初中数学中考复习 专题05 图形的变化-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学考点聚焦

专题05 图形的变化

聚焦1　投影与视图

锁定目标：

锁定考点：

考点一　由立体图形到视图

1．视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．

2．常见几何体的三种视图：            

3．三视图的画法：

(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．

考点二　由视图到立体图形

由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．

由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．

考点三　物体的投影

1．平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．

平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做正投影．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．

2．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．

聚焦2　图形的轴对称与中心对称

锁定目标：

锁定考点：

考点一　图形的轴对称

1．定义：

(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．

(2)轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．

2．性质：

(1)对称点的连线被对称轴垂直平分；

(2)对应线段相等，对应角相等；

(3)成轴对称的两个图形是全等图形．              

考点二　图形的中心对称

1．定义：                

(1)中心对称：把一个图形绕着一点旋转180°后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转前后的点叫做对称点．

(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

2．性质：

(1)关于某点成中心对称的两个图形是全等图形；

(2)关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

考点三　图形折叠问题

折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．

聚焦3　图形的平移和旋转

锁定目标：

锁定考点：

考点一　图形的平移

1．定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称平移．确定一个平移变换的条件是平移的方向和距离．

2．性质：

(1)平移不改变图形的形状与大小，即平移前后的两个图形是全等图形；

(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等；

(3)对应线段平行(或共线)且相等；

(4)对应角相等．

考点二　图形的旋转

1．定义：

在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫旋转角．图形的旋转由旋转方向和旋转角所决定．

2．性质：

(1)图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了同样大小的角度；

(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是全等的；       

(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；

(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．

考点三　简单的平移作图与旋转作图

1．平移作图的步骤：

(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；

(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；

(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．

2．旋转作图的步骤：

(1)找出旋转中心与旋转角；

(2)找出构成图形的关键点；

(3)作出这些关键点旋转后的对应点；

(4)顺次连接各对应点．

聚焦4　图形的相似

锁定目标：

锁定考点：

考点一　比例线段

1．比例线段的定义：

在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例线段的性质：       

(1)基本性质：＝ad＝bc；

(2)合比性质：＝＝；

(3)等比性质：

若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.

3．黄金分割：

点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．

考点二　相似多边形

1．定义：

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．

2．性质：

(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；

(2)相似多边形周长的比等于相似比；

(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．

考点三　相似三角形

1．定义：

各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．

2．判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)两角对应相等，两三角形相似；

(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(4)三边对应成比例，两三角形相似；

(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

3．性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

(3)相似三角形周长的比等于相似比；

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方

考点四　图形的位似

1．定义：

如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．

2．性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

3．画位似图形的步骤

(1)确定位似中心点；

(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；

(3)按位似比进行取点；

(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．

聚焦5　解直角三角形

锁定目标：

锁定考点：

考点一　锐角三角函数定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．

sin A==；

cos A＝＝；

tan A＝＝.

考点二　特殊角的三角函数值

考点三　解直角三角形

1．直角三角形的边角关系：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．

(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan  A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.

2．解直角三角形的几种类型及解法：

(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；

(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)；

(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝，

由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；

(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．

考点四　解直角三角形的应用

1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．

2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．