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安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三下学期第二次模拟数学试题（解析版）
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这是一份安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三下学期第二次模拟数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|y=ln(x-1)}，B={x|x2-x-6<0}，则A∩B=( )
A. {x|1-2}D. {x|x>1}
2. 若复数z满足(1+i)z=1+i，则z的虚部为( )
A. -2iB. -22C. 22iD. 22
3. 已知lg3a=12，b3=12，2c=13，则( )
A. a4. 数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图象．现有函数f(x)=(x2-x)ex，则它的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5. 在三角形中三边上高的交点叫垂心，三条角平线的交点叫内心，三条中线的交点叫重心，三边的垂直平分线的交点叫外心.已知点M是△ABC所在平面内一点，且满足AC2-AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心
6. 在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区A、B、C分别有6%、5%、4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.则下列叙述正确的是( )
A. 这个人患流感的概率为0.15
B. 此人选自A地区且患流感的概率为0.0375
C. 如果此人患流感，此人选自A地区的概率为3097
D. 如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人
7. 设m∈R，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B，若直线l1与l2相交于点P(异于点A，B)，则△PAB周长的最大值为( )
A. 2+2B. 22+1C. 2+2D. 22+2
8. 设正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1，记[x]表示不超过x的最大整数，bn=[an1010]+1.若数列{bn}的前n项和为Tn，则使得Tn≥2023成立的n的最小值为( )
A. 1179B. 1180C. 2022D. 2023
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为6，侧棱长为43，则下列说法中正确的有( )
A. 侧棱SA与底面ABC所成的角为π3
B. 侧面SAB与底面ABC所成角的正切值为3
C. 正三棱锥S-ABC外接球的表面积为64π
D. 正三棱锥S-ABC内切球的半径为13-12
10. 已知圆M:(x-3)2+(y-4)2=8，直线l:mx-y-2m+3=0，直线l与圆M交于A,C两点，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(2,3)B. |AC|的最小值为26
C. MA⋅MC的取值范围为[-8,4]D. 当∠AMC最小时，其余弦值为16
11. 已知函数fx=sincsx+cssinx，下列关于该函数结论正确的是( )
A. fx的图象关于直线x=π2对称B. fx的一个周期是2π
C. fx的最大值为2D. fx是区间0,π2上的减函数
12. 定义：若对于定义域内任意x，总存在正的常数a，使得f(x+a)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为“a距”增函数，以下判断正确的有( )
A. 函数f(x)=2x(x∈R)是“a距”增函数
B. 函数f(x)=3x-x(x∈R)是“1距”增函数
C. 若函数f(x)=2x2+k|x|(x∈(-1,+∞))是“3距”增函数，则k的取值范围是(-3,+∞)
D. 若函数f(x)=x3-x+1(x∈R)是“a距”增函数，则a的取值范围是(0,2)
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知(x-3)(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则实数a2的值为 ．
14. 定义：记满足下列两个条件的有穷数列a1，a2，⋯，an(n=2,3,4,⋯)为n阶“期待数列”．
①a1+a2+a3+⋯+an=0;②|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|=1.试写出一个4阶“期待数列” ；若等比数列an是4阶“期待数列”，则数列an的公比是 ．
15. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，B两点，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．则C离心率的取值范围是 ．
16. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10分)
已知数列an，bn满足a1=3,b1=1,an+1-2an=2bn-bn+1,an+1-an=bn+1-bn+1．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn．
18. (本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,其中a=23，且23+bsinA-sinB=c-bsinC．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的面积的最大值．
19. (本小题12分)
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1BC；
(2)求平面A1AB1与平面A1BC所成角的大小的余弦值
20. (本小题12分)
抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少.一般地，病人体内白细胞浓度低于4000个/mm3时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量.为了解病人的最终用药剂量数y(1剂量=25μg)和首次用药时的白细胞浓度x(单位：百个/mm3)的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在0∼4000个/mm3的47个病例，其首次用药时的白细胞浓度为xi(单位：百个/mm3)，最终用药剂量数为yi(i=1,2,⋯,47)，得到数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,47)，数据散点图如图所示.他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线(由线段L1和L2组成)附近，其中
