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2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. ﹣3是3的（ ）
A. 倒数 B. 相反数 C. 值 D. 平方根
2. “厉行勤俭节约，铺张浪费”势在必行，统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为【 】
A. 2.1×109 B. 0.21×109 C. 2.1×108 D. 21×107
3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中没有变的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图
C 俯视图 D. 主视图和俯视图
4. 没有等式组的解集是
A. 无解 B. C. x ≥ D. －1
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
6. 学校团委组织“阳光助残”捐款，九年级一班学生捐款情况如下表：
捐款金额/元
5
10
20
50
人数/人
10
13
12
15
则学生捐款金额的中位数是( )
A. 13元 B. 12元 C. 10元 D. 20元
7. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A 15° B. 30° C. 45° D. 60°
8. 从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为( )
A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，没有一定成立的是（ ）
A. AC＝DE B. AB＝AC C. AD＝EC D. OA＝OE
10. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x（x﹣4）；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算：20180–|–2|=__________．
12. 若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．
13. 如图，菱形AOCB的顶点A坐标为（3，4），双曲线y＝（x＞0）的图象点B，则k的值为_____．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数.
17. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形正方形．
18. 为了丰富同学的课余生活，某学校将举行“亲近大自然”户外，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是________”的问卷，要求学生只能从“A（绿博园），B（人民公园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据结果，绘制了如下两幅没有完整的统计图．
回答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有3 600名学生，试估计该校去湿地公园的学生人数．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和函数解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
20. 为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）
参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
21. 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元
（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳数量没有少于跳绳总数量的．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的售价为30元，问：该商店应如何进货才可获取利润，并求出利润．
22. 【问题发现】
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ；
【拓展探究】
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．
23. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. ﹣3是3的（ ）
A. 倒数 B. 相反数 C. 值 D. 平方根
【正确答案】B
【详解】-3与3只有符号没有同，根据只有符号没有同的两个数互为相反数可知-3是3的相反数，
故选B.
2. “厉行勤俭节约，铺张浪费”势在必行，统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为【 】
A. 2.1×109 B. 0.21×109 C. 2.1×108 D. 21×107
【正确答案】C
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，-n为它个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】210000000一共9位，从而210000000=2.1×108．
故选：C．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的规则是解题的关键．
3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中没有变是（ ）
A. 主视图 B. 左视图
C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
【正确答案】B
【详解】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，图形即可作出判断．
解：根据图形，可得：平移过程中没有变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选B．
4. 没有等式组的解集是
A. 无解 B. C. x ≥ D. －1
【详解】解没有等式3-2x<5，得：x>-1，
解没有等式2（x-2）≤1，得：x≤，
所以没有等式组的解集是：－1
5. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵BC＝8，AD是中线，
∴CD＝BD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
6. 学校团委组织“阳光助残”捐款，九年级一班学生捐款情况如下表：
捐款金额/元
5
10
20
50
人数/人
10
13
12
15
则学生捐款金额的中位数是( )
A. 13元 B. 12元 C. 10元 D. 20元
【正确答案】D
【分析】求数据的中位数，需要将数据从小到大进行排列，然后求解．
【详解】该班总人数为：10+13+12+15=50（人）
从图表中可得出第25和第26名学生的捐款金额均为20元，
所以学生捐款金额的中位数为：=20（元）．
故选D．
本题的关键在于知道中位数的定义．
7. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【正确答案】A
【详解】试题分析：先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
解：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
故选A．
点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
8. 从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：画树形图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）=．
故选C.
9. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，没有一定成立的是（ ）
A. AC＝DE B. AB＝AC C. AD＝EC D. OA＝OE
【正确答案】B
【详解】A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CA=CB，没有能得到AB=AC，则B没有一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立，故选B.
10. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x（x﹣4）；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
【正确答案】C
【详解】试题解析：根据图象可以得到以下信息，抛物线开口向下，
∵与x轴交于两点，
∴对称轴为x=2．
顶点坐标为接着再判断①②③④的各种说法．
正确；
当时，或，错误；
③设抛物线的解析式为：把点代入，求得
函数解析式为： 正确；
④正确．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算：20180–|–2|=__________．
【正确答案】-1
【详解】试题解析：原式
故答案为
点睛：任何非零数的零次幂都等于1.
12. 若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．
【正确答案】30°##30度
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
∴锐角α的度数为30°．
故答案∶30°
13. 如图，菱形AOCB的顶点A坐标为（3，4），双曲线y＝（x＞0）的图象点B，则k的值为_____．
【正确答案】32
【详解】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OA=BC=AB=OC，AB∥OC，OA∥BC，
∴∠AOM=∠BCN，
∵A（3，4），
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM和△BCN中，
∴△AOM≌△BCN（AAS），
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B点的坐标是（8，4），
把B的坐标代入y=，
得：k=32，
故答案为32.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为_____．
【正确答案】π-2
【详解】试题解析：∵
∴
S扇形BCD
S空白
S阴影=S△ABC-S空白
故
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．
【正确答案】或
【详解】如图1所示；点E落在AB边上时，则点E与点F重合．
在Rt△ABC中，BC==4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=5-3=2．
设DC=ED=x，则BD=4﹣x．
Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．
解得：x=．
∴DE=DF=．
如图2所示：∠EDB=∠CDE=90时．
由翻折的性质可知：AC=AE=3，∠C=∠AED=90°．
∵∠C=∠AED=∠CDE=90°，
∴四边形ACDE为矩形．
又∵AC=AE，
∴四边形ACDE为正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．
∵DE∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴，即．
解得：DF=．
∵点D在CB上运动，∠DBE＜90°，故∠DBE没有可能为直角．
综上所述：DF的长为或，
故或
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数.
