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2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（ ）
A. m＜ B. m C. m= D. m=
2. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表:
···
···
···
···
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．
A. B. C. D.
7. 若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A. b2＞4ac
B ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
9. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日量就增加1个，为了获得利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
10. 如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A y＝（x﹣2）2-2 B. y＝（x﹣2）2+7
C. y＝（x﹣2）2-5 D. y＝（x﹣2）2+4
二、填 空 题（每题3分，共15分）
11. 如图，四边形与四边形相似，位似点是O，，则__.
12. 双曲线、在象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=120°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为______度（写出一个即可）．
14. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．
15. 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线点D和杯子上底面E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为_____cm．
三、解 答 题（共75分）
16. 按要求完成下列各题：
（1）解方程x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
（2）计算：tan260°﹣2cos60°﹣sin45°
17. 为了传承祖国的传统文化，某校组织了“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格
18. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0的解集．
19. 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
20. 汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
21. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位：km)，乘坐地铁的时间(单位：min)是关于的函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x/km
7
9
11
12
13
y1/min
16
20
24
26
28
(1)求关于的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
22. 探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+3点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长，并求值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积？并求值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（ ）
A. m＜ B. m C. m= D. m=
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=32-4×2m=9-8m=0，
解得：m=．
故选C．
2. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，
故选D．
本题考查简单组合体的三视图.
3. 如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】如图（见解析），先利用勾股定理求出AC长，再根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】如图，由题意得：是斜坡与水平地面的夹角，
由勾股定理得：，
则，
即这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于，
故选：C．
本题考查了勾股定理、正切，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．
4. 函数(ab＜0)图象在下列四个示意图中，可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、函数y2=（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；
B、函数y2=（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，函数y1=ax2+b，y2=（ab＜0）的图象可知ab＜0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，则ab＞0，故本选项错误．
故选C．
5. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表:
···
···
···
···
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：∵x=-3、x=-1时的函数值都是-3，相等，
∴函数图象的对称轴为直线x=-2，
顶点坐标为（-2，-2）．
故选：B．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
6. 如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】连接CD，由圆周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．
【详解】解：连接CD，
∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=，
故选：D．
本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
7. 若半径为5cm一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
【正确答案】D
【详解】设圆心角是a,由题意得，2πR=ar,
2π
解得a=144°.选D.
8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A. b2＞4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【正确答案】C
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.
【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形是解题的关键.
9. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日量就增加1个，为了获得利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
【正确答案】A
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）=-x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得利润时x的值即可．
【详解】解：设应降价x元，
则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有值．
∴为了获得利润，则应降价5元．
故选A．
应识记有关利润的公式：利润=价-成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10. 如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A. y＝（x﹣2）2-2 B. y＝（x﹣2）2+7
C. y＝（x﹣2）2-5 D. y＝（x﹣2）2+4
【正确答案】D
【分析】连接AB、，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，由平移的性质得四边形的面积等于阴影部分的面积，由此关系可确定平移的距离，则可求得平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m==，n==3，
∴A（1，），B（4，3），
如图，连接AB、，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），且四边形是平行四边形，
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴阴影部分的面积等于平行四边形的面积，
∴AC•AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，即将函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是．
故选：D．
本题考查了二次函数图象的平移，关键是确定平移的距离，难点是通过割补把没有规则图形面积转化为规则图形面积．
二、填 空 题（每题3分，共15分）
11. 如图，四边形与四边形相似，位似点是O，，则__.
【正确答案】
【分析】
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴，
∴．
故答案为
12. 双曲线、在象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________．
【正确答案】
【分析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．
【详解】解：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，
∴S△AOC=×4=2，
∵S△AOB=1，
∴△CBO面积为3，
∴k=xy=6，
∴y2的解析式是：y2=．
故y2=．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=120°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为______度（写出一个即可）．
【正确答案】80
【详解】
连接OD、OB，
∵∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DOB=120°，
∴60°＜∠BPD＜120°，
∴∠BPD可能为80°.
故答案为80.
点睛：圆的内接四边形对角互补.
14. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴
又∵AB∥DC，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
又∵ ∠ B=∠D，所以 ， .
由题，AF=4，AE=6，
则根据勾股定理，易得 ， ，
∴ .
所以本题的正确答案为 .
点睛：本题考查了平行四边形的性质、三角函数和勾股定理等内容，解题的关键在于将已知角的三角函数值转换到直角三角形中去，如果没有合适的直角三角形，也可作辅助线去构造一个来求解.