L1所在直线是由Ⅰ、Ⅱ区的点得到的回归直线，方程为y=bx+a，其中b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，a=y-bx;
L2所在直线是由Ⅱ、Ⅲ区的点得到的回归直线，方程为y=0.02x+14.64.以下是他们在统计中得到的部分数据：
Ⅰ区：i=116xiyi=4721，i=116xi2=1706，i=116xi=160，i=116yi=480;
Ⅱ区：i=1730xiyi=4713，i=1730xi2=5134，i=1730xi=266，i=1730yi=252．
(1)根据上述数据求a，b的值;(结果保留两位小数)
(2)根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度(单位：个/mm3)为多少时最终用药剂量最少?(结果保留整数)
(3)事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在0∼4000个/mm3时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少.请从统计学的角度分析(2)的结论与实际情况产生差异的原因.(至少写出两点)
参考数据：4721-16×10×301706-16×102≈-0.745，9434-30×14.5×246840-30×14.52≈-1.889，9434-30×14.2×24.46840-30×14.22≈-1.214. 30+0.745×10=37.45，24+1.889×14.5≈51.39，24.4+1.214×14.2≈41.64．
21. (本小题12分)
已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，抛物线C上的点A的横坐标为1，且AF=54．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M､N和P､Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．
22. (本小题12分)
函数fx=lnx+x2-2ax．
(1)若fx存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若y=fx有两个不同极值点x1，x2，求证：fx1+fx2<-3-ln2．
答案和解析
1.B 【解析】∵ A=xy=lnx-1=xx>1,
B=x-2∴ A∩B=x12.D 【解析】由(1+i)z=|1+i|=2，得z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=22-22i，z的虚部为22.故选D．
3.D 【解析】依题意，a=312>30=1，b=1213∈0,1，c=lg213<0，故c4.D 【解析】根据题意，f(x)=(x2-x)ex，在区间(-∞,0)上，x2-x>0，ex>0，则有f(x)>0，函数图像在x轴上方，排除C；
同理：在区间(0,1)上，有f(x)<0，函数图像在x轴下方，在区间(1,+∞)上，有f(x)>0，函数图像在x轴上方，排除A；
因为f(-3)=12e3,f(-2)=6e2,f(-3)f(-2)=2e<1，即f(-3)5.D 【解析】如图所示：
设线段BC的中点为D，则AB+AC=2AD．
∵AC2-AB2=2AM⋅BC，
∴(AC+AB)⋅(AC-AB)=2AM⋅BC，
∴BC⋅(AB+AC-2AM)=0，即BC⋅(2AD-2AM)=0
∴BC⋅MD=0，∴MD⊥BC且平分BC．
因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．故选D．
6.C 【解析】记事件D:选取的这个人患了流感，
记事件E:此人来自A地区，
记事件F:此人来自B地区，
记事件G:此人来自C地区，
则Ω=E∪F∪G，且E、F、G彼此互斥，
由题意可得P(E)=520=0.25，P(F)=720=0.35，P(G)=820=0.4，
P(D|E)=0.06，P(D|F)=0.05，P(D|G)=0.04，
A.由全概率公式可得P(D) =P(E)⋅P(D|E) +P(F)⋅P(D|F) +P(G)⋅P(D|G) =0.25×0.06+0.35×0.05+0.4×0.04=0.0485;A错误;
B.P(E)=520=0.25，P(D|E)=0.06，选自A地区且患流感的概率为0.0150;B错误;
C.由条件概率公式可得P(E|D)=P(DE)P(D)=P(D)⋅P(D|E)P(D)=0.25×；C正确．
D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为0.0485，任意选取100个人，患流感的人数设为X，则X∽B(100,0.0485)，即E(X)=100×0.0485=4.85;D错误．
7.D 【解析】直线l1：x+my-1=0过定点A(1,0)，
直线l2：mx-y-2m+3=0即m(x-2)=y-3，
可得过定点B(2,3)，
由于1⋅m+m⋅(-1)=0，
得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，
∴PA⊥PB，
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4．
由a2+b2≥2ab，可得2(a2+b2)≥(a+b)2，
那么2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2，
即有|PA|+|PB|≤2×4=22，
当且仅当|PA|=|PB|=2时，上式取得等号，
∴△PAB周长的最大值为2+22．故选：D．
8.B 【解析】①当n=1时，2a1=a1+1，解得a1=1；
②当n≥2时，∵2Sn=an+1=Sn-Sn-1+1，
即Sn-1=Sn-2Sn+1=(Sn-1)2，
又∵a1=1，an>0，∴Sn>1，
∴Sn-1=Sn-1，
即Sn-Sn-1=1(n≥2)，又S1=1，
故数列{Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故Sn=n，即Sn=n2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
当n=1时，an=2n-1也成立，
故an=2n-1，
而bn=[an1010]+1，
①当1≤n≤505时，
1≤an≤1009，11010≤an1010≤10091010，
bn=[an1010]+1=0+1=1，
最大值为T505=1×505=505，
②当506≤n≤1010时，
1011≤an≤2019，10111010≤an1010≤20191010，
bn=[an1010]+1=1+1=2，
最大值为T1010=1×505+2×505=1515，
③当1011≤n≤1515时，
2021≤an≤3029，20211010≤an1010≤30291010，
