2022-2023学年安徽省宿州市第三中学高一上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省宿州市第三中学高一上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对数函数的性质化简集合A，再利用交集的定义求解.

【详解】因为集合，又，

所以.

故选：A.

2．已知，若，则（    ）

A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数

C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数

【答案】A

【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.

【详解】在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性：

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故选：A.

【点睛】本题考查了复合函数单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

3．已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.

【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即

所以弧长为，则

这个扇形的面积为

故选：B

4．已知，则（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】C

【分析】将两边平方，化简即得.

【详解】因为，

所以，两边平方可得，

所以.

故选：C.

5．已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】因为，是函数图象上的两点，可知，，所以不等式可以变形为，即，再根据函数是上的增函数，去函数符号，得，解出x的范围就是不等式的解集，最后求在中的补集即可．

【详解】不等式可变形为，

∵，是函数图象上的两点，∴，，

∴等价于不等式，

又∵函数是上的增函数，

∴等价于，

解得，

∴不等式的解集，

∴其补集．

故选：D．

6．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（　　）

A．，b＝0 B．

C．  D．，

【答案】B

【分析】根据偶函数定义域关于原点对称得，再结合偶函数定义即可得，进而即得.

【详解】因为偶函数的定义域为，

所以，解得，

所以，

由偶函数定义得，

所以，即，

所以，

故.

故选：B.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用倍角公式，即得.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

二、多选题

8．下列结论中，正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据诱导公式逐项分析即得.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：AD.

9．对任意实数．若不等式恒成立，则实数可取的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】分离参数可得：，令，则，令，则，利用基本不等式求出最大值，即可得出结果.

【详解】由，，

可得，

令，

则，

令，

则，

由，得，

当且仅当时取等号；

所以，

，

所以，

所以满足题意的选项为：AB；

故选：AB.

【点睛】关键点睛：分离参数，转化为求函数的最值是解决本题的关键.

10．已知函数，则下列结论正确的有（   ）

A．

B．函数图像关于直线对称

C．函数的值域为

D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是

【答案】AC

【分析】根据函数的解析式可得判断A，根据函数的定义域可判断B，根据二次函数的性质及三角函数的性质可得函数的值域判断C，利用数形结合可判断D.

【详解】因为，

所以，故A正确；

由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；

当时，，

当时，，，

所以函数的值域为，故C正确；

由可得，则函数与有四个交点，

作出函数与的大致图象，

由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.

故选：AC.

11．（多选题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】AC

【分析】令转化为，采用数形结合法可求参数范围，结合选项即可求解.

【详解】令得，令，由画出图象得：

由图可知，要使恰有2个零点，则直线与要有两个交点，或，故AC都符合.

故选：AC

三、填空题

12．函数是奇函数，当时，，且，则______．

【答案】8

【解析】根据函数为奇函数可得，代入当时的解析式即可求解.

【详解】根据题意，函数是奇函数，且，

则，

又由当时，，

则，

解可得；

故答案为：8．

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

13．函数的单调递增区间是__________.

【答案】（2，+∞）

【解析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.

【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，

，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

14．当时，函数的最小值为1，则的值为_____

【答案】或

【分析】讨论区间端点与对称轴的关系即可.

【详解】因为，对称轴为，

当，即时，函数在上单调递减，

所以时，有最小值，即，又，

解得，

当，即时，时，函数有最小值，显然不可能；

当时，函数在上单调递增，时，函数有最小值，

所以，又，

∴，

综上，或.

故答案为：或.

15．设是定义在R上的函数且对任意实数恒有，当时，，则 _________.

【答案】

【分析】由题可得函数是周期为4的函数，然后结合条件即得.

【详解】由题意可知，对任意实数恒有，

所以，

故是周期为4的函数，

又当时，，

所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题

16．已知集合P＝{x|x2﹣2x+k＝0}，若集合P中的元素少于两个，求k的范围．

【答案】．

【解析】由题意，方程有两个相等实根或者没有实根，所以，得出答案.

【详解】解：由题意，方程有两个相等实根或者没有实根，

所以，即解得．

所以k的范围是.

17．设函数，

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性，并证明.

【答案】(1)

(2)奇函数，证明见解析

【分析】（1）根据对数中真数大于0即可求解定义域，

（2）根据的关系即可判断其奇偶性.

【详解】（1）函数，

，，

即函数的定义域，

（2）是奇函数，

证明：，定义域关于原点对称，

，

即的奇函数，

18．已知函数，为常数

（1）若，判断并证明函数的奇偶性；

（2）若，用定义证明：函数在区间（0，）上是增函数．

【答案】(1) 为奇函数,(2)见解析.

【分析】（1）根据奇偶性的定义求解函数的奇偶性；

（2）根据求解单调性的步骤证明函数的单调性.

【详解】（1）解: 当时，函数为奇函数，

，

对恒成立,

为奇函数.

（2）,

，

设任意的,且.

.

,且，

，，，

，

所以函数在区间上是增函数.

【点睛】本题考查了用定义法解决函数的两大性质：单调性与奇偶性，不论解决函数的什么性质都要遵循“定义域优先”的原则.

19．已知二次函数．

（1）若的解集为，解关于x的不等式；

（2）若不等式对恒成立，求的最大值．

【答案】(1) ;(2) .

【解析】(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得，即得，因此，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值.

【详解】（1）∵的解集为

∴，，

∴.故

从而，解得.

（2）∵恒成立，

∴，

∴∴，

令，∵ ∴，从而，

∴，令.

①当时，；

②当时， ，

∴的最大值为.

【点睛】易错点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

20．已知，且，求的最小值.

【答案】.

【分析】利用平方均值算术均值可得，

【详解】利用平方均值算术均值，

则

即，

当且仅当时取等号，

最小值为

21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．

（2）求出的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．

【详解】解：（1）是偶函数，

若，则，

则当时，，

即当时，．

即．

（2）当时，，

对称轴为，

若，即时，在上为增函数，则的最小值为，

若，即时，在上为减函数，则的最小值为，

若，即时，的最小值为，

即．

【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．