2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二（上）期末数学试卷

1.  已知复数：满足是虚数单位，则(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

2.  已知集合，则集合A的所有非空真子集的个数是(    )

A. 6 B. 7 C. 14 D. 15

3.  点关于x轴的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  数列中，，，若，则(    )

A. 10 B. 9 C. 11 D. 8

5.  关山中学为了调查该校学生对于新冠肺炎疫情防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎疫情防控知识竞赛，并从该学校1200名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况满分100分，其中90分及以上为优秀，得到了样本频率分布直方图，根据频率分布直方图推测，这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为(    )
 

A. 8 B. 28 C. 96 D. 336

6.  已知函数，若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角的斜边AB，直角边BC，若，，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 4

8.  《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一．”如图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程．在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球与各面均相切半径为1，则鳖臑体积的最小值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  下列说法正确的是(    )

A. 若不等式的解集为，则
B. 若命题p：，，则p的否定为，
C. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
D. 已知若的值域为R，则实数m的取值范围
 

10.  已知圆C：及点，则下列说法正确的是(    )

A. 直线与圆C始终有两个交点
B. 圆C与x轴不相切
C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为
 

11.  已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法错误的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
 

12.  已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，A，B在l上的射影分别为，，l与x轴相交于点M，则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C. 若，则
D. 若，，则

13.  一组数据21，30，53，41，35，76，37，18，29，10，第80百分位数是______.

14.  若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，，，则______.

15.  如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面PBC，三棱锥的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为______.

16.  如图，已知梯形ABCD中，，点E在线段AC上且，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点．当时，双曲线离心率e的取值范围是______.

17.  已知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，的面积为
求直线l的方程；
直线，点P在上，求的最小值．

18.  在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，已知
求A；
若，且，求的取值范围．

19.  如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，且，点P为线段上一点．
求长方体的体积；
求的最小值．

20.  已知数列各项均为正数，且，
求的通项公式；
设，求是数列的前n项和，求

21.  在四棱锥中，面面ABCD，，，，，，，M是棱PA上一点且
求证：平面PCD；
求直线BM与平面PBC所成角的正弦值．

22.  已知双曲线：的右焦点为，渐近线与抛物线：交于点
求，的方程；
设A是与在第一象限的公共点，作直线l与的两支分别交于点M，N，使得
求证：直线MN过定点；
过A作于是否存在定点P，使得为定值？如果有，请求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，
则，
故
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，元素个数为3个，
则集合A的所有非空真子集的个数是
故选：
根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．
本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：点关于x轴的对称点的坐标
故选：
根据给定条件，利用空间直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标意义求解作答．
本题考查点与直线的位置关系，是基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：，，
令，则，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，
由得，
故选：
根据递推关系求得，结合题意列出关于k的方程，即可得出答案．
本题考查利用数列的递推式求数列的通项和等比数列的定义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：从频率分布直方图可求出优秀的学生所占比例为，
故这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约有
故选：
从频率分布直方图可求出优秀的学生所占比例，从而求出1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：

，
，，
若对任意的实数t，在区间上的值域均为，
则，
即，得
故选：
化简已知等式得，根据题意在内能取到最大值与最小值，若若对任意的实数t，在区间上的值域均为，则，即可求解．
本题考查了三角函数的最值问题，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：如图，以CB，CA为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，
则半圆弧的方程为，
设，
，
，
又，，
当时，取得最小值，
取得最大值
故选：
如图，以CB，CA为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，求出F点坐标，写出半圆弧的方程，设出E点坐标，用坐标法计算，利用三角函数性质求得最大值．
本题考查坐标法解向量数量积问题，函数思想，属中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：依题意，堑堵的内切球与各面均相切半径为1，
直角三角形ABC的内切圆半径为1，，
设，，则，
，
，
当且仅当时等号成立，
，
鳖臑体积
故选：
根据堑堵的内切球半径列方程，求得鳖臑体积的表达式，结合基本不等式求得鳖臑体积的最小值．
本题考查几何体的体积的最值问题，基本不等式的应用，属中档题．
 

9.【答案】AB 

【解析】解：A，不等式的解集为，即方程的根为和2，
，，故，故A正确，
B，命题p：，，的否定为：，，故B正确，
C，由题意得，，实数a的取值范围是，故C错误，
D，当时，则值域为R，
当时，则且，，
综上，实数m的取值范围是，故D错误，
故选：
利用一元二次不等式的解法判断A，利用命题的否定判断B，利用分段函数的单调性判断C，利用函数值域的求法判断
本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，命题的否定，分段函数的单调性，函数值域问题的求法，属于中档题．
 

10.【答案】BD 

【解析】解：圆C：，即圆C：，圆心，半径，
对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，故A错误，
对于B，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与x轴相离，即圆C与x轴不相切，故B正确，
对于C，点在圆C上，则，解得，而点，
则直线PQ的斜率为，故C错误，
对于D，，点Q在圆C外，
，
，故D正确．
故选：
求出圆C的圆心坐标和半径，求出直线过的定点判断A；求出点C到x轴距离判断B；求出m值，再计算斜率判断C；求出CQ长并求出范围判断D作答．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：对选项A，需要加条件才能得线面平行，错；
对选项B，，，，，，，
，，正确；
对选项C，需要加条件b，c相交，才能得出线面垂直，错；
对选项D，三棱柱的三条侧棱两两平行，但它们所在的平面是相交的不平行，错．
故选：
由线面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理判断各选项．
本题考查线面平行的判定定理，线面平行的性质定理，面面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，属中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：设，，则，，
当直线AB斜率显然不能为零，设其方程为，
联立抛物线方程得，所以，
所以，所以，所以选项A正确；

