18.1 平行四边形 第二课时-2022-2023学年八年级数学下册课件（人教版）

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18.1 平行四边形第2课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入平行四边形的性质：对边相等；对角相等回顾旧知新课精讲探索新知1知识点平行四边形的性质——对角线互相平分探究 如图 ，在▱ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点O, OA与OC，OB 与OD 有什么关系？你能证明发现的结论吗？ 我们猜想，在▱ABCD 中，OA=OC，OB=OD.探索新知由此我们又得到平行四边形的一个性质：平行四边形的对角线互相平分.探索新知对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形， 对角线AC，BD 相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD.探索新知例1 如图，已知▱ABCD 的周长是60，对角线AC，BD 相交于 点O. 若△AOB 的周长比△BOC 的周长长8，求这个平行四 边形各边的长．由平行四边形对边相等知，2AB＋2BC＝60，所以AB＋BC＝30. 又由△AOB 的周长比△BOC 的周长长8，知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长． 导引：探索新知∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵AB＋BC＋CD＋DA＝60， OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC )＝8，∴AB＋BC＝30， AB－BC＝8.∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.解：探索新知例2 如图，已知▱ABCD 与▱EBFD 的顶点A，E，F，C 在一条直线上，求证：AE＝CF.平行四边形的性质提供了边的平行与相等，角的相等与互补，对角线的平分，当所要证明的结论中的线段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD 交AC 于点O，再进行证明．导引：探索新知如图，连接BD 交AC 于点O.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC (平行四边形的对角线互相平分)．∵四边形EBFD 是平行四边形，∴OE＝OF (平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF (等式的性质)．证明：探索新知 本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．典题精讲如图，在▱ABCD 中，BC =10，AC =8，BD =14. △AOD 的周长是多少?△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？在▱ABCD 中，AD＝BC＝10，AB＝CD.因为AC＝8，BD＝14，所以OA＝OC＝ AC＝ ×8＝4，OB＝OD＝ BD＝ ×14＝7.解：典题精讲所以△AOD 的周长为OA＋OD＋AD＝4＋7＋10＝21，△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋8＋10＝18＋AB，△DBC 的周长为BC＋CD＋BD＝10＋CD＋14＝24＋CD＝24＋AB，所以△DBC 的周长>△ABC 的周长，△DBC 的周长－△ABC 的周长＝24＋AB－(18＋AB )＝24＋AB－18－AB＝6，即△DBC 的周长比△ABC 的周长长，长6.典题精讲2 如图， ▱ ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 且与AB，CD 分 别相交于点E，F. 求证OE=OF.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA＝OC，AB∥CD，所以∠EAO＝∠FCO.又因为∠AOE＝∠COF，所以△OAE ≌ △OCF. 所以OE＝OF.解：典题精讲如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥ABC典题精讲如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO 的周长是(　　)A．10 B．14 C．20 D．22B探索新知2知识点平行四边形的面积1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四 边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．2．等底等高的平行四边形的面积相等．探索新知例3 如图，在▱ABCD 中，AB=10，AD =8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA 的长，以及▱ABCD 的面积. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=8， CD=AB=10. ∵AC⊥BC，∴△ABC 是直角三角形. 根据勾股定理， 又 OA=OC，∴OA= AC=3， S▱ABCD =BC • AC =8×6=48.解：探索新知 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．典题精讲如图，若▱ABCD 的周长为36 cm，过点D 分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD 的面积为(　 　)cm2.A．40 B．32 C．36 D．50A典题精讲如图，过▱ABCD 的对角线BD上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的▱AEMG 的面积S1与▱HCFM 的面积S2的大小关系是(　　)A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．2S1＝S2C∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE ≌ △COF，∴OE＝OF.易错提醒解：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ,OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F. 试说明：OE＝OF.易错提醒易错点：容易把未知条件当作已知条件使用.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA＝OC，∵OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，又∠AOE＝∠COF，∴△AOE ≌ △COF，∴OE＝OF.错解：错解误认为已知E，O，F 三 点共线，从而得到∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个．E，O，F 三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误．诊断：学以致用小试牛刀如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE 的长为(　　)A. B. C. D.1D小试牛刀如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC 于F，若▱ABCD 的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD 的周长为(　　)A．14 B．13 C．12 D．102C小试牛刀如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是(　　)A．4 B．3 C．2 D．13B小试牛刀如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC＝6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(　　)A．3 B．6 C．12 D．244C小试牛刀如图，在▱ABCD 中，BE⊥AC，垂足E 在CA 的延长线上， DF⊥AC，垂足F 在AC 的延长线上，求证：AE＝CF.小试牛刀连接BD，交EF 于点O，如图． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠E＝∠F＝90°.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE ≌ △DOF (AAS)．∴OE＝OF.∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.证明：小试牛刀如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点 O 且与AB，CD 分别相交于点E，F，连接EC. (1)求证：OE＝OF； (2)若EF⊥AC，△BEC 的周长是10，求▱ABCD 的周长.小试牛刀∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD＝OB，DC∥AB. ∴∠FDO＝∠EBO. 在△DFO 和△BEO 中， ∴△DFO ≌ △BEO (ASA)． ∴OE＝OF.证明：小试牛刀(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC. ∵EF⊥AC，∴AE＝CE. ∵△BEC 的周长是10， ∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10. ∴▱ABCD 的周长＝2(BC＋AB )＝20.解：小试牛刀如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线 AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求 ▱ABCD 的面积．小试牛刀(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，BA＝CD. ∴∠DAE＝∠E. 又∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠E. ∴BA＝BE，∴BE＝CD.证明：小试牛刀(2)∵∠BEA＝60°，BA＝BE，∴△ABE 为等边三角形. ∵BF⊥AE，∴F 为AE 的中点，∴AF＝EF. 在△AFD 和△EFC 中， ∴△AFD ≌ △EFC (ASA)． ∴△AFD 的面积等于△EFC 的面积． ∴▱ABCD 的面积等于△ABE 的面积． 在Rt△ABF 中，AB＝4，AF＝EF＝2， ∴BF＝2 . ∴△ABE 的面积为 ×4×2 ＝4 . ∴▱ABCD 的面积为4 . 解：小试牛刀如图①，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交 于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F. (1)求证：OE＝OF. (2)如图②，若过O 点的直线EF 与BA，DC 的延长线分别交于 点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般 性结论？小试牛刀(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE ≌ △COF. ∴OE＝OF.(2)解：能得到OE＝OF，方法同(1)．一般性结论：经过平行 四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或 对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交 点平分．课堂小结课堂小结1. 平行四边形的对角线互相平分．2. 平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的 任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．同学们，下节课见！