2022-2023学年湖北省襄阳市老河口一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年湖北省襄阳市老河口一中高二（上）期末数学试卷

1.  等差数列，前n项和分别为与，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则(    )

A. 1 B. 2 C. 4 D.

3.  已知数列满足，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 2

4.  已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在棱长为4的正方体中，点E、F分别在棱和AB上，且，则的最大值为(    )

A.  B. 1 C.  D. 2

6.  已知数列…，为等差数列，圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为(    )

A. 2014 B. 2015 C. 4028 D. 4030

7.  已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为(    )

A. 2 B.  C. 6 D.

8.  设，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是(    )

A. 到直线l的距离为a
B. 双曲线的离心率为
C. 的外接圆半径为
D. 的面积为9

9.  已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是(    )

A. 若公比为q，则
B. 若，，则
C. 若数列的前n项和，则
D. “，m，n，p，”是“”的充分而不必要条件
 

10.  如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有(    )

A.  B.
C. 平面 D. 直线与AC所成角的余弦值为

11.  已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则(    )

A. 为定值4 B. 的面积为
C. 直线PB，QB的斜率之积为定值 D. 四边形不可能是矩形

12.  如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为，数列的前n项和为，则(    )
 

A. 数列是等比数列 B.
C. 存在正数m，使得恒成立 D. 恒成立

13.  已知直线：与直线：相交于点M，点N是圆C：上的动点，则的最大值为______.

14.  已知等比数列的公比，且，则使成立的正整数n的最大值为______.

15.  如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点包括边界，且平面，则的最小值为______.

16.  已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为______.

17.  已知向量，求在上的投影向量的模．
已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若，求双曲线C的离心率的取值范围．

18.  如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，，E是PB的中点，，
建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
在平面PAD内求一点F，使平面

19.  设为数列的前n项和，已知，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前20项和

20.  如图，四棱锥中，平面平面ABCD，，四边形ABCD是正方形．
直线AC与平面PBD是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
若二面角的平面角为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

21.  已知数列满足，且，数列满足，设的前n项和为
求数列的通项公式；求数列的前n项和；
设，记数列的前n项和为，对恒成立，求的取值范围．

22.  已知椭圆C：的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点．
求椭圆C的方程；
试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：因为等差数列，前n项和分别为与，且，
即，
设，，
，
，
所以，
故选：
根据等差数列的性质结合已知条件可设，，计算，，相比可得结果．
本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：如图所示，

延长交于点Q，由PH为的平分线及，易知≌，所以
根据双曲线的定义，得，即，
从而
在中，易知OH为中位线，则
故选：
利用几何关系结合双曲线定义，以及中位线性质可得．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：，
得，
数列的周期为3的周期数列，则，
故选：
据递推公式逐项求值发现周期性，利用周期数列的特点，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：对于，
令，则，
再令，则，可知，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，则，

故选：
通过赋值分析可得数列是以首项为，公比为的等比数列，根据题意结合等比数列通项公式运算求解．
本题主要考查数列递推式，属于基础题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：以AB，AD，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
，，则
，
因为，所以，
即：，
当时，x取得最大值：
的最大值为：
故选：
建立空间直角坐标系，求出有关坐标，利用，求出满足的关系式，然后求出最大值．
本题是中档题，考查空间想象能力，计算能力，直线与直线的垂直关系的应用，得到的关系式是解题的关键．
 

6.【答案】D 

【解析】解：圆：，圆：，
相减可得：，
圆平分圆的周长，
直线经过圆的圆心，
，

，
的所有项的和为
故选：
圆：，圆：，相减可得：由于圆平分圆的周长，可得直线经过圆的圆心，再利用等差数列的性质及其前n项和公式即可得出．
本题考查了等差数列通项公式性质及其前n项和公式、相交圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设，，可设P在第二象限，
椭圆和双曲线的焦点在x轴上，且它们的长半轴长为，实半轴长为，半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
由线段的垂直平分线经过点，可得，
则，
可得，，
则，
当且仅当即时，上式取得最小值，
故选：
设，，可设P在第二象限，椭圆和双曲线的焦点在x轴上，且它们的长半轴长为，实半轴长为，半焦距为c，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率公式和基本不等式，可得所求最小值．
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力和变形能力，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：由题意，到准线的距离，
，
，如图过向作垂线，垂足为Q，

