2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔八中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔八中高二（上）期末数学试卷

1.  直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若数列为等比数列，且、是方程的两根，则的值等于(    )

A.  B. 1 C.  D.

4.  若圆：与圆：有且仅有一条公切线，则(    )

A. 16 B. 25 C. 36 D. 16或36

5.  设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，则(    )

A.  B. 8 C. 12 D.

6.  南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第20项为(    )

A. 324 B. 325 C. 362 D. 399

7.  设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点．若，则C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子．在其年幼时，对……的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成；因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于(    )

A. 1008 B. 1009 C. 2018 D. 2019

9.  下列说法正确的是(    )

A. 是等差数列，，，…的第8项
B. 在等差数列中，若，则当时，前n项和取得最大值
C. 存在实数a，b，使1，a，，b，4成等比数列
D. 若等比数列的前n项和为，则，，成等比数列

10.  若方程表示的曲线为C，则下列说法中正确的有(    )

A. 若C为椭圆，则
B. 若C为双曲线，则或
C. 若C为双曲线，则其渐近线方程为
D. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则

11.  已知椭圆C：内一点，则，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(    )

A. 椭圆的焦点坐标为、 B. 椭圆C的长轴长为
C. 直线l的方程为 D.

12.  在棱长为2的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是(    )

A. CN与QM异面
B. 三棱锥的体积跟的取值无关
C. 不存在使得
D. 当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为
 

13.  已知函数，则______.

14.  数列的通项公式为，则它的前100项和______.

15.  在长方体中，，，直线AD与所成的角为，点E为棱的中点，则点到平面ACE的距离为______.

16.  已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别相交于点A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则______.

17.  已知直线l：，圆C：
求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长．

18.  在等差数列中，，前12项的和
求数列的通项公式；
若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和．

19.  设函数
求函数对称轴方程；
中，，，，求的面积．

20.  如图，四棱锥中，平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD的中点．
证明：平面AEC；
设，，菱形ABCD的面积为，求平面AED与平面AEC夹角的正切值．

21.  已知正项数列的前n项和为，且和满足：
求的通项公式；
设，的前n项和为，若对任意都成立，求整数m的最大值．

22.  已知椭圆C中心在原点O，焦点在坐标轴上，其离心率为，一个焦点为
求椭圆C的标准方程；
过点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆相交于A，B两点，直线OA，OB分别与直线相交于M，N两点，若为锐角，求直线l斜率k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：直线可化为，
直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，

故选：
由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，
所以向量与平行，即，
所以，
解得，，
所以
故选：
根据直线与平面垂直时直线的方向向量与平面的法向量共线，由此列方程求出a、b的值．
本题考查了直线与平面垂直的向量表示与应用问题，是基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：、是方程的两根，
则，，
所以，，
故，
数列为等比数列，

故选：
根据已知条件，结合韦达定理，以及等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：根据题意，圆：，即，其圆心为，半径为1，
圆：，圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有，
又由，解可得，
故选：
根据题意，求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得两圆内切，可得关于m的方程，解可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：依题意可知抛物线C：焦点为，
直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，
可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为：
故选：
先根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据直线的斜率求得直线的方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知直线AB的长为答案可得．
本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理，考查抛物线的定义的灵活应用．
 

6.【答案】C 

【解析】解：设该数列为，则由，，，，⋯，
可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，
故，则，，，⋯，，
上式相加，得，
即，故
故选：
先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得
本题主要考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：令，
则，
又，中，，
，，
中，，
离心率
故选：
由椭圆定义及弦长，根据勾股定理即可得出a，c之间的关系式，即可求得椭圆离心率．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：函数，可得，
则，…，
相加可得…，
即
故选：
求得，再由数列的倒序相加求和，计算可得所求和．
本题考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查函数的性质，化简运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：易知等差数列，，的通项为，则，故选项A错误；
若，则，所以其前n项和，其对称轴为，
所以当时，取得最大值，故选项B正确；
若存在实数a，b，使得1、a、、b、4成等比数列，则，，
显然方程没有实数根，故选项C错误；
若等比数列的公比为，则，，，
所以，，构成等比数列，且公比为，选项D正确．
故选：
根据等差数列，，的通项为，易判断选项A；根据可得其前n项和，其对称轴为，可判断选项B；根据，，方程无实数解可判断选项C；根据，，并集合等差数列的性质可判断选项
本题考查等差数列、等比数列的相关问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：对于A，若C为椭圆，则，解得或，A错误；
对于B，若C为双曲线，则，解得或，B正确；
对于C，当时，双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为，
当时，双曲线焦点在y轴上，渐近线方程为，C正确；
对于D，若C为椭圆，且且焦点在y轴上，则，解得，D错误．
故选：
由椭圆的定义可判断AD，由双曲线的定义和性质可判断
本题考查椭圆和双曲线的定义及其标准方程，简单的几何性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】BC 