15. 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线点D和杯子上底面E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为_____cm．
【正确答案】24﹣8．
【详解】试题解析：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴，即，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得： ，解得：，∴抛物线为，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则，解得x1=，x2=（舍去），∴点E的横坐标为，又∵ON=30，∴EH=30﹣（）=．故答案为．
点睛：本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．
三、解 答 题（共75分）
16. 按要求完成下列各题：
（1）解方程x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
（2）计算：tan260°﹣2cos60°﹣sin45°
【正确答案】（1）x1=，x2=﹣ ；（2）原式=1.
【详解】试题分析：（1）按配方法的一般步骤，求方程的解即可；
（2）把函数值直接代入，求出结果
试题解析：（1）移项，得x2﹣6x=4，
配方，得x2﹣6x+9=13
即（x﹣3）2=13
两边开平方，得x﹣3=±
所以x=3±
即x1=，x2=﹣
（2）原式=（）2 ﹣2×﹣
=3﹣1﹣1
=1
17. 为了传承祖国的传统文化，某校组织了“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．
试题解析：
（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，∴若随机选择其中一个正确的概率=，故答案为；
（2）画树形图得：
由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率=．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
18. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0解集．
【正确答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【详解】试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得没有等式的解集．
试题解析：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，所以函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，没有等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
考点：反比例函数与函数的交点问题；待定系数法求函数解析式．
19. 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
【正确答案】（1）证明见解析 （2）﹣6π
【分析】（1）直接利用切线的判定方法圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；
（2）直接利用条件得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
（2）解：连接OC与CD，
∵DA＝DF，
∴∠BAD＝∠F，
∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，
∵OD⊥EF，∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°，
在Rt△ODF中，DF＝6，
∴OD＝DF•tan30°＝6，
在Rt△AED中，DA＝6，∠CAD＝30°，
∴DE＝DA•sin30°＝3，EA＝DA•cos30°＝9，
∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，
由CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠DCO＝∠AOC＝60°，
∴CD∥AB，
故S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝＝．
此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S△ACD＝S△COD是解题关键．
20. 汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【正确答案】拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，在Rt△ADC中，可得AD=，在Rt△BCD中，BD=，可得=20，解方程即可解决问题．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，
在Rt△ADC中，tan36°=，
∴AD=，
在Rt△BCD中，tan∠B=，
BD=，
∴=20，
解得x=8.179≈8.2m．
答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
21. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位：km)，乘坐地铁的时间(单位：min)是关于的函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x/km
7
9
11
12
13
y1/min
16
20
24
26
28
(1)求关于的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
【正确答案】(1) y1=2x＋2 ；(2) 李华应选择在出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min
【分析】（1）将(7，16)，(9，20)代入函数解析式，便可求解．
（2）回到家所需的时间为y，则y=y1＋y2，y= =x2-9x＋80配方便可解决．
【详解】解：(1)设y1关于x的函数解析式为y1=kx＋b.将(7，16)，(9，20)代入，
得解得∴y1关于x的函数解析式为y1=2x＋2.
(2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min，y=y1＋y2
则y=y1＋y2=2x＋2＋x2-11x＋78=x2-9x＋80= (x-9)2＋39.5.
∴当x=9时，y取得最小值，最小值为39.5.
所以李华应选择在出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min.
本题考查利用待定系数求函数表达式，代入点便可求出，配方法的解决最值问题常用的方法，掌握即可．
22. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【正确答案】【探索发现 】；【拓展应用 】；【灵活应用 】该矩形的面积为720；【实际应用 】该矩形的面积为1944cm2．
【分析】【探索发现 】由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；
【拓展应用 】由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用 】添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现 】结论解答即可；
【实际应用 】延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由ta=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用 】结论解答可得．
【详解】【探索发现 】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
【拓展应用 】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN值为；
【灵活应用 】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20，DH=16，
∴AE=EH，CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现 】知矩形的面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用 】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ta=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵ta==，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用 】知，矩形PQMN的面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+3点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长，并求值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积？并求值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，l有值，l=；（3）t=时，△PAD的面积的值为；（4）t=.
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值时，△PAD的面积；
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解决问题；
试题解析：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，
则有，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，
∴D（3，0），且A（0，3），
∴直线AD解析式为y=﹣x+3，
设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∵0＜t＜3，
∴点M在象限内，
∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，l有值，l=；
（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，
∴PM的值时，△PAD的面积中点，值=×=．
∴t=时，△PAD的面积的值为．
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵△PAD是直角三角形，
∴=AD，
∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，
整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，
解得t=0或3或，
∵点P在象限，
∴t=.
