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2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析，共59页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 2与 B. （﹣1）2与1 C. ﹣1与（﹣1）2 D. 2与|﹣2|
2. 下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）
A. B. C. D.
3. 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣2|c﹣a|=（ ）
A. ﹣2c B. 2b﹣2c+2a C. ﹣2a﹣2b﹣2c D. ﹣4a+2c
4. 下面各图中，能够通过右图平移得到是（ ）
A. B. C. D.
5. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式没有变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式(代数式中换成b，b换成，代数式保持没有变).下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
9. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
10. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
35
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
11. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
12. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
13. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（没有包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
16. 已知：如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
17. 若x，y互为相反数，a、b互为倒数，则代数式3x+3y﹣的值是_____．
18. 如图，小明想用图中所示扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是__________cm．
19. 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为(a，b)，则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共69分）
20. 计算下列各式：
（1）；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
21. 为弘扬中华传统文化，今年2月20日举行了襄阳市首届中小学生经典诵读大赛决赛．某中学为了选拔学生参加，广泛开展校级“经典诵读”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七(1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校七(1)班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；
(2)补全条形统计图；
(3)若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
22. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1）若，则的度数是 ；
（2）若，的周长是.
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值.
23. 由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W=Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示．
（1）力F所做的功是多少？
（2）试确定F、s之间的函数解析式；
（3）当F=4N时，s是多少？
24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
25. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
26. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线 AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
(2) 如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
(3) 请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 2与 B. （﹣1）2与1 C. ﹣1与（﹣1）2 D. 2与|﹣2|
【正确答案】C
【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．
【详解】解：A、2+＝；
B、（﹣1）2+1＝2；
C、﹣1+（﹣1）2＝0；
D、2+|﹣2|＝4．
故选：C．
此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．
2. 下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：A．∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；
B．∠1=∠2（平行四边形对角相等），故本选项错误；
C．∠2＞∠1（三角形的一个外角大于和它没有相邻的任何一个内角），故本选项正确；
D．如图．∵a∥b，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．
故本选项错误．
故选C．
3. 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣2|c﹣a|=（ ）
A. ﹣2c B. 2b﹣2c+2a C. ﹣2a﹣2b﹣2c D. ﹣4a+2c
【正确答案】A
【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，则原式=b﹣a﹣a﹣b﹣2c+2a=﹣2c．故选A．
4. 下面各图中，能够通过右图平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：A．图形比原图少房顶的炊烟，形状发生改变，故错误；
B．图形的形状和大小没有改变，符合平移的性质，故正确；
C．屋顶里面的窗子与原图没有同，形状发生改变，故错误；
D．图形比原图少房顶的炊烟，屋顶里面的窗子与原图没有同，形状发生改变，故错误．
故选B．
5. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式没有变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式(代数式中换成b，b换成，代数式保持没有变).下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【正确答案】A
【分析】在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式没有变，就是完全对称式，则：①（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式．故此选项正确．
②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式没有变，故ab+bc+ca是完全对称式， ab+bc+ca中ab对调后ba+ac+cb，bc对调后ac+cb+ba，ac对调后cb+ba+ac，都与原式一样，故此选项正确；
③a2b+b2c+c2a 若只ab对调后b2a+a2c+c2b 与原式没有同，只在情况下（ab相同时）才会与原式的值一样
∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a没有是完全对称式．故此选项错误，
所以①②是完全对称式，③没有是
故选择：A．
本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等边对等角得到，利用三角形内角和可得，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．
点睛：此类题目较复杂，解答此类题目时要注意运用整体思想，用换元法求解．
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
【正确答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
9. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
【正确答案】C
【详解】根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵，∴，故说法③错误．
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C．
10. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
【正确答案】C
【详解】试题解析：这组数据中4出现的次数至多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选C．
11. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
【正确答案】B
【详解】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有格点．
故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选B．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出点C的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
12. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】解：根据题意有，
故选：A．
本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（没有包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵AB=5，OA=4，
∴OB=，
∴点B（-3，0）．
∵OA=OD=4，
∴点A（0，4），点D（4，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线AD的解析式为y=-x+4；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（-3，0）、C（0，-1）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x-1．
联立直线AD、BC的解析式成方程组，
，解得：，
∴直线AD、BC的交点坐标为（，-）．
∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（没有包括边界），
∴-3＜a＜．
故选D．
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，
第二步：在x′轴上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’轴上取O′C′=OC，
第三步：连接A′C′，B′C′，
所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直观图，
根据画正三角形的直观图的方法可知此题选D，
故选D．
15. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
【正确答案】D
【分析】
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示
设OA=a，BF=b，
∵在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA·sin∠AOB=a，OM==a，
∴点A的坐标为（a，a）
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a ==48，
解得：a=10，或a=-10（舍去），
∴AM=8，OM=6
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，
∴S△AOF=12S菱形AOBC=12·OB·AM=12×10×8=40
故选：D
解反比例函数图象与几何图形的面积 问题一般分为两类：一类是根据面积求函数或反比例函数解析式，另一类是由已知的解析式求几何图形的面积，而求面积时，有时可利用反比例函数比例系数k的值，有时则利用几个几何图形面积的和差来求得.
