2021-2022学年上海市徐汇中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市徐汇中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．下列函数既是偶函数又是在区间上严格减的函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本初等函数函数的单调性与奇偶性的定义判断即可；

【详解】解：对于A：定义域为，且，即为偶函数，且，函数在上单调递减，故A正确；

对于B：为奇函数且在上单调递增，故B错误；

对于C：为偶函数，且在上单调递增，故C错误；

对于D：函数为非奇非偶函数，且在上单调递增，故D错误；

故选：A

2．当时，下列不等式恒成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断即可

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，若，则，所以C错误，

对于D，因为，所以，所以，所以D正确，

故选：D

3．定义两种运算，则函数的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据所给定义求出函数解析式即可；

【详解】解：因为，

所以，因为，解得，所以，所以，；

故选：B．

4．①函数值域为；②函数为偶函数；③函数在上恒成立；④若任意都有.已知函数：①；②；③；④.其中同时满足以上四个条件的函数有（       ）个

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】分别作出①；②；③；④四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.

【详解】分别作出①；②；③；④四个函数的图象：

由图知，四个函数的值域都是都满足①；

由图知：①；②；③图象关于轴对称，都是偶函数，④的定义域为不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④不满足条件②；排除函数④；

条件③：函数在上恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在上单调递增，由四个函数图象可知，①，③，④满足条件③，函数②不满足条件③，排除函数②；

对于条件④：

函数①：如图任意都有，故函数①满足条件④，

函数③：如图任意都有，故函数③满足条件④，

所以同时满足以上四个条件的函数有函数①、函数③，共有个，

故选：C

二、填空题

5．已知全集，集合，则___________

【答案】

【分析】先求出，再进行补集运算及即可求解.

【详解】因为集合，所以，

因为，所以，

故答案为：.

6．不等式的解集为________

【答案】

【详解】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.

7．已知函数的图象恒过定点P，则点P坐标是___________

【答案】

【分析】根据指数函数的指数为，求出函数过定点坐标；

【详解】解：因为，令，即，所以，即函数恒过点；

故答案为：

8．满足的集合A的个数为___________

【答案】7

【分析】根据子集的概念，列举出集合，可得答案.

【详解】因为，

所以集合可能是,共7个；

故答案为：7

9．函数的奇偶性为___________

【答案】奇函数

【分析】利用奇偶性的定义进行判定.

【详解】函数的定义域为，当时，，，，

此时.

当时，，，，

此时.

当时，，满足.

综上为奇函数.

故答案为：奇函数.

10．若函数的定义域为，则函数的定义域是___________

【答案】

【分析】由题意可得，解不等式求出的范围即可求解.

【详解】因为函数的定义域为，所以，

所以，解得：，

所以函数的定义域是，

故答案为：.

11．已知x､，且，则的最大值为___________

【答案】或

【分析】由题意可得，变形可求的最大值即可.

【详解】因为且，

所以，即，

当且仅当，即且时取等号，

此时取最大值为.

故答案为：.

12．设函数的定义域为，且对任意的，均有，则所有零点之和为___________

【答案】

【分析】先利用赋值求出，然后利用，结合韦达定理可求结果.

【详解】当时，，即；

当时，，解得，

所以；

令，可得，；

设是的两个根，则，即所有零点之和为.

故答案为：.

13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为___________

【答案】

【分析】根据复合函数的单调性可得内层函数是增函数，且在上有意义，结合不等式可求实数a的取值范围.

【详解】设，则，且为增函数，

所以在上单调递增，且在上恒成立.

当时，易知为增函数，

所以，即，所以；

当时，在上是减函数，在上是增函数；

所以，解得，所以.

综上可得，实数a的取值范围为.

故答案为：.

14．已知为定义在上的偶函数，且，若在上严格减，若，则的取值范围为________

【答案】

【分析】由是上的偶函数，可得，即，，再由单调性可得，解不等式即可求解.

【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，

所以，所以，

又因为，所以即，

因为在上严格减，所以，解得：或，

所以的取值范围为，

故答案为：

15．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．

【答案】6

【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．

【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：=1，

解得：2p+q=a2pq，

由于：2p+q=36pq，

所以：a2=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为6

【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．

16．已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点对称，且，则_________．

【答案】2021

【分析】由分别取，，结合函数的对称性求，由此可得.

【详解】∵   ，

∴   ，，

又的图像关于直线对称，的图像关于点对称，

∴ 函数为偶函数，函数为奇函数，

∴ ，

∴ ，，

∴ ，

故答案为：2021.

三、解答题

17．已知.

（1）求证函数是奇函数：

（2）判断函数的单调性并证明.

【答案】（1）证明见解析；（2）为上的增函数，证明见解析.

【解析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；

（2）任取、，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数.

【详解】（1）函数的定义域为，

，所以，函数是奇函数：

（2），函数为上的增函数，证明如下：

任取、，且，

，

，，，即，

因此，函数为上的增函数.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：

（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义得出结论.

即取值作差变形定号下结论.

18．已知，且，求证：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．

（2）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．

(1)

证明：因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以；

(2)

证明：，，，

，当且仅当，即时，等号成立，

，即得证．

19．习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战”.为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天在环境综合污染指数与时刻（时）的关系为：，其中是与气象有关的参数，且.

(1)令，求的最值；

(2)若用每天的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是否超标？

【答案】(1)答案见解析；

(2)没有超标，理由见解析.

【分析】（1）当时，，当时，，令，由函数单调性的定义判断在区间上的单调性，进而可得的单调性，由单调性可得最值；

（2）由已知结合（1）可得，，则

，由二次函数的单调性分段求出的的最大值关于的表达式，进而可得，即可判断.

(1)

当时，，

当时，，

令，任取，

则

当时，，，，

所以，即，所以在上单调递减，

当时，，，，

所以，即，所以在上单调递增，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，；当时，，而，

综上所述：当时，；当时，.

(2)

由（1），，

令，，

则，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

且，，

，

令，即，解得：，

令，解得：，

所以，

当时，，

当时，，

所以，

所以目前市中心的综合污染指数没有超标.

20．已知函数，.

（1）恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求不等式的解集；

（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解.

（2）由，分，， 讨论求解.

（3）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解.

【详解】（1）因为，恒成立，

所以，恒成立；

时，恒成立，满足题意；

时，只需，，即；

综上，实数的取值范围是；

（2）即，

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

（3）时，令，

则存在，有四个不等实根，

即有四个不等实根，

令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；

则存在，有两个不等正根，

则，存在，，

即存在，，

即，且存在，，

时，时最大值为，

则，

由可得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．

21．已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质.

(1)当，判断是否具有性质；

(2)当，若具有性质，求的取值范围；

(3)当，若为整数集，且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值.

【答案】(1)答案见解析；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）根据函数的单调性结合具有性质的新定义逐一判断即可求解；

（2）由题意可知所以为增函数，利用函数单调性证明在上单调递增，可得，进而可得的取值范围；

（3）分、两种情况，由题意，，又因为为常值函数，故，再令、由此即可求解.

(1)

因为为减函数，所以，

所以函数具有性质，

因为为增函数，所以，

所以函数不具有性质.

(2)

由题意可得：对于任意的，不等式恒成立，

所以为增函数，

任取，且 则

，

当时，，，，所以，

即，所以，可得在上单调递增，

若为增函数，则，所以，

所以的取值范围为.

(3)

因为为整数集且具有性质的函数均为常值函数，

若，令，不等式恒成立，但不为常函数，

若，由题意可知：当时，恒成立，所以的周期为，

令，，

由题意可知，则，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上所述：为正奇数，即.