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初中数学中考复习 专题15几何模型-旋转三模型（半角模型、三叉口模型、费马点模型）-2022年中考数学第二轮总复习课件（全国通用）
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这是一份初中数学中考复习 专题15几何模型-旋转三模型（半角模型、三叉口模型、费马点模型）-2022年中考数学第二轮总复习课件（全国通用），共24页。PPT课件主要包含了①旋转的目的，②旋转的条件，③旋转的方法，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，正方形，半角模型，三叉口模型，费马点模型等内容，欢迎下载使用。
以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角。
将分散的条件集中，隐蔽的关系显现；
具有公共端点的等线段；
【例1-1】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于点M,N.求证：(1)EF=DF+BE；(2)C△CEF=2BC；(3)BM2+DN2=MN2
将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´.
∴△AEF≌△AE´F.
证明:(1)∵四边形ABCD正方形.
∴BC=CD=DA=AB=1,∠BAD=∠B=∠ADC=90º.
∴∠ADE´=∠B=90º,∠E´AD=BAE,AE´=AE,DE´=BE,
∵∠EAF=45º,∠BAD=90º.
∴∠BAE+∠DAF=45º.
∴∠E´AF=∠E´AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45º.
∴EF=E´F=DF+BE
(2)C△CEF=CF+EF+CE
=CF+DF+BE+CE
(3)将△ADN绕点A顺时针旋转90º得△ABN´,连接MN´
同(1)可得△AMN´≌△AMN
∴BN´=DN,MN´=MN
∠ABN´=∠ADN=45º
∴BN´2+BM2=MN´2
∴BM2+DN2=MN2
①有公共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半；
③存在互补(或互余)的角。
③通过全等的性质得出线段之间的数量关系.
①将半角关系的两边组成的三角形旋转；
②证明一对轴对称的全等三角形；
正方形、正三角形、等腰直角三角形等.
如图:正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45º,连接BD交AE于G,AF于M,连接EM、GF.GF与EM相交于O点.则有下列结论.
②GB2+MD2=GM2
④AM=EM,AG=FG
⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长；
⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.
①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.
△AGF与△AME是等腰直角三角形
①S△AEF=S△ABE+S△ADF
②S△AEF=2S△AGM
③S正方形ABCD:S△AEF=2AB:EF
①△AEF∽△AMG∽△BGE∽△DMF∽△DAG∽△MBA
先将△ABE绕点A旋转得△ADE´再证△AEF≌△AE´F结论：EF=BE-DF
【例1-2】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180º,E,F分别是BC，CD上的点,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明.
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
邻补四边形内含半角(邻边相等，对角互补的四边形)
1.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点,∠ABC= ∠ADC=90º且∠EBF=45º.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
2.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点, ∠ABC+∠ADC=180º且∠EBF=1/2∠ABCº.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
2.如图：等腰直角△ABC中,∠ABC =90º,E、F都是AC上的点，且∠EBF=45º,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.
说明：上图依次是45º,30º的三角形对称(翻折),翻折形成正方形或等边三角形等的对称全等.(半角可以任意角去折叠,常见度数还有22.5º半角)
说明：轴对称有如下性质：
①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变.
②在反射变换下,任意两点A和B,变换后的对应点为A´和B´,则有直线AB和A´B´所成的角的平分线为l.
③两点之间的距离保持不变,任意两点A和B,变换后的对应点为A´和B´,则有AB=A´B´.
中小学数学中的很多图形都是轴对称图形,利用这些图形的对称轴性质,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题.
【一】将△ACE绕点A旋转到△ADE´,连接E´B得△ADE≌△ADE´ 再证Rt△BDE´
如图,已知△ABC是等腰直角三角形,点D,E在BC上,且满足∠DAE=45º.求证:DE2=BD2+CE2
【二】将△ABD沿着AD翻折到△ADF,连接EF,得△ABD≌△AFD；△ACE≌△AFE；再证Rt△DFE
【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA=5,PB=3,PC=4, (1)求∠BPC的度数；(2)求等边△ABC的边长；(3)求等边△ABC的面积.
解:(1)∵△ABC是等边三角形，
∴P´B=PB=3,P´C=PA=5,∠PBP´=ABC=60º.
将△ABP绕点B顺时针旋转60º得△CBQ,
∴AB=BC,∠ABC60º.
∴△PBP´为等边三角形.
∴PP´=PB=3,∠BPP´=60º.
即P´P2+PC2=P´C2.
∴∠P´PC=90º.
∴∠BPC=∠BPP´+∠P´PC=150º.
(2)过点B作BH⊥PC于点H.
∵∠BPC=150º.
∴BH=0.5BP=1.5.