【正确答案】1
【详解】试题分析：先进行分式的除法运算，再进行分式的加减法运算，根据三角形三边的关系确定出a的值，然后代入进行计算即可.
试题解析：原式= ，
∵a与2、3构成△ABC的三边，
∴3−2
∴a=2或3或4，
∵当x=2或3时，原分式无意义，应舍去，
∴当a=4时,原式==1
17. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）①67.5°；②90°
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据正方形的性质，可以求得∠DAE的度数．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF=90°，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∴∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PAG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PFG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°，
故67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故90°．
本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
18. 为了丰富同学的课余生活，某学校将举行“亲近大自然”户外，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是________”的问卷，要求学生只能从“A（绿博园），B（人民公园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据结果，绘制了如下两幅没有完整的统计图．
回答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有3 600名学生，试估计该校去湿地公园的学生人数．
【正确答案】（1）60；（2）作图见解析；（3）1380.
【详解】分析：（1）由A的人数及其人数占被人数的百分比可得；（2）根据各项目人数之和等于总数可得C选项的人数；（3）用样本中最想去湿地公园的学生人数占被人数的比例乘总人数即可．
本题解析：（1）本次的样本容量是15÷25%=60；
（2）选择C的人数为：60﹣15﹣10﹣12=23（人），
补全条形图如图：
（3）×3600=1380（人）．
答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约由1380人．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
【正确答案】（1）；函数的解析式为y=2x+2；（2）4.
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，点M、点B、点O的坐标，从而可以求得四边形MBOC的面积．
【详解】（1）由题意可得，BM=OM，OB=，
∴BM=OM=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为，
则﹣2=，得k=4，
∴反比例函数的解析式为，
∵点A的纵坐标是4，
∴4=，得x=1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，得：，即函数的解析式为y=2x+2；
（2）∵y=2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），
∴OM=2，OC=2，MB=2，
∴四边形MBOC的面积是：OM•ON+OM•MB=×2×2+×2×2=4．
20. 为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）
参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
【正确答案】这棵古杉树AB的长度大约为18m．
【分析】过B点作BD⊥AC于D．在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，由AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可
【详解】过B点作BD⊥AC于D．
∵∠ACB=45°，∠BAC=665°，
∴在Rt△ADB中，AD=，
在Rt△CDB中，CD=BD，
∵AC=AD+CD=24m，
∴+BD=24，
解得BD≈17m．
AB=≈18m．
故这棵古杉树AB的长度大约为18m．
考点：解直角三角形的应用
略.
21. 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元
（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳的数量没有少于跳绳总数量的．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的售价为30元，问：该商店应如何进货才可获取利润，并求出利润．
【正确答案】（1）25元;（2） 购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时,利润为460元．
【详解】试题分析：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，共需395元，购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元，列方程组进行求解即可得；
（2）设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100－a）根，该商店的利润为w元，用含a的代数式表示出w，再求出a的取什范围，然后利用函数的性质进行求解即可得.
试题解析：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
根据题意，得，解得，
答：A种跳绳的单价为22元，B种跳绳的单价为25元；
（2）设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100－a）根，该商店的利润为w元，
则w=（26－22）a＋（30－25）（100－a）＝－a＋500，
∵－1< 0 ，∴a取最小值时，w取值，
又∵a ≥100×＝40，且a为整数，
∴当a ＝40时，w＝－40＋500＝460（元），
此时，100－40＝60，
所以该商店购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时可获得利润，利润为460元．
本题考查了二元方程组、一元没有等及函数的的应用，解答本题的关键仔细审题，设出未知数，找到其中的等量关系和没有等关系．
22. 【问题发现】
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ；
【拓展探究】
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．
【正确答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8
【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；
（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；
（3）分两种情况：①以点A为旋转将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．
【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
故答案为AC垂直平分BD；
（2）四边形FMAN是矩形．理由：
如图2，连接AF，
∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF=CF=BF，
又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，
∴AD=DB，AE=CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．
分两种情况：
①以点A为旋转将正方形ABCD逆时针旋转60°，
如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，
由旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠EAD'=30°，
∵AB=2=AD'，
∴D'E=AD'=，AE=，
∴BE=2+，
∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8
②以点A为旋转将正方形ABCD顺时针旋转60°，
如图所示：过B作BF⊥AD'于F，
旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠BAD'=30°，
∵AB=2=AD'，
∴BF=AB=，AF=，
∴D'F=2﹣，
∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8
综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．
23. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）．
（2）cot∠AMB=m﹣2．
（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【详解】试题分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；
（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即 =1，解得b=2．
∴y=﹣x2+2x+c．
将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．
配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．
∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．
∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为﹣．
将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．
∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
考点：二次函数的综合应用.
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. 的值为（ ）
A. 7 B. C. D.
2. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题正确的是( )
A. 内错角相等 B. －1是无理数
C. 1立方根是±1 D. 两角及一边对应相等的两个三角形全等
4. 下列计算，正确的是（ ）
A. a2•a2=2a2 B. a2+a2=a4 C. （﹣a2）2=a4 D. （a+1）2=a2+1
5. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是【 】
A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 ) ²－4
8. 如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A 90° B. 180° C. 210° D. 270°
9. 小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图．根据图，下列关于班上所有学生投进球数的统计量，正确的是（ ）
A. 中位数为3 B. 中位数为2.5
C. 众数为5 D. 众数为2
10. 若关于x的方程x2+2x+a=0没有存在实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1
11. 如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4π+2 B. C. D. 4π
12. 如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题
13. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
14. 人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示为__________．
15. 若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____．
16. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm．
17. 一个三角形内有个点,在这些点及三角形顶点之间用线段连接,使得这些线段互没有相交,且又能把原三角形分割为没有重叠的小三角形.如图，若三角形内有1个点时，此时有3个小三角形；若三角形内有2个点时,此时有5个小三角形；则当三角形内有3个点时,此时有______个小三角形.当三角形内有个点时,此时有_____个小三角形.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
三、解 答 题
19. 已知.
