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备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破14 锐角三角函数
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考点精讲
锐角三角函数
正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
考点解读
考点一：锐角三角函数
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.
正弦：
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
锐角α
三角函数
30°
45°
60°
1
考点二：解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
考点三：解直角三角形的类型
已知条件
解 法
两直角边
(如a，b)
由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边、一直角边(如c，a)
由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一锐角与邻边(如∠A，b)
∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝
一锐角与对边(如∠A，a)
∠B＝90°－∠A；b＝； c＝
斜边与一锐角(如c，∠A)
∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A
考点四：锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
考点五：锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan α＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
考点六：三角函数常见模型
图1 图2
如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，
变式为图2，则结论为
考点突破
1．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2020·河北·模拟预测）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2021·河北·平山县教育局教研室九年级期末）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
6．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．地在地的北偏西方向上 B．地在地的南偏西方向上
C． D．
7．（2021·河北唐山·九年级期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AC的长度为（ ）
A．6m B．m C．9m D．m
8．（2021·河北·石家庄市第四十二中学三模）如图，菱形在第一象限内，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
9．（2022·河北保定·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，，，O为对角线BD的中点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河北石家庄·九年级期末）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
11．（2021·河北·九年级专题练习）如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则sin∠MFG的值为________．
12．（2021·河北·九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．
13．（2020·河北·邢台二十五中九年级阶段练习）如图所示，在的网格中，每个小正方形的边长为1，线段、的端点均为格点．
（1）的长度为______；
（2）与网格线交于，则______；
（3）若与所夹锐角为，则______．
14．（2021·河北·九年级专题练习）如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．
15．（2021·河北·石家庄市第二十八中学一模）如图，已知的半径为4，，.（1）的度数为______度；（2）弦的长为______．
16．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）（1）用配方法解方程：
（2）计算：
17．（2020·河北石家庄·九年级阶段练习）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈）
18．（2021·河北保定·一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，点P在射线AD上运动，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．
（1）如图1，点P在线段AD上，当∠DPA'＝20°时，∠APB＝ 度；
（2）如图2，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
（3）当点A'落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度；
（4）直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA′的最小值是多少？
19．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级阶段练习）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，）
（1）求盲区中的长度；
（2）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
20．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．
（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．
21．（2020·河北·九年级专题练习）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；
（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.
22．（2021·河北·九年级阶段练习）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度，此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离（、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：，，，）
23．（2021·河北·邢台三中九年级阶段练习）（1）如图，用尺规作出的内接等边；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若的半径为6，求的长（结果保留）．
参考答案与解析：
1．A
【解析】
根据锐角的余弦值的定义解决此题．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解题的关键．
2．B
【解析】
过点作于点，根据为直角三角形可证明，求出，求出，再由比例线段可求出，长，则答案可求出．
【详解】
解：过点作于点，
为直角三角形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得，，
，
点的坐标为，．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，证明三角形的相似，进而求解．
3．B
【解析】
先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】
解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
【点睛】
本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．
4．A
【解析】
由切线的性质得出 求出 ，证出 ，得出，得出，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵ 与AC相切于点D，
故选A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键．
5．B
【解析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
6．B
【解析】
根据题意可知，，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D．
【详解】
解：如图所示：
由题意可知，，，
，即在处的北偏西，故A不符合题意；
，
地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；
，故C错误．
，
，
，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
7．D
【解析】
根据坡度的概念求出AC即可．
【详解】
解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，
即，
解得，，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
8．C
【解析】
过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.
【详解】
如图，过A作AE⊥x轴于E，
设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=60°
∴AE=，OA=
∴A，菱形边长为
由图可知S菱形AOCB=2S△AOD
∴，即
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键.
9．A
【解析】
先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC=90°，由正切定义求解即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵O为对角线BD的中点，OA=2，
∴BD=2OA=4，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠DCB= =，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．
10．A
【解析】
根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知，，
故选：A．
【点睛】
本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
11．
【解析】
如图（见解析），先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得，，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得，，设正方形ABCD的边长为，从而可得，，然后在中，根据正弦三角函数的定义可得，最后根据圆周角定理可得，由此即可得出答案．
【详解】
如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
，
设正方形ABCD的边长为，则
的半径为
在中，
由圆周角定理得：
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
12．
【解析】
根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．
13．
【解析】
(1)利用勾股定理求出CD的长度；
(2)证明△DEG∽△CEF，得到，由此计算出答案；
(3) 取各点M，连接CM，则CM∥AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，证明△DMN∽△HMD，得到，代入数值，求得，，计算得到， 利用公式求出，即可得到答案．
【详解】
(1) ，
故答案为：；
(2)如图，取网格线CF、DG，连接GF，
∵∠G=∠F=，∠GED=∠FEC，
∴△DEG∽△CEF，
∴，
∴，
故答案为：；
(3)取各点M，连接CM，则CM∥AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，
∵∠MDH=∠DNM=，∠DMN=∠HMD，
∴△DMN∽△HMD，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
14．
【解析】
连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
15． 45
【解析】
连接，依据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可以得到，由，依据正弦的定义可以求出CE，依据垂径定理可以得到，，依据等弧对等圆心角可得.
