2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知为等差数列，若，，则________.

【答案】8

【分析】首先根据题意得到，根据求解即可.

【详解】因为为等差数列，设公差为，

则.

.

故答案为：

2．直线m和平面所成角为，则直线m和平面内任意直线所成角的取值范围是_____

【答案】

【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为，由三垂线定理可得当该平面内的直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为，达到最大值．由此即可得到本题答案．

【详解】

直线为，平面为，为内的任意一条直线．

根据直线与平面所成角的定义，

可得与平面所成的角是与平面内所有直线所成角中最小的角，

直线与平面内的直线所成角的最小值为，

当平面内的直线与直线在平面内的射影垂直时，，与也垂直，

此时，所成的角，达到所成角中的最大值．

因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是.

故答案为： .

3．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.

【答案】46

【分析】由等差数列的通项公式求解即可

【详解】d＝－1－1＝－2，

设an＝－89，

则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，

解得n＝46.

故答案为：46

4．若四点共面，则实数的值为__________．

【答案】

【分析】由题意，向量,,共面，所以存在实数，使得，根据向量的坐标运算列出方程组即可求解.

【详解】解：因为四点共面，

所以向量,,共面，

所以存在实数，使得,即，

所以，解得，

故答案为：.

5．在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________.

【答案】

【分析】根据空间向量的坐标表示，以及向量模的计算公式，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，向量，，可得，

所以，

所以当时，取得最小值.

故答案为：.

6．已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________.

【答案】

【分析】在等差数列{an}中，设公差为d，由已知得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，继而有a1＋3d＝a4＝，从而a3＋a5＝2a4，代入可求得答案.

【详解】解：在等差数列{an}中，设公差为d，由a1＋a3＋a8＝，得a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝，

∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝，∴a3＋a5＝2a4＝，

则cos(a3＋a5)＝cos＝－.

故答案：－.

7．如图已知A是所在平面外一点，，E､F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________.

【答案】或

【分析】取的中点，连接，则或，分别分析这两种情况下的大小即为与所成角.

【详解】解：如图所示：取的中点，连接，则， ，

所以为异面直线与所成角或其补角.因为，所以，

当时，为等边三角形，，

即与所成角的大小为；

当时，，为等腰三角形，，

即与所成角的大小为.

故答案为：或.

8．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为_______.

【答案】

【分析】作出示意图，北纬纬线长和赤道长是两个圆的周长，其比等于半径比.

【详解】如图所示，赤道圆半径为，北纬圆半径为.

由，可得.

所以北纬纬线长和赤道长的比值为.

【点睛】本题考查球体的结构特征，解答本题需要理解地理中纬线的概念.

9．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑biēnào是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折△，使得四面体为一个鳖臑，则四面体的体积为__．

【答案】

【分析】依题意先过作，再证明平面，再求得的值，最后根据锥体的体积公式求解即可．

【详解】由题意，，即．

要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，

需要平面，此时，，，为直角，

由平面，平面，则平面平面，

在平面内，过作，得平面，

在原直角三角形中，由，，得，，．

则，，所以，

所以，所以．

故答案为：．

10．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a，b，c，则下列命题：

（1）若，，则

（2）若a，b在平面α内，且，，则

（3）若α，β分别经过两异面直线a，b，且，则c必与a或b相交

（4）若a，b，c是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交

其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）

【答案】（3）（4）

【分析】简单的反例可以否定（1）（2），利用反证法，借助平行公理可以确认（3），通过较为复杂的构造与证明，可以确认（4）

【详解】（1）在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a与定直线b所成的角是任意的，故（1）错误；

（2）当平行时，不能保证直线垂直于平面，直线甚至可以在平面内，故（2）错误；

（3）假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在α内，故a,c平行，同理b,c平行，

根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确；

（4）如图所示，a，b，c是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面，

直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上.

在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，∴P∉a，则直线a与点P确定一个平面，

可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面β内)，

由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确.

【点睛】本题考查线面的平行相交，异面直线等关系，关键难点在于（4）的构造性证明.

11．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为__.

