2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知，条件：，条件：，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可.

【详解】若，则有，因此有，故；

反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件.

故选：B

2．“对任意的，都有”的否定形式为（    ）

A．对任意的，都有 B．存在，使得

C．存在，使得 D．不存在，都有

【答案】C

【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，将任意改为存在，并否定结论即可得到答案.

【详解】“对任意的，都有”的否定形式为“存在，使得”.

故选：C.

3．已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（    ）

A． B．M中至多有一个元素不属于P

C．P中有不属于M的元素 D．M中有不属于P的元素

【答案】D

【分析】命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题,则命题的否定是真命题，即可得出结论.

【详解】因为命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，

则命题的否定“存在M中的元素，不是P中的元素”是真命题,

即M中有不属于P的元素.

故选D

【点睛】本题主要考查了命题与命题的否定，命题真假的判断，属于中档题.

4．定义在R上的偶函数满足，且当时，则等于（    ）

A．10 B．－10 C． D．

【答案】C

【分析】由可以得出的一个周期，然后利用周期性和奇偶性，以及题目条件将化成在的一个函数值，代入解析式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

即的一个周期为6.

所以，

又因为为偶函数，所以，

所以.

故选：C.

二、填空题

5．已知全集，集合，则___________．

【答案】

【详解】因为，所以

6．不等式的解集是____________．

【答案】

【详解】解：或

7．函数定义域是__________.

【答案】

【分析】根据函数的解析式，结合对数函数性质，解不等式可得答案.

【详解】由题意函数可知：，

即 ，故函数定义域是，

故答案为：.

8．已知集合，试用列举法表示__________.

【答案】

【分析】根据集合表示点集，直接求集合的交集即可.

【详解】解：，则，解得或或，

所以.

故答案为：.

9．己知幂函数为奇函数，则实数a的值为__________.

【答案】1

【分析】由幂函数的定义解得a的值，再代入检验是否符合奇函数可得结果.

【详解】∵为幂函数，

∴，解得：或，

当时，，设则

∴在R上为偶函数，所以不符合题意；

当时，，设则

∴在R上为奇函数，所以符合题意.

综述：.

故答案为：1.

10．设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围.

【详解】因为在上是减函数，故，所以

故答案为：.

11．函数的值域为___________.

【答案】

【解析】变形利用指数函数与反比例函数的单调性即可得出．

【详解】，

，，，，

函数的值域为，

故答案为：．

【点睛】本题考查指数函数与反比例函数的单调性、函数的值域、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

12．已知函数则使得该函数值大于0的的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意得，，进而根据二次函数的单调性，可求解.

【详解】设，

即且，解得，

当且，解得，

故时，

故答案为：

13．定义：满足不等式的实数x的集合称作的邻域，若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________.

【答案】##4.5

【分析】先根据邻域的定义列出不等式，将绝对值不等式解出，再根据邻域是一个关于原点对称的区间求出的值，然后根据基本不等式即可得到答案.

【详解】根据题意可得，解得，

又因为的邻域是一个关于原点对称的区间，

所以，即，

所以，当且仅当时等号成立.

故答案为：.

14．已知函数，关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为___________

【答案】

【分析】利用函数的单调性可以判断出函数的单调性,运用奇偶函数的定义可以判断出函数的奇偶性,利用函数的奇偶性可以化简不等式,最后利用函数的单调性,得到关于的不等式,对不等式进行常变量分离,构造函数,应用二次函数的性质求出函数的最大值,最后确定实数的取值范围.

【详解】由函数的单调性的性质可知：函数是整个实数集上的增函数.

又因为,所以函数是奇函数,于是有

,而函数是整个实数集上的增函数,所以有

,由题意可知：不等式在区间上有解.

,令

,所以有,所以当时,函数

有最大值,最大值为,要想不等式在区间上有解,只需.

故答案为

【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性的应用,考查了不等式在闭区间上有解问题,常变量分离,构造函数是常用的解题方法.