【详解】
解：连接,
∵,
∴,
∵,
∴,,,
∴,
故答案为：45；.
【点睛】
本题主要考查了圆的有关性质，熟练掌握圆心角的性质、圆周角定理是解题的基础，锐角三角函数的应用也使得解直角三角形更加的简洁.
16．（1），；（2）1
【解析】
（1）配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
∴，
解得：，；
（2）
=
=1
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程和特殊角的三角函数值，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．（1）85°；（2）小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【解析】
（1）结合图形即可得出答案；
（2）利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB＝AD+BD＝74米，即可求得居民楼与大厦的距离．
【详解】
解：（1）由图知∠ACB＝37°+48°＝85°；
（2）设CD＝x米．
在Rt△ACD中，tan37°＝，
则＝，
∴AD＝x；
在Rt△BCD中，
tan48°＝，则＝，
∴BD＝x．
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝74，
解得：x＝40，
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（1）80或100；（2）线段PA的长度为；（3）线段PA的长度为或9或；（4）DA′的最小值是．
【解析】
（1）分两种情况讨论，当在直线的右侧时，或当在直线的左侧时，再根据折叠的性质解题即可；
（2）作于，由正切定义设，根据勾股定理解得，由此解得的值，再根据题意解题；
（3）分三种情况讨论，①当点在上时，②当点在上时，③当点在的延长线上时，分别画出相应的示意图，再根据正切的定义或菱形的性质解题即可；
（4）作于，连接，由勾股定理解得的长，再利用三角形三边关系解题．
【详解】
解：（1）当在直线的右侧时，
△APB折叠得到△A'PB，
当在直线的左侧时，
，
故答案为：80或100；
（2）如图，作于，
平行四边形ABCD中，
设，
；
（3）①当点在上时，
；
②当点在上时，
由折叠可知，
四边形是菱形，
；
③当点在的延长线上时，
综上所述，线段PA的长度为或9或；
（4）如图，作于，连接，
的最小值是．
【点睛】
本题考查四边形的综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
19．（1）m；（2）能，理由见解析
【解析】
（1）首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF，再在直角三角形中利用三角函数即可解决问题；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出M点处盲区高度，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB•sin45°（m），
∴DF=AC=1（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tan∠E=
∴DE≈（m），
答：盲区中DE的长度为2.5m；
（2）如图所示：过点M作NM⊥ED，交于 则
∵ED=2.5m，MD=1.8m，
∴EM=0.7m， FD=AC=1m，
则△EMN∽△EDF，
即
解得：MN=0.28，
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟悉常见图形的性质并灵活应用性质是解题的关键.
20．（1）3-；（2）．
【解析】
（1）先计算零指数幂，代入三角函数值，二次根式化简，合并同类项即可；
（2）先代入三角函数值，二次根式的乘法，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，
=1-+2，
=3-；
（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，
=，
=，
=．
【点睛】
本题考查特殊锐角三角函数值，二次根式的乘法，零指数幂，二次根式化简，掌握特殊锐角三角函数值，二次根式的乘法，零指数幂，二次根式化简是解题关键．
21．（1）4；（2）5；（3）面积不变，S△ACB’=；（4）24+4
【解析】
(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；
(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；
(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；
(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题.
【详解】
(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，
∵PB=4，
∴PB′=PB=PA=4，
∵∠A=60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′=AP=4，
故答案为4；
(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB=5，B、B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴OB=PB·sin60°=，
∴BB′=5，
故答案为5；
(3)如图3，结论：面积不变.
过点B作BE⊥AC于E，
则有BE=AB·sin60°=，
∴S△ABC==16，
∵B、B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC//BB′，
∴S△ACB’=S△ABC=16；
(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，
∴PE=PA·sin60°=，
∴B′E=B′P+PE=6+，
∴S△ACB最大值=×(6+)×8=24+4.