（1）化简A；
（2）当满足没有等式组，且为整数时，求A的值.
20. 如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
21. 如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．
22. 如图，已知∠A=∠D，有下列五个条件：①AE=DE，②BE=CE，③AB=DC，④∠ABC=∠DCB，⑤AC=BD，能证明△ABC与△DCB全等条件有几个？并选择其中一个进行证明．
23. 某校九年级一班的暑假安排中，有一项是小制作评比．作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的频数是12．请你回答：
（1）本次共有 件作品参赛；
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第四组对应扇形的圆心角是 度．
（3）本次共评出2个一等奖和3个二等奖及三等奖、奖若干名，对一、二等奖作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上的放置，随机抽出两张卡片，抽到的作品恰好一个是一等奖，一个是二等奖的概率是多少？
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
25. 小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
26. 如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=_____，EN=_____；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△B是直角三角形？
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. 的值为（ ）
A. 7 B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：的值等于7，
故选A．
2. 的平方根是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3
故选C
3. 下列命题正确的是( )
A. 内错角相等 B. －1是无理数
C. 1的立方根是±1 D. 两角及一边对应相等的两个三角形全等
【正确答案】D
【详解】解：A．两直线平行，内错角相等，故A错误；
B．－1是有理数，故B错误；
C．1的立方根是1，故C错误；
D．两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确．
故选D．
4. 下列计算，正确的是（ ）
A. a2•a2=2a2 B. a2+a2=a4 C. （﹣a2）2=a4 D. （a+1）2=a2+1
【正确答案】C
【详解】解：A.故错误；
B. 故错误；
C.正确；
D.
故选C．
本题考查合并同类项，同底数幂相乘；幂的乘方，以及完全平方公式的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
5. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有四列，从左到右分别是1，2，2，1个正方形．
解：由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，2，1个正方形．
故选A．
点评：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
6. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：由函数，得到3x+6≥0，解得：x≥﹣2，表示在数轴上，如图所示：
故选A．
考点：在数轴上表示没有等式的解集；函数自变量的取值范围．
7. 把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是【 】
A a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 ) ²－4
【正确答案】A
【详解】直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4）．故选A
8. 如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A. 90° B. 180° C. 210° D. 270°
【正确答案】B
【详解】如图，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴EFABCD，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B.
9. 小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图．根据图，下列关于班上所有学生投进球数的统计量，正确的是（ ）
A. 中位数为3 B. 中位数为2.5
C. 众数为5 D. 众数为2
【正确答案】D
【详解】由图可知：班内同学投进2球的人数至多，故众数为2；
因为没有知道每部分的具体人数，所以无法判断中位数．
故选D.
10. 若关于x的方程x2+2x+a=0没有存在实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1
【正确答案】B
【详解】解：由题意得 ，得a＞1．
故选：B
11. 如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4π+2 B. C. D. 4π
【正确答案】A
【详解】∵AB=4，∠A=30°，∴BC=2，AC=2，∴图中阴影部分的面积=Rt△ABC的面积+扇形ABA′的面积–扇形CBC′的面积=2×2÷2+==．故选A．
12. 如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积没有变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
【详解】解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积没有变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．
故选C．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
二、填 空 题
13. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
【正确答案】2
【详解】解：原式==．故答案为．
14. 人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示为__________．
【正确答案】3×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值10时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】解：30000000=3×107．
故3×107．
考点：科学记数法—表示较大的数．
15. 若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____．
【正确答案】1
【分析】由m，n互为倒数可知mn＝1，代入代数式即可．
【详解】解：因为m，n互为倒数可得mn＝1，所以mn2﹣（n﹣1）＝n﹣（n﹣1）＝1．
倒数定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；
16. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm．
【正确答案】5
【详解】解：根据题意可得弧MN的长等于圆周长，
∴∠MON=120°，
作OP⊥MN于点M，
由等腰三角形的性质可得∠MOP=60°，
又∵OM=5，即可求得PM=,
由垂径定理可得MN=.
考点：垂径定理；勾股定理.
17. 一个三角形内有个点,在这些点及三角形顶点之间用线段连接,使得这些线段互没有相交,且又能把原三角形分割为没有重叠的小三角形.如图，若三角形内有1个点时，此时有3个小三角形；若三角形内有2个点时,此时有5个小三角形；则当三角形内有3个点时,此时有______个小三角形.当三角形内有个点时,此时有_____个小三角形.
【正确答案】 ①. 7 ②. 2n+1
【详解】试题解析：观察图形发现有如下规律：
△ABC内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
3
5
7
9
…
2n+1
∴当三角形内有3个点时，此时有7个小三角形；当三角形内有n个点时，此时有2n+1个小三角形．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
【正确答案】 ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
三、解 答 题
19. 已知.
（1）化简A；
（2）当满足没有等式组，且为整数时，求A的值.
