初中数学中考复习 专题10 方程思想-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学常见思想方法

专题10 方程思想

专题概述：

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

名词诠释：

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

运用举例：

一．方程思想在数学概念问题中的运用

1．若1与互为相反数，求m的值．

【点睛】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到m的值．

【解析】解：根据题意得：10，

去分母得：m+3+2m﹣7＝0，

解得：m．

2．已知点A（x，x+y）与B（y+5，x﹣7）关于y轴对称，则x＝　2　，y＝　﹣7　．

【点睛】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可．

【解析】解：∵点A（x，x+y）与B（y+5，x﹣7）关于y轴对称，

∴，

解得．

故答案为：2；﹣7．

二．方程思想在一次方程（组）中的运用

3．某地一家公司现有蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司决定将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天加工完成，求精加工和粗加工蔬菜各多少吨？

【点睛】设精加工蔬菜x吨，则粗加工蔬菜（140﹣x）吨，根据15天加工140吨蔬菜，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】解：设精加工蔬菜x吨，则粗加工蔬菜（140﹣x）吨，

根据题意得：15，

解得：x＝60，

∴140﹣x＝80．

答：精加工蔬菜60吨，粗加工蔬菜80吨．

4．小明的爸爸前年存了年利率为2.25%的两年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税（税率为20%），所得利息正好为小明买了一个价值576元的CD机，小明爸爸前年存了　16000　元钱．

【点睛】题目中的相等关系是：利息＝本金×年利率×时间×（1﹣税率）．

【解析】解：设小明爸爸前年存了x元钱，可列方程

2.25%×2×（1﹣20%）x＝576，

解得：x＝16 000．

故填16000．

三．方程思想在一元二次方程中的运用

5．我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（　　）

A．8% B．9% C．10% D．11%

【点睛】本题主要考查了一元二次方程，因为求的是平均每次下调的百分率，所以设一个未知数就可以，列出方程，解出即可．

【解析】解：设平均每次下调的百分率为x

则：15000•（1﹣x）•（1﹣x）＝12150

∴（1﹣x）2＝0.81

∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9

解得：x＝0.1或x＝1.9

∵x＜1

∴x＝1.9（舍）

∴x＝0.1

答：平均每次下调的百分率为10%．

故选：C．

四．方程思想在分式方程中的运用

6．某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由甲、乙两个操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲操作员的输入速度是乙操作员的输入速度的2倍，结果甲操作员比乙操作员少用2小时输完．问乙操作员每小时能输入多少名学生的成绩？

【点睛】有工作总量2640，名学生的成绩数据求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”．等量关系为：乙用的时间﹣甲用的时间＝2．

【解析】解：设乙操作员每小时能输入x名学生成绩，根据题意得：

2，

解得x＝660，

经检验x＝660是原方程的解．

答：乙操作员每小时能输入660名学生成绩．

五．方程思想在几何中的运用

7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为　40°　．

【点睛】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．

【解析】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，

∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2x+3x+4x＝180°，

解得：x＝20°，

∴∠A的度数为：40°．

故答案为：40°．

8．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．8 B．20 C．8或20 D．10

【点睛】边AB的长是方程y2﹣7y+10＝0的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．

【解析】解：∵解方程y2﹣7y+10＝0得：y＝2或5

∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；

∴菱形的边长为5．

∴菱形ABCD的周长为4×5＝20．

故选：B．

9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB＝6，BC＝10，则FD的长为（　　）

A． B．4 C． D．5

【点睛】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．

【解析】解：∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE

∴AE＝EG，AB＝BG，

∴ED＝EG，

∵在矩形ABCD中，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠EGF＝90°，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF＝FG，

设DF＝x，则BF＝6+x，CF＝6﹣x，

在Rt△BCF中，102+（6﹣x）2＝（6+x）2，

解得x．

故选：C．