了相似三角形判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形的思想方法．
30. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　 　是菱形吗？（填“可能”或“没有可能”）

【正确答案】（1）OE=OF．理由见解析；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由见解析；（3）没有可能，理由见解析

【详解】试题分析：（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，∠BCA的外角平分线与点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；
（2）这是正方形的判定问题，四边形AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形；
（3）此问题是菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直.
试题解析：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF正方形；

（3）没有可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，没有可能存在两个角为90°，所以没有存在其为菱形．
故答案为没有可能．










2022-2023学年广西省桂林市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A. （x2﹣2）x=x2 B. ax2+bx+c=0 C. 3x+=5 D. x2=3x
2. 下列方程中，无实数根是（ ）
A. 3x2﹣2x+1=0 B. x2﹣x﹣2=0 C. （x﹣2）2=0 D. （x﹣2）2=10
3. 抛物线y=x2﹣2x+3对称轴是直线（　　）
A. x=﹣2 B. x=2 C. x=﹣1 D. x=1
4. 将一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后所得的方程是（　　）
A. （x﹣2）2=4 B. （x﹣1）2=4 C. （x﹣1）2=3 D. （x﹣2）2=3
5. 已知方程x2﹣10x+21=0的两个根都是等腰三角形两条边长，则此三角形的周长是（　　）
A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 以上都没有对
6. 若抛物线y=a（x+m）2+n的开口向下，顶点是（1，3），y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A x＞3 B. x＜3 C. x＞1 D. x＜0
7. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
8. 下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个没有同的交点，这个函数是（　　 ）
A. B. C. D.
9. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
10. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+c与函数y=ax+c的大致图象．正确的是（　　）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____．
12. 抛物线y=2x2﹣x﹣1与x轴有_____个交点．
13. 已知函数y=﹣x2+2x﹣3，则y的值为_____．
14. 若方程x2-4x-1=0的两根为x1，x2，则x1•x2-x1-x2=_____．
15. 若x2﹣2x﹣2=0，则代数式3x2﹣6x+2018的值是_____．
16. 二次函数y=ax2+bx+c图象如图示，下列结论：（1）b＜0；（2）c＞0；（3）b2﹣4ac＞0； （4）a﹣b+c＜0；（5）2a+b＜0； （6）abc＞0；其中正确的是_____；（填写序号）

三、解 答 题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 配方法解方程：x2+4x﹣5=0．
18. 已知抛物线y=x2+2x﹣1
（1）用配方法或公式法求出它的顶点坐标和对称轴．
（2）直接写出它与y轴的交点坐标是_____．
19. 今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节.晚上，读初三的孙子小明问老黄:“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦?”爷爷:“我来考考你:我们每个人都与其他人握了手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗?”若小明设参加聚会的人有x个，则可列方程为_________
四、解 答 题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）
20. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
21. 已知关于x的方程x2﹣kx﹣2=0．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=+1，求k的值及另一个根．
22. 如图，已知二次函数y=﹣x2+2x+m图象过点A（3，0），与y轴交于点B
（1）求m的值；
（2）若直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．

五、解 答 题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2．
（1）求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
（2）求运动多少秒时，△PBQ的面积为12cm2；
（3）求运动多少秒时，△PBQ的面有值．值是多少？

24. 某超市樱桃，已知樱桃进价为 14 元/千克，如果售价为 20元/千克，那么每天可售出 260 千克，如果售价为 25 元/千克，那么每天可售出 210 千克，经发现：每天的量y（千克）与售价 x（元/千克）之间存在函数关系
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润 1920 元，同时又要让消费者得到，则售价 x应定于多少元？
（3）若樱桃的售价没有得高于 28 元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天樱桃所获的利润？利润是多少元？
25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+cB（3，0）、C（0，3）两点，
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）直接写出，当y≥3时，x的取值范围是_____；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M点，使△MOB是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若没有存在，请说明理由．












2022-2023学年广西省桂林市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）　
一、选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A. （x2﹣2）x=x2 B. ax2+bx+c=0 C. 3x+=5 D. x2=3x
【正确答案】D