【正确答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出没有等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=
=；
（2）解没有等式得，
解没有等式得，
故没有等式组的解集为1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝中x≠1，
∴当x＝1时，A＝无意义．
②当x＝2时，
A＝＝
本题考查了分式的化简求值、一元没有等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则．
20. 如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
【正确答案】(1)见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）分别延长BA、BC、BD到A′、C′、D′，使BA′=2BA，BC′=2BC，BD′=2BD，然后顺次连接A′BC′D′即可得解；
（2）根据网格图形，重叠部分正好是以格点为顶点的平行四边形，求出两邻边的长的，然后根据平行四边形的周长公式计算即可．
试题解析：
（1）如图所示：四边形A′BC′D′就是所要求作的梯形；
（2）四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分是平行四边形EFGD′，ED′=FG=1，
在Rt△EDF中，ED=DF=1，
由勾股定理得EF==，
∴D′G=EF=，
∴四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长=ED′+FG+D′G+EF，
=1+1++，
=2+2．
21. 如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABOD是菱形，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，由等腰三角形的性质得出OD⊥EF，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，由旋转的性质得：∠AOE=30°，证出∠AOD=60°，由SAS证明△AOB≌△AOD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AB=AD=OB=OD，即可得出四边形ABOD是菱形．
试题解析：（1）证明：根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC．
∵O为AC的中点，∴OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，OD⊥EF，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，由旋转的性质得：∠AOE=30°，∴∠AOD=90°﹣30°=60°．
在△AOB和△AOD中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=60°，OB=OD，∴△AOB≌△AOD（SAS）；
（2）解：四边形ABOD是菱形．理由如下：
∵△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴AB=AD=OB=OD，∴四边形ABOD是菱形．
22. 如图，已知∠A=∠D，有下列五个条件：①AE=DE，②BE=CE，③AB=DC，④∠ABC=∠DCB，⑤AC=BD，能证明△ABC与△DCB全等的条件有几个？并选择其中一个进行证明．
【正确答案】（1）CB，DE；（2）见解析.
【详解】答：①②④
①证明：在△AEB和△DEC中，∵∠A=∠D，AE=DE，∠AEB=∠DEC，∴△AEB≌△DEC，∴BE=CE，∴∠ACB=∠DBC．在△ABC与△DCB中，∵∠A=∠D， ∠EBC=∠ECB，BC=CB
，∴△ABC≌△DCB；
②证明：∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB ．
在△ABC与△DCB中，∵∠A=∠D，∠EBC=∠ECB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB；
④证明：在△ABC与△DCB中，∵∠A=∠D，BC=CB，∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB．
23. 某校九年级一班的暑假安排中，有一项是小制作评比．作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的频数是12．请你回答：
（1）本次共有 件作品参赛；
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第四组对应的扇形的圆心角是 度．
（3）本次共评出2个一等奖和3个二等奖及三等奖、奖若干名，对一、二等奖作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上的放置，随机抽出两张卡片，抽到的作品恰好一个是一等奖，一个是二等奖的概率是多少？
【正确答案】（1）60；（2）108°；（3）60%．
【详解】试题分析：由4份为12，可得 每份为3，，共20份，所以总数为60；（2）第四组为12，它占总数的百分比乘以360°即可得出答案．（3）列出所有可能的情况，根据概率公式计算即可得出答案．
试题解析：（1）60．（2）108°．
（3）将一等奖用A，B表示，二等奖用a，b， c表示，两次抽取卡片的可能结果如下表：
A
B
a
b
c
A
（A，B）
（A，a）
（A，b）
（A，c）
B
（B， A）
（B， a）
（B， b）
（B， c）
a
（a，A）
a，B）
（a，b）
（a，c）
b
（b，A）
（b，B）
（b，a）
（b，c）
c
（c，A）
（c，B）
（c，a）
（c，b）
总共有20种可能结果，其中有12种是一个一等奖和一个二等奖的可能情况
∴随机抽出两张卡片，抽到的作品恰好一个是一等奖，一个是二等奖的概率P=60%．
考点：1．分布直方图；2．概率
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）96元.
【详解】试题分析：（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是120，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润=（单价x-2）×日数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价没有超过10元/根，就可以求出获得日利润时的日单价x．
试题解析：解：（1）∵3×40=120，4×30=120，5×24=120，6×20=120，∴y是x的反比例函数．设（k为常数且k≠0），把点（3，40）代入得，k=120，所以 ；
（2）∵W=（x﹣2）y=120﹣，
又∵x≤10，∴当x=10，W=96（元）．
点睛：本题考查了反比例函数的定义，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
25. 小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
【正确答案】（1）大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）小敏家高度AE为20米．
【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；
（2）（1），由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE．
试题解析：（1）如图，∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，AE⊥DE，
∴四边形AEDC是矩形，
∴AC=DE=20米，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，
∴BC=AC=20米，
在Rt△ACD中，tan30°=，
∴CD=AC•tan30°=20×=20（米），
∴BD=BC+CD=20+20（米）；
∴大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）∵四边形AEDC是矩形，
∴AE=CD=20米．
∴小敏家的高度AE为20米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
26. 如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=_____，EN=_____；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△B是直角三角形？
【正确答案】（1）1， ；（2） ；（3） ；
（4）当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△B是直角三角形.
【分析】（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．
（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．
（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．
（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△B是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．
【详解】（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，=1，
∵PE=2，
∴KE=2﹣1=1，
∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴=， =，
∴MP=，ME=，
∴NE=；
故答案为1；；
（2）由（1）并题意可得，
AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，
∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），
解得，t=；
（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，
由（2）得，﹣t+2=t，
解得，t=；
（4）①当K在PE边上任意一点时△B是直角三角形，
即，0＜t≤2；
②当点k在EF上时，
则KE=t﹣2，BP=8﹣t，
∵△B∽△E，
∴2=BP×KE，2=PE2+KE2，
∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），
解得t=3，t=4；
③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．
综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△B是直角三角形．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，本题综合性比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力和空间想象能力．
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. ﹣3是3的（ ）
A. 倒数 B. 相反数 C. 值 D. 平方根
2. “厉行勤俭节约，铺张浪费”势在必行，统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为【 】
A. 2.1×109 B. 0.21×109 C. 2.1×108 D. 21×107
3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中没有变的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图
C 俯视图 D. 主视图和俯视图
4. 没有等式组的解集是
A. 无解 B. C. x ≥ D. －1
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
6. 学校团委组织“阳光助残”捐款，九年级一班学生捐款情况如下表：
捐款金额/元
5
10
20
50
人数/人
10
13
12
15
则学生捐款金额的中位数是( )
A. 13元 B. 12元 C. 10元 D. 20元
7. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A 15° B. 30° C. 45° D. 60°
8. 从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为( )
A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，没有一定成立的是（ ）
A. AC＝DE B. AB＝AC C. AD＝EC D. OA＝OE
10. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x（x﹣4）；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算：20180–|–2|=__________．
12. 若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．
13. 如图，菱形AOCB的顶点A坐标为（3，4），双曲线y＝（x＞0）的图象点B，则k的值为_____．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为_____．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数.
17. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形正方形．
18. 为了丰富同学的课余生活，某学校将举行“亲近大自然”户外，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是________”的问卷，要求学生只能从“A（绿博园），B（人民公园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据结果，绘制了如下两幅没有完整的统计图．
回答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有3 600名学生，试估计该校去湿地公园的学生人数．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和函数解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
20. 为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）
参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
21. 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元
（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳数量没有少于跳绳总数量的．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的售价为30元，问：该商店应如何进货才可获取利润，并求出利润．
22. 【问题发现】
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ；
【拓展探究】
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．
23. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. ﹣3是3的（ ）
A. 倒数 B. 相反数 C. 值 D. 平方根
【正确答案】B
【详解】-3与3只有符号没有同，根据只有符号没有同的两个数互为相反数可知-3是3的相反数，
故选B.
2. “厉行勤俭节约，铺张浪费”势在必行，统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为【 】
A. 2.1×109 B. 0.21×109 C. 2.1×108 D. 21×107
【正确答案】C
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，-n为它个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】210000000一共9位，从而210000000=2.1×108．
故选：C．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的规则是解题的关键．
3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中没有变是（ ）
A. 主视图 B. 左视图
C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
【正确答案】B
【详解】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，图形即可作出判断．
解：根据图形，可得：平移过程中没有变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选B．
4. 没有等式组的解集是
A. 无解 B. C. x ≥ D. －1
【详解】解没有等式3-2x<5，得：x>-1，
解没有等式2（x-2）≤1，得：x≤，
所以没有等式组的解集是：－1
5. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵BC＝8，AD是中线，
∴CD＝BD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
6. 学校团委组织“阳光助残”捐款，九年级一班学生捐款情况如下表：
捐款金额/元
5
10
20
50
人数/人
10
13
12
15
则学生捐款金额的中位数是( )
A. 13元 B. 12元 C. 10元 D. 20元
【正确答案】D
【分析】求数据的中位数，需要将数据从小到大进行排列，然后求解．
【详解】该班总人数为：10+13+12+15=50（人）
从图表中可得出第25和第26名学生的捐款金额均为20元，
所以学生捐款金额的中位数为：=20（元）．
故选D．
本题的关键在于知道中位数的定义．
7. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【正确答案】A
【详解】试题分析：先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
解：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
故选A．
点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
8. 从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：画树形图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）=．
故选C.
9. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，没有一定成立的是（ ）
A. AC＝DE B. AB＝AC C. AD＝EC D. OA＝OE
【正确答案】B
【详解】A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CA=CB，没有能得到AB=AC，则B没有一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立，故选B.
10. 二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x（x﹣4）；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．
其中正确的结论有（ ）
A ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①③
【正确答案】C
【详解】试题解析：根据图象可以得到以下信息，抛物线开口向下，
∵与x轴交于两点，
∴对称轴为x=2．
顶点坐标为接着再判断①②③④的各种说法．
正确；
当时，或，错误；
③设抛物线的解析式为：把点代入，求得
函数解析式为： 正确；
④正确．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
11. 计算：20180–|–2|=__________．
【正确答案】-1
【详解】试题解析：原式
故答案为
点睛：任何非零数的零次幂都等于1.
12. 若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．
【正确答案】30°##30度
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
∴锐角α的度数为30°．
故答案∶30°
13. 如图，菱形AOCB的顶点A坐标为（3，4），双曲线y＝（x＞0）的图象点B，则k的值为_____．
【正确答案】32
【详解】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OA=BC=AB=OC，AB∥OC，OA∥BC，
∴∠AOM=∠BCN，
∵A（3，4），
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM和△BCN中，
∴△AOM≌△BCN（AAS），
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B点的坐标是（8，4），
把B的坐标代入y=，
得：k=32，
故答案为32.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为_____．
【正确答案】π-2
【详解】试题解析：∵
∴
S扇形BCD
S空白
S阴影=S△ABC-S空白
故
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．
【正确答案】或
【详解】如图1所示；点E落在AB边上时，则点E与点F重合．
在Rt△ABC中，BC==4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=5-3=2．
设DC=ED=x，则BD=4﹣x．
Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．
解得：x=．
∴DE=DF=．
如图2所示：∠EDB=∠CDE=90时．
由翻折的性质可知：AC=AE=3，∠C=∠AED=90°．
∵∠C=∠AED=∠CDE=90°，
∴四边形ACDE为矩形．
又∵AC=AE，
∴四边形ACDE为正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．
∵DE∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴，即．
解得：DF=．
∵点D在CB上运动，∠DBE＜90°，故∠DBE没有可能为直角．
综上所述：DF的长为或，
故或
三、解 答 题：（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数.
【正确答案】1
【详解】试题分析：先进行分式的除法运算，再进行分式的加减法运算，根据三角形三边的关系确定出a的值，然后代入进行计算即可.
