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备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破07 一次函数
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函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
一次函数的图象及性质
1、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
考点解读
考点一：一次函数的定义
1、定义
定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的图象及其性质
正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。
一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。
3、待定系数法
定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
4、一次函数与方程(组)及不等式(组)
方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
5、函数与实际问题(适用于一次函数、二次函数、反比例函数)
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
考点二：函数及其图象
1、坐标与象限
定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象
定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
考点突破
1．（2021·河北唐山·八年级期末）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点B．它的图象经过第二、三、四象限
C．的值随值的增大而增大D．当时，
2．（2021·河北承德·八年级期末）已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6），则的值是（ ）
A．2B．C．D．
3．（2021·河北廊坊·八年级期末）一次函数y＝5x+1的图象不经过下列哪个象限（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，在点M，N，P，Q中，一次函数的图象可能经过的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
5．（2021·河北保定·八年级期末）关于一次函数y= -3x+4图像和性质的描述错误的是（ ）
A．y 随x的增大而减小B．直线与x轴交点的坐标是( 0， 4 )
C．当x>0时，y<4D．直线经过第一、二、四象限
6．（2021·河北邯郸·八年级期末）如图，直线与的交点坐标为，则使的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·河北承德·二模）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系
8．（2021·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点B．图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．随的增大而增大
9．（2021·河北廊坊·二模）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为的顶点均在格点上．请按要求完成下列各问题：
（1）的周长等于 （结果保留根号）
（2）点与点关于 y 轴对称的，则点的坐标为 ．
（3）在 轴上找到一点，若使最小，此时点坐标为 ；若使最大，此时点坐标为 ．
11．（2021·河北唐山·八年级期中）王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据：
（1）在这个问题中，自变量是______，函数是______；
（2）该轿车油箱的容量为______L，与的关系式为______，行驶150 km时，估计油箱中的剩余油量为______ L．
（3）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为22 L，请直接写出，两地之间的距离是______km．
12．（2021·河北张家口·八年级期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数解析式为________．
13．（2021·河北保定·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD顶点A、B、C的坐标分别为(0，6)、(0，2)、(4，2)，直线l：y=kx+5-3k（k>0)．
（1）点D的坐标是 ；
（2）若直线l：y=kx+5-3k经过点D，求直线l的解析式；
（3）在（2)的条件下，若直线l与BC、x轴分别交于点E、F，求CEF的面积；
（4）在（2)的条件下，若点P(x，y)是第一象限内直线l上的一个动点，当点P运动过程中，是否存在CEP为等腰三角形？若存在直接写出满足条件的点P的个数．
14．（2021·河北石家庄·九年级期中）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
15．（2021·河北唐山·一模）如图，直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点，直线与轴交于点．
（1）的值为_______________；
（2）求的函数表达式和的值；
（3）直线与直线和直线分别交于点，，（，不同）
①直接写出，都在轴右侧时的取值范围；
②在①的条件下，以为边作正方形，边恰好在轴上，直接写出此时的值．
16．（2021·河北保定·八年级期末）直线过点，且与直线：相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，当线段长为4时，直接写出的值．
17．（2021·河北秦皇岛·八年级期末）某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止．结合风速与时间的图象，回答下列问题：
（1）在y轴内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过 小时？
（3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式；
18．（2021·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图13-1，甲、乙两个遥控车模型分别从A，B两处同时出发，沿直线轨道匀速行驶，并同时到达C处．已知乙车速度是甲车速度的1．5倍，甲、乙两遥控车到A处的距离，（米）与时间（分钟）的函数关系如图13-2所示．
(1)A，C两地的距离为_____________米，乙车的速度为_____________米/分钟，的值为_____________；
(2)求（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
19．（2021·河北廊坊·二模）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
20．（2021·河北·保定市第十七中学八年级期末）某企业准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进4件甲种防护服和5件乙种防护服需要2万元，购进3件甲种防护服和10件乙种防护服需要3万元．y=kx
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0
三、一
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＜0
二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
y=kx+b
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0，b＞0
三、二、一
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0
三、四、一
k＜0，b＞0
二、一、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0
二、三、四
行驶的路程（km）
…