【分析】根据一元二次方程定义，逐项判定即可．
【详解】解：A．整理得：，没有是一元二次方程，故此选项错误，
B．当a=0时，没有是一元二次方程，故此选项错误，
C．左边没有是整式方程，故没有是一元二次方程，故此选项错误，
D．是一元二次方程，故此选项正确．
故选：D．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
2. 下列方程中，无实数根的是（ ）
A. 3x2﹣2x+1=0 B. x2﹣x﹣2=0 C. （x﹣2）2=0 D. （x﹣2）2=10
【正确答案】A

【详解】解：A．∵△=（﹣2）2﹣4×3×1=﹣8＜0，∴方程3x2﹣2x+1=0无解，故A符合题意；
B．∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，∴方程x2﹣x﹣2=0有两个没有相等的实数根，故B没有符合题意；
C．∵（x﹣2）2=0，∴x1=x2=2，故C没有符合题意；
D．∵（x﹣2）2=10，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣，故D没有符合题意．
故选A．
3. 抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线（　　）
A. x=﹣2 B. x=2 C. x=﹣1 D. x=1
【正确答案】D

【详解】解：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴对称轴是直线x=1．故选D．
4. 将一元二次方程x2﹣2x﹣3=0配方后所得的方程是（　　）
A. （x﹣2）2=4 B. （x﹣1）2=4 C. （x﹣1）2=3 D. （x﹣2）2=3
【正确答案】B

【详解】解：x2﹣2x﹣3=0，x2﹣2x=3，x2﹣2x+1=3+1，（x﹣1）2=4．故选B．
5. 已知方程x2﹣10x+21=0的两个根都是等腰三角形两条边长，则此三角形的周长是（　　）
A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 以上都没有对
【正确答案】B

【详解】解：解方程x2﹣10x+21=0可得x=3或x=7，当等腰三角形的腰为7时，三角形三边为7、7、3，其周长为17；当等腰三角形的腰为3时，三角形三边为3、3、7，没有满足三角形三边关系，舍去，∴三角形的周长为17．故选B．
点睛：本题主要考查解一元二次方程及等腰三角形的性质，求得方程的两根是解题的关键，注意分两种情况讨论．
6. 若抛物线y=a（x+m）2+n的开口向下，顶点是（1，3），y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A. x＞3 B. x＜3 C. x＞1 D. x＜0
【正确答案】C

【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴对称轴为x=1．又∵开口向下，函数y随自变量x的增大而减小，∴x＞1．故选C．
点睛：本题考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x+m）2+n，顶点坐标是（﹣m，n），对称轴是x=﹣m．此题是借助图象解答．
7. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
A y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
【正确答案】A

【详解】二次函数图象与平移变换．
据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加．上下平移只改变纵坐标，下减上加．因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选A．
8. 下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个没有同的交点，这个函数是（　　 ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：分别对A、B、C、D四个选项进行一一验证，令y=0，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根．
A、令y=0，得x2=0，△=0-4×1×0=0，则函数图形与x轴没有两个交点，故A错误；
B、令y=0，得x2+4=0，△=0-4×1×1=-4＜0，则函数图形与x轴没有两个交点，故B错误；
C、令y=0，得3x2-2x+5=0，△=4-4×3×5=-56＜0，则函数图形与x轴没有两个交点，故C错误；
D、令y=0，得3x2+5x-1=0，△=25-4×3×（-1）=37＞0，则函数图形与x轴有两个交点，故D正确；
故选D．
考点：本题考查的是抛物线与x轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x轴有两个交点时，b2-4ac＞0，与x轴有一个交点时，b2-4ac=0，与x轴没有交点时，b2-4ac＜0．
9. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
【正确答案】B

【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
详解】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
10. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+c与函数y=ax+c的大致图象．正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：∵b=0，∴二次函数y=ax2+c的对称轴为y轴，∴B符合题意．故选B．
点睛：本题考查了二次函数的图象以及函数的图象，由b=0找出抛物线的对称轴为y轴是解题的关键．
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程（x﹣1）（x+2）=0的根是_____．
【正确答案】x1=1，x2=﹣2

【详解】解：∵（x﹣1）（x+2）=0，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．故答案为x1=1，x2=﹣2．
12. 抛物线y=2x2﹣x﹣1与x轴有_____个交点．
【正确答案】2

【详解】解：∵b2﹣4ac=（）2﹣4×2×（﹣1）=2+8=10＞0，∴抛物线y=2x2﹣x﹣1与x轴有2个交点．故答案为2．
13. 已知函数y=﹣x2+2x﹣3，则y的值为_____．
【正确答案】﹣2