16. 已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．
则y=2x，为正比例函数．
故选A．
二、填 空 题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
17. 若x，y互为相反数，a、b互为倒数，则代数式3x+3y﹣的值是_____．
【正确答案】##-0.5
【详解】解：由x，y互为相反数，a、b互为倒数，得：x+y=0，ab=1．
当x+y=0，ab=1时，3x+3y﹣=3（x+y）﹣=0﹣=﹣．
故答案为﹣．
本题考查了代数式求值，利用相反数的定义得出（x+y）的值，倒数的定义得出ab的值是解题的关键．
18. 如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是__________cm．
【正确答案】4
【分析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【详解】设底面圆的半径是r，则2πr=6π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高==4cm．
故答案为4.
19. 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为(a，b)，则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为_____．
【正确答案】（± ，）．
【详解】∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（-a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，
∴ab=，（a+b）2=（a-b）2+4ab=11，a+b=，
∴y=-x2x，
∴顶点坐标为（=，=），即．
点睛：主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的特征和关于坐标轴对称的点的特点．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
三、解 答 题（本大题共7小题，共69分）
20. 计算下列各式：
（1）；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【正确答案】（1）；（2）0；（3）0；（4）1.
【详解】试题分析：（1）运用平方差公式分步通分；
（2）将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果；
（3）先将各分式分解因式约分，再通分计算；
（4）注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x﹣2y+z=（x﹣y）﹣（y﹣z），采用换元法简化式子．
试题解析：解：（1）原式=++=+=；
（2）原式=++
=++﹣﹣﹣
=0；
（3）原式=+﹣
=+﹣
=－
=0；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，则
原式=﹣﹣﹣
=﹣
=－
=－
=－
=－
=－
=－
=
=1．
点睛：本题考查了分式的加减运算，难度较大．因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．
21. 为弘扬中华传统文化，今年2月20日举行了襄阳市首届中小学生经典诵读大赛决赛．某中学为了选拔学生参加，广泛开展校级“经典诵读”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七(1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校七(1)班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；
(2)补全条形统计图；
(3)若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【正确答案】（1）50，144°；（2）补图见解析；（3）
【详解】试题分析：（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数；C的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；
（2）根据求出的数据即可补全条形统计图；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
试题解析：（1）由题意可知总人数=4÷8%=50人；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角=20÷50××360°=144°；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）列表如为
由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种.
所以，恰好选到1名男生和1名女生的概率P==.
22. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1）若，则的度数是 ；
（2）若，的周长是.
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值.
【正确答案】（1）；（2）①6；②．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【详解】解：解：（1）如图，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM=90°，
∴∠NMA=50°，
故50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，
∴AC=8，
∵△MBC的周长是14，
∴BC=14-8=6；
②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．
本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
23. 由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W=Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示．
（1）力F所做的功是多少？
（2）试确定F、s之间的函数解析式；
（3）当F=4N时，s是多少？
【正确答案】（1）7.5J；（2） ;（3）1.875m．
【详解】试题分析：由图象可知，是反比例函数关系，当s=1时，F=7.5，利用待定系数法求出函数解析式．再利用反比例函数关系解答实际问题．
试题解析：解：（1）把s=1，F=7.5，代入公式W=Fs=1×7.5=7.5，即力F所做的功是7.5J；
（2）∵W=7.5为定值，故Fs=7.5，∴F=；
（3）当F=4N时，代入Fs=7.5中，得s==1.875m．
点睛：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用题目所给的定值求出它们的关系式．
24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
【正确答案】（1）可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润没有少于2160元．
【详解】：（1）原来可获利：20×100=2000元；
（2）①y=（20-x）（100+10x）=-10（x2-10x-200），
由-10（x2-10x-200）=2160，
解得：x1=2，x2=8，
∴每件商品应降价2或8元；
②观察图像可得
25. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【正确答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
26. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线 AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
(2) 如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
(3) 请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：根据折叠的性质，得出≌，推出设 根据正弦即可求得CN的长.
根据折叠的性质，三角函数和勾股定理求出AM的长.
直接写出线段CP的长的取值范围，求得MN的长.
试题解析：（1）∵沿直线MN翻折，点A落在点P处，
∴≌ ，
∵ABCD是矩形，
∴AB// EP，
∵ABCD矩形，∴AB// DC．∴．
设
∵ABCD是矩形，
，∴． ∴，∴，即．
（2）∵沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴≌ ，
∴．∴．
∴，．∴．
∴，
∴．
在 中，∵，，
∴．∴．
（3）0≤CP≤5，当CP时
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 9 的平方根是( )
A. ±3 B. ± C. 3 D. -3
2. 如图，观察这个立体图形，它的左视图是（ ）
A B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 4x3•2x2＝8x6 B. a4+a3＝a7
C. (﹣x2)5＝﹣x10 D. (a﹣b)2＝a2﹣b2
4. 没有等式组的解集为( )
A －1
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 关于的方程有一个根为0，则为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或
7. 甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 与直线y=﹣2x+1平行，且过（﹣1，2）的直线表达式是（ ）
A. y=﹣2x+2 B. y=﹣2x C. y=﹣x+1 D. y=﹣2x-2
9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为（ ）
A. B. 3 C. +1 D. 2
10. 已知二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，下列个结论：①；②；③；④；⑤为常数，且．其中正确的结论有（ ）
A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，共12分）
11. 中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
12. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的题记分．
A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为_____．
B．用科学计算器计算：sin69°≈_____（到0.01）．
13. 如图，过原点O的直线AB与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点B坐标为（﹣2，m），过点A作AC⊥y轴于点C，OA的垂直平分线DE交OC于点D，交AB于点E．若△ACD的周长为5，则k的值为_____．
14. 如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长．
三、解 答 题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15. 计算：．
16. 先化简，÷（1﹣），并从1，-1,2，-2中选择一个x的值代入，求代数式的值．
17. 用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l )，垂足为C，斜边AB=c．
18. 为开展“争当书香少年”，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷，结果统计后，绘制了如下两幅没有完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被的学生共 人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为 度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有 人．
19. 如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE菱形？并说明理由．
20. 如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（结果到1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
21. 现在正是热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进40箱，已知、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比次多付款700元．
（1）设、二次购进的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；
（2）若商店对这40箱先按每箱60元了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店完全部所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x的值至少为多少时，商店才没有会．（注：按整箱出售，利润＝总收入－进货总成本）
22. 一个没有透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．
（1）小红摸出标有数字3小球的概率是多少；
（2）请用列表法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；
（3）若规定：点P（x，y）在象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．
23. AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接OD交AC于点G，若 ，求sin∠E的值．
24. 如图，抛物线与轴交于两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
25. 已知两条平行线l、l之间的距离为6，截线CD分别交l、l于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P没有与点C、D重合），直角的两边分别交l、l与A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l∥l，作PE⊥l，点E是垂足，过点B作BF⊥l，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4 ？请说明理由．
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 9 的平方根是( )
A. ±3 B. ± C. 3 D. -3
【正确答案】A
【详解】9的平方根是：
± =±3.