油箱剩余油量（L）
…
函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
一次函数的图象及性质
1、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
考点解读
考点一：一次函数的定义
1、定义
定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的图象及其性质
正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。
一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。
3、待定系数法
定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
4、一次函数与方程(组)及不等式(组)
方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
5、函数与实际问题(适用于一次函数、二次函数、反比例函数)
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
考点二：函数及其图象
1、坐标与象限
定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象
定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
考点突破
1．（2021·河北唐山·八年级期末）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点B．它的图象经过第二、三、四象限
C．的值随值的增大而增大D．当时，
2．（2021·河北承德·八年级期末）已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6），则的值是（ ）
A．2B．C．D．
3．（2021·河北廊坊·八年级期末）一次函数y＝5x+1的图象不经过下列哪个象限（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，在点M，N，P，Q中，一次函数的图象可能经过的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
5．（2021·河北保定·八年级期末）关于一次函数y= -3x+4图像和性质的描述错误的是（ ）
A．y 随x的增大而减小B．直线与x轴交点的坐标是( 0， 4 )
C．当x>0时，y<4D．直线经过第一、二、四象限
6．（2021·河北邯郸·八年级期末）如图，直线与的交点坐标为，则使的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·河北承德·二模）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系
8．（2021·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点B．图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．随的增大而增大
9．（2021·河北廊坊·二模）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·河北保定师范附属学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为的顶点均在格点上．请按要求完成下列各问题：
（1）的周长等于 （结果保留根号）
（2）点与点关于 y 轴对称的，则点的坐标为 ．
（3）在 轴上找到一点，若使最小，此时点坐标为 ；若使最大，此时点坐标为 ．
11．（2021·河北唐山·八年级期中）王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据：
（1）在这个问题中，自变量是______，函数是______；
（2）该轿车油箱的容量为______L，与的关系式为______，行驶150 km时，估计油箱中的剩余油量为______ L．
（3）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为22 L，请直接写出，两地之间的距离是______km．
12．（2021·河北张家口·八年级期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数解析式为________．
13．（2021·河北保定·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD顶点A、B、C的坐标分别为(0，6)、(0，2)、(4，2)，直线l：y=kx+5-3k（k>0)．
（1）点D的坐标是 ；
（2）若直线l：y=kx+5-3k经过点D，求直线l的解析式；
（3）在（2)的条件下，若直线l与BC、x轴分别交于点E、F，求CEF的面积；
（4）在（2)的条件下，若点P(x，y)是第一象限内直线l上的一个动点，当点P运动过程中，是否存在CEP为等腰三角形？若存在直接写出满足条件的点P的个数．
14．（2021·河北石家庄·九年级期中）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．
（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
15．（2021·河北唐山·一模）如图，直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点，直线与轴交于点．
（1）的值为_______________；
（2）求的函数表达式和的值；
（3）直线与直线和直线分别交于点，，（，不同）
①直接写出，都在轴右侧时的取值范围；
②在①的条件下，以为边作正方形，边恰好在轴上，直接写出此时的值．
16．（2021·河北保定·八年级期末）直线过点，且与直线：相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，当线段长为4时，直接写出的值．
17．（2021·河北秦皇岛·八年级期末）某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止．结合风速与时间的图象，回答下列问题：
（1）在y轴内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过 小时？
（3）求出当x≥25时，风速y（千米/时）与时间x（小时）之间的函数关系式；
18．（2021·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图13-1，甲、乙两个遥控车模型分别从A，B两处同时出发，沿直线轨道匀速行驶，并同时到达C处．已知乙车速度是甲车速度的1．5倍，甲、乙两遥控车到A处的距离，（米）与时间（分钟）的函数关系如图13-2所示．
(1)A，C两地的距离为_____________米，乙车的速度为_____________米/分钟，的值为_____________；
(2)求（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
19．（2021·河北廊坊·二模）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
20．（2021·河北·保定市第十七中学八年级期末）某企业准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进4件甲种防护服和5件乙种防护服需要2万元，购进3件甲种防护服和10件乙种防护服需要3万元．y=kx
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0
三、一
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＜0
二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
y=kx+b
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0，b＞0
三、二、一
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0
三、四、一
k＜0，b＞0
二、一、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0
二、三、四
行驶的路程（km）
…
油箱剩余油量（L）
…
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