【详解】解：∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∴y的值为﹣2．故答案为﹣2．
14. 若方程x2-4x-1=0两根为x1，x2，则x1•x2-x1-x2=_____．
【正确答案】-5

【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=4，x1•x2=-1，
∴x1x2-x1-x2=(-1)-4=-5．
故-5．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，此题难度没有大，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q性质．
15. 若x2﹣2x﹣2=0，则代数式3x2﹣6x+2018值是_____．
【正确答案】2024

【详解】解：∵x2﹣2x﹣2=0，∴x2﹣2x=2，∴3x2﹣6x+2018
=3（x2﹣2x）+2018
=3×2+2018
=2024．
故答案为2024．
16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示，下列结论：（1）b＜0；（2）c＞0；（3）b2﹣4ac＞0； （4）a﹣b+c＜0；（5）2a+b＜0； （6）abc＞0；其中正确的是_____；（填写序号）

【正确答案】（2）（3）（4）（5）

【详解】解：（1）函数开口向下，则a＜0，且对称轴在y轴的右边，则b＞0，故结论错误；
（2）函数与y轴交于正半轴，则c＞0，故结论正确；
（3）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b2﹣4ac＞0；故结论正确；
（4）∵当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故结论正确；
（5）∵﹣＜1，∴2a+b＜0；故结论正确；
（6）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0；故结论错误．
故（2）（3）（4）（5）．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解 答 题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 配方法解方程：x2+4x﹣5=0．
【正确答案】x1=﹣5，x2=1．

【详解】试题分析：先分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可．
试题解析：解：x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，x+5=0，x﹣1=0，∴x1=﹣5，x2=1．
18. 已知抛物线y=x2+2x﹣1
（1）用配方法或公式法求出它的顶点坐标和对称轴．
（2）直接写出它与y轴的交点坐标是_____．
【正确答案】（1）顶点（﹣1，﹣2），对称轴为直线：x=﹣1；（2）（0，﹣1）

【分析】（1）直接利用配方法得到函数的顶点式进而得出答案；
（2）利用x=0时，求出y的值，即可答案．
【详解】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，则它的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），对称轴为：直线：x=﹣1；
（2）当x=0时，y=﹣1，故它与y轴的交点坐标是：（0，﹣1）．
故答案为（0，﹣1）．
19. 今年9月10日，退休老师老黄去与老同事们聚会，共庆第33个教师节.晚上，读初三的孙子小明问老黄:“爷爷，今天有几个同事参加聚会啦?”爷爷:“我来考考你:我们每个人都与其他人握了手，一共握了120次，你知道我们一共有多少人参加聚会吗?”若小明设参加聚会的人有x个，则可列方程为_________
【正确答案】

【详解】参加聚会的人数为x名，每个人都要握手(x−1)次，
∴可列方程为x(x−1)=120.
故答案为
四、解 答 题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）
20. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
【正确答案】（1）20%；（2）4147．2元．

【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．
（2）5月份盈利=4月份盈利×增长率．
试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
2400（1+x）2=3456，
解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）．
（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：
3456×（1+20%）=4147．2（元）．
答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．
（2）5月份盈利为4147．2元．
考点：一元二次方程的应用．
21. 已知关于x方程x2﹣kx﹣2=0．
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=+1，求k的值及另一个根．
【正确答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为x=1．

【详解】试题分析：（1）根据△=b2﹣4ac进行判断；
（2）把x=3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1=0即可求得k，然后解这个方程即可．
试题解析：（1）证明：由于x2﹣kx﹣2=0是一元二次方程，△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8，无论k取何实数，总有k2≥0，k2+8＞0，所以方程总有两个没有相等的实数根；
（2）解：把x=+1代入方程x2﹣kx﹣2=0，有（+1）2﹣k（）﹣2=0，解得：k=2．
此时方程可化为 x2﹣2x﹣2=0．
解此方程，得： x1=1，x2=1﹣．
所以方程的另一根为x=1．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等．
22. 如图，已知二次函数y=﹣x2+2x+m图象过点A（3，0），与y轴交于点B
（1）求m的值；
（2）若直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【正确答案】（1）m=3；（2）P（1，2）；（3）x＜0或x＞3．

