初中数学中考复习 专题08 转化思想-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学常见思想方法

专题08 转化思想

专题概述：

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

名词诠释：

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

运用举例：

一、转化思想在代数中的运用

1．概念性的转化

例1.解关于x，y的方程组

【点睛】本题若解方程组，解法较繁．但若用方程根的定义则可更漂亮地解决．

【详解】解：若a=b时，则方程组有无数组解．因为此时方程组就等价于 x+ay=a2这个二元一次方程，对于任意一个实数x，都可求得相应的实数y，因此它有无数组解．若a≠b，则由已知方程组的定义，得a、b是方程x+yt=t2(即t2-yt-x=0)的根．由韦达定理，得a+b=y，ab=-x．∴原方程组的解为

2．方法上的转化

例2 把(ab-1)2+(a+b-2)(a+b-2ab)分解因式．

【点睛】一般地说本题难度很大．但若用换元法就可转化为较易解的问题．

【详解】解： 注意本题特点，a+b与ab重复出现，于是设ab＝x，a+b=y，则

原式=(x-1)2+(y-2)(y-2x)

=x2-2(y-1)x+(y-1)2(注意用公式)

=[x-(y-1)]2=［ab-(a+b)+1]2(代回)

＝[(a-1)(b-1)]2＝(a-1)2(b-1)2．

例3 已知：x2+x-1=0，求x3+2x2+5的值．

【点睛】 这是条件求值问题，若由x2+x-1=0求出x的值再代入求值，太繁了．但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了．

【详解】解法一 ∵ x2+x-1=0，

∴ x2=1-x．

原式=x(1-x)+2(1-x)+5

=x-x2+2-2x+5

=x-(1-x)+7-2x＝6．

转化的方法常不是唯一的．灵活思考会得到不同的转化途径．若把待求式拆拼出已知形式可得下列解法．

解法二 ∵ x2+x-1=0，

∴原式=(x3+x2-x)+(x2+x+5)

=x(x2+x-1)+(x2+x-1)+6=6．

这叫凑零法．还可以有多种方法，但用多项式除法原理则更简捷．

原式=(x+1)(x2+x-1)+6．

∵ x2+x-1＝0，

∴原式=6．

二、转化思想几何中的运用

1．利用平移变换转化

例4 已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠BAD+∠ABC=90°，M、N分别为AB和CD的中点，求证MN=

【点睛】本题求证中线段的关系较分散．从题目特点考虑，注意到∠BAD+∠ABC=90°，则将AD、BC向内平移会出现基本图形Rt△NEF．问题转化为证明MN为Rt△NEF斜边上的中线，又转化为AB-CD=EF=2MN即可(证明略)．

2．利用相似变换转化

例5 如图，△ABC中，AD=DB，DF交AC于E，交BC延长线于F．求证：AE·CF=EC·BF．

【点睛】我们把AE·CF=EC·BF改写成比例的形式：,就找不出相似三角形，于是考虑做辅助线转化为相似三角形(或平行线分线段成比例定理）.作CG∥AB,交DF于G.易得出两个比例式,儿AD=BD.∴,即AE·CF=EC·BF(证明略)．

3．用化归方法转化

例6 如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于P点．求证：AB·AD∶CB·CD=AP∶PC．

【点睛】这个题难度很大，很难下手，但方法对头就由难转易，如果我们采取化归的办法清理思路就不难了．从求证中看出比例式两边方次不同，可能是右边约去了因式，然而又很难寻找约去的因式，怎么办呢？可考虑“化归”．我们从求证中看到AB·AD与 CB·CD都是相邻两边乘积，于是可联想到很容易的一道题，即

已知：△ABC内接于⊙O，AD为△ABC中BC边上的高，AE为△ABC外接圆的直径．求证：AB·AC=AD·AE．

这个题目是很容易证的，只要连结BE，证明△ABE∽△ADC，或连结EC，证明△ABD∽△AEC即可．这个题用语言叙述就是“三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边上的高之积”．用这个题的结论去证例6可以发挥绝妙的作用．对例6不必再做分析就可证明．

4．形数间的转化

例7 矩形ABCD中，E在AD上，AE＝ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则＝______（BF＜FC）

【点睛】同学对这样的问题总觉得不好下手．其实设一些参数,用方程易解.设BC=a，AB=b,则AE=ED=，再设BF=x，则FC=a-x

根据梯形面积公式易得方程

解得：x．则a﹣x．

则．