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中没有同尺码的衬衫情况统计如下：
尺码
平均每天数量（件）
该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
2. 如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A. 0分 B. 2分 C. 4分 D. 6分
3. 如图，以点O为位似，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9
4. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，圆锥底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A. 30πcm2 B. 48πcm2 C. 60πcm2 D. 80πcm2
6. 已知关于x方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6
7. 半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A. 2r B. C. D.
8. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填 空 题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9. 求值：________．
10. 已知，则xy＝__．
11. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
12. 如图，若让转盘转动，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________________.
13. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．
14. 某超市今年1月份的额是2万元，3月份的额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市额平均每月的增长率是_____．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=si；②sinβ=sinC；③si=cosC；④sinα=cosβ.其中正确结论有_____.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．
三、解 答 题（共9小题，满分68分）
17. (1)解方程：x（x+3）=–2；
(2)计算：sin45°+3cos60°–4tan45°．
18. 体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12
乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目平均成绩；
（2）哪个班的成绩比较整齐？
19. 校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
20. 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
21. 已知关于x一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
22. 如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
23. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．
（1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由
（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．
25. 如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 ；
（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的值；
（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中没有同尺码的衬衫情况统计如下：
尺码
平均每天数量（件）
该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
【正确答案】C
【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】由于众数是数据中出现次数至多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
2. 如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A. 0分 B. 2分 C. 4分 D. 6分
【正确答案】C
【分析】根据开平方法解一元二次方程求解判断（1）错误；可根据角的三角函数值对（2）进行判断；可根据等圆的定义判断对（3）角线判断，从而根据每题的分值求解．
【详解】（1）x2=1，
∴x=±1，
∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误；
（2）sin30°=0.5，所以（2）正确；
（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；
这三道题，小亮答对2道，2×2=4（分）．
故选C．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3. 如图，以点O为位似，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9
【正确答案】D
【详解】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵OB=3OB′，
∴OB′：OB=1：3，
∵以点O位似，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，
∴.
故选D
4. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴,
∴，
故选：C．
本题主要考察直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．
5. 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A. 30πcm2 B. 48πcm2 C. 60πcm2 D. 80πcm2
【正确答案】C
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【详解】∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
6. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6
【正确答案】A
【详解】设方程另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
7. 半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A. 2r B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．
【详解】如图所示，OB=OA=r；
，
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD=60°×=30°，
BD=r•cos30°=；
根据垂径定理，BC=2×=r．
故选B．
本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长．
8. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.
【详解】解:A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项没有符题意;
B. 两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项没有符题意；
C. 两三角形的对应边没有成比例,故两三角形没有相似,故本选项符合题意.
D. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本没有符题意;
所以选C选.
本题主要考查相似三角形的判定，需充分掌握三角形判断相似的定理.
二、填 空 题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9. 求值：________．
【正确答案】
【分析】根据角的三角函数值直接得出答案即可．
【详解】tan60°的值为．
故答案为．
本题考查的是角的三角函数值，熟记各角的三角函数值是解答此题的关键．
10. 已知，则xy＝__．
【正确答案】6
【分析】根据比例的性质：在比例中，两内项之积等于两外项之积即可得出。
【详解】解：∵，
∴xy＝6．
故6．
本题主要考查比例的基本性质的应用，注意掌握比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
11. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【正确答案】7
【详解】根据极差的定义,一组数据的值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.
12. 如图，若让转盘转动，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________________.
【正确答案】
【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积，即可求出停止后指针都落在阴影区域内的概率．
【详解】指针停止后指向图中阴影的概率是.
故答案为．
此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的的概率=步的概率与第二步的概率的积．
13. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．
【正确答案】58
【详解】试题解析：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OAB=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
故答案为58°.
14. 某超市今年1月份的额是2万元，3月份的额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市额平均每月的增长率是_____．
【正确答案】20％
【分析】设该超市额平均每月的增长率为x，则二月份额为2（1+x）万元，三月份额为2（1+x）2万元，由3月份的额是2.88万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设该超市额平均每月的增长率为x，则二月份额为2（1+x）万元，三月份额为2（1+x）2万元，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（没有合题意，舍去）．
所以，该超市额平均每月的增长率是20%．
故答案为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=si；②sinβ=sinC；③si=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.
【正确答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=si，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中si=，cosC=，
∴si=cosC，故③正确；
∵sinα=si，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．
【正确答案】（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．
【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．
【详解】∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∵点P是直线y=2x+2上一动点，
∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），
当圆P与边AB相切时，PA=PO，
∴PA=PC，即P为AC的中点，
∴P（-，1）；
当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，
∴P点与C重合，坐标为（-1，0）；
当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，
∴P点与A重合，坐标为（0，2）；
故符合条件的P点坐标为（0，2），（-1，0），（-，1），
故答案为（0，2），（-1，0），（-，1）．
本题主要考查待定系数法确定函数关系式，函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．
三、解 答 题（共9小题，满分68分）
17. (1)解方程：x（x+3）=–2；
(2)计算：sin45°+3cos60°–4tan45°．
【正确答案】(1) x1=﹣2，x2=﹣1；(2)-1.5.