【详解】试题分析：（1）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3；
（2）先确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1代入直线y=﹣x+3即可得到结果；
（3）由两个函数的交点坐标即可求解．
试题解析：解：（1）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m，∴m=3；
（2）∵m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3．∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得：y=2，∴P（1，2）；
（3）根据图象可知使函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜0或x＞3．
五、解 答 题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2．
（1）求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
（2）求运动多少秒时，△PBQ的面积为12cm2；
（3）求运动多少秒时，△PBQ的面有值．值是多少？

【正确答案】（1）y=﹣x2+8x（0＜x＜5）；（2）当运动2秒时，△PBQ的面积为12cm2；（3）当x=4时，△PBQ的面有值．值是16．

【详解】试题分析：（1）根据题意用x表示出BP、BQ，根据三角形的面积公式计算；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）根据二次函数的性质解答．
试题解析：解：（1）由题意得：AP=xcm，BQ=2xcm，则BP=（8﹣x）cm，y=×BQ×BP=x（8﹣x）=﹣x2+8x（0＜x＜5）；
（2）﹣x2+8x=12，x1=2，x2=6（没有合题意，舍去），当运动2秒时，△PBQ的面积为12cm2；
（3）y=﹣x2+8x=﹣（x2﹣8x+16）+16=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，△PBQ的面有值．值是16．
点睛：本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法、二次函数的性质，根据题意用x表示出y、掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 某超市樱桃，已知樱桃的进价为 14 元/千克，如果售价为 20元/千克，那么每天可售出 260 千克，如果售价为 25 元/千克，那么每天可售出 210 千克，经发现：每天的量y（千克）与售价 x（元/千克）之间存在函数关系
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润 1920 元，同时又要让消费者得到，则售价 x应定于多少元？
（3）若樱桃的售价没有得高于 28 元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天樱桃所获的利润？利润是多少元？
【正确答案】（1）y与x的函数关系式为：y=﹣10x+450；（2）该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到，则售价x应定于18元；（3）售价为28元时，每天获利为2210元．

【详解】试题分析：（1）直接利用待定系数法求出函数解析式进而得出答案；
（2）根据“总利润=单件利润×量”列方程求解后，根据要让消费者得到可得答案；
（3）首先表示出每天的获利，进而利用配方法二次函数增减性得出答案．
试题解析：解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把（20，250），（25，200）代入得：
，解得：，∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+450；
（2）根据题意知，（x﹣15）（﹣10x+450）=810，整理得：x2﹣60x+756=0，
解得：x=42或x=18．∵要让消费者得到，∴x=18．
答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到，则售价x应定于18元；
（3）设每天获利W元，W=（x﹣15）（﹣10x+450）=﹣10x2+600x﹣6750=﹣10（x﹣30）2+2250．
∵a=﹣10＜0，∴开口向下．∵对称轴为x=30，∴在x≤28时，W随x的增大而增大，∴x=28时，W值=13×170=2210（元）．
答：售价为28元时，每天获利为2210元．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用以及函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题的关键．
25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+cB（3，0）、C（0，3）两点，
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）直接写出，当y≥3时，x的取值范围是_____；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M点，使△MOB是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）0≤x≤2；（3）M（1，）或（1，﹣）或（1，2）或（1，﹣2）．

【分析】（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式；
（2）由解析式可求得其对称轴，求出点C关于对称轴的对称点，再函数图象即可得出y≥3时，x的取值范围；
（3）可设M点坐标为（1，t），根据两点间的距离公式分别表示出BM、OM和OB的长度，再分BM=BO、OM=OB和MB=MO三种情况分别得到关于t的方程，求得t的值，则可求得M点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+cB（3，0）、C（0，3）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1，∴C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），∴当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2．故答案为0≤x≤2；
（3）由（2）可知抛物线对称轴为x=1，设M（1，t）．∵B（3，0），O（0，0），∴BM2=4+t2，OM2=1+t2，OB2=9．∵△MOB为等腰三角形，∴有BM=BO、OM=OB和MB=MO三种情况，①当BM=BO时，即4+t2=9，解得t=±，此时M点坐标为（1，）或（1，﹣）；
②当OM=OB时，即1+t2=9，解得t=±2，此时M点坐标为（1，2）或（1，﹣2），③当MB=MO时，即4+t2=1+t2，无实数根．
综上所述：存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，2）或（1，﹣2）．
本题为二次函数综合题，涉及利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，知识点较多，综合性较强，难度适中．利用数形、方程思想及分类讨论思想是解题的关键．