15．已知函数，，，对任意都有，且是增函数，则用列举法表示函数的值域是______．

【答案】

【分析】根据题意，令，由条件求得而，即而由知，，于是得到的值，将其值域用列举法表示即可得答案．

【详解】解：根据题意，令，

对任意都有，故有，否则，可得，这与矛盾；

从而，而由，即得．

又由是增函数，则，即，于是得到．

又，从而，即．

而由知，．

于是，

则函数的值域；

故答案为．

根据题意，令，由条件求得而，即而由知，，于是得到的值，将其值域用列举法表示即可得答案．

【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的单调性的应用，求出，是解题的关键，属于中档题．

16．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.

【详解】不妨令，则等价于，可得，

构造函数，则是上的增函数.

因为，所以等价于，即，

所以，，即，解得.

因此，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可.

三、解答题

17．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．

【答案】证明见解析.

【分析】假设与都大于或等于2，即，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．

【详解】证明：假设与都大于或等于2，即，

因为，，故可化为，两式相加，得，

与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．

【点睛】本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．

18．已知函数的定义域是关于的不等式的解集

(1)求以上不等式的解集；

(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.

【答案】(1)；

(2)当或时取到最大值0；当时取到最小值.

【分析】（1）化间不等式为，可得，结合指数函数性质，即可求得答案；

（2）化简，利用换元法可得，结合二次函数性质，即可求得答案.

【详解】（1）由可得，

即，则，即，

所以 ，即的解集为.

（2）因为，

令 ，则 ，

当即时，，即取得最小值；

当或即或时，，即取得最大值；

19．某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率与日产量（万枚）间的关系为： ，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利元，每出现1件次品则亏损15元.

(1)将日盈利额y（万元）表示为日常量x（万枚）的函数；

(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？

【答案】(1)

(2)日产量应为3万枚

【分析】（1）利用题中的条件可以直接列出函数关系式，利用合格产品数量乘以30，减去次品数量乘以15，即可得到函数关系式；

（2）由（1）分析求出每一段函数的最大值，再进行比较，即可得出结果．

【详解】（1）当时，，

当时，，

所以，

∴.

（2）由（1）知，当时，日盈利为0元，

当时，

，

当且仅当，即x＝3时取等号，

所以为使日盈利最大，日产量应为3万枚．

20．已知，且，且，又已知函数，其中.

(1)设，，判断函数在上的单调性并加以证明；

(2)如果实数满足，，判断函数的奇偶性，并说明理由；

(3)设，，且，判断函数是否关于直线对称？如果是，求出的值，如果不是，请说明理由.

【答案】(1)增函数；证明见解析

(2)当时，为偶函数；当，时为奇函数；当时，为既不是奇函数又不是偶函数.

(3)是，.

【分析】（1）先根据指数函数的单调性判断，再利用函数的单调性定义证明即可.

（2）利用函数的奇偶性定义即可求解.

（3）由函数关于直线对称，则是偶函数，即对任意实数，满足，代入即可求解.

【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：

任意，且

，，是增函数，是减函数，

，，即

所以函数在上的单调递增.

（2）由已知，，于是，则，

当时，，为偶函数；

当，，为奇函数；

当，为既不是奇函数又不是偶函数.

（3）函数关于直线对称，且，

，且，

若函数关于直线对称，则是偶函数，

即对任意实数，满足，

即，化简得

因为对任意成立，则，解得

所以函数关于直线对称，且.

21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.

（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；

（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；

（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对.

【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；

（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；

（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.

【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下：

由题题意，，得，则，

所以函数是区间上的“平均值函数”；

（2）因为函数是区间上的“平均值函数”，

所以存在，使，

即，即，令，

所以在上是增函数，

因此，；

（3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，

所以，

即，

所以，又因为，

所以或，

因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，

所以满足条件的数对只有.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.