2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题14 基本不等式解析

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专题14 基本不等式第一部分 真题分类1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．3．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD7．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：9．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.10．（2019·天津高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.【答案】.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【解析】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，∴当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.12．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点中心对称，且，当时，，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点中心对称，所以函数在上单调递增，不等式可化为或，，即，解得，，即，解得，故不等式的解集为，故选：D2．已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（ ）A．9 B．3 C． D．【答案】D【解析】由题可得，椭圆焦点在轴上，且当为左右顶点时，取最大值为120°，则，又，则，又为椭圆焦点，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故选：D.3．已知正数m，n满足,则的最小值为（ ）A．24 B．18 C．16 D．12【答案】A【解析】由可得，所以，，当且仅当，时取等号.故选：A4．已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△为等边三角形，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由双曲线定义知，又，故由双曲线定义知，得，在中，，由余弦定理得即，，，当且仅当即时取等号.故选：D.5．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】平面向量，的夹角为，，，则，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：．6．设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（ ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】解：函数的导数为，可得函数的图象在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，，则，当且仅当即时，取得等号，则的最小值为，故选：．7．已知三内角的对边分别为，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】由及正弦定理，得，因为，，所以，即，因为，所以.如图，，所以，所以，即，∴，当且仅当，，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.8．在梯形中，，，，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，.取的中点，延长到点，使，连接，.由平面几何知识，易知，.设，.在中，，在中，，∴，在中，，又∵，∴，∴的最大值为.故选：B 二、填空题9．设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=______.【答案】【解析】，，，当且仅当时等号成立，l的倾斜角的取值范围是，，解得.故答案为：.10．对于任意的正实数，，则的取值范围为___________.【答案】【解析】法一：转化为斜率先把化作，故可看作与两点的斜率其中点在上，数形结合（如下图），故最小值为相切时取得，设，联立由解得（舍）当时，（极限思想）故的取值范围是.法二：令，则，再令，则原式，当且仅当时取等号，再令，则，当且仅当时取等号，故原式，又时，，所以的取值范围是.故答案为：11．已知向量|，若，且，则的最大值为____.【答案】【解析】解：∵，且，∴与的夹角为，设，则，∵，∴，又，∴，化简得，∴，当且仅当时，等号成立，∴．故答案为：．12．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为： 三、解答题13．已知函数的最小值为1．（1）求不等式的解集﹔（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解析】解：（1）∵，当且仅当时，取得最小值．又∵的最小值为1，∴．∵，∴．∴，等价于．当时，所求不等式等价于，解得，符合题意；当时，所求不等式等价于，解得，与条件矛盾；当时，所求不等式等价于，解得，符合题意．综上，原不等式的解集为．（2）∵，∴．∴．∴．当且仅当时，取得最大值3．14．已知函数，，且关于的不等式的解集为，设.（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵不等式的解集为，∴是方程的两个根，∴，解得，∴.∴.∴存在，使不等式成立，等价于在上有解，而，当且仅当，即时等号成立，∴的取值范围为；（2）原方程可化为，令，则，则有两个不同的实数解，其中，或，记，则①，解得，或②，不等式组②无实数解，∴实数的取值范围为.15．已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.当时，，解得，此时；当时，恒成立，此时；当时，，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）由绝对值三角不等式可得，所以的最小值为，即．所以当且仅当，时，等号成立，因此，的最小值为.16．设，其中常数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）有对称中心，对称中心为.【解析】（1）当时，，所以，为奇函数.当时，，，因为，所以既不是奇函数也不是偶函数.（2）原问题可化为在区间有解，则，因为函数在区间单调递减，所以，所以，所以a的取值范围是.（3）假设存在对称中心，则恒成立，得恒成立所以，得，，所以函数有对称中心.