bn=[an1010]+1=2+1=3，
Tn=1×505+2×505+3×(n-1010)≥2023，
解得n≥35383=117913，
故使得Tn≥2023成立的n的最小值为1180．故本题选B．
9.ACD 【解析】如图所示，H为底面△ABC的中心，D为AB中点，连接DH，AH，SH，SD，
则SH⊥面ABC，
设O为正三棱锥S-ABC外接球的球心，O1为正三棱锥S-ABC内切球的球心，则O，O1在SH上，
由题意可知AD=3，则AH=3cs30°=23，DH=12AH=3，SH=SA2-AH2=432-232=6，
SD=SA2-AD2=39．
因为SH⊥面ABC，所以∠SAH为侧棱SA与底面ABC所成的角，
tan∠SAH=SHAH=623=3，则∠SAH=π3，故A正确；
因为SD⊥AB,HD⊥AB，所以∠SDH为侧面SAB与底面ABC所成角，
tan∠SDH=SHHD=63=23，故B错误；
设正三棱锥S-ABC外接球半径为R，则在Rt△AOH中，R2=6-R2+232，
解得：R=4，则外接球的表面积为4πR2=64π，故C正确；
设正三棱锥S-ABC内切球的半径为r，
因为 VS-ABC=VO1-ABS+VO1-ACS+VO1-CBS+VO1-ABC，
所以r=13S△ABC·SH13S△ABS+13S△ACS+13S△CBS+13S△ABC=12×6×6×32×63×12×6×39+12×6×6×32=13-12，故D正确．故选ACD．
10.AB 【解析】对于A:由l:mx-y-2m+3=0(m∈R)整理得m(x-2)-y+3=0，
所以直线l过定点P(2,3)，故A正确；
对于B:因为直线l过定点P(2,3)，将定点代入圆M:(2-3)2+(3-4)2=2<8，
所以定点(2,3)在圆M的内部，当直线l⊥PM，|AC|取得最小值，
而|PM|=(3-2)2+(4-3)2=2，
故AC=2222-22=26，故B正确；
对于D:直线l过的定点P(2,3)，当MP⊥AC时，∠AMC最小，
此时|AC|=26，
所以在△AMC中，由余弦定理计算可得cs∠AMC=222+222-(26)22×22×22=-12，故D错误；
对于C:MA⋅MC=MAMCcs∠AMC=22×22cs∠AMC=8cs∠AMC，
当A，M，C三点共线时，cs∠AMC最小值为-1，
当MP⊥AC时，cs∠AMC最大值为-12，则MA⋅MC∈[-8,-4]，故C错误．故选AB．
11.BD 【解析】由fx=sincsx+cssinx，
对于A，fπ-x=sincsπ-x+cssinπ-x
=-sincsx+cssinx≠fx，故A不正确；
对于B，f2π+x=sincs2π+x+cssin2π+x
=sincsx+cssinx=fx，故B正确；
对于C，-1≤csx≤1，所以y=sin(csx)的最大值为sin1，
当csx=1时，y=cssinx=cs0=1，取得最大值，
所以fx的最大值为sin1+1，故C不正确；
对于D，根据符合函数单调性，
当x∈0,π2时，
y=csx在区间0,π2上是减函数，且csx∈0,1⊆0,π2，
所以y=sin(csx)在区间0,π2上是减函数；
y=sinx在区间0,π2上是增函数，且sinx∈0,1⊆0,π2，
所以y=cssinx在区间0,π2上是减函数，
则fx是区间0,π2上的减函数，故D正确；故选BD．
12.ABC 【解析】对于A、因为f(x)=2x，a>0，所以f(x+a)-f(x)=2(x+a)-2x=2a>0，所以f(x+a)>f(x)恒成立，
故函数f(x)=2x(x∈R)是“a距”增函数，故A正确；
对于B、对任意x>0，f(x+1)-f(x)=(3x+1-x-1)-(3x-x)=2⋅3x-1．
因为f(x+1)-f(x)>0一定成立，故B正确；
对于C、因为f(x)=2x2+k|x|，x∈(-1,+∞)是“3距”增函数，
所以x> -1时，f(x+3)>f(x)恒成立，
即x> -1时，2(x+3)2+k|x+3|>2x2+k|x|恒成立，
所以(x+3)2+k|x+3| >x2+k|x|．
当x≥0时，(x+3)2+k(x+3)>x2+kx，即6x+9+3k>0恒成立，
所以9+3k>0，得k> -3；
当-1x2-kx，得6x+9+2kx+3k>0恒成立，
所以(2x+3)(k+3)>0，得k> -3．
综上所述，得k> -3.故C正确．
对于D、f(x+a)-f(x)=(x+a)3-(x+a)+1-(x3-x+1)=3x2a+3xa2+a3-a．
因为f(x)是“a距”增函数，
所以3x2a+3xa2+a3-a>0恒成立，
因为a>0，所以3x2+3xa+a2-1>0在x∈R恒成立，
所以Δ=9a2-12(a2-1)<0，所以a2>4，
因为a>0，所以a>2，故D错误；故选ABC．
13.-40
【解析】(x+2)4的展开式的通项Tk+1=C4k⋅x4-k·2k=2kC4k⋅x4-k，k=0,1,2,3,4．
当x-3选取x时，应取(x+2)4展开式中含x的项，令4-k=1，则k=3， T4=23C43⋅x=32x，此时x2的系数为32；
当x-3选取-3时，应取(x+2)4展开式中含x2的项，令4-k=2，则k=2， T3=22C42⋅x2=24x2 ，此时x2的系数为-3×24=-72；
所以a2=32-72=-40．
故答案为-40．
14.14,-14,14,-14 -1
【解析】等比数列an是4阶“期待数列”，由①可知a1(1-q4)1-q=0,∴q=-1
写出一个满足条件的数列即可，14,-14,14,-14，答案不唯一
15.(1+52,3)∪(3,+∞)
【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB：x=my-c，
与C的方程联立，消x得(b2m2-a2)y2-2b2cmy+b4=0，
由题可知b2m2-a2≠0，则m2≠a2b2，且判别式Δ=4b4(a2m2+a2)>0，
则y1+y2=2b2cmb2m2-a2,y1y2=b4b2m2-a2．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
即(my1-c)(my2-c)+y1y2=0，
整理得：(m2+1)y1y2-mc(y1+y2)+c2=0，
即(m2+1)b4b2m2-a2-2b2c2m2b2m2-a2+c2=0，
即(m2+1)b4-2b2c2m2+(b2m2-a2)c2=0，
化简得：m2(b4-b2c2)+b4-a2c2=0，
当(b4-b2c2)(b4-a2c2)<0时，解得：m2=a2c2-b4b4-b2c2，
由于m2≠a2b2，所以a2c2-b4b4-b2c2≠a2b2，即a2c2-b4b2-c2≠a2，
即(2a2-b2)(a2+b2)≠0，
所以b2≠2a2，所以e≠1+b2a2=3，
另一方面，(b4-b2c2)(b4-a2c2)<0，
即b4-a2c2>0，所以c2-a2>ac，即e2-e-1>0，
解得：e>1+52，且(1+5)2=6+25<12，
所以1+52<3，
故离心率的取值范围是(1+52,3)∪(3,+∞)．
16.1-ln2
【解析】设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2的切点为(m,mk+b) ，与曲线y=ln(x+1)的切点为(n,nk+b)，
