2022-2023学年安徽省滁州市定远中学高一上学期分班模拟考试数学试题（解析版）1

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数学试题
考试范围：集合和常用逻辑用语，函数与导数，三角函数与解三角形，等式与不等式；考试时间：100分钟；命题人：董天宇
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解可化简，根据集合的交运算即可求解.
【详解】，则．
故选：A
2. 下列命题错误的是（）
A. ，
B. 命题“”的否定是“”
C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当时，，即可判断A选项；根据特称命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.
【详解】解：对于A，当时，，，故A正确；
对于B，根据特称命题的否定为全称命题，
得“”的否定是“”，故B正确；
对于C，当且时，成立；
当时，却不一定有且，如，
因此“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，因为当时，有可能等于0，当时，必有，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：C.
3. 下列说法正确的是（）
A. 与角终边相同的角的集合可以表示为
B. 若为第一象限角，则仍为第一象限角
C. 函数是偶函数，则的一个可能值为
D. 点是函数的一个对称中心
【答案】D
【解析】
【分析】A写出其终边相同的角的集合判断；B由且，进而确定的范围，即可判断；C由三角函数的性质可得且，即可判断；D将点代入判断是否为对称中心即可.
【详解】A：，则与其终边相同的角为，错误；
B：由且，则且，故为第一或三象限角，错误；
C：由已知且，则且，的不可能为，错误；
D：，故是一个对称中心，正确.
故选：D
4. 函数，，的大致图象（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将函数解析式化简，根据奇偶性的概念，判定的奇偶性，排除A，B；再由特殊值验证，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，所以为奇函数，图像关于原点对称，排除A，B；
又，，
则，即，排除D，
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于常考题型.
5. 设，，，其中为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得，且，
由对数函数的性质，可得，所以，
所以.
故选：C.
6. 若，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：先根据a的范围确定a与的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．
详解：∵0＜a＜1，
∴a＜，
而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外
∴的解集为{x|}
故选C．
点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．
（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．
7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围.
【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，
解得：，，当且仅当时取等号，
又，因此b＋c的取值范围是.
故选：B
8. 若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】的定义域为，它应该关于原点对称，所以，又时，，，为奇函数.又原不等式可以化为，所以，所以，选C.
点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值.
二、多选题
9. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（）
A. 最小正周期为B. 单调递增区间
C. 图像的一个对移中心为D. 图像的一条对称轴为直线
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数图像变换得到解析式即可判断A；利用整体代换法求出函数单调增区间即可判断B；
分别求出和的值即可判断C和D.
【详解】函数的图像先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到的图像，则其最小正周期为，A正确；
令解得增区间是，B正确；
当时函数的值为，故C错误；
当时，函数的值为，
故图像的一条对称轴为直线，D正确．
故选:ABD．
10. 设，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.
【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确；
B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错；
C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则（）
A. 曲线在点处的切线方程为
B. 曲线的极小值为
C当时，仅有一个整数解
D. 当时，仅有一个整数解
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A,利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；
对于B，利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；
对于C，D，根据 B选项结论，画出函数图象，利用函数仅有一个整数解，只需要的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个即可求解.
【详解】对于A，，所以曲线在点处的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为即，故A正确；
对于B, ，
令，则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得极小值为，故B不正确；
对于C，D,由B选项知，在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得极小值为，如图所示
由题意可知，直线恒过，
所以，，
要使仅有一个整数解，只要是的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，
当,即时，仅有一个整数解，故C正确，
当时，当时，，当时，，
当时，，无整数解，D不正确.
故选：AC.
【点睛】解决此题的关键，对于A，利用导数的几何意义即可，对于B，利用导数法求函数极值的步骤即可，对于C，D, 画出函数图象，要使仅有一个整数解，只要是的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，即即可.
12. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分别构造、、，利用导数研究它们在上的单调性比较大小即可，应用特殊值法判断D.
【详解】A：令且，则，仅当时等号成立，故导函数恒大于0，
故在定义域上递增，则，即，
所以，错误；
B：令且，则，
故在定义域上递增，则，即，
所以，则，即，正确；
C：令且，则，
故在定义域上递增，则，即，
所以，则，正确；
D：当时，，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，应用导数研究单调性，进而比较大小关系.
三、填空题
13. 若且，则函数的图象恒过的定点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，得，计算，得到答案.
【详解】令，得，∴，
∴函数的图象恒过定点．
故答案为：.
14. 圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是_______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设圆的半径为，其外切正三角形的边长为，则，又弧长为，所以圆心角为．
考点：1．弧度制的定义及应用；2．三角形内切圆性质．
15. 已知定义在上的奇函数，当时，，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解.
【详解】解：由题意，定义在上的奇函数，
可得，解得，
又由当时，，
所以,
故答案为：.