【答案】

【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，求出MN，即可得出结论.

【详解】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，

在平面上，设E关于的对称点为N，关于的对称点为M，连接，交于点，交于点，则即为周长的最小值，

则，

由勾股定理得：.

故答案为：.

12．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.

①线段的最大值是

②

③与一定异面

④三棱锥的体积为定值

【答案】①④

【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.

选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.

【详解】

如图，延长至，使得，则有

取的中点，连接，则有，

连接并延长交于点，则点为的中点.

因为，平面，平面

所以平面.

同理可得平面.

又，在平面内，且相交于点，

所以平面平面.

故点在线段上.

由图知，，故选项①正确；

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，.

因为，所以与不垂直，

而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；

如图，连接，，，则有，且，

故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；

因为点，分别为，的中点，所以.

又平面，平面，所以平面.

故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，

所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.

故答案为：①④.

【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：

(1) 先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.

(2) 判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.

二、单选题

13．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列可以表示空间任何向量的一组向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可．

【详解】对于A，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故A错误；

对于B，显然不是共面向量，即其可以作为空间向量一个基底，故B正确；

对于C，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故C错误；

对于D，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故D错误．

即A，C，D选项都是共面向量，因此不能作为空间向量一个基底．

故选：B．

14．现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是（    ）

A．这个多面体有8个面和12条棱

B．这个多面体有6对棱互相平行

C．这个多面体有4对面互相垂直

D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上

【答案】C

【分析】通过数数可以判断A；

通过线线平行的证明可以判断B；

算出面面之间的夹角即可判断C；

根据O到八个顶点的距离即可判断D.

【详解】由题意，多面体是一个八面体，且棱长均为2，如图1，

通过数数可知A正确；

因为，由勾股定理易得，所以与全等，则，由于，所以四点共面，于是.

同理可得：，故该八面体有6对平行棱，故B正确；

对C，如图2，根据该八面体的对称性，只考虑面ABC与其它面的情况，

分别取AC,BC,DE的中点M,N,P，过点A作BC的平行线l，容易判断l为面与面的交线.

易知均垂直于AC，则是二面角的一个平面角，易知，所以，即面与面不垂直，根据对称性，面与面不垂直.

易知均垂直于l，则是二面角的一个平面角，易知，所以，即面与面不垂直.

而由B中推理可知，所以面面，同理面面，面面，面面，则面与该八面体其它各面均不垂直.

根据对称性可知，该八面体不存在两个面互相垂直，故C错误；

对D，因为O到八个顶点的距离均为，则该多面体所有的顶点在一个半径为的球面上，所以D正确.

故选：C.

15．已知a､b为异面直线，则下列命题正确的是（    ）

A．过直线a､b外一点P一定可以作一条与a､b都平行的直线

B．过直线a､b外一点P一定可以作一个与a､b都平行的平面

C．过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面

D．过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面

【答案】C

【分析】A、用反证法说明a，b为异面直线时，过a，b外一点P引条直线l与a、b不能都平行；

B、当a，b为异面直线时，过两直线外一点P作平面，该平面可能与a，b都平行，这样的平面也可能不存在；

C、当a，b为异面直线时，过a作与b平行的平面有且只有一个；

D、当a，b为异面直线时，过a作一个平面可能与b垂直也可能与b不垂直.

【详解】对于A：当a，b为异面直线，假设过a，b外一点P引一条直线l与a，b都平行，即l∥a， l∥b，则a∥b，这与a、b是异面直线相矛盾，∴假设不成立.故A错误；

对于B：a，b为异面直线，∴a，b不平行.∴过P作a的平行线有且只有一条，设为c，过P作b的平行线有且只有一条设为d，则a、b的平行线只能组成一个平面，设为平面A.

①如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P且与a、b都平行的平面不存在；②如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a、b都平行的平面有且只有一个.故B错误；

对于C：∵a、b为异面直线，∴a、b不平行，在a上任取一点P，过点P作直线c∥b，c是唯一的.又a∩c=P，∴由a、c确定的平面α也是唯一的，∴b∥α，∴.C正确.

