【同步练习】苏科版初一数学下册 第8章《幂的运算》单元测试
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第8章幂的运算单元测试
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
2．（2022•海门市二模）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a2•a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a6+a2＝a8
3．（2022•邗江区二模）下列运算结果为m4的是（ ）
A．m2+m2 B．m6﹣m2 C．（﹣m2）2 D．m8÷m2
4．（2022•丹徒区模拟）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（x2）3＝x6 C．x6÷x2＝x3 D．（xy2）3＝xy6
5．（2022春•盱眙县期中）新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（ ）
A．9.07×10﹣10 B．9.07×10﹣11 C．9.07×10﹣8 D．9.07×10﹣7
6．（2022秋•秦淮区校级月考）计算（﹣0.25）2022×（﹣4）2023等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
7．（2022秋•启东市校级期末）若6x＝3，6y＝4，则6x﹣2y的值为（ ）
A．38 B．316 C．﹣13 D．﹣5
8．（2022春•高新区期中）已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2021春•江宁区月考）20200＝ ．
10．（2022春•东台市月考）计算：（n3）2＝ ．
11．（2022春•广陵区校级月考）已知2n+4＝1，则n＝ ．
12．（2022春•江都区月考）若ax＝2，ay＝5，则ax﹣y＝ ．
13．（2022春•东台市月考）比较大小：2﹣3 （﹣3）﹣2．（填“＞”“＝”或“＜”）
14．（2022秋•仪征市校级月考）计算（﹣0.125）2000×82001＝ ．
15．（2022春•惠山区校级期中）若2x+3y﹣6＝0，则4x﹣1×8y＝ ．
16．（2022春•锡山区期中）定义一种新运算ba nxn−1dx=an−bn，例如mk 2xdx=k2−m2．
（1）−12 3x2dx＝ ；
（2）若2k −x−2dx=−14，则k＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019春•邗江区校级月考）计算：
（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）
（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5
18．（2022春•东台市月考）计算：
（1）（m4）2÷m3；
（2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5；
（3）2﹣1+20﹣（−13）﹣2；
（4）（﹣x）3+（﹣4x）2x．
19．（2021春•南京期中）同底数幂的乘法公式为：am•an＝ （m、n是正整数）．
请写出这一公式的推导过程．
20．（2022春•邗江区校级月考）已知3m＝a，3n＝b，分别求值：（用a、b表示）
（1）3m+n；
（2）32m+3n．
21．（2021春•江宁区校级月考）规定a※b＝2a×2b
（1）求2※3的值；
（2）若2※（x+1）＝16，求x的值．
22．（2022春•高新区月考）（1）已知a＝2﹣4444，b＝3﹣3333，c＝5﹣2222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2021＝1成立的x的值．
23．（2021春•大丰区月考）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M•N）＝logaM+logaN．
（1）解方程：logx4＝2．
（2）log48＝ ．
（3）计算：lg2+1g5﹣2021．
24．（2022春•宜兴市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
②若（x，18）＝﹣3，则x＝ ．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a2•a3＝a5．
故选：C．
2．（2022•海门市二模）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a2•a＝a3 C．（3a）2＝6a2 D．a6+a2＝a8
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，逐个进行判断即可．
【解答】解：∵a2+a2＝2a2，
故A选项不符合题意；
∵a2•a＝a3，
故B选项符合题意；
∵（3a）2＝9a2，
故C选项不符合题意；
∵a6+a2不能合并，
故D选项不符合题意；
故选：B．
3．（2022•邗江区二模）下列运算结果为m4的是（ ）
A．m2+m2 B．m6﹣m2 C．（﹣m2）2 D．m8÷m2
【分析】根据合并同类项可判断选项A，B，根据幂的乘方可判断选项C，根据同底数幂的除法法则即可判断选项D．
【解答】解：A．m2+m2＝2m2，选项A不符合题意；
B．m6﹣m2不能进行合并，选项B不符合题意；
C．（﹣m2）2＝m4，选项C符合题意；
D．m8÷m2＝m6，选项D不符合题意；
故选：C．
4．（2022•丹徒区模拟）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（x2）3＝x6 C．x6÷x2＝x3 D．（xy2）3＝xy6
