初中数学中考复习 专题17 截长补短模型（解析版）

中考常考几何模型

专题17   截长补短模型

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。补短法：如图③，延长AB至H点，使 BH=CD，再证明AH=EF即可。

模型精练：

1．如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，求证：AE＝ED．

【点睛】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，进一步可得出△AEB≌△DEF，可得出结论．

【解答】证明：作BE的延长线交CD的延长线于F，

∵CE是∠BCD的平分线，

∴∠BCE＝∠FCE，

∵AB∥CD，

∴∠F＝∠FBA，

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABF＝∠FBC，

∴∠FBC＝∠F．

在△FCE和△BCE中

，

∴△FCE≌△BCE，

∴EF＝BE，BC＝FC，

在△AEB和△DEF中

，

∴△AEB≌△DEF，

∴AE＝ED．

2．如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于点C，∠0AP+∠0BP＝180°．求证：AO+BO＝2CO．

【点睛】作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质就可以得出PC＝PD，就有△PCO≌PDO，就可以得出△ACP≌△BDP，进而得出结论．

【解答】证明：作PD⊥OB于D．

∴∠PDO＝90°．

∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA

∴PC＝PD．∠PCA＝90°．

∴∠PCA＝∠PDO．

在Rt△PCO和RtPDO中，

，

∴Rt△PCO≌RtPDO（HL），

∴OC＝OD．

∵∠OBP+∠DBP＝180°，且∠0AP+∠0BP＝180°，

∴∠OAP＝∠DBP．

在△ACP和△BDP中，

，

∴△ACP≌△BDP（AAS），

∴AC＝BD．

∵AO+BO＝AC+CO+BO，

∴AO+BO＝BD+BO+CO，

∴AO+BO＝DO+CO，

∴AO+BO＝2CO．

3．（2019•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．

【点睛】连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD≌△AFD，可得∠ADC＝∠ADF即可解题．

【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，

∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF，

∴CD＝FD，

∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°，

∴∠ABC＝∠AEF，

在△ABC和△AEF中，

，

∴△ABC≌△AEF（SAS），

∴AC＝AF，

在△ACD和△AFD中，

，

∴△ACD≌△AFD（SSS）

∴∠ADC＝∠ADF，

即AD平分∠CDE．

4．（2019•尚志市校级月考）已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．

（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；

（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．

【点睛】（1）根据菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）根据AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，再根据EF∥BC，可得∠AEF＝∠C，进而可得度数等于∠BAD的2倍的所有的角．

【解答】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠EAD，

∵AB＝AE，AD＝AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．

∵EF∥BC，

∴∠EFD＝∠BDA，

∴∠EFD＝∠EDF，

∴EF＝ED，

∴EF＝BD，

∵EF∥BD，

∴四边形BDEF为菱形．

（2）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，

∵EF∥BC，

∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，

∵∠ABF＝∠AEF，

∴∠ABF＝2∠BAD．

所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：

∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．

【点睛】在AC上截取AE＝AB，根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝DE，全等三角形对应角相等可得∠B＝∠AED，再求出CE＝BD，从而得到CE＝DE，根据等边对等角可得∠C＝∠CDE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED＝2∠C，然后根据三角形的内角和定理列方程求出∠C，即可得解．

【解答】解：如图，在AC上截取AE＝AB，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ABD和△AED中，，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴BD＝DE，∠B＝∠AED，

∵AC＝AE+CE，AC＝AB+BD，

∴CE＝BD，

∴CE＝DE，

∴∠C＝∠CDE，

即∠B＝2∠C，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴60°+2∠C+∠C＝180°，

解得∠C＝40°，

∴∠ABC＝2×40°＝80°．