则mk+b=lnm+2k=1mnk+b=ln(n+1)1n+1=k ，所以m=1kn=1k-1
所以1+b=-lnk+21+b-k=-lnk，所以k=2b=1-ln2，所以b=1-ln2．
17. 解：(1)依题意有an+1+bn+1=2(an+bn)an+1-bn+1=an-bn+1,
又a1+b1=4,a1-b1=2．
可得数列an+bn为公比为2的等比数列，
an-bn为公差为1的等差数列，
由an+bn=(a1+b1)×2n-1an-bn=(a1-b1)+(n-1),
得an+bn=2n+1an-bn=n+1，解得an=2n+n2+12bn=2n-n2-12．
故数列an，{bn}的通项公式分别为
an=2n+n2+12,bn=2n-n2-12．
(2)Sn=2(1-2n)1-2+n(n+1)4+n2=2n+1-2+n24+34n，
Tn=2(1-2n)1-2-n(n+1)4-n2=2n+1-2-n24-34n．
18.解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=23，且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC．
所以(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，
利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，
即：csA=b2+c2-a22bc=12，
由于：0解得：A=π3．
(2)由于a=23,A=π3，
且a2=b2+c2-2bccsA，
整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
当且仅当b=c=23的时候等号取得，
所以：S△ABC=12bcsinA≤12×12×32=33．
故△ABC的面积的最大值为33．
19.(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D在平面ACC1A1内，所以平面ACC1A1⊥平面ABC，
又因为BC⊥AC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，所以BC⊥平面ACC1A1，
因为AC1在平面ACC1A1内，所以BC⊥AC1．
又BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，BC、BA1在平面A1BC内，
所以AC1⊥平面A1BC，
又因为AC1在平面ACC1A1内，所以平面ACC1A1⊥平面A1BC；
(2)取AB的中点E，则DE//BC．
由(1)可知，DE，DC，DA1两两垂直，
因为AC1⊥平面A1BC，
所以AC1⊥A1C
平面ACC1A1是菱形，
A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A1D=3
以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系D-xyz，
则A(0,-1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0,3)，C1(0,2,3)，
所以AC1=(0,3,3)，
AC1⊥平面A1BC.所以平面A1BC法向量AC1=0,3,3
设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z)，AA1=(0,1,3)，AB=(2,2,0)，
则n⋅AA1=y+3z=0,n⋅AB=2x+2y=0,
令z=1，则n=(3,-3,1)．
平面A1AB与平面A1BC所成角的大小的余弦值csθ=|AC1→⋅n→||AC1→||n→|=77．
20.解：(1)因为i=130xiyi=i=116xiyi+i=1730xiyi=9434，i=130xi2=i=116xi2+i=1730xi2=6840，
x=130(i=116xi+i=1730xi)=14.2，y=130(i=116yi+i=1730yi)=24.4，
所以b=9434-30×14.2×24.46840-30×14.22≈-1.214，
所以a=y-bx=24.4+1.214×14.2≈41.64，
a=41.64，b=-1.21．
(2)由(1)知a=41.64，b=-1.21，所以L1的方程为y=-1.21x+41.64．
联立y=-1.21x+41.64,y=0.02x+14.64,
解得x≈21.95，
所以首次用药时的白细胞浓度为2195个/mm3时，最终用药剂量最少．
(3)本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可.如：①一次取
样未必能客观反映总体;②样本容量过小也可能影响估计的准确性;③忽略异常点的
影响也可能导致估计失真：④模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计
失真：⑤样本不具代表性，也会对估计产生影响.等等．
21.解：(1)由题意知1+p2=54，解得p=12，
故抛物线C的方程为：y2=x．
(2)由(1)知：F14,0，设直线MN的方程为：x=my+14m≠0，Mx1,y1、Nx2,y2，则直线PQ的方程为：x=-1my+14，
联立x=my+14,y2=x,得y2-my-14=0，
则Δ=m2+1>0，∴y1+y2=m，y1y2=-14，
∴MN=1+m2⋅y1+y22-4y1y2=1+m2⋅1+m2=m2+1，
同理可得PQ=1m2+1，
∴四边形MPNQ的面积S=12⋅|MN|⋅|PQ|=12(m2+1)(1m2+1)=12(2+1m2+m2)⩾2，
当且仅当1m2=m2，即m=±1时等号成立，
∴四边形MPNQ面积的最小值为2．
22.解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，
f'(x)=1x+2x-2a，
因为fx存在单调递减区间，所以f'x=1x+2x-2a<0有解，即1x+2xmin<2a，
因为x>0，所以1x+2x≥21x⋅2x=22，当且仅当x=22时，等号成立，
因此2a>22，即a>2．
故a的取值范围是(2,+∞)；
(2)证明：根据题意，令f'x=1x+2x-2a=0，即2x2-2ax+1=0，
因为y=fx有两个不同极值点x1，x2，
所以{Δ=4a2-8>0x1+x2=a>0x1x2=12>0，解得a>2．
又x1+x2=a,x1x2=12，
故f(x1)+f(x2)
=lnx1+x12-2ax1+lnx2+x22-2ax2=ln(x1x2)+(x1+x2)2-2x1x2-2a(x1+x2)=-ln2+a2-1-2a2
=-ln2-1-a2，
∵a>2，∴-a2<-2，
故-ln2-1-a2<-3-ln2，
故fx1+fx2<-3-ln2．
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|y=ln(x-1)}，B={x|x2-x-6<0}，则A∩B=( )
A. {x|1
2. 若复数z满足(1+i)z=1+i，则z的虚部为( )
A. -2iB. -22C. 22iD. 22
3. 已知lg3a=12，b3=12，2c=13，则( )
