2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．己知、、，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.

【详解】对于A，若，，则，故A错误；

对于B，若，，则，故B错误；

对于C，若，此时，∴，故C正确；

对于D，若取，，则，故D错误．

故选：C．

2．用反证法证明：“、、、，，，且，则、、、中至少有一个负数”时的假设为（    ）

A．、、、中至少有一个正数 B．、、、全为正数

C．、、、中至多有一个负数 D．、、、全都大于或等于

【答案】D

【分析】利用反证法的定义即可得出答案.

【详解】反证法的假设为结论的否定，即应假设“a、b、c、d全都大于或等于0”.

故选：D．

3．设、、是非零实数，式子所有可能取的值组成的集合记为；满足的实数所有可能取的值组成的集合记为；己知，，则是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】D

【分析】讨论、、的符号可求集合，根据子集的概念可求集合，再根据充分、必要条件理解判断.

【详解】对于集合，则有：

当a，b，c全正时，，

当a，b，c两正一负时，，

当a，b，c一正两负时，，

当a，b，c全负时，，

所以，

对集合，则有：

因为，

当，则

当，则，即

当，则，即

所以

∵，且

则是的非充分非必要条件，

故选：D．

4．设数集同时满足条件：①中不含元素，0，1，②若，则．则下列结论正确的是（    ）

A．集合中至多有2个元素； B．集合中至多有3个元素；

C．集合中至少有4个元素； D．集合中有无穷多个元素．

【答案】C

【分析】根据条件分别进行推理即可得到结论

【详解】由，则，

所以，

所以，

所以，

若，则无解，

因为，所以互不相等，此时集合中含4个元素，

所以集合中至少有4个元素，

故选：C

二、填空题

5．用描述法表示被3除余2的整数集为__________．

【答案】

【分析】由描述法的格式写出集合：集合中元素即为3的整数倍再加2．

【详解】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为．

故答案为：．

6．若全集，则__________．

【答案】

【分析】根据集合的补集运算求解.

【详解】∵

∴

故答案为：.

7．用列举法表示方程组的解集 ___．

【答案】

【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合．

【详解】解方程组得，故方程组解的集合为：．

故答案为：

8．设、，集合，，若，则__________．

【答案】

【分析】根据列方程组，由此求得的值.

【详解】因为a、，集合，，，，

所以，解得，．

故答案为：

9．关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由题意得，解不等式即可得出答案.

【详解】由题意得：，所以．

故答案为：.

10．已知，为常数，若的解集是，则的解集是__________．

【答案】

【分析】由不等式的解集可得且，代入不等式中求解即可.

【详解】由题意，不等式解得，∴，，即，

则即，解得，所以解集为．

故答案为：

11．集合有且仅有两个子集，则实数__________．

【答案】或

【分析】根据集合有且仅有两个子集确定集合元素个数，分类讨论求得的值.

【详解】集合中有且仅有一个元素，

即方程有且仅有一个根．

当时，方程有一根符合要求；

当时，，解得，

故满足要求的a的值为1或．

故答案为：1或

12．已知全集，集合，满足，，，则集合__________．

【答案】

【分析】根据集合间的关系及运算结合题意即可求解集合.

【详解】已知，，

所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6，

因为，，

所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9，

集合A、B中没有0，1，10，

综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10，

所以．

故答案为：.

13．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，要使这名研发人员的年总投入不低于调整前名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为__________人．

【答案】

【分析】根据题干列不等式，解不等式即可.

【详解】由题意得，

解得，

又且，

所以调整后的技术人员的人数最多人，

故答案为：.

14．己知，设集合不为空集，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】对参数分类讨论不等式的解集问题.

【详解】当时，，舍去；

当时，由，对应方程的，满足题意，

当时，若集合不为空集,，所以，或（舍去）

综上，a的取值范围为．

故答案为：.