由，O为中点，
则OH为的中位线，
所以，即H是的中点，
因为，，，，，
因此到直线l的距离为2a，故A错误；
在中，，
又，得到，解得，，，
所以双曲线的离心率，故B正确；
，设的外接圆半径R，
因此，所以，故C错误；
的面积，故D错误．
故选：
根据题意可知，H是的中点，因此可得，OH为的中位线，可求到直线l的距离判断A选项；
利用双曲线的定义，即可求得a，b和c的值，求得双曲线的离心率，可判断B选项；
求得，利用正弦定理即可求得的外接圆半径，可判断C选项；
利用三角形的面积公式，即可求得的面积，可判断D选项．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】AD 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，等比数列的公比为q，则……………………，A正确；
对于B，若，，则，解可得或舍，则，B错误；
对于C，若数列的前n项和，则，，，则有，解可得，C错误；
对于D，等比数列中，若“，m，n，p，”，则有“”，反之，当时，有“”恒成立，而“，m，n，p，”不一定成立，则“，m，n，p，”是“”充分而不必要条件，D正确；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
 

10.【答案】ACD 

【解析】解：设，，，
则，，，，，所以，
对于A，，，
所以，
所以，即，选项A正确；
对于B，，
所以，
所以，选项B错误；
对于C，因为四边形ABCD是菱形，所以，
又因为，，所以，所以，即，
又设，平面，，所以平面，选项C正确；
对于D，，，所以，
，，，，
所以直线与AC所成角的余弦值为，选项D正确．
故选：
设，，，利用向量法求解判断选项A、B是否正确；判断直线与平面是否垂直，以及两异面直线所成角的余弦值，即可判断选项C、
本题考查了向量法、向量数量积公式、向量平行与垂直的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】AC 

【解析】解：A选项：根据对称性，连接OP，OQ，
则，，易知四边形是平行四边形，
，，故A正确；
B选项：由题意知，又，
的面积为，故B不正确；
C选项：由题意得，设，则，
，故C正确；
D选项：，，
，故椭圆上存在点P，使得，
又四边形是平行四边形，
四边形可能是矩形，故D不正确．
故选：
A.先判断四边形是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可；
B.先求出，，然后利用三角形的面积公式求解；
C.设出点P的坐标，利用斜率计算公式求直线PB，QB的斜率之积即可；
D.利用椭圆的对称性求的最大值，结合A选项即可得到结果．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】BD 

【解析】解：由题意知，，，，以此类推可得，
故…………，
故数列不是等比数列，故A错；
对于B选项，，故B对；
对于C选项，因为恒成立，且单调递增，则数列单调递增，
所以，数列无最大值，因此，不存在正数m，使得，故C错；
对于D选项，恒成立，故D对．
故选：
推得，利用累加法求出数列的通项公式，可判断AD选项正误，利用分组求和法可判断B选项的正误，利用数列的单调性可判断C选项的正误．
本题考查等比数列的通项公式以及数列的单调性，数列的分组求和，考查运算能力和归纳推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由直线的方程可得，①
代入直线的方程可得，
所以，
所以，②
代入①得
，
所以，③
得，，
所以，
所以，
所以，
两边乘以x，可得，
即，④
由①可得代入上式可得，，
即，
所以，
所以点M的轨迹方程为，
即点M在以为圆，为半径的圆上，
圆心C的坐标为，半径为3，
所以，
所以圆与圆C：相离，
所以的最大值为，
故答案为：
由直线的方程可得①，代入直线的方程可得②，代入①得③，得，进而可得点M的轨迹方程，则圆与圆C相离，即可得出答案．
本题考查圆与圆的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