【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据角三角函数值，可得答案．
【详解】（1）方程整理，得x2+3x+2=0，
因式分解，得
（x+2）（x+1）=0，
于是，得
x+2=0，x+1=0，
解得x1=﹣2，x2=﹣1；
（2）原式=
=1+1.5﹣4
=﹣1.5．
本题考查了解一元二次方程以及含有三角函数值的计算，掌握因式分解和角三角函数值是解题关键．
18. 体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12
乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；
（2）哪个班的成绩比较整齐？
【正确答案】（1）甲12分，乙12分；（2）甲班的成绩比较整齐．
【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；
（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案．
【详解】（1）（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），
（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．
故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；
（2）S甲2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，
S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，
∵S甲2＜S乙2，
∴甲班的成绩比较整齐．
本题主要考查平均数和方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键．
19. 校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）找出甲个出场的情况数，即可求出所求的概率；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，
∴P（甲位出场）=；
（2）画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，
∴P（甲比乙先出场）=．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
【正确答案】△ABC和△DEF相似．
【分析】利用格点三角形的知识求出AB，BC及EF，DE的长度，继而可作出判断．
【详解】△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，
∵，，，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
21. 已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
【正确答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2
【详解】解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴没有论p为任何实数，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∴
∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解没有等式的问题是解题的关键．
22. 如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
【正确答案】（16+5）米．
【详解】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．
23. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．
（1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．
【正确答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质可求得∠A=∠CDG，∠DEA=∠C，则可证得△AED∽△DCG；
（2）设AE=x，利用矩形的性质及等腰三角形的性质可求得BF=FG=DE=AE=x，从而可表示出EF，矩形的面积可得到关于x的方程，则可求得x的值，即可求得AE的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，
∴∠CDG=∠A，
∵∠C=90°，
∴∠AED=∠C，
∴△AED∽△DCG；
（2）设AE的长为x，
∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，
∴∠A=∠B=45°，AB=4，
∵矩形DEFG的面积为4，
∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，
∴BF=FG=DE=AE=x，
∴EF=4-2x，
即x（4-2x）=4，
解得x1=x2=．
∴AE的长为．
本题主要考查相似三角形的判定、性质及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想的应用．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由
（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.5．
【详解】（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）连接CE，
∵AD=2，AC=，∠ADC=90°，
∴CD==，
∵CD是⊙O的切线，
∴=AD•DE，
∴DE=1，
∴CE==，
∵C为的中点，
∴BC=CE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==3．
∴半径为1.5
25. 如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 ；
（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的值；
（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．
【正确答案】（1）（-1,0）；（2）6；（3）﹣＜x<或﹣2﹣＜x＜﹣2+；
【分析】（1）画出△ABC的外接圆即可解决问题；
（2）当点G在线段DM延长线上时DG，此时DG=DM+GM，
（3）分两种情形构建方程即可即可解决问题；
【详解】（1）如图所示；M（-1，0）；
故答案为（-1，0）．
（2）连接MD，MG，ME，
∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，
∴MG⊥EF，
∵EF=4，
∴EG=FG=2，
∴MG==1，
∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，
∴当点G线段DM延长线上时DG，此时DG=DM+GM，
∵DM==5，
∴DG的值为5+1=6；
（3）设P点的横坐标为x，
当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时，，
∴或
解得|xp|=2+或2-，
∵此时P点在第三象限，
∴x＜0，
∴x=-2-或-2+，
即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-2-＜x＜-2+；
当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|xM|，
，
解得|x|=，
∵此时P点在或二象限，
∴x=±，
即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-＜x；
综上所述，点P横坐标的取值范围为-＜x或-2-＜x＜-2+.
本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（ ）
A. m＜ B. m C. m= D. m=
2. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表:
···
···
···
···
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．
A. B. C. D.
7. 若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A. b2＞4ac
B ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
9. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日量就增加1个，为了获得利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
10. 如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A y＝（x﹣2）2-2 B. y＝（x﹣2）2+7
C. y＝（x﹣2）2-5 D. y＝（x﹣2）2+4
二、填 空 题（每题3分，共15分）
11. 如图，四边形与四边形相似，位似点是O，，则__.
