2023 北师大版数学九年级下册开学测试卷（二）

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开学测试卷二
一．选择题（共10小题）
1．计算2sin60°的值为（　　）
A． B． C．1 D．
2．如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
4．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（　　）
A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2
8．数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　）

A．25° B．30° C．36° D．45°
9．如图，已知A、B、C为⊙O上三点，过C的切线MN∥弦AB，AB＝4，AC＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C．2 D．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0； ③3a+c＜0； ④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．其中正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　 　．
12．将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线，则这条新的抛物线的解析式为　 　．
13．张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是　 　米．
14．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为　 　．

15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　 　．

三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（6分）计算：
（1）tan45°+﹣2﹣2﹣（π﹣1）0+|﹣|；
（2）解方程：2x2+8x﹣3＝0．
17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．

18．（8分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
19．（8分）如图，一次函数的图象y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（，4），点B（m，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB＝∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．


开学测试卷二
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算2sin60°的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：2sin60°＝2×＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【分析】根据圆心到直线的距离7大于圆的半径6，则直线和圆相离．
【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，
∴⊙O的半径为6cm，
∵圆心O到一条直线的距离为7cm＞6cm，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点评】考查了直线和圆的位置关系和数量之间的等价关系：当d＞r时，直线和圆相离．
4．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：

∴P两次都是红球＝．
故选：D．
【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
5．不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据不等式组可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．
【解答】解：由不等式组得﹣2≤x＜1，
该不等式组的解集在数轴表示如下：

故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（　　）
A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2
【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
【解答】解：A、平均数＝＝5，此选项正确；
B、3，4，4，6，8中位数是4，此选项错误；
C、3，4，4，6，8众数是4，此选项正确；
D、方差S2＝＝3.2，此选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
8．数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　）

A．25° B．30° C．36° D．45°
【分析】连接AN，根据折叠的性质得到△ABN为等边三角形，可得∠ABN＝60°，于是得到∠ABM＝∠NBM＝30°．
【解答】解：连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
由折叠知AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°．
故选：B．

【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，翻折前后对应角相等；对应边相等；注意特殊角及三角函数的应用．
9．如图，已知A、B、C为⊙O上三点，过C的切线MN∥弦AB，AB＝4，AC＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】连接CO，并延长交AB于D，连接OA，根据切线的性质和平行线的性质求出∠CDA＝90°，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出答案即可．
【解答】解：连接CO，并延长交AB于D，连接OA，

∵过C的切线MN∥弦AB，
∴∠NCD＝90°，
∴∠CDA＝∠NCD＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CD过O，
∴AD＝BD＝AB＝4＝2，
在Rt△CDA中，由勾股定理得：CD＝＝＝4，
设AO＝OC＝R，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：AO2＝OD2+AD2，
∴R2＝（4﹣R）2+22，
解得：R＝，
即⊙O的半径是，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0； ③3a+c＜0； ④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．其中正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，
∴abc＜0，故①错误；

②∵对称轴x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；

③当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，由②知﹣b＝2a，
故3a+c＜0，
故③正确；

④∵抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∴当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），
即a+b＞ax2+bx，故④正确；

⑤图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，
故⑤正确；
综上所述正确的个数为4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　　．
【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解；
法二：利用正切求出∠A＝30°，∠B＝60°，再求cosB的值．
【解答】解：法一：
利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝x，b＝3x，则c＝2x，
∴cosB＝＝．
法二：
利用特殊角的三角函数值求解．
∵tanA＝
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°
∴∠B＝60°，
∴cosB＝cos60°＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值；也可利用特殊角的三角函数值求解．
12．将抛物线y＝x2﹣2x+2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线，则这条新的抛物线的解析式为　y＝x2﹣6x+13　．
【分析】将抛物线解析式整理成顶点式形式，求出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点，然后写出解析式并整理即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，
＝x2﹣2x+1﹣1+2，
＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∵向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后新抛物线顶点坐标为（3，4），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+4，
即y＝x2﹣6x+13．
故答案为：y＝x2﹣6x+13．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便．
13．张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是　1.9　米．
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻影长与物体的高度成正比得到＝，然后解方程即可．
【解答】解：设李四的影长是x米，
根据题意得＝，
解得x＝1.9．
答：李四的影长是1.9米，
故答案为：1.9．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
14．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为　2　．

【分析】连接OA、OC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝45°，根据圆周角定理求出∠AOC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OA、OC，
∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABC＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴AC＝OA＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　2或5　．

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′＝10，DB＝DB′，接下来分为∠B′DE＝90°和∠B′ED＝90°，两种情况画出图形，设DB＝DB′＝x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD＝DB′，AB′＝AB＝10．
如图1所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．

设BD＝DB′＝x，则AF＝6+x，FB′＝8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2＝AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2＝102．
解得：x1＝2，x2＝0（舍去）．
∴BD＝2．
如图2所示：当∠B′ED＝90°时，C与点E重合．

