2021-2022学年山东省实验中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年山东省实验中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．i是虚数单位，若，则乘积的值是（       ）

A．－15 B．－3 C．3 D．15

【答案】B

【详解】，∴，选B．

2．已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由单位向量的定义，计算，即得．

【详解】由已知，所以与平行的单位向量为或．

故选：D．

【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与平行的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．

3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（       ）

A．7 B．7.5 C．8 D．9

【答案】C

【分析】把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第80百分位数；

【详解】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，

故选：C.

【点睛】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.

4．已知向量若与平行，则实数的值是（    ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【详解】因为，所以由于与平行，得，解得.

5．四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（       ）

（注：一组数据的平均数为，它的方差为）

A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2

C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.8

【答案】A

【分析】假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明．

【详解】若平均数是2，若出现6点，则方差，不可能是2.4，因此A中一定不会出现6点，

其它选项可各举一反例：

如，中位数是3，众数是2；

如，平均数为3，中位数为2；

如，中位数为3，方差为2.8．

故选：A．

【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．

6．的内角、、的对边分别为、、，，.如果有两解，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图形，根据题意可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.

【详解】如下图所示：

因为有两解，所以，解得.

故选：D.

7．下列各对事件中，不互为相互独立的事件的是（       ）

A．掷一枚骰子一次，事件“出现奇数点”；事件“出现2点或5点”

B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”

C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”

【答案】C

【分析】利用对立事件和相互独立事件的概念求解．

【详解】解：对于选项A，事件，事件，事件，基本事件空间，所以，，，即，因此事件与事件N是相互独立事件；

对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”， ；事件“第二次摸到白球”， ，

所以，故事件与事件是相互独立事件；

对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”， 则事件发生与否和事件有关，故事件和事件与不是相互独立事件；

对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”，则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；

故选：C.

8．已知O为的外心，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设的外接圆的半径为R，将平方后求出，找到，利用二倍角公式求出

【详解】设的外接圆的半径为R，

∵，

∴，且圆心在三角形内部，

∴

∴，

∴

根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得：

∴

解得=

故选：A

【点睛】方法点睛：（1)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；

（2）求向量夹角通常用，还要注意角的范围.

二、多选题

9．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（       ）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

【答案】BD

【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.

【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；

B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；

C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；

D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.

10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（       ）

A．样本中女生人数多于男生人数 B．样本中层人数最多

C．样本中层次男生人数为6人 D．样本中层次男生人数多于女生人数

【答案】ABC

【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.

【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；

样本中层人数为：；样本中层人数为：；

样本中层人数为：；样本中层人数为：；

样本中层人数为：；故正确；

样本中层次男生人数为：，正确；

样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.

故选：.

【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11．下列说法中正确的为（       ）

A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．非零向量，，满足且与同向，则

D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°

【答案】BD

【分析】对于A，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而可求出的取值范围；对于B，判断两个向量是否共线；对于C，根据向量不能比较大小即可判断；对于D，由，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可求得结果.

【详解】解：对于A选项， ，，与的夹角为锐角，

，且，所以，故A错误；

对于B选项，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；

对于C选项，且与同向，向量依然不能比较大小，故C错误；

对于D选项，因为，两边平方得，则，

，

故，而向量的夹角范围为，

得与的夹角为，即为30°，故D项正确.

故选：BD

12．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上，下列说法正确的是（       ）

A． B．若，则

C．若，则 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；

C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.

【详解】，A错误；

由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.

由知，，设，则解得故，C正确.

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．计算________.

【答案】

【分析】由复数的除法和乘法化简，，再求即可.

【详解】，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.

14．已知向量，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为_________．

【答案】

【分析】根据投影的计算公式，结合题意，即可得答案.

【详解】由题意得在上的投影为，

所以在上的投影向量为.

故答案为：

15．已知在中，，，若，则___________.

【答案】.

【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量基本定理即可解出．

【详解】因为，所以，即，而，所以，即，所以．

故答案为：．

四、双空题

16．已知数据，，，…，的平均数为10，方差为2，则数据，，，…，的平均数为________，方差为________.

【答案】     19     8

【分析】由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.

【详解】由已知条件可得，

，

所以数据、、、、的平均数为

，

方差为

.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.

五、解答题

17．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值

【答案】（1）1；（2），.

【解析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．

（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

【详解】解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．

18．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为、.

（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；

（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.

【答案】（1），，；（2）众数为，中位数为，平均数为.

【分析】（1）由题意先根据得分在的频数求出样本容量，根据得分在的频数可计算出的值，再根据直方图中所有矩形面积之和为可求出的值；

（2）根据最高矩形底边中点值求出众数，将矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，再将所得结果相加可得平均数，设中位数为，根据中位数左边的矩形面积之和为列方程可求出的值，即为所求的中位数.

【详解】（1）由题意可知，样本容量为，，

；

（2）由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数为，

设中位数为，，则，

由题意可得，解得，

即本次竞赛学生成绩的中位数为.

由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为.

【点睛】本题考查利用频率分布直方图求参数、众数、中位数和平均数，考查了频率、频率和样本容量三者基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.

19．在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选条件①，由结合已知得，进而得；

选条件②，结合正弦定理角化边得，再根据余弦定理求解即可得答案；

选条件③，根据正弦定理边化角，结合恒等变换得，进而得；

（2）根据题意，结合恒等变换得，再根据求解即可.

【详解】(1)解：方案一：选条件①，

由题意可得，

.

为的平分线，，

，

即

又，

，即，

，

方案二：选条件②

由已知结合正弦定理得，

由余弦定理得

方案三：选条件③

由正弦定理得，

又，

，

，

易知，

；

(2)解：

，

又，，

所以.

20．已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.

（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；

（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为，，，，，，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件发生的概率.

【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i），，，，，，，，，，，，，，；（ⅱ）

【分析】（Ⅰ）按照分层抽样规则计算可得；

（Ⅱ）（i）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；

（ii）根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1

由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.

（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为

，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是，，，来自乙学校的是，，来自丙学校的是，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为，，，，共4种.

所以，事件发生的概率.

【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.

21．的内角为A，B，C，边上的高为.

(1)用表示；

(2)若E为边上一点，且，试确定E点的位置，并说明理由.

【答案】(1)

(2)E为的中点，理由见解析

【分析】（1）直接由平面向量的线性运算化简得到；

（2）先用表示出，再按照数量积运算即可.

【详解】(1)由题意得.

因为，

所以.

又，所以，

所以.

(2)设.

因为，

所以

，

解得.

故E为的中点.

22．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上．已知米，米，记．

（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；

（2）若，求此时管道的长度；

（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

【答案】(1)，．(2) 米 (3)或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米

【分析】根据直角三角形表示，，，即得结果，根据同角三角函数关系求得，即得结果，利用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果.

【详解】解：，，．

由于，，

所以，所以．所以，．

当时，，

米．

，设，则，

所以．由于，所以．

由于在上单调递减，

所以当，即或时，L取得最大值米

答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米

【点睛】本题考查函数应用以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属中档题.