12. 双曲线、在象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=120°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为______度（写出一个即可）．
14. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．
15. 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线点D和杯子上底面E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为_____cm．
三、解 答 题（共75分）
16. 按要求完成下列各题：
（1）解方程x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
（2）计算：tan260°﹣2cos60°﹣sin45°
17. 为了传承祖国的传统文化，某校组织了“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格
18. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0的解集．
19. 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
20. 汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
21. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位：km)，乘坐地铁的时间(单位：min)是关于的函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x/km
7
9
11
12
13
y1/min
16
20
24
26
28
(1)求关于的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
22. 探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+3点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长，并求值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积？并求值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（ ）
A. m＜ B. m C. m= D. m=
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=32-4×2m=9-8m=0，
解得：m=．
故选C．
2. 如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，
故选D．
本题考查简单组合体的三视图.
3. 如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】如图（见解析），先利用勾股定理求出AC长，再根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】如图，由题意得：是斜坡与水平地面的夹角，
由勾股定理得：，
则，
即这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于，
故选：C．
本题考查了勾股定理、正切，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．
4. 函数(ab＜0)图象在下列四个示意图中，可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、函数y2=（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；
B、函数y2=（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，函数y1=ax2+b，y2=（ab＜0）的图象可知ab＜0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，则ab＞0，故本选项错误．
故选C．
5. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表:
···
···
···
···
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：∵x=-3、x=-1时的函数值都是-3，相等，
∴函数图象的对称轴为直线x=-2，
顶点坐标为（-2，-2）．
故选：B．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
6. 如图，点，，，在上，是的一条弦，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】连接CD，由圆周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．
【详解】解：连接CD，
∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=，
故选：D．
本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
7. 若半径为5cm一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
【正确答案】D
【详解】设圆心角是a,由题意得，2πR=ar,
2π
解得a=144°.选D.
8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A. b2＞4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【正确答案】C
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.
【详解】A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个没有相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形是解题的关键.
9. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日量就增加1个，为了获得利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
【正确答案】A
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）=-x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得利润时x的值即可．
【详解】解：设应降价x元，
则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625，
∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有值．
∴为了获得利润，则应降价5元．
故选A．
应识记有关利润的公式：利润=价-成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10. 如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A. y＝（x﹣2）2-2 B. y＝（x﹣2）2+7
C. y＝（x﹣2）2-5 D. y＝（x﹣2）2+4
【正确答案】D
【分析】连接AB、，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，由平移的性质得四边形的面积等于阴影部分的面积，由此关系可确定平移的距离，则可求得平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m==，n==3，
∴A（1，），B（4，3），
如图，连接AB、，过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），且四边形是平行四边形，
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴阴影部分的面积等于平行四边形的面积，
∴AC•AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，即将函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是．
故选：D．
本题考查了二次函数图象的平移，关键是确定平移的距离，难点是通过割补把没有规则图形面积转化为规则图形面积．
二、填 空 题（每题3分，共15分）
11. 如图，四边形与四边形相似，位似点是O，，则__.
【正确答案】
【分析】
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴，
∴．
故答案为
12. 双曲线、在象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________．
【正确答案】
【分析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．
【详解】解：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，
∴S△AOC=×4=2，
∵S△AOB=1，
∴△CBO面积为3，
∴k=xy=6，
∴y2的解析式是：y2=．
故y2=．
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=120°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为______度（写出一个即可）．
【正确答案】80
【详解】
连接OD、OB，
∵∠DAB=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠DOB=120°，
∴60°＜∠BPD＜120°，
∴∠BPD可能为80°.
故答案为80.
点睛：圆的内接四边形对角互补.
14. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=6，AF=4，cos∠EAF=，则CF=______．
【正确答案】
【详解】试题解析：∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴
又∵AB∥DC，
∴ .
又∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
又∵ ∠ B=∠D，所以 ， .
由题，AF=4，AE=6，
则根据勾股定理，易得 ， ，
∴ .
所以本题的正确答案为 .
点睛：本题考查了平行四边形的性质、三角函数和勾股定理等内容，解题的关键在于将已知角的三角函数值转换到直角三角形中去，如果没有合适的直角三角形，也可作辅助线去构造一个来求解.
15. 小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线点D和杯子上底面E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为_____cm．
【正确答案】24﹣8．
【详解】试题解析：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴，即，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得： ，解得：，∴抛物线为，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则，解得x1=，x2=（舍去），∴点E的横坐标为，又∵ON=30，∴EH=30﹣（）=．故答案为．
点睛：本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．
三、解 答 题（共75分）
16. 按要求完成下列各题：
（1）解方程x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
（2）计算：tan260°﹣2cos60°﹣sin45°
【正确答案】（1）x1=，x2=﹣ ；（2）原式=1.