【分析】直接利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A．x2+x2＝2x2，故此选项不合题意；
B．（x2）3＝x6，，故此选项符合题意；
C．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意；
D．（xy2）3＝x3y6，故此选项不合题意．
故选：B．
5．（2022春•盱眙县期中）新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（ ）
A．9.07×10﹣10 B．9.07×10﹣11 C．9.07×10﹣8 D．9.07×10﹣7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000907＝9.07×10﹣7．
故选：D．
6．（2022秋•秦淮区校级月考）计算（﹣0.25）2022×（﹣4）2023等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣0.25）2022×（﹣4）2023
＝（﹣0.25）2022×（﹣4）2022×（﹣4）
＝[（﹣0.25）×（﹣4）]2022×（﹣4）
＝12022×（﹣4）
＝1×（﹣4）
＝﹣4，
故选：D．
7．（2022秋•启东市校级期末）若6x＝3，6y＝4，则6x﹣2y的值为（ ）
A．38 B．316 C．﹣13 D．﹣5
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：当6x＝3，6y＝4时，
6x﹣2y
＝6x÷62y
＝6x÷（6y）2
＝3÷42
＝3÷16
=316，
故选：B．
8．（2022春•高新区期中）已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，再进行求解即可．
【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，
∴52a•52b＝56，4b﹣c＝4，
∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，
即a+b＝3，b﹣1＝c，
∴a2+ab+3c
＝a（a+b）+3（b﹣1）
＝3a+3b﹣3
＝3（a+b）﹣3
＝3×3﹣3
＝9﹣3
＝6．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2021春•江宁区月考）20200＝ 1 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：20200＝1．
故答案为：1．
10．（2022春•东台市月考）计算：（n3）2＝ n6 ．
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，进而得出答案．
【解答】解：（n3）2＝n6．
故答案为：n6．
11．（2022春•广陵区校级月考）已知2n+4＝1，则n＝ ﹣4 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质计算，进而得出答案．
【解答】解：∵2n+4＝1，
∴n+4＝0，
解得：n＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（2022春•江都区月考）若ax＝2，ay＝5，则ax﹣y＝ 25 ．
【分析】根据同底数幂的除法运算即可求出答案．
【解答】解：当ax＝2，ay＝5时，
原式＝ax÷ay
＝2÷5
=25，
故答案为：25．
13．（2022春•东台市月考）比较大小：2﹣3 ＞ （﹣3）﹣2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简，进而比较得出答案．
【解答】解：∵2﹣3=18，（﹣3）﹣2=19，
∴2﹣3＞（﹣3）﹣2．
故答案为：＞．
14．（2022秋•仪征市校级月考）计算（﹣0.125）2000×82001＝ 8 ．
【分析】根据幂的乘方运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝（−18）2000×82001
＝（﹣8×18）2000×8
＝1×8
＝8．
15．（2022春•惠山区校级期中）若2x+3y﹣6＝0，则4x﹣1×8y＝ 16 ．
【分析】根据题意可得2x+3y＝6，再根据幂的乘方和同底数幂相乘的逆运算，即可求解．
【解答】解：∵2x+3y﹣6＝0，
∴2x+3y＝6，
∴4x﹣1×8y＝22x﹣2×23y＝22x+3y﹣2＝26﹣2＝24＝16．
故答案为：16．
16．（2022春•锡山区期中）定义一种新运算ba nxn−1dx=an−bn，例如mk 2xdx=k2−m2．
（1）−12 3x2dx＝ 9 ；
（2）若2k −x−2dx=−14，则k＝ 4 ．
【分析】（1）根据新定义运算计算即可；
（2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出k值．
【解答】解：（1）根据新定义运算可得：−12 3x2dx=23﹣（﹣1）3＝8﹣（﹣1）＝9，
故答案为：9．
（2）由题意可得：(k)−1−2−1=−14，
∴k＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019春•邗江区校级月考）计算：
（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）
（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则进而计算得出答案．
【解答】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）
＝b2×b2×b3
＝b7；