三叉口模型---三线共点必旋转
1.三叉口模型的特征：
①在正多边形(或等腰直角三角形)中；
②三条已知线段有公共端点；
③由旋转的性质和勾股定理的逆定理求出角度；
①将其中一个三角形到旋转；
②连接三叉口点与其对应点；
④过正多边形的顶点作求出角的一边的垂线.
⑤利用勾股定理求出正多边形的边长(或面积).
(1)将△APD绕点D逆时针旋转90º 得△CQD,再连接PQ,
(2)作CH⊥DQ于点H，
求得∠APD=∠CQD=45º+90º=135°
2.如图,点P为正六边形ABCDEF内一点,且PA=8,PB= ,PC=10,求正六边形ABCD的面积.
3.已知在△ACB中,∠ACB=90º,AC=BC,PA=3,PC=2,PB=1,求∠BPC的度数？
皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字的“费马小定理”、“费马大定理”等. 据说费马在提出“费马大定理”时,在笔记本上写道：“我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧.”看得出那个时候纸确实挺贵的,几百年来,无数的数学家用一生的时间都没有证明出这条定理,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出来,此时费马已经逝世330年.
业余数学家之王---费马
【引例】有甲,乙,丙三个村庄(三个村庄之间的夹角均小于120º),要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置是所需管道总长最小?
【解决思路---外旋60º】
∴当B、P、P1、C1四点在同一直线上时,PA+PB+PC的值最小.点P为△ABC的费马点.
将△APC绕A点逆时针旋转60º得到△AP1C1,连接PP1.
则△APP1为等边三角形,AP=PP1,P1C1=PC,
∴PA+PB+PC=PP1+PB+P1C1.BC1为定长,
将此问题抽象为数学模型：【数学问题】如图,如果△ABC的内角均小于120º,在△ABC内作点P,使PA+PB+PC值最小.
【作法】1.如图,以AB(AC)为边,在△ABC的外部作等边△ABD(等边△ACE),
此时PA+PB+PC值最小.点P即为△ABC的费马点.
2.连接CD、BE交于点P,
1.PA+PB+PC值最小；
3.∠APB=∠APC=∠BPC=120〫.
2.最小值=CD=BE=PA+PB+PC；
【例3-1】如图,在△ABC中,∠ACB=30º,BC=4,AC=3,在△ABC内部有点P,连接PA,PB,PC,求：PA+PB+PC的最小值.
【例3-2】如图,A,D是一个长为1000米,宽为600米矩形ABCD货场的入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站H,设铺设公路AP+DP+PH=m,求m的最小值.
解:作正△DPE,将△APD绕点D顺时针旋转60º得到△FED,
作FN⊥BC交AD于点M,mmin=FN
∵AD=FD=1000米,∠FDM=60º,FM⊥AD,
∵MN=AB=600米，
以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角。
将分散的条件集中，隐蔽的关系显现；
具有公共端点的等线段；
【例1-1】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于点M,N.求证：(1)EF=DF+BE；(2)C△CEF=2BC；(3)BM2+DN2=MN2
将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´.
∴△AEF≌△AE´F.
证明:(1)∵四边形ABCD正方形.
∴BC=CD=DA=AB=1,∠BAD=∠B=∠ADC=90º.
∴∠ADE´=∠B=90º,∠E´AD=BAE,AE´=AE,DE´=BE,
∵∠EAF=45º,∠BAD=90º.
∴∠BAE+∠DAF=45º.
∴∠E´AF=∠E´AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45º.
∴EF=E´F=DF+BE
(2)C△CEF=CF+EF+CE
=CF+DF+BE+CE
(3)将△ADN绕点A顺时针旋转90º得△ABN´,连接MN´
同(1)可得△AMN´≌△AMN
∴BN´=DN,MN´=MN
∠ABN´=∠ADN=45º
∴BN´2+BM2=MN´2
∴BM2+DN2=MN2
①有公共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半；
③存在互补(或互余)的角。
③通过全等的性质得出线段之间的数量关系.
①将半角关系的两边组成的三角形旋转；
②证明一对轴对称的全等三角形；
正方形、正三角形、等腰直角三角形等.
如图:正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45º,连接BD交AE于G,AF于M,连接EM、GF.GF与EM相交于O点.则有下列结论.
②GB2+MD2=GM2
④AM=EM,AG=FG
⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长；
⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.
①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.
△AGF与△AME是等腰直角三角形
①S△AEF=S△ABE+S△ADF
②S△AEF=2S△AGM
③S正方形ABCD:S△AEF=2AB:EF
①△AEF∽△AMG∽△BGE∽△DMF∽△DAG∽△MBA
先将△ABE绕点A旋转得△ADE´再证△AEF≌△AE´F结论：EF=BE-DF
【例1-2】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180º,E,F分别是BC，CD上的点,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明.