【详解】试题分析：（1）按配方法的一般步骤，求方程的解即可；
（2）把函数值直接代入，求出结果
试题解析：（1）移项，得x2﹣6x=4，
配方，得x2﹣6x+9=13
即（x﹣3）2=13
两边开平方，得x﹣3=±
所以x=3±
即x1=，x2=﹣
（2）原式=（）2 ﹣2×﹣
=3﹣1﹣1
=1
17. 为了传承祖国的传统文化，某校组织了“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时，仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．
试题解析：
（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，∴若随机选择其中一个正确的概率=，故答案为；
（2）画树形图得：
由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率=．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
18. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出没有等式kx+b﹣＞0解集．
【正确答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【详解】试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得没有等式的解集．
试题解析：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，所以函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，没有等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
考点：反比例函数与函数的交点问题；待定系数法求函数解析式．
19. 如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
【正确答案】（1）证明见解析 （2）﹣6π
【分析】（1）直接利用切线的判定方法圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；
（2）直接利用条件得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
（2）解：连接OC与CD，
∵DA＝DF，
∴∠BAD＝∠F，
∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，
∵OD⊥EF，∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°，
在Rt△ODF中，DF＝6，
∴OD＝DF•tan30°＝6，
在Rt△AED中，DA＝6，∠CAD＝30°，
∴DE＝DA•sin30°＝3，EA＝DA•cos30°＝9，
∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，
由CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠DCO＝∠AOC＝60°，
∴CD∥AB，
故S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝＝．
此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S△ACD＝S△COD是解题关键．
20. 汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【正确答案】拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
【详解】试题分析：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，在Rt△ADC中，可得AD=，在Rt△BCD中，BD=，可得=20，解方程即可解决问题．
试题解析：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，
在Rt△ADC中，tan36°=，
∴AD=，
在Rt△BCD中，tan∠B=，
BD=，
∴=20，
解得x=8.179≈8.2m．
答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
21. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位：km)，乘坐地铁的时间(单位：min)是关于的函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x/km
7
9
11
12
13
y1/min
16
20
24
26
28
(1)求关于的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．
【正确答案】(1) y1=2x＋2 ；(2) 李华应选择在出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min
【分析】（1）将(7，16)，(9，20)代入函数解析式，便可求解．
（2）回到家所需的时间为y，则y=y1＋y2，y= =x2-9x＋80配方便可解决．
【详解】解：(1)设y1关于x的函数解析式为y1=kx＋b.将(7，16)，(9，20)代入，
得解得∴y1关于x的函数解析式为y1=2x＋2.
(2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min，y=y1＋y2
则y=y1＋y2=2x＋2＋x2-11x＋78=x2-9x＋80= (x-9)2＋39.5.
∴当x=9时，y取得最小值，最小值为39.5.
所以李华应选择在出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min.
本题考查利用待定系数求函数表达式，代入点便可求出，配方法的解决最值问题常用的方法，掌握即可．
22. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【正确答案】【探索发现 】；【拓展应用 】；【灵活应用 】该矩形的面积为720；【实际应用 】该矩形的面积为1944cm2．
【分析】【探索发现 】由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；
【拓展应用 】由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用 】添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现 】结论解答即可；
【实际应用 】延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由ta=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用 】结论解答可得．
【详解】【探索发现 】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
【拓展应用 】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN值为；
【灵活应用 】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20，DH=16，
∴AE=EH，CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现 】知矩形的面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用 】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ta=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵ta==，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用 】知，矩形PQMN的面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
23. 如图，抛物线y=ax2+bx+3点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长，并求值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积？并求值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，l有值，l=；（3）t=时，△PAD的面积的值为；（4）t=.
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值时，△PAD的面积；
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解决问题；
试题解析：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，
则有，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，
∴D（3，0），且A（0，3），
∴直线AD解析式为y=﹣x+3，
设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∵0＜t＜3，
∴点M在象限内，
∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，l有值，l=；
（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，
∴PM的值时，△PAD的面积中点，值=×=．
∴t=时，△PAD的面积的值为．
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵△PAD是直角三角形，
∴=AD，
∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，
整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，
解得t=0或3或，
∵点P在象限，
∴t=.
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中没有同尺码的衬衫情况统计如下：
尺码
平均每天数量（件）
该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
2. 如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A. 0分 B. 2分 C. 4分 D. 6分
3. 如图，以点O为位似，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9
4. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，圆锥底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A. 30πcm2 B. 48πcm2 C. 60πcm2 D. 80πcm2
6. 已知关于x方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6
7. 半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A. 2r B. C. D.
8. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填 空 题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9. 求值：________．
10. 已知，则xy＝__．
11. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
12. 如图，若让转盘转动，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________________.
13. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．
14. 某超市今年1月份的额是2万元，3月份的额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市额平均每月的增长率是_____．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=si；②sinβ=sinC；③si=cosC；④sinα=cosβ.其中正确结论有_____.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．
三、解 答 题（共9小题，满分68分）
17. (1)解方程：x（x+3）=–2；
(2)计算：sin45°+3cos60°–4tan45°．
18. 体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12
乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目平均成绩；
（2）哪个班的成绩比较整齐？
19. 校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
20. 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
21. 已知关于x一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
22. 如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
23. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．
（1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由
（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．
25. 如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 ；
（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的值；
（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中没有同尺码的衬衫情况统计如下：
尺码
平均每天数量（件）
该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数
【正确答案】C
【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】由于众数是数据中出现次数至多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
2. 如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A. 0分 B. 2分 C. 4分 D. 6分
【正确答案】C
【分析】根据开平方法解一元二次方程求解判断（1）错误；可根据角的三角函数值对（2）进行判断；可根据等圆的定义判断对（3）角线判断，从而根据每题的分值求解．
【详解】（1）x2=1，
∴x=±1，
∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误；
（2）sin30°=0.5，所以（2）正确；
（3）等圆的半径相等，所以（3）正确；
这三道题，小亮答对2道，2×2=4（分）．
故选C．
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3. 如图，以点O为位似，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：9
【正确答案】D
【详解】由位似比可得出相似比，再根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：∵OB=3OB′，
∴OB′：OB=1：3，
∵以点O位似，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴A′B′：AB＝OB′：OB=1：3，
∴.
故选D
4. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴,
∴，
故选：C．
本题主要考察直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．
5. 如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A. 30πcm2 B. 48πcm2 C. 60πcm2 D. 80πcm2
【正确答案】C
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【详解】∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝×2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
6. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6
【正确答案】A
【详解】设方程另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
7. 半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ）
A. 2r B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．
【详解】如图所示，OB=OA=r；
，
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD=60°×=30°，
BD=r•cos30°=；
根据垂径定理，BC=2×=r．
故选B．
本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长．
8. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.
【详解】解:A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项没有符题意;
B. 两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项没有符题意；
C. 两三角形的对应边没有成比例,故两三角形没有相似,故本选项符合题意.
D. 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本没有符题意;
所以选C选.
本题主要考查相似三角形的判定，需充分掌握三角形判断相似的定理.
二、填 空 题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9. 求值：________．
【正确答案】
【分析】根据角的三角函数值直接得出答案即可．
【详解】tan60°的值为．
故答案为．
本题考查的是角的三角函数值，熟记各角的三角函数值是解答此题的关键．
10. 已知，则xy＝__．
【正确答案】6
【分析】根据比例的性质：在比例中，两内项之积等于两外项之积即可得出。
【详解】解：∵，
∴xy＝6．
故6．
本题主要考查比例的基本性质的应用，注意掌握比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
11. 一组数据6，2，–1，5的极差为__________．
【正确答案】7
【详解】根据极差的定义,一组数据的值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7.
12. 如图，若让转盘转动，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________________.
【正确答案】
【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积，即可求出停止后指针都落在阴影区域内的概率．
【详解】指针停止后指向图中阴影的概率是.
故答案为．
此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的的概率=步的概率与第二步的概率的积．
13. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．
【正确答案】58
【详解】试题解析：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OAB=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
故答案为58°.
14. 某超市今年1月份的额是2万元，3月份的额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市额平均每月的增长率是_____．
【正确答案】20％
【分析】设该超市额平均每月的增长率为x，则二月份额为2（1+x）万元，三月份额为2（1+x）2万元，由3月份的额是2.88万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设该超市额平均每月的增长率为x，则二月份额为2（1+x）万元，三月份额为2（1+x）2万元，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（没有合题意，舍去）．
所以，该超市额平均每月的增长率是20%．
故答案为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=si；②sinβ=sinC；③si=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.