A. a
A. B.
C. D.
5. 在三角形中三边上高的交点叫垂心，三条角平线的交点叫内心，三条中线的交点叫重心，三边的垂直平分线的交点叫外心.已知点M是△ABC所在平面内一点，且满足AC2-AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心
6. 在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区A、B、C分别有6%、5%、4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.则下列叙述正确的是( )
A. 这个人患流感的概率为0.15
B. 此人选自A地区且患流感的概率为0.0375
C. 如果此人患流感，此人选自A地区的概率为3097
D. 如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人
7. 设m∈R，动直线l1：x+my-1=0过定点A，动直线l2：mx-y-2m+3=0过定点B，若直线l1与l2相交于点P(异于点A，B)，则△PAB周长的最大值为( )
A. 2+2B. 22+1C. 2+2D. 22+2
8. 设正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1，记[x]表示不超过x的最大整数，bn=[an1010]+1.若数列{bn}的前n项和为Tn，则使得Tn≥2023成立的n的最小值为( )
A. 1179B. 1180C. 2022D. 2023
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为6，侧棱长为43，则下列说法中正确的有( )
A. 侧棱SA与底面ABC所成的角为π3
B. 侧面SAB与底面ABC所成角的正切值为3
C. 正三棱锥S-ABC外接球的表面积为64π
D. 正三棱锥S-ABC内切球的半径为13-12
10. 已知圆M:(x-3)2+(y-4)2=8，直线l:mx-y-2m+3=0，直线l与圆M交于A,C两点，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点(2,3)B. |AC|的最小值为26
C. MA⋅MC的取值范围为[-8,4]D. 当∠AMC最小时，其余弦值为16
11. 已知函数fx=sincsx+cssinx，下列关于该函数结论正确的是( )
A. fx的图象关于直线x=π2对称B. fx的一个周期是2π
C. fx的最大值为2D. fx是区间0,π2上的减函数
12. 定义：若对于定义域内任意x，总存在正的常数a，使得f(x+a)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为“a距”增函数，以下判断正确的有( )
A. 函数f(x)=2x(x∈R)是“a距”增函数
B. 函数f(x)=3x-x(x∈R)是“1距”增函数
C. 若函数f(x)=2x2+k|x|(x∈(-1,+∞))是“3距”增函数，则k的取值范围是(-3,+∞)
D. 若函数f(x)=x3-x+1(x∈R)是“a距”增函数，则a的取值范围是(0,2)
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知(x-3)(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则实数a2的值为 ．
14. 定义：记满足下列两个条件的有穷数列a1，a2，⋯，an(n=2,3,4,⋯)为n阶“期待数列”．
①a1+a2+a3+⋯+an=0;②|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|=1.试写出一个4阶“期待数列” ；若等比数列an是4阶“期待数列”，则数列an的公比是 ．
15. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，B两点，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．则C离心率的取值范围是 ．
16. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10分)
已知数列an，bn满足a1=3,b1=1,an+1-2an=2bn-bn+1,an+1-an=bn+1-bn+1．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn．
18. (本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,其中a=23，且23+bsinA-sinB=c-bsinC．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的面积的最大值．
19. (本小题12分)
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1BC；
(2)求平面A1AB1与平面A1BC所成角的大小的余弦值
20. (本小题12分)
抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少.一般地，病人体内白细胞浓度低于4000个/mm3时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量.为了解病人的最终用药剂量数y(1剂量=25μg)和首次用药时的白细胞浓度x(单位：百个/mm3)的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在0∼4000个/mm3的47个病例，其首次用药时的白细胞浓度为xi(单位：百个/mm3)，最终用药剂量数为yi(i=1,2,⋯,47)，得到数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,47)，数据散点图如图所示.他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线(由线段L1和L2组成)附近，其中
L1所在直线是由Ⅰ、Ⅱ区的点得到的回归直线，方程为y=bx+a，其中b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，a=y-bx;
L2所在直线是由Ⅱ、Ⅲ区的点得到的回归直线，方程为y=0.02x+14.64.以下是他们在统计中得到的部分数据：
Ⅰ区：i=116xiyi=4721，i=116xi2=1706，i=116xi=160，i=116yi=480;