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
22．（1）45°；（2）此次改造符合电力部门的安全要求．
【解析】
（1）根据坡度可求出α的值；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，解直角三角形EFC求出CF的长得到HF的长，故可得DE的长，解直角三角形PDE得PD的长，再与18进行比较即可得到结论．
【详解】
解（1）∵，
∴；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，如图，
则四边形DEFH是矩形，
∴EF=DH=12m，DE=HF，∠HDE=∠EFH=∠DHF=90°，
∵α=45°，
∴∠HDC=45°，
∴HC=DH=12m，
又∠PCD=26°，
∴∠ECF=45°+26°=71°，
∴，即m，
∴HF=HC-CF=12-4.14=7.86m，
∴DE=7.86m，
∵AE//BC，
∴∠PED=∠PCH=71°，
在Rt△PDE中，，即 ，
∴m，
∴此次改造符合电力部门的安全要求．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（1）如图所示，△ABC即为所求．见详解；（2）．
【解析】
（1）首先作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B、C两点；连接AB、AC，再证明△ABC为等边三角形，那么△ABC为所求的三角形；
（2）根据等边同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得扇形的圆心角，利用弧长公式进行求解．
【详解】
解：（1）分别以点O与点D为圆心，大于OD长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交⊙O于B、C两点；连接AB、AC，
∵OE=OD=OC=OB，CE⊥OE，
∴cos∠COE=，cos∠BOE=，
∴∠EOC=∠EOB =60°，∠BOC=∠BOE+∠EOC=60°+60°=120°，
∴∠AOC=180°-∠EOC=180°-60°=120°，∠AOB=180°-∠BOE=120°，
∴∠AOC=∠AOB=∠BOC=120°，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
如图所示，△ABC即为所求．
（2）如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AOB=2∠ACB＝120°，
∵AO＝BO＝6，
∴．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及弧长公式计算方法，圆周角定理，圆心角，弧，弦关系，特殊锐角三角形值求角，正确掌握正三角形的性质是解题关键．
考点精讲
锐角三角函数
正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
考点解读
考点一：锐角三角函数
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.
正弦：
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
锐角α
三角函数
30°
45°
60°
1
考点二：解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
考点三：解直角三角形的类型
已知条件
解 法
两直角边
(如a，b)
由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边、一直角边(如c，a)
由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一锐角与邻边(如∠A，b)
∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝
一锐角与对边(如∠A，a)
∠B＝90°－∠A；b＝； c＝
斜边与一锐角(如c，∠A)
∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A
考点四：锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
考点五：锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan α＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
考点六：三角函数常见模型
图1 图2
如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，
变式为图2，则结论为
考点突破
1．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2020·河北·模拟预测）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2021·河北·平山县教育局教研室九年级期末）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
6．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．地在地的北偏西方向上 B．地在地的南偏西方向上
C． D．
7．（2021·河北唐山·九年级期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AC的长度为（ ）
A．6m B．m C．9m D．m
8．（2021·河北·石家庄市第四十二中学三模）如图，菱形在第一象限内，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
9．（2022·河北保定·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，，，O为对角线BD的中点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河北石家庄·九年级期末）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
11．（2021·河北·九年级专题练习）如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与相交于点M，则sin∠MFG的值为________．
12．（2021·河北·九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．
13．（2020·河北·邢台二十五中九年级阶段练习）如图所示，在的网格中，每个小正方形的边长为1，线段、的端点均为格点．
（1）的长度为______；
（2）与网格线交于，则______；
（3）若与所夹锐角为，则______．
14．（2021·河北·九年级专题练习）如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．
15．（2021·河北·石家庄市第二十八中学一模）如图，已知的半径为4，，.（1）的度数为______度；（2）弦的长为______．
16．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）（1）用配方法解方程：
（2）计算：
17．（2020·河北石家庄·九年级阶段练习）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈）
18．（2021·河北保定·一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，点P在射线AD上运动，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．
（1）如图1，点P在线段AD上，当∠DPA'＝20°时，∠APB＝ 度；
（2）如图2，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
（3）当点A'落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度；
（4）直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA′的最小值是多少？
19．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级阶段练习）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，）
（1）求盲区中的长度；
（2）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明．
20．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋．
（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°．
21．（2020·河北·九年级专题练习）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；
（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.