试题解析：原式= ，
∵a与2、3构成△ABC的三边，
∴3−2
∴a=2或3或4，
∵当x=2或3时，原分式无意义，应舍去，
∴当a=4时,原式==1
17. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）①67.5°；②90°
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据正方形的性质，可以求得∠DAE的度数．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF=90°，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∴∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PAG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PFG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°，
故67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故90°．
本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
18. 为了丰富同学的课余生活，某学校将举行“亲近大自然”户外，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是________”的问卷，要求学生只能从“A（绿博园），B（人民公园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据结果，绘制了如下两幅没有完整的统计图．
回答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有3 600名学生，试估计该校去湿地公园的学生人数．
【正确答案】（1）60；（2）作图见解析；（3）1380.
【详解】分析：（1）由A的人数及其人数占被人数的百分比可得；（2）根据各项目人数之和等于总数可得C选项的人数；（3）用样本中最想去湿地公园的学生人数占被人数的比例乘总人数即可．
本题解析：（1）本次的样本容量是15÷25%=60；
（2）选择C的人数为：60﹣15﹣10﹣12=23（人），
补全条形图如图：
（3）×3600=1380（人）．
答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约由1380人．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
【正确答案】（1）；函数的解析式为y=2x+2；（2）4.
【分析】（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，点M、点B、点O的坐标，从而可以求得四边形MBOC的面积．
【详解】（1）由题意可得，BM=OM，OB=，
∴BM=OM=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为，
则﹣2=，得k=4，
∴反比例函数的解析式为，
∵点A的纵坐标是4，
∴4=，得x=1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，得：，即函数的解析式为y=2x+2；
（2）∵y=2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），
∴OM=2，OC=2，MB=2，
∴四边形MBOC的面积是：OM•ON+OM•MB=×2×2+×2×2=4．
20. 为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）
参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
【正确答案】这棵古杉树AB的长度大约为18m．
【分析】过B点作BD⊥AC于D．在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，由AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可
【详解】过B点作BD⊥AC于D．
∵∠ACB=45°，∠BAC=665°，
∴在Rt△ADB中，AD=，
在Rt△CDB中，CD=BD，
∵AC=AD+CD=24m，
∴+BD=24，
解得BD≈17m．
AB=≈18m．
故这棵古杉树AB的长度大约为18m．
考点：解直角三角形的应用
略.
21. 某商店欲购进一批跳绳，若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，则共需395元，若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元
（1）求A、B两种跳绳的单价各是多少？
（2）若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根，且A种跳绳的数量没有少于跳绳总数量的．若每根A种跳绳的售价为26元，每根B种跳绳的售价为30元，问：该商店应如何进货才可获取利润，并求出利润．
【正确答案】（1）25元;（2） 购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时,利润为460元．
【详解】试题分析：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据购进A种跳绳10根和B种跳绳7根，共需395元，购进A种跳绳5根和B种跳绳3根，共需185元，列方程组进行求解即可得；
（2）设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100－a）根，该商店的利润为w元，用含a的代数式表示出w，再求出a的取什范围，然后利用函数的性质进行求解即可得.
试题解析：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
根据题意，得，解得，
答：A种跳绳的单价为22元，B种跳绳的单价为25元；
（2）设购进A种跳绳a根，则B种跳绳（100－a）根，该商店的利润为w元，
则w=（26－22）a＋（30－25）（100－a）＝－a＋500，
∵－1< 0 ，∴a取最小值时，w取值，
又∵a ≥100×＝40，且a为整数，
∴当a ＝40时，w＝－40＋500＝460（元），
此时，100－40＝60，
所以该商店购进A种跳绳40根，B种跳绳60根时可获得利润，利润为460元．
本题考查了二元方程组、一元没有等及函数的的应用，解答本题的关键仔细审题，设出未知数，找到其中的等量关系和没有等关系．
22. 【问题发现】
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为 ；
【拓展探究】
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．
【正确答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8
【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；
（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；
（3）分两种情况：①以点A为旋转将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．
【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
故答案为AC垂直平分BD；
（2）四边形FMAN是矩形．理由：
如图2，连接AF，
∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF=CF=BF，
又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，
∴AD=DB，AE=CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．
分两种情况：
①以点A为旋转将正方形ABCD逆时针旋转60°，
如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，
由旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠EAD'=30°，
∵AB=2=AD'，
∴D'E=AD'=，AE=，
∴BE=2+，
∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8
②以点A为旋转将正方形ABCD顺时针旋转60°，
如图所示：过B作BF⊥AD'于F，
旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠BAD'=30°，
∵AB=2=AD'，
∴BF=AB=，AF=，
∴D'F=2﹣，
∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8
综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．
23. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
【正确答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）．
（2）cot∠AMB=m﹣2．
（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【详解】试题分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；
（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即 =1，解得b=2．
∴y=﹣x2+2x+c．
将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．
配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．
∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
∴抛物线向下平移了3个单位．
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．
∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．
又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．
∴点Q的纵坐标为﹣．
将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．
∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
考点：二次函数的综合应用.
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. 的值为（ ）
A. 7 B. C. D.
2. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题正确的是( )
A. 内错角相等 B. －1是无理数
C. 1立方根是±1 D. 两角及一边对应相等的两个三角形全等
4. 下列计算，正确的是（ ）
A. a2•a2=2a2 B. a2+a2=a4 C. （﹣a2）2=a4 D. （a+1）2=a2+1
5. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是【 】
A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 ) ²－4
8. 如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A 90° B. 180° C. 210° D. 270°
9. 小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图．根据图，下列关于班上所有学生投进球数的统计量，正确的是（ ）
A. 中位数为3 B. 中位数为2.5
C. 众数为5 D. 众数为2
10. 若关于x的方程x2+2x+a=0没有存在实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1
11. 如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4π+2 B. C. D. 4π
12. 如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题
13. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
14. 人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示为__________．
15. 若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____．
16. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm．
17. 一个三角形内有个点,在这些点及三角形顶点之间用线段连接,使得这些线段互没有相交,且又能把原三角形分割为没有重叠的小三角形.如图，若三角形内有1个点时，此时有3个小三角形；若三角形内有2个点时,此时有5个小三角形；则当三角形内有3个点时,此时有______个小三角形.当三角形内有个点时,此时有_____个小三角形.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
三、解 答 题
19. 已知.