（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5
＝﹣（y﹣2）3（y﹣2）7
＝﹣（y﹣2）10．
18．（2022春•东台市月考）计算：
（1）（m4）2÷m3；
（2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5；
（3）2﹣1+20﹣（−13）﹣2；
（4）（﹣x）3+（﹣4x）2x．
【分析】（1）应用幂的乘方和同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
（2）应用积的乘方法则和同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
（3）应用负整数指数幂、零指数幂的计算法则进行计算即可得出答案；
（4）应用积的乘方，同底数幂乘法及合并同类项法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝m8÷m3＝m8﹣3＝m5；
（2）原式＝﹣t3•t4•（﹣t5）＝t3+4+5＝t12；
（3）原式=12+1﹣9=−152；
（4）原式＝﹣x3+16x2•x＝﹣x3+16x3＝15x3．
19．（2021春•南京期中）同底数幂的乘法公式为：am•an＝ am+n （m、n是正整数）．
请写出这一公式的推导过程．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：am•an＝am+n，
对于任意的底数a，当m、n是正整数时，
am•an=a⋅a⋅a⋅...⋅a︸m个a•a⋅a⋅...⋅a︸n个a
=a⋅a⋅a⋅...⋅a︸(m+n)个a
＝am+n．
故答案为：am+n．
20．（2022春•邗江区校级月考）已知3m＝a，3n＝b，分别求值：（用a、b表示）
（1）3m+n；
（2）32m+3n．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）∵3m＝a，3n＝b，
∴3m+n
＝3m×3n
＝ab；
（2））∵3m＝a，3n＝b，
∴32m+3n
＝32m×33n
＝（3m）2×（3n）3
＝a2b3．
21．（2021春•江宁区校级月考）规定a※b＝2a×2b
（1）求2※3的值；
（2）若2※（x+1）＝16，求x的值．
【分析】（1）根据规定a※b＝2a×2b可以求得题目中所求式子的值，本题得以解决；
（2）根据规定a※b＝2a×2b和同底数幂的乘法的法则即可得到结论．
【解答】解：（1）2※3＝22×23＝4×8＝32，
（2）2※（x+1）＝16，
22×2（x+1）＝2x+3＝16＝24，
∴x+3＝4，
∴x＝1．
22．（2022春•高新区月考）（1）已知a＝2﹣4444，b＝3﹣3333，c＝5﹣2222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2021＝1成立的x的值．
【分析】（1）先把个数变成同底数的幂，再比较底数的大小；
（2）根据题意列方程求解．
【解答】解：（1）∵a＝2﹣4444＝（116）1111，b＝3﹣3333＝（127）1111，c＝5﹣2222＝（125）1111，
又∵116＞125＞127，
∴（116）1111＞（125）1111＞（127）1111，
∴a＞c＞b；
（2）∵（2x+3）x+2021＝1，
∴2x+3＝1或2x+3＝﹣1且x+2021为偶数或2x+3≠0且x+2021＝0，
解得：x＝﹣1或x﹣1.5．
23．（2021春•大丰区月考）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M•N）＝logaM+logaN．
（1）解方程：logx4＝2．
（2）log48＝ 32 ．
（3）计算：lg2+1g5﹣2021．
【分析】（1）根据题中的新定义化简为：x2＝4，解方程即可得到结果；
（2）利用对数的公式：loga（M•N）＝logaM+logaN，把8＝4×2代入公式，即可得到结果；
（3）知道lg2+1g5＝1g10＝1，利用已知的新定义化简即可得到结果．
【解答】解：（I）logx4＝2；
∴x2＝4，
∴x＝2或﹣2（负数舍去），
故x＝2；
（2）解法一：log48＝log4（4×2）＝log44+log42＝1+12=32；
解法二：设log48＝x，则4x＝8，
∴（22）x＝23，
∴2x＝3，
∴x=32，
即log48=32，
故答案为：32；
（3）lg2+1g5﹣2021＝1g10﹣2021＝1﹣2021＝﹣2020．
24．（2022春•宜兴市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝ 3 ，（﹣2，﹣32）＝ 5 ；
②若（x，18）＝﹣3，则x＝ 2 ．
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
【分析】（1）①根据新定义的运算进行求解即可；
②根据新定义的运算进行求解即可；
（2）根据新定义的运算进行求解即可；
（3）根据新定义的运算进行求解即可．
【解答】解：①∵53＝125，
∴（5，125）＝3，
∵（﹣2）5＝﹣32，
∴（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3；5；
②由题意得：x﹣3=18，
则x﹣3＝2﹣3，
∴x＝2，
故答案为：2；
（2）∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴4a•4b＝4c，
∴a+b＝c．
（3）设（m，8）＝p，（m，3）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝8，mq＝3，mr＝t，
∵（m，8）+（m，3）＝（m，t），
∴p+q＝r，
∴mp+q＝mr，
∴mp•mr＝mt，
即8×3＝t，
∴t＝24．