故选A.
2. 如图，观察这个立体图形，它左视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】观察这个立体图形，它的左视图是,故选A．
3. 下列计算正确是( )
A. 4x3•2x2＝8x6 B. a4+a3＝a7
C. (﹣x2)5＝﹣x10 D. (a﹣b)2＝a2﹣b2
【正确答案】C
【详解】A. 4x3•2x2=8x5 ，故错误；
B. a4+a3没有是同类项没有能合并，故错误；
C. (﹣x2)5=﹣x10 ，正确；
D. (a﹣b)2= a2-2ab+b2故错误；
故选C
4. 没有等式组解集为( )
A. －1
【详解】试题分析：，∵由①得，x≤2；由②得，x＞﹣1，∴此没有等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故选C．
考点：解一元没有等式组．
5. 若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C
【分析】因为点P（a，b）在第四象限，可确定a、b的取值范围，从而可得-a，b-1的符号，即可得出Q所在的象限.
【详解】解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a>0，b<0，
∴-a<0，b-1<0，
∴点Q（-a，b-1）在第三象限.
故选C.
本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
6. 关于的方程有一个根为0，则为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或
【正确答案】C
【详解】把X=0代入方程有：
m²−3m+2=0，
(m−1)(m−2)=0，
∴m−1=0，m−2=0，
解得.
故选C.
7. 甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】根据题意可知时间y(小时)与行驶速度x(千米/时)之间的函数关系式为：y= (x>0)，
故选C.
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，自变量的实际范围作图．
8. 与直线y=﹣2x+1平行，且过（﹣1，2）的直线表达式是（ ）
A. y=﹣2x+2 B. y=﹣2x C. y=﹣x+1 D. y=﹣2x-2
【正确答案】B
【详解】∵某函数的图象与直线y=−2x+1平行，
∴设此函数的解析式为y=−2x+b，
∵此函数的图象点(−1,2)，
∴−2×(−1)+b=2，
解得：b=0，
∴该函数的关系式为：y=−2x.
故选B.
9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为（ ）
A. B. 3 C. +1 D. 2
【正确答案】C
【详解】
连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP=DP，
∴BP+PQ=DP+PQ=DQ.
在Rt△CDQ中,DQ=，
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1.
故选C.
点睛：本题考查了轴对称最短路线问题，由轴对称和正方形的性质确定△PBQ取最小值时P点的位置是解决问题的关键.
10. 已知二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，下列个结论：①；②；③；④；⑤为常数，且．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B
【详解】①开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①正确；
②当x=-1时，y=a-b+c<0，即a+c
④当x=3时函数小于0，，且，
即，代入得，得，
，，故④正确；
⑤开口向下，当x=1，y有值a+b+c；当x=k（k≠1）时，y=ak2+bk+c，则a+b+c＞ak2+bk+c，即a+b＞k（ak+b）（k≠1），所以⑤错误．
故选B．
点睛：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，共12分）
11. 中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
【正确答案】9.6×106．
【详解】将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故答案为9.6×106．
12. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的题记分．
A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为_____．
B．用科学计算器计算：sin69°≈_____（到0.01）．
【正确答案】 ①. ②. 2.47
【详解】如图所示，连接OC．
因为，，所以，，所以，又因为，所以，所以阴影部分的面积为半圆面积的，即．
用计算器计算 ≈2.47.
故答案为π，2.47.
