2021-2022学年山东省东营市利津县高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省东营市利津县高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，且是第三象限角，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据同角三角函数基本关系，结合角的范围，先求出正弦，即可求出正切.

【详解】因为，且是第三象限角，

所以，

所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查由余弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.

2．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）

A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量

【答案】B

【分析】根据图形及正三角形的集合性质可得.

【详解】解：如图：

因为是正的中心，所以为外接圆的半径，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.

故选：B.

3．已知向量，，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】求出，求模即可.

【详解】∵，，∴，

∴.

故选：C.

4．若是锐角，则，是（    ）

A．第一象限角 B．第三象限角

C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角

【答案】C

【分析】根据取奇数和偶数分类讨论即可求解.

【详解】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.

故选:C.

5．如图，在平行四边形ABCD中，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则求解.

【详解】因为点O为平行四边形ABCD的对角线的交点，

故，所以

故选：C

6．下列关于函数说法正确的是（    ）

A．函数的定义域为R B．函数为奇函数

C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为

【答案】D

【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.

【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;

对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，

又，则函数为偶函数，故选项B错误;

对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，

根据图象变换作出函数草图如下：

由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;

对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.

故选：D.

7．四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（    ）

A．平行四边形 B．矩形

C．梯形 D．菱形

【答案】C

【分析】由向量知识可知，可得答案.

【详解】由已知得，

，

故，由，

所以四边形ABCD是梯形.

故选：C.

8．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为即可求解.

【详解】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，

设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，

此时点转过的弧度数为弧度

故选：C

二、多选题

9．与终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据终边相同的角的公式，将所有角转化为终边落在之间的角.

【详解】∵，又，，

选项中只有和与与终边相同.

故选：AD.

10．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．和能构成一组基底

【答案】BCD

【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对于A选项，，A选项错误.

对于B选项，，B选项正确.

对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，

故，所以选项C正确.

对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.

故选：BCD.

11．在平面直角坐标系中，角的始边为 的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（    ）

A． B．

C． D．若为钝角，则

【答案】CD

【分析】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.

【详解】解：因为角终边经过点，

则

对于 ：，故错误；

对于：，故错误；

对于：，故正确；

对于：因为当，单调递减，而，即，所以，故正确.

故选：CD.

12．若函数在区间上单调递增，则（    ）

A．存在，使得函数为奇函数

B．函数的最大值为

C．的取值范围为

D．存在4个不同的，使得函数的图象关于直线对称

【答案】BCD

【分析】对A选项，计算，得到其与的关系即可判断，对B选项，根据正弦函数的值域即可求出的最大值，对C选项，根据在区间上单调递增，得到不等式组，解出即可，对D选项，令，解出，再结合C选项范围则可得到的值.

【详解】解：，定义域为，

，

则不存在，使得函数为奇函数，故A错误;

由，得，则的最大值为，故B正确;

由于在区间上单调递增，故,

解第一个不等式得，,故，解二式得，故，

又，所以，故C正确;

令，，解得，，

由知的取值为，，，，共4个值，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D选项的判断，根据的某个单调增区间，则其整体应该在，即应该是后者的子集，再结合，从而得到关键的不等式组，解出范围，而D选项我们采取代入法，将代入则内部整体应等于对称轴通项即，再结合范围，则得到所有取值.

三、填空题

13．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为__________.

【答案】

【解析】根据扇形面积公式计算即可.

【详解】设弧长为，半径为，为圆心角，所以 ，

由扇形面积公式得.

故答案为：

14．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________

【答案】

【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.

【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，

因为，与水平夹角均为，，

由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且

，所以物体的重力大小为

故答案为:

15．在中，是的中点，设，，请写出一个与向量共线的一个向量__________.（用平面向量、表示）.

【答案】（答案不唯一）

【分析】将用平面向量、表示，结合共线向量的基本定理可得出结果.

【详解】由已知，

故与向量共线的一个向量可以是.

故答案为：（答案不唯一）.

四、双空题

16．在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）．设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则一个回归年对应的天数约为______（精确到0.01）；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期______．（）

【答案】     365.25     四

【分析】（1）利用周期公式求出一个回归年对应的天数；

（2）先计算出4个回归年经过的天数，再根据周期即可求解.

【详解】因为周期，所以一个回归年对应的天数约为365.25；

一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为.

因为，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四.

故答案为：365.25；四.

五、解答题

17．已知点，，，，且点满足，其中，

(1)若，点P在直线上，求实数；

(2)若，求点P的坐标x，y满足的关系式.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据向量的坐标运算化简条件求出点的坐标，结合点在直线上，列方程求；(2)根据向量坐标运算化简条件，消去，可得，满足的关系式.

【详解】（1）由题意可知：，，，

因为，

故，即，化简可得，

因为点P在直线上，故，解得：

（2）由，得：，

代入，得：，消去，得：

18．已知角满足

(1)若角是第三象限角，求的值;

(2)若，求的值.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；

（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.

【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，

消去得，解得或

因为角是第三象限角，所以，，

（2），

当角是第一象限角时，，

当角是第三象限角时，，

19．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，

(1)用，表示

(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则.

(2) 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标.

【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O

所以，

因为M为BO中点，

（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，

所以，，，

根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为

20．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为

(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;

(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为；

(2)

【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.

【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，

所以，，所以，

由，可得，，

所以函数的单调递增区间为，

由得，

所以所求对称轴方程为

（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，

把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，

由得，所以，，

所以，，所以x的取值范围为

21．函数的最小值为，

(1)当时，求；

(2)若，求实数

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）结合三角函数、二次函数的性质求得.

（2）对进行分类讨论，求得的解析式，由求得.

【详解】（1）当时，

.

所以，当时，取得最小值，即.

（2）

，

若，即时，则当时，有最小值，.

若，即时，则当时，有最小值，.

所以，

若，得或

由解得或（舍去），

由解得（舍去）.

所以

22．已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为

(1)求函数的解析式;

(2)若，，求；

(3)已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)是定值，

【分析】（1）先求得的最小正周期，由此求得，根据点坐标求得，从而求得的解析式.

（2）通过化简来求得的值.

（3）以为平面一组基底表示向量，根据和共线列方程，化简求得.

【详解】（1）因为M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，

故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，因为，

故四边形PMTN为平行四边形，

平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度，

平行四边形PMTN的面积，所以，

故，解得.

所以，

，，

所以，所以.

（2）由，得：，

即，因为，

所以.

（3）存在定值3，使得，原因如下：

因为，，

，

因为和共线，所以，

即，

，整理得，即