（1）化简A；
（2）当满足没有等式组，且为整数时，求A的值.
20. 如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
21. 如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．
22. 如图，已知∠A=∠D，有下列五个条件：①AE=DE，②BE=CE，③AB=DC，④∠ABC=∠DCB，⑤AC=BD，能证明△ABC与△DCB全等条件有几个？并选择其中一个进行证明．
23. 某校九年级一班的暑假安排中，有一项是小制作评比．作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的频数是12．请你回答：
（1）本次共有 件作品参赛；
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第四组对应扇形的圆心角是 度．
（3）本次共评出2个一等奖和3个二等奖及三等奖、奖若干名，对一、二等奖作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上的放置，随机抽出两张卡片，抽到的作品恰好一个是一等奖，一个是二等奖的概率是多少？
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
25. 小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
26. 如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=_____，EN=_____；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△B是直角三角形？
2022-2023学年河北省石家庄市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. 的值为（ ）
A. 7 B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：的值等于7，
故选A．
2. 的平方根是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【详解】∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3
故选C
3. 下列命题正确的是( )
A. 内错角相等 B. －1是无理数
C. 1的立方根是±1 D. 两角及一边对应相等的两个三角形全等
【正确答案】D
【详解】解：A．两直线平行，内错角相等，故A错误；
B．－1是有理数，故B错误；
C．1的立方根是1，故C错误；
D．两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确．
故选D．
4. 下列计算，正确的是（ ）
A. a2•a2=2a2 B. a2+a2=a4 C. （﹣a2）2=a4 D. （a+1）2=a2+1
【正确答案】C
【详解】解：A.故错误；
B. 故错误；
C.正确；
D.
故选C．
本题考查合并同类项，同底数幂相乘；幂的乘方，以及完全平方公式的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
5. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有四列，从左到右分别是1，2，2，1个正方形．
解：由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，2，1个正方形．
故选A．
点评：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
6. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：由函数，得到3x+6≥0，解得：x≥﹣2，表示在数轴上，如图所示：
故选A．
考点：在数轴上表示没有等式的解集；函数自变量的取值范围．
7. 把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是【 】
A a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 ) ²－4
【正确答案】A
【详解】直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4）．故选A
8. 如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A. 90° B. 180° C. 210° D. 270°
【正确答案】B
【详解】如图，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴EFABCD，
∴∠1=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°，
故选B.
9. 小华班上比赛投篮，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图．根据图，下列关于班上所有学生投进球数的统计量，正确的是（ ）
A. 中位数为3 B. 中位数为2.5
C. 众数为5 D. 众数为2
【正确答案】D
【详解】由图可知：班内同学投进2球的人数至多，故众数为2；
因为没有知道每部分的具体人数，所以无法判断中位数．
故选D.
10. 若关于x的方程x2+2x+a=0没有存在实数根，则a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1
【正确答案】B
【详解】解：由题意得 ，得a＞1．
故选：B
11. 如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4π+2 B. C. D. 4π
【正确答案】A
【详解】∵AB=4，∠A=30°，∴BC=2，AC=2，∴图中阴影部分的面积=Rt△ABC的面积+扇形ABA′的面积–扇形CBC′的面积=2×2÷2+==．故选A．
12. 如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积没有变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
【详解】解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积没有变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．
故选C．
本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
二、填 空 题
13. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
【正确答案】2
【详解】解：原式==．故答案为．
14. 人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示为__________．
【正确答案】3×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值10时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】解：30000000=3×107．
故3×107．
考点：科学记数法—表示较大的数．
15. 若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____．
【正确答案】1
【分析】由m，n互为倒数可知mn＝1，代入代数式即可．
【详解】解：因为m，n互为倒数可得mn＝1，所以mn2﹣（n﹣1）＝n﹣（n﹣1）＝1．
倒数定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；
16. 如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm．
【正确答案】5
【详解】解：根据题意可得弧MN的长等于圆周长，
∴∠MON=120°，
作OP⊥MN于点M，
由等腰三角形的性质可得∠MOP=60°，
又∵OM=5，即可求得PM=,
由垂径定理可得MN=.
考点：垂径定理；勾股定理.
17. 一个三角形内有个点,在这些点及三角形顶点之间用线段连接,使得这些线段互没有相交,且又能把原三角形分割为没有重叠的小三角形.如图，若三角形内有1个点时，此时有3个小三角形；若三角形内有2个点时,此时有5个小三角形；则当三角形内有3个点时,此时有______个小三角形.当三角形内有个点时,此时有_____个小三角形.
【正确答案】 ①. 7 ②. 2n+1
【详解】试题解析：观察图形发现有如下规律：
△ABC内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
3
5
7
9
…
2n+1
∴当三角形内有3个点时，此时有7个小三角形；当三角形内有n个点时，此时有2n+1个小三角形．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
【正确答案】 ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
三、解 答 题
19. 已知.
（1）化简A；
（2）当满足没有等式组，且为整数时，求A的值.