13. 如图，过原点O的直线AB与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点B坐标为（﹣2，m），过点A作AC⊥y轴于点C，OA的垂直平分线DE交OC于点D，交AB于点E．若△ACD的周长为5，则k的值为_____．
【正确答案】6．
【详解】试题分析：∵过原点O的直线AB与反比例函数（）的图象交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∵点B坐标为（﹣2，m），∴点A坐标为（2，﹣m），∵AC⊥y轴于点C，∴AC=2，∵DE垂直平分AO，∴AD=OD，∵△ACD的周长为5，∴AD+CD=5﹣AC=3，∴OC=AD+CD=3，∴A（2，3），∵点A在反比例函数（）的图象上，∴k=2×3=6，故答案为6．
考点：1．反比例函数与函数的交点问题；2．线段垂直平分线的性质；3．综合题．
14. 如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长．
【正确答案】或
【分析】过点作，交于点，交于点，连接，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】如图，过点作，交于点，交于点，连接．
∵点的对应点恰落在的平分线上，∴，设，则．由折叠知，．
在中，，
∴，
∴或，即或．
设，则，分两种情况讨论：
（1）当时，，，．
在中，，
∴，即．
（2）当时，，，，
在中，，
∴，即．
综上，的长为或．
此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.
三、解 答 题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15. 计算：．
【正确答案】0．
【详解】试题分析：利用值的代数意义、零指数幂法则、角的三角函数值、立方根定义、有理数乘法法则计算即可得到结果．
试题解析：原式=．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．角的三角函数值．
16. 先化简，÷（1﹣），并从1，-1,2，-2中选择一个x的值代入，求代数式的值．
【正确答案】
【详解】分析：将原式的分子、分母因式分解,除法化为乘法,约分,再代值计算,代值时,x的取值没有能使原式的分母,除式为0.
本题解析：
原式= ，当x=-2时，原式=.
点睛：本题考查了实数的运算,分式的化简求值.解答本题的关键是把分式化到最简,然后代值计算.
17. 用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l )，垂足为C，斜边AB=c．
【正确答案】图见解析
【分析】
【详解】解：首先过点作直线的垂线，以点为圆心为半径画弧，交直线于点，连接线段，则为所求三角形.
作图如下，
18. 为开展“争当书香少年”，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷，结果统计后，绘制了如下两幅没有完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被的学生共 人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为 度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书学生有 人．
【正确答案】（1）40；（2）答案见试题解析；（3）72°；（4）300．
【详解】试题分析：（1）由被学生数=喜欢“社科类”的人数÷其在扇形图中所占百分比；
（2）由条形图可知喜欢“文学类”的有12人，即可补全条形统计图；
（3）计算出喜欢“艺术类”的人数，由总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（4）用该年级的总人数乘以“文史类”的学生所占比例，即可求出喜欢的学生人数．
试题解析：（1）5÷12.5%=40（人）；
答：此次被的学生共40人；
（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）；
（3）8÷40=20%，360°×20%=72°；
答：扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为72度；
（4）1200×=300（人）；
答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有300人．
考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图．
19. 如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形，理由见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；
（2）此题应用菱形判定，先说明四边形AFCE已经是平行四边形，再应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是CA的中点，
∴OA=OC，
又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．
本题考查平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
20. 如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（结果到1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【正确答案】137．
【详解】试题分析：由题意得到Rt△ADB是含30°的直角三角形，Rt△BDC是等腰直角三角形，解这两个直角三角形，用AC=AD+CD即可求出结论．
试题解析：由题意得：∠ABC=25°+50°=75°，∠BAC=180°－70°－50°=60°，∴∠ABD=30°，∴在△ABC中，∠C=45°，过B作BD⊥AC于D，∵AB=20×5=100，∠ABD=30°，∴AD=AB=50，BD=AD=，在Rt△BCD中，∵∠C=45°，∴CD=BD=，∴AC=AD+CD=≈137（海里）．
答：小岛A距离小岛C约是137海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
21. 现在正是热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进40箱，已知、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比次多付款700元．
（1）设、二次购进的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；
（2）若商店对这40箱先按每箱60元了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店完全部所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x的值至少为多少时，商店才没有会．（注：按整箱出售，利润＝总收入－进货总成本）
【正确答案】（1）;（2）①y＝25x－300 ;② x至少为12时，商店才没有会．
【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；
（2）①根据利润=总收入-进货总成本，即可得出结果；
②商店要没有，则y≥0，得出没有等式，解没有等式即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
解得：；
答：a，b的值分别为10，30；
（2）①根据题意得：y=60x+35（40-x）-（10×50+30×40），
∴y=25x-300；
②商店要没有，则y≥0，
∴25x-300≥0，
解得：x≥12；
答：当x的值至少为12时，商店才没有会．
本题考查了二元方程组的应用、函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由没有等关系得出没有等式是解决问题的关键．
22. 一个没有透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．
（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是多少；
（2）请用列表法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；
（3）若规定：点P（x，y）在象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．
【正确答案】（1）；（2）列表见解析；（3）小红获胜的概率，小颖获胜的概率．
【分析】（1）口袋中四个小球形状、大小相同，随机抽取一个小球有四种情况，只有标有的小球满足题意，所以小红摸出标有数字3的小球的概率是；
（2）根据列表法可以将所有结果一一列举出来，一共有种情况；
（3）根据表格可知一共有种情况，其中有种情况小红获胜，有种情况小颖获胜，即可分别求得两人获胜的概率．
【详解】解：（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是 ；
（2）列表如下：
（3）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中点（x，y）在象限或第三象限的结果有4种，第二象限或第四象限的结果有8种，
所以小红获胜的概率== ，小颖获胜的概率==．
本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出A或B的概率.
23. AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接OD交AC于点G，若 ，求sin∠E的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】分析：（1）连结OC，如图1，先利用切线的性质得到OC⊥CD，再判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，则有∠1=∠2，于是可判断AC平分∠DAB；（2）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG得到，则设OC=3x，则AD=4x，再证明△EOC∽△EAD，利用相似比可表示出EO=9x，然后在Rt△OCE中利用正弦的定义求sin∠E的值．
本题解析：
(1)证明：连结OC，如图1，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
(2)连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG,
∴，
设OC=3x，则AD=4x，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴EO:EA=OC:AD,即EO:(EO+3x)=3x:4x，
∴EO=9x，
在Rt△OCE中,sin∠E=.
!
24. 如图，抛物线与轴交于两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）2或
（3）存在．点的坐标为：
【分析】（1）由点A， B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）利用函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，由点P的横坐标可得出点P，E，F的坐标，进而可得出PF，EF的值，分和两种情况考虑，由PE=5EF可得出关m的一元方程，解之即可得出结果．
（3）解题关键是识别出当四边形PECE'是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解，当四边形PECE'是菱形没有存在时，P点y轴上，即可得到m的值．
【小问1详解】
解：将点A，B坐标代入解析式，得：
解得
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点的横坐标为，
，．
又∵点在轴上方，要使，点应在轴右侧，
∴，
∴．
令时，
分两种情况讨论：
①当时，
．
∵，
∴，
即，解得，（舍去）；
②当时，．
∵，
∴，
即，
解得（舍去）；
故的值为：2，；
【小问3详解】
假设存在．
如下图所示：
∵点关于直线PC对称，
∵PE平行于y轴，
∴四边形是菱形，
当四边形是菱形存在时，
∵直线CD的解析式为：
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，
①若
或
②
或
若三点重合与y轴上，此时P点横坐标为0，也符合题意，
故存在，点P的坐标为：
本题考查二次函数综合题、函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论思想与方程思想解决问题，解题时注意没有能漏解．
25. 已知两条平行线l、l之间的距离为6，截线CD分别交l、l于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P没有与点C、D重合），直角的两边分别交l、l与A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l∥l，作PE⊥l，点E是垂足，过点B作BF⊥l，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4 ？请说明理由．
【正确答案】（1）同意，理由见解析；（2）PA=PB，理由见解析；（3）没有存在满足条件的实数x，理由见解析
【详解】分析：（1）根据题意得到：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，从而得到∠EPA=∠FPB，然后根据∠PEA=∠PFB=90°证得△PEA∽△PFB；
（2）根据∠APB=90°得到要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，然后根据当AE=BF时，PA=PB，从而得到△PEA≌△PFB，利用全等三角形的性质证得结论即可；
（3）在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°从而得到PE=x，然后利用PE+BF=6，BF=AE得到AE=6-x，然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方程x2-12x-8=0，求得x的值后大于12，从而得到矛盾说明没有存在满足条件的x．
本题解析：（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPB，
又∵∠PEA=∠PFB=90°，
∴△PEA∽△PFB；
（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，
∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，
当AE=BF时，PA=PB，
∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，
∴△PEA≌△PFB，
∴PA=PB；
（3）如图2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，
∴PE=x，
由题意，PE+BF=6，BF=AE，
∴AE=6﹣x，
当AB=4时，由题意得PA=2，
Rt△PEA中，PE2+AE2=PA2，
即（）2+（6﹣x）2=40，
整理得：x2﹣12x﹣8=0，解得：x=6﹣2＜0（舍去）或x=6+2，
∵x=6+2＞6+6=12，又CD=12，
∴点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，
∴没有合题意，
综上，没有存在满足条件的实数x．
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 2与 B. （﹣1）2与1 C. ﹣1与（﹣1）2 D. 2与|﹣2|
2. 下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）
A. B. C. D.
3. 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣2|c﹣a|=（ ）
A. ﹣2c B. 2b﹣2c+2a C. ﹣2a﹣2b﹣2c D. ﹣4a+2c
4. 下面各图中，能够通过右图平移得到是（ ）
A. B. C. D.
5. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式没有变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式(代数式中换成b，b换成，代数式保持没有变).下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
9. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
10. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
35
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
11. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
12. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
13. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（没有包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
16. 已知：如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
17. 若x，y互为相反数，a、b互为倒数，则代数式3x+3y﹣的值是_____．
18. 如图，小明想用图中所示扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是__________cm．
19. 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为(a，b)，则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共69分）
20. 计算下列各式：
（1）；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
21. 为弘扬中华传统文化，今年2月20日举行了襄阳市首届中小学生经典诵读大赛决赛．某中学为了选拔学生参加，广泛开展校级“经典诵读”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七(1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校七(1)班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；
(2)补全条形统计图；
(3)若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
22. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1）若，则的度数是 ；
（2）若，的周长是.
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值.
