2023 北师大版数学八年级下册开学测试卷（二）

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开学测试卷二
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数都是无理数
B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．无理数是开方开不尽的数
2．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，则AB的长是（　　）

A． B． C． D．
4．下列各式从左到右因式分解正确的是（　　）
A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
5．下列不等式不一定成立的是（　　）
A．﹣（a2+1）＜0 B．3a＞2a C．a2≥0 D．a2+3＞0
6．某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是（　　）
A．42，37 B．39，40 C．39，41 D．41，42
7．如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194
8．已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．直线y＝2x﹣3与直线y＝x﹣1的交点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（4，3） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．
13．若分式的值为0．则x的值是　 　．
14．如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点O为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点A，则点A表示的数为　 　．

15．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，点B到a、b的距离分别为1和2，则△ABC的面积为　 　．

三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（8分）计算：
（1）2﹣+（2﹣1）2
（2）﹣（）﹣1+﹣．
17．（8分）因式分解：
（1）4m2﹣36；
（2）2a2b﹣8ab2+8b3．
18．（6分）解方程：．
19．（8分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

20．（10分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）小于101的所有神秘数共有　 　个．
21．（10分）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．


开学测试卷二
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数都是无理数
B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．无理数是开方开不尽的数
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、如＝2，是整数，是有理数，选项错误；
B、无限循环小数是有理数，选项错误；
C、正确；
D、π是无理数，不是开方开不进得到的数，选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条边的长度能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：92+122＝152，故选项A不符合题意；
72+242＝252，故选项B不符合题意；
152+362＝392，故选项C不符合题意；
122+152≠202，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，则AB的长是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，
∴AB＝2BC，BC＝AC＝，
∴AB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，求出BC的长是解题的关键．
4．下列各式从左到右因式分解正确的是（　　）
A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；
C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；
D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
5．下列不等式不一定成立的是（　　）
A．﹣（a2+1）＜0 B．3a＞2a C．a2≥0 D．a2+3＞0
【分析】根据不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：A、x2+1＞0，两边都除以﹣1，不等号的方向改变，故A正确；
B、3＞2，两边都乘以负数a时，不等号的方向改变，故B错误；
C、任何实数的平方都是非负数，故C正确；
D、a2≥0，a2+3≥3，故D正确；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，注意任何实数的平方都是非负数．
6．某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是（　　）
A．42，37 B．39，40 C．39，41 D．41，42
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：37、39、39、41、42、45，数据39出现了两次最多为众数，39和41处在第3位和第四位，他们的平均数为40，所以40为中位数．所以本题这组数据的中位数是40，众数是39．
故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194
【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，
根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．
故选：C．
【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8．已知非零实数a，b满足|2a﹣4|+|b+2|++4＝2a，则a+b等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】首先根据算术平方根的被开方数≥0，求出a的范围，进而得出|2a﹣4|等于原值，代入原式得出+＝0．这是两项非负数之和等于0．则可分别求出a和b的值．
【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a＝3，b＝﹣2，从而a+b＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质和根据两个非负数之和等于0，求未知数的值．
9．直线y＝2x﹣3与直线y＝x﹣1的交点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（4，3） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；本题可联立两条直线的解析式，所组方程组的解即为两函数的交点坐标．
【解答】解：联立两函数的解析式有：
解得：；
因此直线y＝2x﹣3与直线y＝x﹣1的交点坐标是（2，1）．
故选：A．
【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝DC＝AB＝2，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，
则AF＝2AG＝2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≤2且x≠﹣2　．
【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得．
【解答】解：根据题意，得：，
解得：x≤2且x≠﹣2，
故答案为：x≤2且x≠﹣2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　12　．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
13．若分式的值为0．则x的值是　5　．
【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣25＝0且x+5≠0，
解得：x＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
14．如图，以数轴的单位长度为一边长，另一边长为2个单位长度作矩形，以数轴上的原点O为圆心，矩形的对角线为半径作弧与数轴交于点A，则点A表示的数为　　．

【分析】根据题意和图形可以得到点A表示的数，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
点A表示的数是：，
故答案为：．
【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，求出点A表示的数，利用数形结合的思想解答．
15．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，点B到a、b的距离分别为1和2，则△ABC的面积为　5　．

【分析】作CD⊥a，再利用AAS证明△ABE与△ACD全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：作CD⊥a，如图：
，
∵∠BAC＝∠ADC＝∠BEA＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝∠DAC+∠EAB＝90°，
∴∠EBA＝∠DAC，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AE＝CD＝1+2＝3，
∵BE＝1，
∴AB＝，
∴△ABC的面积＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
三．解答题（共6小题，满分36分）
16．计算：
（1）2﹣+（2﹣1）2
（2）﹣（）﹣1+﹣．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案；
（2）直接化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）2﹣+（2﹣1）2
＝2×﹣+12+1﹣4
＝13﹣4；

（2）﹣（）﹣1+﹣
＝﹣2+6﹣3
＝2+2﹣2+3
＝5．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（8分）因式分解：
（1）4m2﹣36；
（2）2a2b﹣8ab2+8b3．
【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）
＝4（m+3）（m﹣3）；

（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）
＝2b（a﹣2b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
18．解方程：．
【分析】先去分母，化为整式方程，解方程并检验，然后作答即可．
【解答】解：方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得x﹣3+6＝x2+3x，
化简，得（x+3）（x﹣1）＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
所以x＝﹣3不是原方程的解，
当x＝1时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以x＝1是原方程的解，
所以原方程的解x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
19．（8分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先证出∠ACD＝∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根据全等三角形证出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADC＝120°，得出∠BEC＝120°，从而证出∠AEB＝60°；
（2）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，最后证出DM＝ME＝CM即可．
【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（10分）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）小于101的所有神秘数共有　13　个．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）根据“神秘数”是4的奇数倍，得出结果便可．
【解答】解：（1）36是神秘数，54不是神秘数．
理由如下：∵36＝102﹣82＝100﹣64，
∴36是神秘数，
∵54不是两个连接奇数的平方差，
∴54不是神秘数；
（2）是．
理由如下：∵（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2）＝4（2n﹣1），
∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，
而小于101的4的奇数倍有4，12，20，28，36，44，52，60，68，76，84，92，100共13个，
故答案为13．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
21．（10分）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）填空：k＝　　；b＝　4　；m＝　2　；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．求出直线BC′的解析式，即可解决问题；
（3）分两种情况：①点P在线段DC上，②点P在线段DC的延长线上，由△ACP和△ADP的面积比为1：3，可得，根据比例的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
∴5＝1+b，
∴b＝4，
∴直线l2：y＝﹣x+4，
∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
∴m＝﹣2+4＝2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k＝．
∴k＝，b＝4，m＝2．
故答案为：，4，2；

（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．

∵B（﹣1，5），C′（2，﹣2），
∴直线BC′的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，得到x＝，
∴E（，0），
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）；

（3）∵点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，直线l1：y＝x+1，
∴D（﹣2，0），
∵C（2，2），
∴CD＝＝2，
∵点P的运动时间为t秒．
∴DP＝t，
分两种情况：①点P在线段DC上，


∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴，
∴，
∴DP＝×2＝，
∴t＝；
②点P在线段DC的延长线上，

∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴，
∴＝，
∴DP＝×2＝3，
∴t＝3．
综上：存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3，t的值为或3．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
日期：2022/1/5 23:48:21；用户：初中账号20；邮箱：；学号：39888732