【正确答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出没有等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=
=；
（2）解没有等式得，
解没有等式得，
故没有等式组的解集为1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝中x≠1，
∴当x＝1时，A＝无意义．
②当x＝2时，
A＝＝
本题考查了分式的化简求值、一元没有等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则．
20. 如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
【正确答案】(1)见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）分别延长BA、BC、BD到A′、C′、D′，使BA′=2BA，BC′=2BC，BD′=2BD，然后顺次连接A′BC′D′即可得解；
（2）根据网格图形，重叠部分正好是以格点为顶点的平行四边形，求出两邻边的长的，然后根据平行四边形的周长公式计算即可．
试题解析：
（1）如图所示：四边形A′BC′D′就是所要求作的梯形；
（2）四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分是平行四边形EFGD′，ED′=FG=1，
在Rt△EDF中，ED=DF=1，
由勾股定理得EF==，
∴D′G=EF=，
∴四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长=ED′+FG+D′G+EF，
=1+1++，
=2+2．
21. 如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABOD是菱形，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，由等腰三角形的性质得出OD⊥EF，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，由旋转的性质得：∠AOE=30°，证出∠AOD=60°，由SAS证明△AOB≌△AOD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AB=AD=OB=OD，即可得出四边形ABOD是菱形．
试题解析：（1）证明：根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC．
∵O为AC的中点，∴OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，OD⊥EF，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，由旋转的性质得：∠AOE=30°，∴∠AOD=90°﹣30°=60°．
在△AOB和△AOD中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=60°，OB=OD，∴△AOB≌△AOD（SAS）；
（2）解：四边形ABOD是菱形．理由如下：
∵△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴AB=AD=OB=OD，∴四边形ABOD是菱形．
22. 如图，已知∠A=∠D，有下列五个条件：①AE=DE，②BE=CE，③AB=DC，④∠ABC=∠DCB，⑤AC=BD，能证明△ABC与△DCB全等的条件有几个？并选择其中一个进行证明．
【正确答案】（1）CB，DE；（2）见解析.
【详解】答：①②④
①证明：在△AEB和△DEC中，∵∠A=∠D，AE=DE，∠AEB=∠DEC，∴△AEB≌△DEC，∴BE=CE，∴∠ACB=∠DBC．在△ABC与△DCB中，∵∠A=∠D， ∠EBC=∠ECB，BC=CB
，∴△ABC≌△DCB；
②证明：∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB ．
在△ABC与△DCB中，∵∠A=∠D，∠EBC=∠ECB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB；
④证明：在△ABC与△DCB中，∵∠A=∠D，BC=CB，∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB．
23. 某校九年级一班的暑假安排中，有一项是小制作评比．作品上交时限为8月1日至30日，班委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：4：1．第三组的频数是12．请你回答：
（1）本次共有 件作品参赛；
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第四组对应的扇形的圆心角是 度．
（3）本次共评出2个一等奖和3个二等奖及三等奖、奖若干名，对一、二等奖作品进行编号并制作成背面完全一致的卡片，背面朝上的放置，随机抽出两张卡片，抽到的作品恰好一个是一等奖，一个是二等奖的概率是多少？
【正确答案】（1）60；（2）108°；（3）60%．
【详解】试题分析：由4份为12，可得 每份为3，，共20份，所以总数为60；（2）第四组为12，它占总数的百分比乘以360°即可得出答案．（3）列出所有可能的情况，根据概率公式计算即可得出答案．
试题解析：（1）60．（2）108°．
（3）将一等奖用A，B表示，二等奖用a，b， c表示，两次抽取卡片的可能结果如下表：
A
B
a
b
c
A
（A，B）
（A，a）
（A，b）
（A，c）
B
（B， A）
（B， a）
（B， b）
（B， c）
a
（a，A）
a，B）
（a，b）
（a，c）
b
（b，A）
（b，B）
（b，a）
（b，c）
c
（c，A）
（c，B）
（c，a）
（c，b）
总共有20种可能结果，其中有12种是一个一等奖和一个二等奖的可能情况
∴随机抽出两张卡片，抽到的作品恰好一个是一等奖，一个是二等奖的概率P=60%．
考点：1．分布直方图；2．概率
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）96元.
【详解】试题分析：（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是120，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润=（单价x-2）×日数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价没有超过10元/根，就可以求出获得日利润时的日单价x．
试题解析：解：（1）∵3×40=120，4×30=120，5×24=120，6×20=120，∴y是x的反比例函数．设（k为常数且k≠0），把点（3，40）代入得，k=120，所以 ；
（2）∵W=（x﹣2）y=120﹣，
又∵x≤10，∴当x=10，W=96（元）．
点睛：本题考查了反比例函数的定义，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
25. 小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
【正确答案】（1）大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）小敏家高度AE为20米．
【详解】试题分析：（1）易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案；
（2）（1），由四边形AEDC是矩形，即可求得小敏家的高度AE．
试题解析：（1）如图，∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，AE⊥DE，
∴四边形AEDC是矩形，
∴AC=DE=20米，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，
∴BC=AC=20米，
在Rt△ACD中，tan30°=，
∴CD=AC•tan30°=20×=20（米），
∴BD=BC+CD=20+20（米）；
∴大厦的高度BD为：（20+20）米；
（2）∵四边形AEDC是矩形，
∴AE=CD=20米．
∴小敏家的高度AE为20米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
26. 如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=_____，EN=_____；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△B是直角三角形？
【正确答案】（1）1， ；（2） ；（3） ；
（4）当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△B是直角三角形.
【分析】（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．
（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．
（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．
（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△B是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．
【详解】（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，=1，
∵PE=2，
∴KE=2﹣1=1，
∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴=， =，
∴MP=，ME=，
∴NE=；
故答案为1；；
（2）由（1）并题意可得，
AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，
∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），
解得，t=；
（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，
由（2）得，﹣t+2=t，
解得，t=；
（4）①当K在PE边上任意一点时△B是直角三角形，
即，0＜t≤2；
②当点k在EF上时，
则KE=t﹣2，BP=8﹣t，
∵△B∽△E，
∴2=BP×KE，2=PE2+KE2，
∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），
解得t=3，t=4；
③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．
综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△B是直角三角形．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理，本题综合性比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力和空间想象能力．
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