Ⅱ区：i=1730xiyi=4713，i=1730xi2=5134，i=1730xi=266，i=1730yi=252．
(1)根据上述数据求a，b的值;(结果保留两位小数)
(2)根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度(单位：个/mm3)为多少时最终用药剂量最少?(结果保留整数)
(3)事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在0∼4000个/mm3时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少.请从统计学的角度分析(2)的结论与实际情况产生差异的原因.(至少写出两点)
参考数据：4721-16×10×301706-16×102≈-0.745，9434-30×14.5×246840-30×14.52≈-1.889，9434-30×14.2×24.46840-30×14.22≈-1.214. 30+0.745×10=37.45，24+1.889×14.5≈51.39，24.4+1.214×14.2≈41.64．
21. (本小题12分)
已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，抛物线C上的点A的横坐标为1，且AF=54．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M､N和P､Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值．
22. (本小题12分)
函数fx=lnx+x2-2ax．
(1)若fx存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若y=fx有两个不同极值点x1，x2，求证：fx1+fx2<-3-ln2．
答案和解析
1.B 【解析】∵ A=xy=lnx-1=xx>1,
B=x-2
3.D 【解析】依题意，a=312>30=1，b=1213∈0,1，c=lg213<0，故c
同理：在区间(0,1)上，有f(x)<0，函数图像在x轴下方，在区间(1,+∞)上，有f(x)>0，函数图像在x轴上方，排除A；
因为f(-3)=12e3,f(-2)=6e2,f(-3)f(-2)=2e<1，即f(-3)
设线段BC的中点为D，则AB+AC=2AD．
∵AC2-AB2=2AM⋅BC，
∴(AC+AB)⋅(AC-AB)=2AM⋅BC，
∴BC⋅(AB+AC-2AM)=0，即BC⋅(2AD-2AM)=0
∴BC⋅MD=0，∴MD⊥BC且平分BC．
因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．故选D．
6.C 【解析】记事件D:选取的这个人患了流感，
记事件E:此人来自A地区，
记事件F:此人来自B地区，
记事件G:此人来自C地区，
则Ω=E∪F∪G，且E、F、G彼此互斥，
由题意可得P(E)=520=0.25，P(F)=720=0.35，P(G)=820=0.4，
P(D|E)=0.06，P(D|F)=0.05，P(D|G)=0.04，
A.由全概率公式可得P(D) =P(E)⋅P(D|E) +P(F)⋅P(D|F) +P(G)⋅P(D|G) =0.25×0.06+0.35×0.05+0.4×0.04=0.0485;A错误;
B.P(E)=520=0.25，P(D|E)=0.06，选自A地区且患流感的概率为0.0150;B错误;
C.由条件概率公式可得P(E|D)=P(DE)P(D)=P(D)⋅P(D|E)P(D)=0.25×；C正确．
D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为0.0485，任意选取100个人，患流感的人数设为X，则X∽B(100,0.0485)，即E(X)=100×0.0485=4.85;D错误．
7.D 【解析】直线l1：x+my-1=0过定点A(1,0)，
直线l2：mx-y-2m+3=0即m(x-2)=y-3，
可得过定点B(2,3)，
由于1⋅m+m⋅(-1)=0，
得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，
∴PA⊥PB，
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4．
由a2+b2≥2ab，可得2(a2+b2)≥(a+b)2，
那么2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2，
即有|PA|+|PB|≤2×4=22，
当且仅当|PA|=|PB|=2时，上式取得等号，
∴△PAB周长的最大值为2+22．故选：D．
8.B 【解析】①当n=1时，2a1=a1+1，解得a1=1；
②当n≥2时，∵2Sn=an+1=Sn-Sn-1+1，
即Sn-1=Sn-2Sn+1=(Sn-1)2，
又∵a1=1，an>0，∴Sn>1，
∴Sn-1=Sn-1，
即Sn-Sn-1=1(n≥2)，又S1=1，
故数列{Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故Sn=n，即Sn=n2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
当n=1时，an=2n-1也成立，
故an=2n-1，
而bn=[an1010]+1，
①当1≤n≤505时，
1≤an≤1009，11010≤an1010≤10091010，
bn=[an1010]+1=0+1=1，
最大值为T505=1×505=505，
②当506≤n≤1010时，
1011≤an≤2019，10111010≤an1010≤20191010，
bn=[an1010]+1=1+1=2，
最大值为T1010=1×505+2×505=1515，
③当1011≤n≤1515时，
2021≤an≤3029，20211010≤an1010≤30291010，
bn=[an1010]+1=2+1=3，
Tn=1×505+2×505+3×(n-1010)≥2023，
解得n≥35383=117913，
故使得Tn≥2023成立的n的最小值为1180．故本题选B．
9.ACD 【解析】如图所示，H为底面△ABC的中心，D为AB中点，连接DH，AH，SH，SD，
则SH⊥面ABC，
设O为正三棱锥S-ABC外接球的球心，O1为正三棱锥S-ABC内切球的球心，则O，O1在SH上，
由题意可知AD=3，则AH=3cs30°=23，DH=12AH=3，SH=SA2-AH2=432-232=6，
SD=SA2-AD2=39．
因为SH⊥面ABC，所以∠SAH为侧棱SA与底面ABC所成的角，
