考点精讲

代数式

1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.

整式

1. 单项式 
   定义：数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．

单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．

幂的运算

1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.

3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.

4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.

6.负指数幂：（≠0，是正整数）.

因式分解

1. 因式分解
   把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．
   2.因式分解常用的方法

（1）提取公因式法：

（2）运用公式法：

平方差公式：；完全平方公式：

（3）十字相乘法：

考点解读

1、定义

(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式

(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。

(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2、整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

(2)整式的乘除运算

①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次幂都等于1。

⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加

注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。

(3)添括号法则

同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：

如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

3、因式分解

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

考点突破

1．（2022·河北邢台·八年级期末）计算结果正确的是（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·河北承德·七年级期末）墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（       ）

A．＋ B．－ C．× D．÷

3．（2021·河北秦皇岛·八年级期中）如图，表示的点落在（       ）

A．段① B．段② C．段③ D．段④

4．（2019·河北·行唐一中七年级期中）若单项式与的和是单项式，则的值是（       ）

A．3 B．4 C．6 D．8

5．（2021·河北·石家庄市第四十二中学七年级期中）如图是小刚同学完成的作业，每题20分，他的得分是（       ）

A．40分 B．60分 C．80分 D．100分

6．（2022·河北承德·八年级期末）下列计算正确的是（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·河北·九年级专题练习）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ）

A． B． C． D．

8．（2021·河北唐山·七年级期末）下列因式分解正确的是（       ）

A．x2-4=（x+4）（x-4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1

C．3mx-6my=3m（x-6y） D．x2y-y3=y（x+y）（x-y）

9．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期末）对于多项式2x2﹣3x﹣5，下列说法错误的是（　　）

A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2

C．2x2和3x是同类项 D．各项分别是2x2，﹣3x，﹣5

10．（2021·河北唐山·七年级阶段练习）在﹣3，0，2x，，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

11．（2020·河北石家庄·九年级期中）设m、n是方程x2+x－1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为____．

12．（2021·河北保定·八年级期末）定义新运算“”：对于任意实数a和b，规定：．例：．则_____．

13．（2021·河北·保定市第十七中学七年级期中）观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

⋯

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：___；

（2）写出你猜想的第n个等式：___（用含n的等式表示）．

14．（2022·河北沧州·八年级期末）若表示数a的整数部分，例如，则 ______．

15．（2021·河北承德·七年级期末）已知，则____．

16．（2021·河北秦皇岛·八年级期中）比较大小：_____﹣（填“＜”或“＝”或“＞”）．

17．（2021·河北唐山·八年级期中）观察下列各式：用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为______．

18．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知x，y满足．

（1）的值为___________；

（2）若，则的值为___________．

19．（2021·河北沧州·七年级期末）根据题意，完成下列问题．

（1）若，求的值；

（2）已知，求的值；