22．（2021·河北·九年级阶段练习）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度，此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离（、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：，，，）
23．（2021·河北·邢台三中九年级阶段练习）（1）如图，用尺规作出的内接等边；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若的半径为6，求的长（结果保留）．
参考答案与解析：
1．A
【解析】
根据锐角的余弦值的定义解决此题．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解题的关键．
2．B
【解析】
过点作于点，根据为直角三角形可证明，求出，求出，再由比例线段可求出，长，则答案可求出．
【详解】
解：过点作于点，
为直角三角形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得，，
，
点的坐标为，．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，证明三角形的相似，进而求解．
3．B
【解析】
先计算的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可．
【详解】
解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
【点睛】
本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．
4．A
【解析】
由切线的性质得出 求出 ，证出 ，得出，得出，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵ 与AC相切于点D，
故选A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出是解题的关键．
5．B
【解析】
首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】
∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
6．B
【解析】
根据题意可知，，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D．
【详解】
解：如图所示：
由题意可知，，，
，即在处的北偏西，故A不符合题意；
，
地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；
，故C错误．
，
，
，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
7．D
【解析】
根据坡度的概念求出AC即可．
【详解】
解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，
即，
解得，，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
8．C
【解析】
过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.
【详解】
如图，过A作AE⊥x轴于E，
设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=60°
∴AE=，OA=
∴A，菱形边长为
由图可知S菱形AOCB=2S△AOD
∴，即
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键.
9．A
【解析】
先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC=90°，由正切定义求解即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵O为对角线BD的中点，OA=2，
∴BD=2OA=4，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠DCB= =，
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．
10．A
【解析】
根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知，，
故选：A．
【点睛】
本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
11．
【解析】
如图（见解析），先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得，，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得，，设正方形ABCD的边长为，从而可得，，然后在中，根据正弦三角函数的定义可得，最后根据圆周角定理可得，由此即可得出答案．
【详解】
如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
，
设正方形ABCD的边长为，则
的半径为
在中，
由圆周角定理得：
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
12．
【解析】
根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．
13．
【解析】
(1)利用勾股定理求出CD的长度；
(2)证明△DEG∽△CEF，得到，由此计算出答案；
(3) 取各点M，连接CM，则CM∥AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，证明△DMN∽△HMD，得到，代入数值，求得，，计算得到， 利用公式求出，即可得到答案．
【详解】
(1) ，
故答案为：；
(2)如图，取网格线CF、DG，连接GF，
∵∠G=∠F=，∠GED=∠FEC，
∴△DEG∽△CEF，
∴，
∴，
故答案为：；
(3)取各点M，连接CM，则CM∥AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，
∵∠MDH=∠DNM=，∠DMN=∠HMD，
∴△DMN∽△HMD，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
14．
【解析】
连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
15． 45
【解析】
连接，依据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可以得到，由，依据正弦的定义可以求出CE，依据垂径定理可以得到，，依据等弧对等圆心角可得.
【详解】
解：连接,
∵,
∴,
∵,
∴,,,
∴,
故答案为：45；.
【点睛】
本题主要考查了圆的有关性质，熟练掌握圆心角的性质、圆周角定理是解题的基础，锐角三角函数的应用也使得解直角三角形更加的简洁.
16．（1），；（2）1
【解析】
（1）配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
∴，
解得：，；
（2）
=
=1
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程和特殊角的三角函数值，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17．（1）85°；（2）小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【解析】
（1）结合图形即可得出答案；
（2）利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB＝AD+BD＝74米，即可求得居民楼与大厦的距离．
【详解】
解：（1）由图知∠ACB＝37°+48°＝85°；
（2）设CD＝x米．
在Rt△ACD中，tan37°＝，
则＝，
∴AD＝x；
在Rt△BCD中，
tan48°＝，则＝，
∴BD＝x．
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝74，
解得：x＝40，
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（1）80或100；（2）线段PA的长度为；（3）线段PA的长度为或9或；（4）DA′的最小值是．
【解析】
（1）分两种情况讨论，当在直线的右侧时，或当在直线的左侧时，再根据折叠的性质解题即可；
（2）作于，由正切定义设，根据勾股定理解得，由此解得的值，再根据题意解题；
（3）分三种情况讨论，①当点在上时，②当点在上时，③当点在的延长线上时，分别画出相应的示意图，再根据正切的定义或菱形的性质解题即可；
（4）作于，连接，由勾股定理解得的长，再利用三角形三边关系解题．
【详解】
解：（1）当在直线的右侧时，
△APB折叠得到△A'PB，
当在直线的左侧时，
，
故答案为：80或100；
（2）如图，作于，
平行四边形ABCD中，
设，
；
（3）①当点在上时，
；
②当点在上时，
由折叠可知，
四边形是菱形，
；
③当点在的延长线上时，
综上所述，线段PA的长度为或9或；
（4）如图，作于，连接，
的最小值是．
【点睛】
本题考查四边形的综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．
19．（1）m；（2）能，理由见解析
【解析】
（1）首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF，再在直角三角形中利用三角函数即可解决问题；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出M点处盲区高度，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴，
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，
∴AC=AB•sin45°（m），
∴DF=AC=1（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE=90°，
∴tan∠E=
∴DE≈（m），
答：盲区中DE的长度为2.5m；
（2）如图所示：过点M作NM⊥ED，交于 则
∵ED=2.5m，MD=1.8m，
∴EM=0.7m， FD=AC=1m，
则△EMN∽△EDF，
即
解得：MN=0.28，
∵0.3＞0.28，
∴在M处有一个高度为0.3m的物体，驾驶员能观察到物体．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟悉常见图形的性质并灵活应用性质是解题的关键.
