初中数学中考复习 专题03 函数-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学考点聚焦

专题03 函数

聚焦1　平面直角坐标系及函数的概念与图象

锁定目标：

锁定考点：

考点一　平面直角坐标系与点的坐标特征  

1．平面直角坐标系

如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴(或横轴)，竖直的数轴叫y轴(或纵轴)，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．

2．各象限内点的坐标特征

点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；

点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；

点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；

点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0. 

3．坐标轴上的点的坐标的特征

点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；

点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；

点P(x，y)在坐标原点x＝0，y＝0.

考点二　特殊点的坐标特征

1．对称点的坐标特征

点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．

2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征

平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同；

平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同．

3．各象限角平分线上点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．

考点三　距离与点的坐标的关系

1．点与原点、点与坐标轴的距离

(1)点P(a，b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即|b|；点P(a，b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即|a|.

(2)点P(a，b)到原点的距离等于点P的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即.

2．坐标轴上两点间的距离

(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.

(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.

(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝.                             

考点四　函数有关的概念及图象

1．函数的概念

一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

2．常量和变量

在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．

3．函数的表示方法

函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．

4．函数图象的画法

(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．

考点五　函数自变量取值范围的确定

确定自变量取值范围的方法：

1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．

2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．

3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．

4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．

聚焦2　一次函数

锁定目标：

锁定考点：

考点一　一次函数和正比例函数的定义

一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．

考点二　一次函数的图象与性质

1．一次函数的图象

(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．

(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．

2．一次函数图象的性质

一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

考点三　一次函数解析式的确定

常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是：

1．设出函数解析式；

2．根据已知条件求出未知的系数；

3．具体写出这个解析式．

考点四　一次函数与方程、方程组及不等式的关系            

1．y＝kx＋b与kx＋b＝0

直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．

2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0

从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．

3．一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．

聚焦3　反比例函数

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锁定考点：

考点一　反比例函数的概念

一般地，形如y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．

1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．

2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.

考点二　反比例函数的图象与性质

1．图象：反比例函数的图象是双曲线．

2．性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．

考点三　反比例函数的应用

1．利用待定系数法确定反比例函数解析式

根据两变量之间的反比例关系，设出形如y＝的函数关系式，再由已知条件求出k的值，从而确定函数解析式．

2．反比例函数的实际应用

解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．

聚焦4　二次函数

锁定目标：

锁定考点：

考点一　二次函数的概念

一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．

注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数．

考点二　二次函数的图象及性质

考点三　二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系

考点四　二次函数图象的平移

抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：

考点五　二次函数关系式的确定

设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．

考点六　二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．         

2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．

3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．