23. 由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W=Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示．
（1）力F所做的功是多少？
（2）试确定F、s之间的函数解析式；
（3）当F=4N时，s是多少？
24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
25. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
26. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线 AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
(2) 如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
(3) 请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 2与 B. （﹣1）2与1 C. ﹣1与（﹣1）2 D. 2与|﹣2|
【正确答案】C
【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．
【详解】解：A、2+＝；
B、（﹣1）2+1＝2；
C、﹣1+（﹣1）2＝0；
D、2+|﹣2|＝4．
故选：C．
此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．
2. 下列图形中，∠2＞∠1的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：A．∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；
B．∠1=∠2（平行四边形对角相等），故本选项错误；
C．∠2＞∠1（三角形的一个外角大于和它没有相邻的任何一个内角），故本选项正确；
D．如图．∵a∥b，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．
故本选项错误．
故选C．
3. 有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣2|c﹣a|=（ ）
A. ﹣2c B. 2b﹣2c+2a C. ﹣2a﹣2b﹣2c D. ﹣4a+2c
【正确答案】A
【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴a﹣b＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，则原式=b﹣a﹣a﹣b﹣2c+2a=﹣2c．故选A．
4. 下面各图中，能够通过右图平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：A．图形比原图少房顶的炊烟，形状发生改变，故错误；
B．图形的形状和大小没有改变，符合平移的性质，故正确；
C．屋顶里面的窗子与原图没有同，形状发生改变，故错误；
D．图形比原图少房顶的炊烟，屋顶里面的窗子与原图没有同，形状发生改变，故错误．
故选B．
5. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式没有变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式(代数式中换成b，b换成，代数式保持没有变).下列三个代数式：①；②；③．其中是完全对称式的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【正确答案】A
【分析】在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式没有变，就是完全对称式，则：①（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式．故此选项正确．
②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式没有变，故ab+bc+ca是完全对称式， ab+bc+ca中ab对调后ba+ac+cb，bc对调后ac+cb+ba，ac对调后cb+ba+ac，都与原式一样，故此选项正确；
③a2b+b2c+c2a 若只ab对调后b2a+a2c+c2b 与原式没有同，只在情况下（ab相同时）才会与原式的值一样
∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a没有是完全对称式．故此选项错误，
所以①②是完全对称式，③没有是
故选择：A．
本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．
6. 如图，点为上三点，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等边对等角得到，利用三角形内角和可得，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．
点睛：此类题目较复杂，解答此类题目时要注意运用整体思想，用换元法求解．
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
【正确答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
9. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3
【正确答案】C
【详解】根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为，是无理数，故说法①正确．
根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．
∵，∴，故说法③错误．
∵，∴根据算术平方根的定义，a是18的算术平方根，故说法④正确．
综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C．
10. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说确的是（ ）
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8
【正确答案】C
【详解】试题解析：这组数据中4出现的次数至多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选C．
11. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
【正确答案】B
【详解】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有格点．
故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选B．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出点C的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
12. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】解：根据题意有，
故选：A．
本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是（0，﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（没有包括边界），已知OA=OD=4，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵AB=5，OA=4，
∴OB=，
∴点B（-3，0）．
∵OA=OD=4，
∴点A（0，4），点D（4，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线AD的解析式为y=-x+4；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（-3，0）、C（0，-1）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x-1．
联立直线AD、BC的解析式成方程组，
，解得：，
∴直线AD、BC的交点坐标为（，-）．
∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（没有包括边界），
∴-3＜a＜．
故选D．
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，
第二步：在x′轴上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’轴上取O′C′=OC，
第三步：连接A′C′，B′C′，
所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直观图，
根据画正三角形的直观图的方法可知此题选D，
故选D．
15. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在象限内的图象点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
【正确答案】D
【分析】
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示
设OA=a，BF=b，
∵在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA·sin∠AOB=a，OM==a，
∴点A的坐标为（a，a）
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a ==48，
解得：a=10，或a=-10（舍去），
∴AM=8，OM=6
∵四边形OACB是菱形，
∴OA=OB=10，
∴S△AOF=12S菱形AOBC=12·OB·AM=12×10×8=40
故选：D
解反比例函数图象与几何图形的面积 问题一般分为两类：一类是根据面积求函数或反比例函数解析式，另一类是由已知的解析式求几何图形的面积，而求面积时，有时可利用反比例函数比例系数k的值，有时则利用几个几何图形面积的和差来求得.
16. 已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．
则y=2x，为正比例函数．
故选A．
二、填 空 题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）
17. 若x，y互为相反数，a、b互为倒数，则代数式3x+3y﹣的值是_____．
【正确答案】##-0.5
【详解】解：由x，y互为相反数，a、b互为倒数，得：x+y=0，ab=1．
当x+y=0，ab=1时，3x+3y﹣=3（x+y）﹣=0﹣=﹣．
故答案为﹣．
本题考查了代数式求值，利用相反数的定义得出（x+y）的值，倒数的定义得出ab的值是解题的关键．
18. 如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是__________cm．
【正确答案】4
【分析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【详解】设底面圆的半径是r，则2πr=6π，
∴r=3cm，
∴圆锥的高==4cm．
故答案为4.
19. 已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为(a，b)，则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为_____．
【正确答案】（± ，）．
【详解】∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（-a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，
∴ab=，（a+b）2=（a-b）2+4ab=11，a+b=，
∴y=-x2x，
∴顶点坐标为（=，=），即．
点睛：主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的特征和关于坐标轴对称的点的特点．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
三、解 答 题（本大题共7小题，共69分）
20. 计算下列各式：
（1）；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【正确答案】（1）；（2）0；（3）0；（4）1.