tan∠SAH=SHAH=623=3，则∠SAH=π3，故A正确；
因为SD⊥AB,HD⊥AB，所以∠SDH为侧面SAB与底面ABC所成角，
tan∠SDH=SHHD=63=23，故B错误；
设正三棱锥S-ABC外接球半径为R，则在Rt△AOH中，R2=6-R2+232，
解得：R=4，则外接球的表面积为4πR2=64π，故C正确；
设正三棱锥S-ABC内切球的半径为r，
因为 VS-ABC=VO1-ABS+VO1-ACS+VO1-CBS+VO1-ABC，
所以r=13S△ABC·SH13S△ABS+13S△ACS+13S△CBS+13S△ABC=12×6×6×32×63×12×6×39+12×6×6×32=13-12，故D正确．故选ACD．
10.AB 【解析】对于A:由l:mx-y-2m+3=0(m∈R)整理得m(x-2)-y+3=0，
所以直线l过定点P(2,3)，故A正确；
对于B:因为直线l过定点P(2,3)，将定点代入圆M:(2-3)2+(3-4)2=2<8，
所以定点(2,3)在圆M的内部，当直线l⊥PM，|AC|取得最小值，
而|PM|=(3-2)2+(4-3)2=2，
故AC=2222-22=26，故B正确；
对于D:直线l过的定点P(2,3)，当MP⊥AC时，∠AMC最小，
此时|AC|=26，
所以在△AMC中，由余弦定理计算可得cs∠AMC=222+222-(26)22×22×22=-12，故D错误；
对于C:MA⋅MC=MAMCcs∠AMC=22×22cs∠AMC=8cs∠AMC，
当A，M，C三点共线时，cs∠AMC最小值为-1，
当MP⊥AC时，cs∠AMC最大值为-12，则MA⋅MC∈[-8,-4]，故C错误．故选AB．
11.BD 【解析】由fx=sincsx+cssinx，
对于A，fπ-x=sincsπ-x+cssinπ-x
=-sincsx+cssinx≠fx，故A不正确；
对于B，f2π+x=sincs2π+x+cssin2π+x
=sincsx+cssinx=fx，故B正确；
对于C，-1≤csx≤1，所以y=sin(csx)的最大值为sin1，
当csx=1时，y=cssinx=cs0=1，取得最大值，
所以fx的最大值为sin1+1，故C不正确；
对于D，根据符合函数单调性，
当x∈0,π2时，
y=csx在区间0,π2上是减函数，且csx∈0,1⊆0,π2，
所以y=sin(csx)在区间0,π2上是减函数；
y=sinx在区间0,π2上是增函数，且sinx∈0,1⊆0,π2，
所以y=cssinx在区间0,π2上是减函数，
则fx是区间0,π2上的减函数，故D正确；故选BD．
12.ABC 【解析】对于A、因为f(x)=2x，a>0，所以f(x+a)-f(x)=2(x+a)-2x=2a>0，所以f(x+a)>f(x)恒成立，
故函数f(x)=2x(x∈R)是“a距”增函数，故A正确；
对于B、对任意x>0，f(x+1)-f(x)=(3x+1-x-1)-(3x-x)=2⋅3x-1．
因为f(x+1)-f(x)>0一定成立，故B正确；
对于C、因为f(x)=2x2+k|x|，x∈(-1,+∞)是“3距”增函数，
所以x> -1时，f(x+3)>f(x)恒成立，
即x> -1时，2(x+3)2+k|x+3|>2x2+k|x|恒成立，
所以(x+3)2+k|x+3| >x2+k|x|．
当x≥0时，(x+3)2+k(x+3)>x2+kx，即6x+9+3k>0恒成立，
所以9+3k>0，得k> -3；
当-1
所以(2x+3)(k+3)>0，得k> -3．
综上所述，得k> -3.故C正确．
对于D、f(x+a)-f(x)=(x+a)3-(x+a)+1-(x3-x+1)=3x2a+3xa2+a3-a．
因为f(x)是“a距”增函数，
所以3x2a+3xa2+a3-a>0恒成立，
因为a>0，所以3x2+3xa+a2-1>0在x∈R恒成立，
所以Δ=9a2-12(a2-1)<0，所以a2>4，
因为a>0，所以a>2，故D错误；故选ABC．
13.-40
【解析】(x+2)4的展开式的通项Tk+1=C4k⋅x4-k·2k=2kC4k⋅x4-k，k=0,1,2,3,4．
当x-3选取x时，应取(x+2)4展开式中含x的项，令4-k=1，则k=3， T4=23C43⋅x=32x，此时x2的系数为32；
当x-3选取-3时，应取(x+2)4展开式中含x2的项，令4-k=2，则k=2， T3=22C42⋅x2=24x2 ，此时x2的系数为-3×24=-72；
所以a2=32-72=-40．
故答案为-40．
14.14,-14,14,-14 -1
【解析】等比数列an是4阶“期待数列”，由①可知a1(1-q4)1-q=0,∴q=-1
写出一个满足条件的数列即可，14,-14,14,-14，答案不唯一
15.(1+52,3)∪(3,+∞)
【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB：x=my-c，
与C的方程联立，消x得(b2m2-a2)y2-2b2cmy+b4=0，
由题可知b2m2-a2≠0，则m2≠a2b2，且判别式Δ=4b4(a2m2+a2)>0，
则y1+y2=2b2cmb2m2-a2,y1y2=b4b2m2-a2．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
即(my1-c)(my2-c)+y1y2=0，
整理得：(m2+1)y1y2-mc(y1+y2)+c2=0，
即(m2+1)b4b2m2-a2-2b2c2m2b2m2-a2+c2=0，
即(m2+1)b4-2b2c2m2+(b2m2-a2)c2=0，
化简得：m2(b4-b2c2)+b4-a2c2=0，
当(b4-b2c2)(b4-a2c2)<0时，解得：m2=a2c2-b4b4-b2c2，
由于m2≠a2b2，所以a2c2-b4b4-b2c2≠a2b2，即a2c2-b4b2-c2≠a2，
即(2a2-b2)(a2+b2)≠0，
所以b2≠2a2，所以e≠1+b2a2=3，
另一方面，(b4-b2c2)(b4-a2c2)<0，
即b4-a2c2>0，所以c2-a2>ac，即e2-e-1>0，
解得：e>1+52，且(1+5)2=6+25<12，
所以1+52<3，
故离心率的取值范围是(1+52,3)∪(3,+∞)．
16.1-ln2
【解析】设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2的切点为(m,mk+b) ，与曲线y=ln(x+1)的切点为(n,nk+b)，
则mk+b=lnm+2k=1mnk+b=ln(n+1)1n+1=k ，所以m=1kn=1k-1
所以1+b=-lnk+21+b-k=-lnk，所以k=2b=1-ln2，所以b=1-ln2．
