初中数学中考复习 专题11 函数思想-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学常见思想方法

专题11 函数思想

专题概述：

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

名词诠释：

函数思想是用运动和变化的观点，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

运用举例：

一．函数思想在几何变换的运用

1．（2019秋•龙泉驿区期末）如图，直线y＝kx+b与直线y＝2x+6关于y轴对称且交于点A，直线y＝2x+6交x轴于点B，直线y＝kx+b交x轴于点C，正方形DEFG一边DG在线段BC上，点E在线段AB上，点F在线段AC上，则点G的坐标是　（，0）　．

【点拨】根据轴对称求得直线AC的解析式，再根据正方形的性质以及轴对称的性质设G（m，0），则F（m，2m），代入直线AC的解析式，得到关于m的方程，解得即可．

【详解】解：由直线y＝2x+6可知A（0，6），B（﹣3，0），

∵直线y＝kx+b与直线y＝2x+6关于y轴对称且交于点A，直线y＝2x+6交x轴于点B，直线y＝kx+b交x轴于点C，

∴直线AC为y＝﹣2x+6，

设G（m，0），

∵正方形DEFG一边DG在线段BC上，点E在线段AB上，点F在线段AC上，

∴F（m，2m），

代入y＝﹣2x+6得，2m＝﹣2m+6，

解得m，

∴G的坐标为（，0），

故答案为（，0）．

2．（2019秋•武侯区期末）如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为　y＝2x+3　．

【点拨】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空．

【详解】解：设直线OA的解析式为：y＝kx，

把（1，2）代入，得k＝2，

则直线OA解析式是：y＝2x．

将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3．

故答案是：y＝2x+3．

3．（2020•安阳模拟）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8

【点拨】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．

【详解】解：连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，

∴OC∥AB，

∴S△OAB＝S△ABC＝4，

而S△OAB|k|，

∴|k|＝4，

∵k＜0，

∴k＝﹣8．

故选：D．

4．（2020•涡阳县模拟）抛物线y＝ax2（a≠0）沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是　y＝（x﹣1）2+1　．

【点拨】沿直线y＝x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．

【详解】解：∵抛物线y＝x2沿直线y＝x向上平移，平移距离为，相当于抛物线y＝ax2（a≠0）向右平移1个单位，向上平移1个单位，

∴根据平移的规律得到：“同簇抛物线”的表达式是y＝（x﹣1）2+1．

故答案为：y＝（x﹣1）2+1．

二．函数思想在方程中的运用

5．（2019秋•温江区期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为　x＝﹣5　．

【点拨】利用自变量x＝5时对应的函数值为0可确定程kx+b＝0的解．

【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），

∴关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝﹣5．

故答案为x＝﹣5．

6．（2019•浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　）

A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 

C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26

【点拨】根据函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c＝0一个解的范围．

【详解】解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，

函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；

由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.02与y＝0.03之间，

∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．

故选：C．

三．函数思想在不等式中的运用

7．（2019秋•青羊区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1

【点拨】写出一次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），

∴不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣2．

故选：A．

8．（2019秋•青白江区期末）如图所示，直线y＝x+1（记为l1）与直线y＝mx+n（记为l2）相交于点P（a，2），则关于x的不等式1﹣n≥（m﹣1）x的解集为　x≥1　．

【点拨】先利用y＝x+1确定a＝1，然后结合函数图象，写出直线y＝x+1不在直线y＝mx+n的下方所对应的自变量的范围即可．

【详解】解：当y＝2时，a+1＝2，解得a＝1，

不等式1﹣n≥（m﹣1）x变形为x+1≥mx+n，

而x≥1时，x+1≥mx+n，

所以关于x的不等式1﹣n≥（m﹣1）x的解集为x≥1．

故答案为x≥1．

9．（2019•成都校级模拟）方程7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2＝0（k是实数）有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是（　　）

A．3＜k＜4 B．﹣2＜k＜﹣1 

C．3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1 D．无解

【点拨】记f（x）＝7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2，由题意根据αβ＞0，（α﹣1）（β﹣1）＜0，（α﹣2）（β﹣2）＞0可得不等式组，解之即可得出答案．

【详解】解：记f（x）＝7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2，

由题意得：，

∴k的取值范围是3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1，

故选：C．

四．函数思想在二元一次方程（组）中的运用

10．（2019秋•平果县期末）如图，函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，关于x，y的方程组的解是（　　）

A． B． C． D．

【点拨】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标．

【详解】解：由图可知，交点坐标为（﹣3，﹣2），

所以方程组的解是．

故选：D．

11．（2019秋•青羊区期末）若方程组无解，则y＝kx﹣2图象不经过第　一　象限．

【点拨】根据两直线平行没有公共点得到k＝3k+1，解得k，则一次函数y＝kx﹣2为yx﹣2，然后根据一次函数的性质解决问题．

【详解】解：∵方程组无解，

∴k＝3k+1，解得k，

∴一次函数y＝kx﹣2为yx﹣2，

一次函数yx﹣2经过第二、三、四象限，不经过第一象限．

故答案为一．

五．函数思想在实际问题中的运用

12．（2019秋•金牛区期末）A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：

①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；

②乙用了4个小时到达目的地；

③乙比甲先出发1小时；

④甲在出发4小时后被乙追上．

在这些说法中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【点拨】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．

【详解】解：由图象可得，

甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故①正确；

乙用了3个小时到达目的地，故②错误；

乙比甲晚出发1小时，故③错误；

甲在出发4小时后被乙超过，故④错误；

由上可得，正确是①，

故选：A．

13．（2020•武侯区模拟）据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失．某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒，已知一瓶药物释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系，如图所示，结合图中提供的信息解答下列问题：

（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间满足的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克时，消毒才有效，那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟．

【点拨】（1）分别利用当0≤x≤10，设y与x之间满足的函数关系式为y＝kx，以及x＞10时，设y与x之间满足的函数关系式为y，分别得出函数关系式；

（2）直接利用y≥6时得出x的取值范围即可．

【详解】解：（1）当0≤x≤10，设y与x之间满足的函数关系式为y＝kx，

∵过点（10，30），

∴30＝10k，

解得：k＝3，

∴y＝3x（0≤x≤10），

x＞10时，设y与x之间满足的函数关系式为y，

∵过点（10，30），

∴30，

k＝300，

∴y（x＞10）；

（2）y＝3x（0≤x≤10）中，当y≥6时，x≥2，

y（x＞10）中，当y≥6时，x≤50，

∴2≤x≤50，

∴这次熏药的有效消毒时间是：50﹣2＝48（分钟）

答：这次熏药的有效消毒时间是48分钟．

14．（2020•锦江区校级模拟）2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）．

（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

【点拨】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；

（2）求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，根据二次函数的性质即可得到结论．

【详解】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；

当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，

解得，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；

综上所述，y；

（2）当10＜x≤14时W＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，

∵k＝640＞0，

∴W随着x的增大而增大，

∴当x＝14时，W＝4×640＝2560元；

当14＜x≤30时，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，

∵﹣20＜0，14＜x≤30，

∴当x＝28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．