14.【答案】4 

【解析】解：在等比数列中，，即，即①，
，，
又数列是公比为q的等比数列，
则，即数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，
由①得，，则，
，即，
，解得，
又n是正整数，则使成立的正整数n的最大值为4，
故答案为：
由题意得①，根据等比数列的定义可得数列是首项为，公比为的等比数列，题意转化为，利用①式，求解即可得出答案．
本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：以D为坐标原点，DC，DA，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，可得，，
取，可得一个法向量为，
由平面，可得，可得，
即，

，
由可得时的最小值为
故答案为：
以D为坐标原点，DC，DA，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，，F，E，A，的坐标，可得对应向量的坐标，平面的法向量为，运用向量数量积的坐标表示，化简可得一个法向量，结合二次函数的最值可得所求最小值．
建立空间直角坐标系，运用法向量和向量数量积的坐标表示，化简整理，结合二次函数的最值，是解决空间问题常用方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
所以，，所以，
，所以，
所以：，可得
所以双曲线的离心率为：
故选：
利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

17.【答案】解：已知向量，
则在上的投影向量为，
又，所以在上的投影向量的模为；
已知双曲线，
则其渐近线方程为，
由双曲线的性质，可得点F到其渐近线的距离为b，
又以F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，且，
所以，所以，所以，所以，
即双曲线C的离心率的取值范围为 

【解析】由题意，可得在上的投影向量为，结合，求解即可；
双曲线的渐近线方程为，由双曲线的性质，可得点F到其渐近线的距离为b，结合调整得到，再求出离心率的取值范围即可．
本题考查了空间向量的数量积的运算和双曲线的性质，考查了转化思想，属中档题．
 

18.【答案】解：以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则，，
设，则
，，
，，解得
点E坐标是
平面PAD，可设
平面PCB，
，
点F的坐标是，即点F是AD的中点． 

【解析】以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，求出和的坐标，代入两个向量的夹角公式，解方程求得点E坐标．
由平面PAD，可设，则，且，解方程组求得F的坐标．
本题考查两个向量的夹角公式，向量和平面垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．
 

19.【答案】解：由题意，时，，令，得，
所以，时，，
两式相减得：，时，，
，，，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
；
由得，

-- 

【解析】由已知得，进而可得，可求数列的通项公式；
由得，进而可得的值．
本题考查求数列的通项公式，考查求前n项和，属中档题．
 

20.【答案】解：直线AC与平面PBD不垂直.
证明如下：
分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，
，，
又平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD，
又平面ABCD，，
又正方形ABCD中，，且，
，
又，平面PMN，
过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC，
直线AC与平面PBD不垂直．
平面平面ABCD，，
平面平面，平面PAD，
又、平面PAD，，，
二面角的平面角为，
设，的面积为，
的面积为，
取AD的中点M，连接PM，，，
由知，平面ABCD，
设点B到平面PCD的距离为h，
，即，
得，
，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 

【解析】分别取AD、AB的中点M、N，连接PM，PN，MN，证明平面ABCD，可得，再证明，由直线与平面垂直的判定可得平面PMN，这与过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC矛盾；
由已知可得平面PAD，得到，，即二面角的平面角为，设，分别求出与的面积，由等体积法求得点B到平面PCD的距离为h，可得直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：，
，常数，
数列是以为公差的等差数列，且首项为，
，
，
又，
；
由得，
，
，
，

由，知在上单调递增，
，，解得，
的取值范围为 

【解析】对变形得到，得到是等差数列，求出通项公式，利用裂项相消法求和；
得到，利用错位相减法求出，判断出在上单调递增，求出，得到不等式，求出的取值范围．
本题考查等差数列的定义与通项公式的应用，裂项求和法的应用，错位相减法求和，数列的单调性，属中档题．
 

22.【答案】解：由题意可知：点，，
的面积为3，，
又，，
，解得，，
椭圆C的方程为：；
由题意可知，直线PQ的斜率存在，故设直线PQ的方程为，点，，
则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，
直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，
，
把直线代入椭圆 得：，
，
， 

【解析】利用三角形面积公式结合离心率列出方程，求解即可；
利用点斜式写出直线PQ，BP，BQ的方程，令，得点M，N的横坐标，求出，把直线代入椭圆方程，利用韦达定理求出，，代入化简即可判断 为定值．
本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．