，，
所以，所以选项B错误；

如图，设，，过点B作，则，，
由题得直线AB的斜率为，
，
，
所以，
所以，所以选项C正确；

由题得，
所以，，
，，
所以，
所以，
所以选项D正确，
故选：
设，，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得到，即得选项A正确；
，所以选项B错误；
求出即得选项C正确；
由题得，求出，即得选项D正确．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
 

13.【答案】47 

【解析】解：把21，30，53，41，35，76，37，18，29，10，进行从小到大排序可得：
10，18，21，29，30，35，37，41，53，76，
共10个数据，，
故第80百分位数是第8个和第9个数据的平均数，
即，
故答案为：
根据百分位的定义可得第80百分位数是第8个和第9个数据的平均数，计算即可得解．
本题主要考查百分位数的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，且数列是一个二阶等差数列，
，，
由累加法得，

而也符合上式，
所以
故答案为：
利用已知条件求出二阶等差数列的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列的通项公式．
本题主要考查等差数列的通项公式，累加法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为在三棱锥中，，，，，
所以和均为直角三角形，且斜边均为PC，
所以PC为球O的直径，PC的中点为球心O，所以，
设，则，，，，，

因为平面平面PBC，，平面平面，
所以平面PBC，
所以AO即为三棱锥的高，
因为三棱锥的体积为，
所以球半径，
所以球O的表面积为
故答案为：
根据条件分析出球心并求出球的半径，进而即得．
本题主要考查球的表面积，三棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：以AB所在直线为x轴、线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如下所示：

设过点C，D，E三点的双曲线方程为：，
根据题意可得：，，设C，E两点坐标分别为，，
则，，
由，可得：，解得，
因为点C，E的坐标都满足双曲线方程，故可得：，
则，将其代入，
整理化简可得：，
整理得：，又因为，
故可得，则
故答案为：
建立平面直角坐标系，写出对应点的坐标，根据点C、E满足双曲线方程，建立双曲线离心率与参数之间的函数关系，进而求其值域即可．
本题考查双曲线离心率的求解，解决问题的关键是根据题意，建立离心率与参数之间的关系，同时要注意计算的准确度，属中档题．
 

17.【答案】解：由题意可设直线方程为，
令可得，令可得，
所以的面积，
所以，
故直线l的方程为；
由得，，
设关于对称的点为，
则，解得，，
故，
所以 

【解析】先设出直线l的方程，然后由已知三角形面积求出直线方程；
由已知结合对称性即可求解．
本题主要考查了直线方程的求解，还考查了点关于直线的对称点的求解，属于基础题．
 

18.【答案】解：在中，已知，
整理得：；
利用正弦定理整理得：，
由于，所以，
故，
解得
由的，
所以
，
，，，
所以，
故，
所以，
故的取值范围为 

【解析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出A的值；
利用的结论和正弦定理的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．
 

19.【答案】解：因为平面，且、与底面所成的角分别为和，
所以，，因此设，
又，所以，因此，
因为，所以，解得，
故长方体的体积为；
由题意，，
当时，取得最小值，最小值为，
因此的最小值为，故的最小值为 

【解析】根据长方体边长和体对角线的关系，求出边长得到体积；
利用向量法找到最小值时P的位置，求得最小值．
本题考查了长方体的体积计算和空间中向量数量积的最值计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：数列各项均为正数，且，，
可得，即为，
因为，所以，
则；
，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
所以 

【解析】由等差数列的定义和通项公式，可得所求；
求得，再讨论n为奇数或偶数时，由并项求和可得所求和．
本题考查等差数列的多余和通项公式，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
 

21.【答案】证明：取 AD中点为 O点，连结 PO、 CO，则，
由已知，，，则有，，
又，在平面 ABCD中，有，，
由已知可得，为直角三角形，则，
又面面 ABCD，面面，
则面 ABCD，面 ABCD，，
所以， PO、 CO、 OA两两垂直，

如图建立空间直角坐标系，由题意得，
，，，，，
，，，
，故，
设平面PCD的法向量为，
则，令，则，
，
，又平面PCD，
平面
解：由，，，
则，，
设平面PBC的法向量为，
则，令，则，
由知，

所以直线 BM与平面 PBC所成角的正弦值 

【解析】取 AD中点为 O点，连结 PO、 CO，易证 PO、 CO、 OA两两垂直．建立空间直角坐标系，利用空间坐标求得平面PCD的法向量，由，可得，进而证得；
求得平面PBC的法向量，由即可得解．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，双曲线的渐近线过，联立，解得，，
所以双曲线：；
因为抛物线过，所以，
所以抛物线：；
因为M，N在不同支，所以直线MN的斜率存在，设直线方程为，
联立，消去y，整理得，
所以，，
设，，联立，可得，
因为，所以，
代入直线方程及韦达定理整理可得，，
化简整理得，
因为不在直线MN上，所以，所以，
所以直线MN的方程为，
所以直线MN恒过定点；
因为A，B为定点，且为直角，
所以D在以AB为直径的圆上，AB的中点即为圆心，半径为定值，
故存在点，使得为定值． 

【解析】由，且，，即可求得a和b的值，求得双曲线方程；将代入抛物线方程，即可求得p的值，求得抛物线方程；
设直线MN的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得MN恒过定点；
以D在以AB为直径的圆上，AB的中点即为圆心，半径为定值．
本题考查双曲线的方程及性质，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，直线恒过定点问题，考查转化思想，计算能力，属于难题．