【正确答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=si，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中si=，cosC=，
∴si=cosC，故③正确；
∵sinα=si，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为__________．
【正确答案】（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．
【分析】先求出点C的坐标，分为三种情况：圆P与边AO相切时，当圆P与边AB相切时，当圆P与边BO相切时，求出对应的P点即可．
【详解】∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
∵点P是直线y=2x+2上一动点，
∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（-1，0），
当圆P与边AB相切时，PA=PO，
∴PA=PC，即P为AC的中点，
∴P（-，1）；
当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上，
∴P点与C重合，坐标为（-1，0）；
当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上，
∴P点与A重合，坐标为（0，2）；
故符合条件的P点坐标为（0，2），（-1，0），（-，1），
故答案为（0，2），（-1，0），（-，1）．
本题主要考查待定系数法确定函数关系式，函数的应用，及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，可分类3种情况圆与△AOB的三边分别相切，根据直线与圆的位置关系可求解点的坐标．
三、解 答 题（共9小题，满分68分）
17. (1)解方程：x（x+3）=–2；
(2)计算：sin45°+3cos60°–4tan45°．
【正确答案】(1) x1=﹣2，x2=﹣1；(2)-1.5.
【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据角三角函数值，可得答案．
【详解】（1）方程整理，得x2+3x+2=0，
因式分解，得
（x+2）（x+1）=0，
于是，得
x+2=0，x+1=0，
解得x1=﹣2，x2=﹣1；
（2）原式=
=1+1.5﹣4
=﹣1.5．
本题考查了解一元二次方程以及含有三角函数值的计算，掌握因式分解和角三角函数值是解题关键．
18. 体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12
乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩；
（2）哪个班的成绩比较整齐？
【正确答案】（1）甲12分，乙12分；（2）甲班的成绩比较整齐．
【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；
（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案．
【详解】（1）（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），
（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．
故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；
（2）S甲2=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，
S乙2=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，
∵S甲2＜S乙2，
∴甲班的成绩比较整齐．
本题主要考查平均数和方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键．
19. 校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）找出甲个出场的情况数，即可求出所求的概率；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛，
∴P（甲位出场）=；
（2）画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，
∴P（甲比乙先出场）=．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
【正确答案】△ABC和△DEF相似．
【分析】利用格点三角形的知识求出AB，BC及EF，DE的长度，继而可作出判断．
【详解】△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，
∵，，，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
21. 已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个没有相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，没有需说明理由）
【正确答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2
【详解】解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴没有论p为任何实数，方程总有两个没有相等的实数根；
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∴
∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解没有等式的问题是解题的关键．
22. 如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
【正确答案】（16+5）米．
【详解】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．
23. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．
（1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．
【正确答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质可求得∠A=∠CDG，∠DEA=∠C，则可证得△AED∽△DCG；
（2）设AE=x，利用矩形的性质及等腰三角形的性质可求得BF=FG=DE=AE=x，从而可表示出EF，矩形的面积可得到关于x的方程，则可求得x的值，即可求得AE的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，
∴∠CDG=∠A，
∵∠C=90°，
∴∠AED=∠C，
∴△AED∽△DCG；
（2）设AE的长为x，
∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，
∴∠A=∠B=45°，AB=4，
∵矩形DEFG的面积为4，
∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，
∴BF=FG=DE=AE=x，
∴EF=4-2x，
即x（4-2x）=4，
解得x1=x2=．
∴AE的长为．
本题主要考查相似三角形的判定、性质及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想的应用．
24. 如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由
（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．
【正确答案】（1）直线CD与⊙O相切；（2）⊙O的半径为1.5．
【详解】（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）连接CE，
∵AD=2，AC=，∠ADC=90°，
∴CD==，
∵CD是⊙O的切线，
∴=AD•DE，
∴DE=1，
∴CE==，
∵C为的中点，
∴BC=CE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==3．
∴半径为1.5
25. 如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 ；
（2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的值；
（3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．
【正确答案】（1）（-1,0）；（2）6；（3）﹣＜x<或﹣2﹣＜x＜﹣2+；
【分析】（1）画出△ABC的外接圆即可解决问题；
（2）当点G在线段DM延长线上时DG，此时DG=DM+GM，
（3）分两种情形构建方程即可即可解决问题；
【详解】（1）如图所示；M（-1，0）；
故答案为（-1，0）．
（2）连接MD，MG，ME，
∵点G为弦EF的中点，EM=FM=，
∴MG⊥EF，
∵EF=4，
∴EG=FG=2，
∴MG==1，
∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，
∴当点G线段DM延长线上时DG，此时DG=DM+GM，
∵DM==5，
∴DG的值为5+1=6；
（3）设P点的横坐标为x，
当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时，，
∴或
解得|xp|=2+或2-，
∵此时P点在第三象限，
∴x＜0，
∴x=-2-或-2+，
即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-2-＜x＜-2+；
当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：|xM|，
，
解得|x|=，
∵此时P点在或二象限，
∴x=±，
即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为-＜x；
综上所述，点P横坐标的取值范围为-＜x或-2-＜x＜-2+.
本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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