∵AB′＝10，AC＝6，
∴B′E＝4．
设BD＝DB′＝x，则CD＝8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2＝DE2+B′E2，即x2＝（8﹣x）2+42．
解得：x＝5．
∴BD＝5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（6分）计算：
（1）tan45°+﹣2﹣2﹣（π﹣1）0+|﹣|；
（2）解方程：2x2+8x﹣3＝0．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值进行实数的计算即可；
（2）运用配方法法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+﹣﹣1+
＝1+1﹣﹣﹣1+
＝；
（2）2x2+8x﹣3＝0，
x2+4x＝，
x2+4x+4＝+4，即（x+2）2＝，
∴x+2＝±，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值的运用，运用配方法解一元二次方程，解答时熟记特殊角的三角函数值是关键．
17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．

【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC＝60°，CD＝BC＝6，再由平行线的性质得出∠DCE＝∠BDC＝60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝DA，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，CD＝BC＝6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
又∵CD＝BC＝6，
在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3．

【点评】本题考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数定义；熟练掌握直角三角形的性质是解决问题的关键．
18．（8分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A类人数，进而可得出结论；
（2）直接根据概率公式可得出结论；
（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）总人数＝15÷25%＝60（人）．
A类人数＝60﹣24﹣15﹣9＝12（人）．
∵12÷60＝0.2＝20%，
∴m＝20．
条形统计图如图；


（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率＝＝；

（3）∵800×25%＝200，200÷20＝10，
∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．
【点评】本题考查的是条形统计图与扇形统计图，根据题意得出样本总数是解答此题的关键．
19．（8分）如图，一次函数的图象y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（，4），点B（m，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）把点A（，4）代入y＝（k≠0）得：k＝2，得反比例函数的表达式为：y＝，再求m＝2，则B（2，1），然后把点A和点B的坐标代入求出a和b即可；
（2）先求出C（0，5），则OC＝5，再求出D（0，﹣5），则CD＝10，然后由三角形面积关系求出P的横坐标为或﹣，即可解决问题．
【解答】解：（1）把点A（，4）代入y＝（k≠0）得：k＝×4＝2，
∴反比例函数的表达式为：y＝，
∵点B（m，1）在y＝上，
∴m＝2，
∴B（2，1），
∵点A（，4）、点B（2，1）都在y＝ax+b（a≠0）上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+5；
（2）∵一次函数图象与y轴交于点C，
∴y＝﹣2×0+5＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝5，
∵点D为点C关于原点O的对称点，
∴D（0，﹣5），
∴OD＝5，
∴CD＝10，
∴S△BCD＝×10×2＝10，
设P（x，），
∴S△OCP＝×5×|x|＝|x|，
∵S△OCP：S△BCD＝1：3，
∴|x|＝×10，
∴|x|＝，
∴P的横坐标为或﹣，
∴P（，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、对称的性质以及三角形面积等知识，求出两个函数的解析式是解题的关键．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．

【分析】（1）由A（0，﹣4），B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ＝﹣（2n﹣4），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入所求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB＝∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．

【分析】（1）分别令x＝0和y＝0解方程可得结论；
（2）分两种情况：①当点D在x轴的上方时，根据等角对等边可得CE＝BE，设OE＝a，根据勾股定理列方程可得a的值，确定CE的解析式，联立直线CE和抛物线的解析式列方程解出可得点D的坐标；②当点D在x轴的下方时，根据内错角相等可得CD与x轴平行，C和D是对称点，可得点D的坐标；
（3）如图3，根据PC+BP＝PM+PB，确定当B、P、M三点共线时，CP+BP的值最小，根据勾股定理可得BM的长，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x2﹣x﹣4＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4）；
（2）分两种情况：
①当点D在x轴上方时，如图1，CD交x轴于点E，

∵∠DCB＝∠ABC，
∴CE＝BE，
设OE＝a，则BE＝8﹣a，
Rt△OCE中，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
解得：a＝3，
∴E（3，0），
∵C（0，4），
设CE的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴CE的解析式为：y＝x﹣4，
∵x2﹣x﹣4＝x﹣4，
解得：x1＝0，x2＝，
∴D（，）；
②当点D在x轴的下方时，如图2，

∵∠DCB＝∠ABC，
∴CD∥x轴，
∴C和D关于抛物线的对称轴对称，
∴D（6，﹣4）；
综上，点D的坐标为（，）或（6，﹣4）；
（3）如图3，连接OP，PM，在y轴截取OM，使＝，

∵∠POM＝∠POC，
∴△POM∽△COP，
∴＝，
∴PM＝PC，
∴PC+BP＝PM+PB，
当B、P、M三点共线时，CP+BP的值最小，
在Rt△BOM中，BM＝＝＝，
即CP+BP的最小值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点的求法、圆的性质、一元二次方程的解法、最值的求法，综合性较强，难度适中；第三问中，线段和的最值问题，转化为圆中求最值问题；另外，要灵活运用二次函数的对称性．

日期：2022/1/6 0:06:33；用户：初中账号20；邮箱：；学号：39888732