初中数学中考复习 专题09 分类讨论思想-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学常见思想方法

专题09  分类讨论思想

专题概述：

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

名词诠释：

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

运用举例：

一．分类讨论在数轴中的运用

1．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

【点睛】从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负．那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题．

【详解】解：设甲数为x，乙数为y

由题意得：|x|＝3|y|，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x在原点左侧，y在原点右侧，即x＜0，y＞0，故y+x＝8，即y+3y＝8，则4y＝8，所以y＝2，x＝﹣6，

若x在原点右侧，y在原点左侧，即x＞0，y＜0，则﹣4y＝8，所以y＝﹣2，x＝6；

（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x、y在原点左侧，即x＜0，y＜0，则﹣2y＝8，所以y＝﹣4，x＝﹣12，

若x、y在原点右侧，即x＞0，y＞0，则2y＝8，所以y＝4，x＝12．

二．分类讨论思想在绝对值中的运用

2．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的2倍，两数在数轴上对应两点之间的距离为6，这两数的积为　72，﹣8　．

【点睛】根据绝对值的定义和正负数的意义，利用分类讨论的思想：同在原点的右侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得2x﹣x＝6，可得甲数和乙数；若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为2x，x﹣2x＝6，可得甲数和乙数；在原点的两侧，设乙为x，则甲为﹣2x，由题意可得x+2x＝6，可得甲数和乙数；若原点的两侧，设乙为﹣x，则甲为2x，﹣x+2x＝6，可得甲数和乙数．再写出即可求解．

【详解】解：①同在原点的右侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得

2x﹣x＝6，

解得x＝6，

2x＝12，

xy＝6×12＝72；

②若同在原点的左侧，设乙为x，则甲为2x，由题意可得

x﹣2x＝6，

解得x＝﹣6，

﹣2x＝﹣12，

xy＝（﹣6）×（﹣12）＝72；

③在原点的两侧，设乙为x，则甲为﹣2x，由题意可得

x+2x＝6，

解得x＝2，

﹣2x＝﹣4，

xy＝2×（﹣4）＝﹣8；

④若原点的两侧，设乙为﹣x，则甲为2x，由题意可得

﹣x﹣2x＝6，

解得x＝﹣2，

﹣2x＝4，

xy＝﹣2×4＝﹣8；

故这两数的积为72，﹣8．

故答案为：72，﹣8．

三．分类讨论思想在有理数混合运算中的运用

3．（1）若a2＝16，|b|＝3，且ab＜0，求a+b的值；

（2）已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是5，求m2﹣（﹣1）（a+b）﹣cd的值．

【点睛】（1）根据a2＝16，|b|＝3，且ab＜0，可以得到a、b的值，从而可以求得a+b的值；

（2）根据a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是5，可以得到a+b、cd、m2的值，从而可以求得所求式子的值．

【详解】解：（1）∵a2＝16，|b|＝3，

∴a＝±4，b＝±3，

又∵ab＜0，

∴a＝4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3，

当a＝4，b＝﹣3时，a+b＝4+（﹣3）＝1，

当a＝﹣4，b＝3时，a+b＝（﹣4）+3＝﹣1；

（2）∵a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是5，

∴a+b＝0，cd＝1，m2＝25，

∴m2﹣（﹣1）（a+b）﹣cd

＝25+11

＝25+1+0﹣1

＝25．

四．分类讨论思想在实际中应用

4．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏不是该商店的会员．

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？

（3）购买商品的价格　＞1120　时，采用方案一更合算．

【点睛】（1）根据实际支付费用＝商品价格×折扣率即可算出结果；

（2）假设她购买商品的价格为x元时，两个方案所付金额相同，根据两种方案所付金额相同即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）设她购买商品的价格为y元时，采用方案一更合算，根据方案一所付金额小于方案为所付金额即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【详解】解：（1）120114（元）．

答：实际应支付114元．

（2）设她购买商品的价格为x元时，两个方案所付金额相同，

根据题意得：168xx，

解得：x＝1120．

答：她购买商品的价格为1120元时，两个方案所付金额相同．

（3）设她购买商品的价格为y元时，采用方案一更合算，

根据题意得：168yy，

解得：y＞1120．

故答案为：＞1120．

五．分类讨论思想在动点函数图象中的运用

5．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A．B． C．D．

【点睛】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．

【详解】解：由题意可得BQ＝x．

①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，

则△BPQ的面积BP•BQ，

解y•3x•xx2；故A选项错误；

②1＜x≤2时，P点在CD边上，

则△BPQ的面积BQ•BC，

解y•x•3x；故B选项错误；

③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，

则△BPQ的面积AP•BQ，

解y•（9﹣3x）•xxx2；故D选项错误．

故选：C．

六．分类讨论思想在抛物线与x轴交点问题中的运用

6．已知m为实数，如果函数y＝2mx2+（m+2）x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么m的值为　0或2　．

【点睛】分类讨论：当2m＝0时，即m＝0，函数为一次函数，其图象与x轴有且只有一个交点；当2m≠0，即m≠0时，函数为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题，当△＝（m+2）2﹣4•2m＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，然后解关于m的一元二次方程．

【详解】解：当2m＝0时，即m＝0，函数解析式变形为y＝2x+1，此函数为一次函数，其图象与x轴有且只有一个交点；

当2m≠0，即m≠0时，函数图象为抛物线，当△＝（m+2）2﹣4•2m＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，解得m＝2，

所以当m＝0或2时，函数y＝2mx2+（m+2）x+1的图象与x轴有且只有一个交点．

故答案为0或2

7．已知关于x的二次函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围．

【点睛】因为题中条件要求该函数为关于x的二次函数，所以只用根据二次函数与x轴交点的个数的判定，即b2﹣4ac与0的等量关系即可．

【详解】解：关于x的二次函数y＝（m+6）x2+2（m﹣1）x+m+1的图象与x轴总有交点，

所以4（m﹣1）2﹣4（m+6）（m+1）≥0，

解得，

又因为该函数是关于x的二次函数，

所以m+6≠0，所以m≠﹣6，

所以m的取值范围是：．

七．分类讨论思想在几何中的运用

8．如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么该三角形的周长为　56cm　．

【点睛】题目给出等腰三角形有两条边长分别为23cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：当腰为23cm时，周长＝23+23+10＝56cm；

当腰长为10cm时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；

根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为23cm，这个三角形的周长是56cm．

故答案为：56cm．