17. 解：(1)依题意有an+1+bn+1=2(an+bn)an+1-bn+1=an-bn+1,
又a1+b1=4,a1-b1=2．
可得数列an+bn为公比为2的等比数列，
an-bn为公差为1的等差数列，
由an+bn=(a1+b1)×2n-1an-bn=(a1-b1)+(n-1),
得an+bn=2n+1an-bn=n+1，解得an=2n+n2+12bn=2n-n2-12．
故数列an，{bn}的通项公式分别为
an=2n+n2+12,bn=2n-n2-12．
(2)Sn=2(1-2n)1-2+n(n+1)4+n2=2n+1-2+n24+34n，
Tn=2(1-2n)1-2-n(n+1)4-n2=2n+1-2-n24-34n．
18.解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=23，且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC．
所以(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，
利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，
即：csA=b2+c2-a22bc=12，
由于：0
(2)由于a=23,A=π3，
且a2=b2+c2-2bccsA，
整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
当且仅当b=c=23的时候等号取得，
所以：S△ABC=12bcsinA≤12×12×32=33．
故△ABC的面积的最大值为33．
19.(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D在平面ACC1A1内，所以平面ACC1A1⊥平面ABC，
又因为BC⊥AC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，所以BC⊥平面ACC1A1，
因为AC1在平面ACC1A1内，所以BC⊥AC1．
又BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，BC、BA1在平面A1BC内，
所以AC1⊥平面A1BC，
又因为AC1在平面ACC1A1内，所以平面ACC1A1⊥平面A1BC；
(2)取AB的中点E，则DE//BC．
由(1)可知，DE，DC，DA1两两垂直，
因为AC1⊥平面A1BC，
所以AC1⊥A1C
平面ACC1A1是菱形，
A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A1D=3
以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系D-xyz，
则A(0,-1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0,3)，C1(0,2,3)，
所以AC1=(0,3,3)，
AC1⊥平面A1BC.所以平面A1BC法向量AC1=0,3,3
设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z)，AA1=(0,1,3)，AB=(2,2,0)，
则n⋅AA1=y+3z=0,n⋅AB=2x+2y=0,
令z=1，则n=(3,-3,1)．
平面A1AB与平面A1BC所成角的大小的余弦值csθ=|AC1→⋅n→||AC1→||n→|=77．
20.解：(1)因为i=130xiyi=i=116xiyi+i=1730xiyi=9434，i=130xi2=i=116xi2+i=1730xi2=6840，
x=130(i=116xi+i=1730xi)=14.2，y=130(i=116yi+i=1730yi)=24.4，
所以b=9434-30×14.2×24.46840-30×14.22≈-1.214，
所以a=y-bx=24.4+1.214×14.2≈41.64，
a=41.64，b=-1.21．
(2)由(1)知a=41.64，b=-1.21，所以L1的方程为y=-1.21x+41.64．
联立y=-1.21x+41.64,y=0.02x+14.64,
解得x≈21.95，
所以首次用药时的白细胞浓度为2195个/mm3时，最终用药剂量最少．
(3)本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可.如：①一次取
样未必能客观反映总体;②样本容量过小也可能影响估计的准确性;③忽略异常点的
影响也可能导致估计失真：④模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计
失真：⑤样本不具代表性，也会对估计产生影响.等等．
21.解：(1)由题意知1+p2=54，解得p=12，
故抛物线C的方程为：y2=x．
(2)由(1)知：F14,0，设直线MN的方程为：x=my+14m≠0，Mx1,y1、Nx2,y2，则直线PQ的方程为：x=-1my+14，
联立x=my+14,y2=x,得y2-my-14=0，
则Δ=m2+1>0，∴y1+y2=m，y1y2=-14，
∴MN=1+m2⋅y1+y22-4y1y2=1+m2⋅1+m2=m2+1，
同理可得PQ=1m2+1，
∴四边形MPNQ的面积S=12⋅|MN|⋅|PQ|=12(m2+1)(1m2+1)=12(2+1m2+m2)⩾2，
当且仅当1m2=m2，即m=±1时等号成立，
∴四边形MPNQ面积的最小值为2．
22.解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，
f'(x)=1x+2x-2a，
因为fx存在单调递减区间，所以f'x=1x+2x-2a<0有解，即1x+2xmin<2a，
因为x>0，所以1x+2x≥21x⋅2x=22，当且仅当x=22时，等号成立，
因此2a>22，即a>2．
故a的取值范围是(2,+∞)；
(2)证明：根据题意，令f'x=1x+2x-2a=0，即2x2-2ax+1=0，
因为y=fx有两个不同极值点x1，x2，
所以{Δ=4a2-8>0x1+x2=a>0x1x2=12>0，解得a>2．
又x1+x2=a,x1x2=12，
故f(x1)+f(x2)
=lnx1+x12-2ax1+lnx2+x22-2ax2=ln(x1x2)+(x1+x2)2-2x1x2-2a(x1+x2)=-ln2+a2-1-2a2
=-ln2-1-a2，
∵a>2，∴-a2<-2，
故-ln2-1-a2<-3-ln2，
故fx1+fx2<-3-ln2．
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