【解析】解：由椭圆方程可得，，则，
椭圆的焦点坐标为、，故A错误；
椭圆的长轴长为，故B正确；
设，，则，，
两式作差可得：，
得到，又为线段AB的中点，
，即l的斜率为，
则直线l的方程为，即，故C正确；
联立，可得
，，
，错误．
故选：
由椭圆方程求得c判断A；再由椭圆定义判断B；利用“点差法”求直线l的方程判断C；联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求弦长判断
本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】BD 

【解析】解：对于A，连接AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为的中位线，
，则CN，QM共面，故A错误；

对于B，为定值，故B正确；
对于C，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
是棱上一点，且，，，
，，
，时，，故C错误；
对于D，当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为梯形ACFQ，如图，

，，
当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为：
，故D正确．
故选：
证明可判断A；由等体积法判断B；建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式可判断C；求出截面梯形的面积可判断
本题考查异面直线的定义及判断、等体积法、向量数量积公式、梯形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为函数，
所以，
所以
故答案为：
由分段函数解析式直接计算求解即可．
本题主要考查函数的求值，分段函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
所以，，，，…，，
所以…
…


根据题中的公式可得，，，，…，，并且观察其特点利用分组求和的方法进行求和，进而得到答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握熟练求和的基本方法，即分组求和、错位相减、裂项相消、倒序相加等方法．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
直线AD与所成的角即直线AD与AC所成的角，
可得，为等腰三角形，
，
以直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如下，
则，，，
，
设平面ACE的法向量，
则，，取，
又，，，
点到平面ACE的距离为，
故答案为：
建系，利用空间向量即可求解．
本题考查向量法求解点面距问题，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由双曲线方程知：渐近线方程为；由抛物线方程知：准线方程为；
由得：，；
双曲线离心率，，则，
的面积为，
，解得：
故答案为：
将双曲线渐近线方程与抛物线准线方程联立可求得，由双曲线离心率可得到，由此可得，利用三角形面积可构造方程求得p的值．
本题主要考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：证明：l：，
联立，
解得，
故直线l恒过定点
由题意直线l的斜率，得，
：
圆C：，圆心，半径，
圆心C到直线l的距离，
所以直线l被圆C所截得的弦长为 

【解析】将化为即可得答案；
由结合题意可得l方程，求得l到圆C圆心距离，结合圆半径可得答案．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设公差为d，因为，前12项的和，
所以，解得，
所以
由题意得，
所以，
所以数列前8项的和为 

【解析】根据已知求出，即得解；
求出，再利用分组求和求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：，
令，，解得：，
所以函数对称轴方程为；
，
故，
因为，
所以，故，解得，
由余弦定理得：，
由，解得，
由三角形面积公式可得：，
的面积为 

【解析】利用诱导公式及半角公式得到，利用整体法求解函数的对称轴；
由求出，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求出答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：由题知连接BD交AC于点F，连接EF，如图所示：

因为底面ABCD为菱形，
所以F为BD中点，
又因为E为PD中点，
，
平面AEC，平面AEC，
平面AEC；
由题知菱形ABCD的面积为，，
，
，
，
，，
，
取F为坐标原点，FB的方向为x轴，FC的方向为y轴，过F做AP平行线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则有，
，
记平面AED的法向量为，
则，
令，可得，
记平面AEC的法向量为，
则，
令，可得，
，
即平面AED与平面AEC夹角的余弦值为，
则其夹角的正切值为 

【解析】连接BD交AC于点F，连接EF，根据三角形中位线即可证明，进而证明平面AEC；
以F为坐标原点建立空间直角坐标系，根据，菱形ABCD的面积为，求出菱形边长，进而求出各个点坐标，然后分别求出平面AED与平面AEC的法向量，求出法向量夹角的余弦值的绝对值即面面夹角的余弦值，进而求出正切值即可．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究二面角的问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：①，
②，
由①-②得，
，即，
，，
数列是首项为1，公差为2的等差数列．
；
由得，
；
，
，
数列是递增数列，，
对任意都成立，转化为，
，，
整数m的最大值是 

【解析】根据，利用作差法得，即可得到是首项为1，公差为2的等差数列，即可得出答案；
由得，利用裂项相消法计算可得；利用作差法说明的单调性，可得，题意转化为，即可得出答案．
本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意知：椭圆C的离心率，
因为一个焦点为，所以，则，
由可得：，，
所以椭圆C的标准方程为
设直线l的方程为，，，
联立方程组，整理可得：，
则有，，
由条件可知：直线OA所在直线方程为：，
因为直线OA与直线相交于M，
所以，同理可得：，
则，，
若为锐角，则有，
所以，
则，解得或，
所以或或，
故直线l斜率k的取值范围 

【解析】根据椭圆的离心率和焦点坐标可求出a，c的值，再利用a，b，c的关系即可求解出方程；
设直线l的方程为，，，根据题意求出点M，N的坐标，由为锐角，可得且不平行，将直线方程与椭圆方程联立方程组，由韦达定理可得k的取值范围．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的求法，考查运算求解能力，属中档题．