半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．
邻补四边形内含半角(邻边相等，对角互补的四边形)
1.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点,∠ABC= ∠ADC=90º且∠EBF=45º.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
2.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点, ∠ABC+∠ADC=180º且∠EBF=1/2∠ABCº.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
2.如图：等腰直角△ABC中,∠ABC =90º,E、F都是AC上的点，且∠EBF=45º,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.
备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.
说明：上图依次是45º,30º的三角形对称(翻折),翻折形成正方形或等边三角形等的对称全等.(半角可以任意角去折叠,常见度数还有22.5º半角)
说明：轴对称有如下性质：
①把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变.
②在反射变换下,任意两点A和B,变换后的对应点为A´和B´,则有直线AB和A´B´所成的角的平分线为l.
③两点之间的距离保持不变,任意两点A和B,变换后的对应点为A´和B´,则有AB=A´B´.
中小学数学中的很多图形都是轴对称图形,利用这些图形的对称轴性质,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题.
【一】将△ACE绕点A旋转到△ADE´,连接E´B得△ADE≌△ADE´ 再证Rt△BDE´
如图,已知△ABC是等腰直角三角形,点D,E在BC上,且满足∠DAE=45º.求证:DE2=BD2+CE2
【二】将△ABD沿着AD翻折到△ADF,连接EF,得△ABD≌△AFD；△ACE≌△AFE；再证Rt△DFE
【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA=5,PB=3,PC=4, (1)求∠BPC的度数；(2)求等边△ABC的边长；(3)求等边△ABC的面积.
解:(1)∵△ABC是等边三角形，
∴P´B=PB=3,P´C=PA=5,∠PBP´=ABC=60º.
将△ABP绕点B顺时针旋转60º得△CBQ,
∴AB=BC,∠ABC60º.
∴△PBP´为等边三角形.
∴PP´=PB=3,∠BPP´=60º.
即P´P2+PC2=P´C2.
∴∠P´PC=90º.
∴∠BPC=∠BPP´+∠P´PC=150º.
(2)过点B作BH⊥PC于点H.
∵∠BPC=150º.
∴BH=0.5BP=1.5.
三叉口模型---三线共点必旋转
1.三叉口模型的特征：
①在正多边形(或等腰直角三角形)中；
②三条已知线段有公共端点；
③由旋转的性质和勾股定理的逆定理求出角度；
①将其中一个三角形到旋转；
②连接三叉口点与其对应点；
④过正多边形的顶点作求出角的一边的垂线.
⑤利用勾股定理求出正多边形的边长(或面积).
(1)将△APD绕点D逆时针旋转90º 得△CQD,再连接PQ,
(2)作CH⊥DQ于点H，
求得∠APD=∠CQD=45º+90º=135°
2.如图,点P为正六边形ABCDEF内一点,且PA=8,PB= ,PC=10,求正六边形ABCD的面积.
3.已知在△ACB中,∠ACB=90º,AC=BC,PA=3,PC=2,PB=1,求∠BPC的度数？
皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字的“费马小定理”、“费马大定理”等. 据说费马在提出“费马大定理”时,在笔记本上写道：“我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧.”看得出那个时候纸确实挺贵的,几百年来,无数的数学家用一生的时间都没有证明出这条定理,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出来,此时费马已经逝世330年.
业余数学家之王---费马
【引例】有甲,乙,丙三个村庄(三个村庄之间的夹角均小于120º),要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置是所需管道总长最小?
【解决思路---外旋60º】
∴当B、P、P1、C1四点在同一直线上时,PA+PB+PC的值最小.点P为△ABC的费马点.
将△APC绕A点逆时针旋转60º得到△AP1C1,连接PP1.
则△APP1为等边三角形,AP=PP1,P1C1=PC,
∴PA+PB+PC=PP1+PB+P1C1.BC1为定长,
将此问题抽象为数学模型：【数学问题】如图,如果△ABC的内角均小于120º,在△ABC内作点P,使PA+PB+PC值最小.
【作法】1.如图,以AB(AC)为边,在△ABC的外部作等边△ABD(等边△ACE),
此时PA+PB+PC值最小.点P即为△ABC的费马点.
2.连接CD、BE交于点P,
1.PA+PB+PC值最小；
3.∠APB=∠APC=∠BPC=120〫.
2.最小值=CD=BE=PA+PB+PC；
【例3-1】如图,在△ABC中,∠ACB=30º,BC=4,AC=3,在△ABC内部有点P,连接PA,PB,PC,求：PA+PB+PC的最小值.
【例3-2】如图,A,D是一个长为1000米,宽为600米矩形ABCD货场的入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站H,设铺设公路AP+DP+PH=m,求m的最小值.
解:作正△DPE,将△APD绕点D顺时针旋转60º得到△FED,
作FN⊥BC交AD于点M,mmin=FN
∵AD=FD=1000米,∠FDM=60º,FM⊥AD,
∵MN=AB=600米，
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