【详解】试题分析：（1）运用平方差公式分步通分；
（2）将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果；
（3）先将各分式分解因式约分，再通分计算；
（4）注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x﹣2y+z=（x﹣y）﹣（y﹣z），采用换元法简化式子．
试题解析：解：（1）原式=++=+=；
（2）原式=++
=++﹣﹣﹣
=0；
（3）原式=+﹣
=+﹣
=－
=0；
（4）设x﹣y=a，y﹣z=b，z﹣x=c，则
原式=﹣﹣﹣
=﹣
=－
=－
=－
=－
=－
=－
=
=1．
点睛：本题考查了分式的加减运算，难度较大．因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．
21. 为弘扬中华传统文化，今年2月20日举行了襄阳市首届中小学生经典诵读大赛决赛．某中学为了选拔学生参加，广泛开展校级“经典诵读”比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，该校七(1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校七(1)班共有 名学生；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度；
(2)补全条形统计图；
(3)若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【正确答案】（1）50，144°；（2）补图见解析；（3）
【详解】试题分析：（1）由A的人数和其所占的百分比即可求出总人数；C的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；
（2）根据求出的数据即可补全条形统计图；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
试题解析：（1）由题意可知总人数=4÷8%=50人；扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角=20÷50××360°=144°；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）列表如为
由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种.
所以，恰好选到1名男生和1名女生的概率P==.
22. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1）若，则的度数是 ；
（2）若，的周长是.
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值.
【正确答案】（1）；（2）①6；②．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【详解】解：解：（1）如图，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM=90°，
∴∠NMA=50°，
故50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，
∴AC=8，
∵△MBC的周长是14，
∴BC=14-8=6；
②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．
本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
23. 由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W=Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示．
（1）力F所做的功是多少？
（2）试确定F、s之间的函数解析式；
（3）当F=4N时，s是多少？
【正确答案】（1）7.5J；（2） ;（3）1.875m．
【详解】试题分析：由图象可知，是反比例函数关系，当s=1时，F=7.5，利用待定系数法求出函数解析式．再利用反比例函数关系解答实际问题．
试题解析：解：（1）把s=1，F=7.5，代入公式W=Fs=1×7.5=7.5，即力F所做的功是7.5J；
（2）∵W=7.5为定值，故Fs=7.5，∴F=；
（3）当F=4N时，代入Fs=7.5中，得s==1.875m．
点睛：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用题目所给的定值求出它们的关系式．
24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，可售出100件．后来市场，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场可获利润y元．
①若商场经营该商品要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，题意写出当x取何值时，商场获利润没有少于2160元．
【正确答案】（1）可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润没有少于2160元．
【详解】：（1）原来可获利：20×100=2000元；
（2）①y=（20-x）（100+10x）=-10（x2-10x-200），
由-10（x2-10x-200）=2160，
解得：x1=2，x2=8，
∴每件商品应降价2或8元；
②观察图像可得
25. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【正确答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
26. 已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线 AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
(1)如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
(2) 如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
(3) 请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长时MN的长.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：根据折叠的性质，得出≌，推出设 根据正弦即可求得CN的长.
根据折叠的性质，三角函数和勾股定理求出AM的长.
直接写出线段CP的长的取值范围，求得MN的长.
试题解析：（1）∵沿直线MN翻折，点A落在点P处，
∴≌ ，
∵ABCD是矩形，
∴AB// EP，
∵ABCD矩形，∴AB// DC．∴．
设
∵ABCD是矩形，
，∴． ∴，∴，即．
（2）∵沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴≌ ，
∴．∴．
∴，．∴．
∴，
∴．
在 中，∵，，
∴．∴．
（3）0≤CP≤5，当CP时
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 9 的平方根是( )
A. ±3 B. ± C. 3 D. -3
2. 如图，观察这个立体图形，它的左视图是（ ）
A B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 4x3•2x2＝8x6 B. a4+a3＝a7
C. (﹣x2)5＝﹣x10 D. (a﹣b)2＝a2﹣b2
4. 没有等式组的解集为( )
A －1
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 关于的方程有一个根为0，则为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或
7. 甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 与直线y=﹣2x+1平行，且过（﹣1，2）的直线表达式是（ ）
A. y=﹣2x+2 B. y=﹣2x C. y=﹣x+1 D. y=﹣2x-2
9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为（ ）
A. B. 3 C. +1 D. 2
10. 已知二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，下列个结论：①；②；③；④；⑤为常数，且．其中正确的结论有（ ）
A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，共12分）
11. 中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
12. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的题记分．
A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为_____．
B．用科学计算器计算：sin69°≈_____（到0.01）．
13. 如图，过原点O的直线AB与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点B坐标为（﹣2，m），过点A作AC⊥y轴于点C，OA的垂直平分线DE交OC于点D，交AB于点E．若△ACD的周长为5，则k的值为_____．
14. 如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长．
三、解 答 题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15. 计算：．
16. 先化简，÷（1﹣），并从1，-1,2，-2中选择一个x的值代入，求代数式的值．
17. 用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l )，垂足为C，斜边AB=c．
18. 为开展“争当书香少年”，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷，结果统计后，绘制了如下两幅没有完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被的学生共 人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为 度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有 人．
19. 如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE菱形？并说明理由．
20. 如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（结果到1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
21. 现在正是热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进40箱，已知、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比次多付款700元．
（1）设、二次购进的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；
（2）若商店对这40箱先按每箱60元了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店完全部所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x的值至少为多少时，商店才没有会．（注：按整箱出售，利润＝总收入－进货总成本）
22. 一个没有透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．
（1）小红摸出标有数字3小球的概率是多少；
（2）请用列表法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；
（3）若规定：点P（x，y）在象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．
23. AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接OD交AC于点G，若 ，求sin∠E的值．
24. 如图，抛物线与轴交于两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
25. 已知两条平行线l、l之间的距离为6，截线CD分别交l、l于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P没有与点C、D重合），直角的两边分别交l、l与A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l∥l，作PE⊥l，点E是垂足，过点B作BF⊥l，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4 ？请说明理由．
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 9 的平方根是( )
A. ±3 B. ± C. 3 D. -3
【正确答案】A
【详解】9的平方根是：
± =±3.