16. 函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，然后可得当时不合题意，进而即得；或等价于恒成立，即恒成立，进而即得.
【详解】法一：令，解得（负值舍去），
当时，，
当时，，
且当时，总存，使得，
故，
若，易得，
所以，
即实数的取值范围为；
法二：原命题等价于任意，
所以恒成立，
即恒成立，又，
所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
四、解答题
17. 设集合，，或．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；
（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.
【小问1详解】
因为，所以．
①当时，由，得，解得；
②当，即时，成立．
综上，实数m的取值范围是．
【小问2详解】
因为中只有一个整数，所以，且，解得，
所以实数m的取值范围是．
18. 某汽车公司购买了辆大客车，每辆万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约万元，每辆车第一年各种费用约为万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
写出辆车运营的总利润（万元）与运营年数的函数关系式.
这辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
【答案】；运营年可使年平均运营利润最大.
【解析】
【分析】先分别计算出每辆车年总收入与总支出，从而可求总利润（万元）与运营年数的函数关系式；
年平均运用利润为，利用基本不等式可求平均运营利润最大值.
【详解】解：依题意，每辆车年总收入为万元，
总支出为，
.
年平均利润为.
又，，当且仅当时，等号成立，此时.
运营年可使年平均运营利润最大，最大利润为万元.
【点睛】本题以函数为载体，考查函数模型，结合基本不等式的运用，属于基础题.
19. 已知奇函数 ．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数 f (x)在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)当x[2，5]，时，ln(1+x)＞m＋ln(x－1) 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) a＝1; (2) f(x)在(1，＋∞)上为减函数;(3)
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义，推出结果即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）推出m的表达式，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．
【详解】解：
(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即ln＝－ln．
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1．
(2)f(x)＝ln，f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
下面证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln(·)＝ln
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，＞1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)为(1，＋∞)上的减函数．
(3)由已知得m＜ln(1＋x)－ln(x－1)，即m＜ln．
由(2)知f(x)＝ln在[2，5]上为减函数．
则当x＝5时，(ln)min＝
于是．.
【点睛】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．
20. 已知函数f（x）=x|x-a|+bx．
（1）若a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，若关于x的方程f（x）=x+1有三个实根，求a的取值范围．
【答案】（1）b≥2（2）a＞3或者a＜-1
【解析】
【分析】（1）写出解析式，利用单调性求解；
（2）将关于x的方程f（x）=x+1的实根个数问题转化为的图像的交点个数问题，再由图象得出结论．
【详解】解：（1）当a=2，f（x）=x|x-2|+bx=，f（x）是R上的增函数，
则，，故b≥2．
（2）b=0，f（x）=x|x-a|=x+1，若x=0显然不成立，
上式可变为|x-a|=1+，由|x-a|≥0，则1+≥0得，
分别作出图像，
则关于x的方程f（x）=x+1有三个实根等价于的图像有三个交点，
又函数的图像如图所示：
根据图象可知，当的图像有三个交点时，a＞3或者a＜-1，
故a的取值范围为a＞3或者a＜-1．
【点睛】考查了分段函数的单调性问题及函数零点问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，中档题．
21. 已知奇函数的定义域为，且当时，.
（1）求解析式；
（2）已知，存在，使得，试判断，的大小关系并证明.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，证明见解析.
【解析】
【分析】(1)令得，利用时和奇函数的性质即可.
(2)结合函数零点存在性定理和函数的奇偶性，计算即可得出结果.
【详解】(1)令，则，因为为奇函数，
所以，
所以.
(2)当时，，易知在上单调递增，
因为，
所以在上存在唯一零点，
因为为奇函数，所以在上存在唯一零点，
所以有两个零点，
易知在上单调递增，
因为，
所以在上存在唯一零点，且，
因为，所以，即，即，
所以也是的一个零点，
所以当时，；当时.
22. 已知函数是偶函数.
（I）证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；
（II）若方程有且只有一个解，求实数的取值范围.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【解析】
【分析】（I）先利用偶函数的定义结合对数的运算性质求出的值，然后利用定义法证明函数在上单调递增，即可证明出所证结论；
（II）由，得出，令，将问题转化为关于的方程有且只有一个正根，然后分三种情况讨论：①；②，；③，方程有一个正根一个负根.分析这三种情况，可求出实数的取值范围.
【详解】（I）由函数是偶函数可得：，，
，即对一切恒成立，.
由题意可知，只要证明函数在定义域上为单调函数即可.
任取、且，则，
，，，即，.
函数在上为单调增函数.
对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；
（II）若方程有且只有一解，
也就是方程有且只有一个实根.
令，问题转化为方程：有且只有一个正根.
（1）若，则，不合题意；
（2）若时，由或，当时，不合题意；当时，；
（3）若时，，若方程一个正根与一个负根时，则.
综上：实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理，属于中等题.