15．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论的序号是__________．

（1）如果，那么

（2）如果，那么

（3）如果，，那么

（4）如果，，那么

【答案】（3）

【分析】根据集合满足的条件，对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于（1），，，恒有，

所以，所以，故（1）错误；

对于（2），，，若，则存在x、使得，

所以，又和同奇或同偶，

若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；

若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，

所以，即，故（2）错误；

对于（3），，，设，，、；

则

，那么，故（3）正确；

对于（4），，，可设，，、；

则，故（4）错误．

故正确的是（3）．

故答案为：（3）．

16．若集合，集合，且中有四个元素，则元素和能被整除的集合的个数为__________．

【答案】

【分析】根据题意结合子集的概念分析求解.

【详解】把集合A中按元素除以3的余数分成三个集合，，，

则集合有如下可能：

由中的所有元素和一个元素组成，则有3个；

由中的所有元素和一个元素组成，则有3个；

由中的两个元素和中的两个元素组成，

中的两个元素有三种可能：，，

中的两个元素有三种可能：，，

则有个

由中的一个元素、中的一个元素和的两个元素组成，

中的两个元素有三种可能：，，

则有个

所以集合B的个数为

故答案为：42

三、解答题

17．已知方程的两个实根为，.

（1）用含的代数式表示和；

（2）若该方程的两个实数根都大于，求实数的取值范围.

【答案】（1）），；（2）.

【分析】（1）用韦达定理即可求解；（2）结合根的判别式和韦达定理即可解出来.

【详解】（1），；

（2）方程的两个实数根都大于，

，解得

所以实数的取值范围是

18．关于的不等式的解集为．

(1)求解集；

(2)集合，若，求．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）不等式可化为，根据与1的关系分类讨论得出解集；

（2）根据已知条件求出，然后根据解集端点的大小关系讨论得出结果．

【详解】(1)由得，

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

(2)若，则，

，

当时，，；

当时，，．

19．（1）实数，比较与的大小；

（2）证明：是无理数．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）利用作差法即可比较大小；

（2）利用反证法证明即可

【详解】（1）因为，

所以，

所以；

（2）假设是有理数，则，其中是互质的整数，

则，两边平方得，所以为偶数，

设，则即，

所以为偶函数，与“是互质的整数”矛盾，

所以假设不成立.所以是无理数．

20．定义区间、、、的长度均为，其中．

(1)求不等式的解集区间的长度；

(2)如果数集，都是集合的子集，那么集合，的长度的最小值和最大值分别是多少?

(3)已知不等式组的解集构成的各区间的长度和等于，求实数的范围．

【答案】(1)

(2)长度的最大值为，最小值为；长度的最大值为，最小值为；

(3)

【分析】（1）解一元二次不等式即可得到答案；

（2）由，得到，的长度，结合，都是集合的子集即可求解；

（3）设的解集为C，由于的解集为，长度为6，结合题意可得，然后分，和讨论的解集情况，列出不等式即可求解

【详解】(1)由得，

所以的解集为，故解集区间的长度为；

(2)由，可得到A的长度为，B的长度为，

因为，都是集合的子集，

所以长度的最大值为，最小值为；

长度的最大值为1，最小值为；

(3)由即得，此不等式解集长度为6，

又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，

设的解集为C，则，

由得，

当时，，显然成立；

当时，，

由得或，

所以或；

当时，，

由得即，

所以；

综上，实数k的范围是

21．符号表示不大于的最大整数（），例如：，，．

(1)解下列两个方程：，；

(2)分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由；

(3)求方程的实数解．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）结合题目所给定义解方程即可；

（2）由所给定义得到，结合不等式的性质即可求得不等式是否成立；

（3）由，将问题转化为关于的不等式组，解出代入方程求解即可.

【详解】(1)因为，所以，因为，所以，所以．

(2)对任意x，有，

当时，成立，因为故

当时，不成立，因为故

(3)因为，又不是解，

所以，所以，

解得或，解得或或7或8，

分别代入方程得，解得，

，，

，，

，，

经检验，这四个值都是原方程的解．