对于D：∵a、b为异面直线，但a与b不一定垂直，过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b平行，故D错误.

故选：C.

16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：

①对于任意给定的点，存在点，使得；

②对于任意给定的点，存在点，使得；

③对于任意给定的点，存在点，使得；

④对于任意给定的点，存在点，使得．

其中正确的结论是（    ）

A．① B．②③ C．①④ D．②④

【答案】A

【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论．

【详解】①当点与重合时，，，且，所以平面，

因为对于任意给定的点，都有平面，

所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确；

②只有平面，即平面时，

才能满足对于任意给定的点，存在点，使得，

因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误；

③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误；

④只有当平面时，④才正确，

所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误．

故选：A．

【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．

（3）证明线线垂直，需转化为线面垂直．

三、解答题

17．已知空间三点，，

（1）求以为边的平行四边形的面积;

（2）若向量分别与垂直，且||=，求的坐标.

【答案】（1）；（2）或

【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

∴||=,||=,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,

∴S=||·||sin∠BAC=7.

(2)设向量=(x,y,z),则由·=0, ·=0,| |=,得

∴或

∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).

【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.

18．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．

(1)这种“浮球”的体积是多少（结果精确到）？

(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100g，共需胶多少？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据球的体积公式及圆柱的体积公式即可求解；

（2）根据球的表面积公式及圆柱的侧面积公式，求出1个“浮球”的表面积，进而可得2500个“浮球”的表面积的和，从而即可求解.

【详解】（1）解：∵球的直径是6cm，可得半径R=3cm，

∴两个半球的体积之和，而，

∴该“浮球”的体积；

（2）解：根据题意，上下两个半球的表面积为，而“浮球”的圆柱筒侧面积，

∴1个“浮球”的表面积，

∴2500个“浮球”的表面积的和为，

∵每平方米需要涂胶100g，

∴总共需要胶的质量为．

19．如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，球在圆柱内，且与圆柱的上、下底面均相切.

(1)求球的表面积；

(2)若为圆柱下底面圆弧的中点，求平面截球所得截面的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果；

（2）计算出球心到平面的距离，可求得截面圆的半径，利用圆的周长公式可求得结果.

【详解】（1）解：由题意可知，球的直径为，则，

因此，球的表面积为.

（2）解：连接、、、，

为弧的中点，则，

因为平面，平面，则，

，故平面，

，则，

，，则，

因为与圆柱的上底面垂直，而为上底面圆的一条直径，则，

，平面，

平面，则，

因为，则，

设点到平面的距离为，由得，

因为为的中点，所以，点到平面的距离，

所以，平面截球所得截面圆的周长为.

20．设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和．

（1）求；

（2）求，及的最小值．

【答案】（1）（2）,．

【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出；

（2）由于，利用等差数列的通项公式及其前项和公式可得，再利用二次函数的单调性即可得出．

【详解】解：（1）为等差数列，首项为，公差设为，

则依题意有，

解得，

．

（2），．

设，则，

数列是公差为的等差数列，首项为，

为数列的前项和，

．

又图象开口向上，对称轴为，且，

或时，．

【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.等差数列前项和的最大值问题，往往借助二次函数配方法来解决.

21．如图，在三棱柱中，平面分别为的中点，

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；

（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果；

（3）利用直线的方向向量和平面的法向量计算即可.

【详解】（1）证明：在三棱锥中，平面ABC，

四边形为矩形.

又E，F分别为的中点，，

，

又，

平面BEF；

（2）解：由（1）知，

又平面ABC，∴平面ABC，

平面ABC，.

如图建立空间直角坐称系.

由题意得，

.

设平面的法向量，

,

，则，

平面BCD的法向量，

又平面CDC的法向量为，

,

设二面角的大小为,

则,

所以二面角的正弦值.

（3）解：由（2）知平面的法向量，

又,

设直线与平面所成的角为,

则，

所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为.

【点睛】本题主要考查利用空间向量研究二面角和线面角问题，涉及线面垂直的证明，关键是根据已知条件，利用线面垂直的判定和性质得到互相垂直的三条直线，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.