20．（1）3-；（2）．
【解析】
（1）先计算零指数幂，代入三角函数值，二次根式化简，合并同类项即可；
（2）先代入三角函数值，二次根式的乘法，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：（1）（1﹣sin45°）0﹣tan60°＋，
=1-+2，
=3-；
（2）cos30°﹣3tan60°﹣2sin45°•cos45°，
=，
=，
=．
【点睛】
本题考查特殊锐角三角函数值，二次根式的乘法，零指数幂，二次根式化简，掌握特殊锐角三角函数值，二次根式的乘法，零指数幂，二次根式化简是解题关键．
21．（1）4；（2）5；（3）面积不变，S△ACB’=；（4）24+4
【解析】
(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；
(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；
(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；
(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题.
【详解】
(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，
∵PB=4，
∴PB′=PB=PA=4，
∵∠A=60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′=AP=4，
故答案为4；
(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB=5，B、B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′=2OB，
∴OB=PB·sin60°=，
∴BB′=5，
故答案为5；
(3)如图3，结论：面积不变.
过点B作BE⊥AC于E，
则有BE=AB·sin60°=，
∴S△ABC==16，
∵B、B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC//BB′，
∴S△ACB’=S△ABC=16；
(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，
∴PE=PA·sin60°=，
∴B′E=B′P+PE=6+，
∴S△ACB最大值=×(6+)×8=24+4.
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
22．（1）45°；（2）此次改造符合电力部门的安全要求．
【解析】
（1）根据坡度可求出α的值；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，解直角三角形EFC求出CF的长得到HF的长，故可得DE的长，解直角三角形PDE得PD的长，再与18进行比较即可得到结论．
【详解】
解（1）∵，
∴；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，如图，
则四边形DEFH是矩形，
∴EF=DH=12m，DE=HF，∠HDE=∠EFH=∠DHF=90°，
∵α=45°，
∴∠HDC=45°，
∴HC=DH=12m，
又∠PCD=26°，
∴∠ECF=45°+26°=71°，
∴，即m，
∴HF=HC-CF=12-4.14=7.86m，
∴DE=7.86m，
∵AE//BC，
∴∠PED=∠PCH=71°，
在Rt△PDE中，，即 ，
∴m，
∴此次改造符合电力部门的安全要求．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（1）如图所示，△ABC即为所求．见详解；（2）．
【解析】
（1）首先作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B、C两点；连接AB、AC，再证明△ABC为等边三角形，那么△ABC为所求的三角形；
（2）根据等边同弧所对圆周角是圆心角的一半，可得扇形的圆心角，利用弧长公式进行求解．
【详解】
解：（1）分别以点O与点D为圆心，大于OD长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交⊙O于B、C两点；连接AB、AC，
∵OE=OD=OC=OB，CE⊥OE，
∴cos∠COE=，cos∠BOE=，
∴∠EOC=∠EOB =60°，∠BOC=∠BOE+∠EOC=60°+60°=120°，
∴∠AOC=180°-∠EOC=180°-60°=120°，∠AOB=180°-∠BOE=120°，
∴∠AOC=∠AOB=∠BOC=120°，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
如图所示，△ABC即为所求．
（2）如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AOB=2∠ACB＝120°，
∵AO＝BO＝6，
∴．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及弧长公式计算方法，圆周角定理，圆心角，弧，弦关系，特殊锐角三角形值求角，正确掌握正三角形的性质是解题关键．
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