故选A.
2. 如图，观察这个立体图形，它左视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】观察这个立体图形，它的左视图是,故选A．
3. 下列计算正确是( )
A. 4x3•2x2＝8x6 B. a4+a3＝a7
C. (﹣x2)5＝﹣x10 D. (a﹣b)2＝a2﹣b2
【正确答案】C
【详解】A. 4x3•2x2=8x5 ，故错误；
B. a4+a3没有是同类项没有能合并，故错误；
C. (﹣x2)5=﹣x10 ，正确；
D. (a﹣b)2= a2-2ab+b2故错误；
故选C
4. 没有等式组解集为( )
A. －1
【详解】试题分析：，∵由①得，x≤2；由②得，x＞﹣1，∴此没有等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故选C．
考点：解一元没有等式组．
5. 若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C
【分析】因为点P（a，b）在第四象限，可确定a、b的取值范围，从而可得-a，b-1的符号，即可得出Q所在的象限.
【详解】解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a>0，b<0，
∴-a<0，b-1<0，
∴点Q（-a，b-1）在第三象限.
故选C.
本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
6. 关于的方程有一个根为0，则为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或
【正确答案】C
【详解】把X=0代入方程有：
m²−3m+2=0，
(m−1)(m−2)=0，
∴m−1=0，m−2=0，
解得.
故选C.
7. 甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】根据题意可知时间y(小时)与行驶速度x(千米/时)之间的函数关系式为：y= (x>0)，
故选C.
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，自变量的实际范围作图．
8. 与直线y=﹣2x+1平行，且过（﹣1，2）的直线表达式是（ ）
A. y=﹣2x+2 B. y=﹣2x C. y=﹣x+1 D. y=﹣2x-2
【正确答案】B
【详解】∵某函数的图象与直线y=−2x+1平行，
∴设此函数的解析式为y=−2x+b，
∵此函数的图象点(−1,2)，
∴−2×(−1)+b=2，
解得：b=0，
∴该函数的关系式为：y=−2x.
故选B.
9. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为（ ）
A. B. 3 C. +1 D. 2
【正确答案】C
【详解】
连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP=DP，
∴BP+PQ=DP+PQ=DQ.
在Rt△CDQ中,DQ=，
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1.
故选C.
点睛：本题考查了轴对称最短路线问题，由轴对称和正方形的性质确定△PBQ取最小值时P点的位置是解决问题的关键.
10. 已知二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，下列个结论：①；②；③；④；⑤为常数，且．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B
【详解】①开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①正确；
②当x=-1时，y=a-b+c<0，即a+c
④当x=3时函数小于0，，且，
即，代入得，得，
，，故④正确；
⑤开口向下，当x=1，y有值a+b+c；当x=k（k≠1）时，y=ak2+bk+c，则a+b+c＞ak2+bk+c，即a+b＞k（ak+b）（k≠1），所以⑤错误．
故选B．
点睛：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.
二、填 空 题（共4小题，每小题3分，共12分）
11. 中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
【正确答案】9.6×106．
【详解】将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故答案为9.6×106．
12. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的题记分．
A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为_____．
B．用科学计算器计算：sin69°≈_____（到0.01）．
【正确答案】 ①. ②. 2.47
【详解】如图所示，连接OC．
因为，，所以，，所以，又因为，所以，所以阴影部分的面积为半圆面积的，即．
用计算器计算 ≈2.47.
故答案为π，2.47.
13. 如图，过原点O的直线AB与反比例函数（）的图象交于A、B两点，点B坐标为（﹣2，m），过点A作AC⊥y轴于点C，OA的垂直平分线DE交OC于点D，交AB于点E．若△ACD的周长为5，则k的值为_____．
【正确答案】6．
【详解】试题分析：∵过原点O的直线AB与反比例函数（）的图象交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∵点B坐标为（﹣2，m），∴点A坐标为（2，﹣m），∵AC⊥y轴于点C，∴AC=2，∵DE垂直平分AO，∴AD=OD，∵△ACD的周长为5，∴AD+CD=5﹣AC=3，∴OC=AD+CD=3，∴A（2，3），∵点A在反比例函数（）的图象上，∴k=2×3=6，故答案为6．
考点：1．反比例函数与函数的交点问题；2．线段垂直平分线的性质；3．综合题．
14. 如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长．
【正确答案】或
【分析】过点作，交于点，交于点，连接，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】如图，过点作，交于点，交于点，连接．
∵点的对应点恰落在的平分线上，∴，设，则．由折叠知，．
在中，，
∴，
∴或，即或．
设，则，分两种情况讨论：
（1）当时，，，．
在中，，
∴，即．
（2）当时，，，，
在中，，
∴，即．
综上，的长为或．
此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论.
三、解 答 题（共11小题，计78分。解答应写出过程）
15. 计算：．
【正确答案】0．
【详解】试题分析：利用值的代数意义、零指数幂法则、角的三角函数值、立方根定义、有理数乘法法则计算即可得到结果．
试题解析：原式=．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．角的三角函数值．
16. 先化简，÷（1﹣），并从1，-1,2，-2中选择一个x的值代入，求代数式的值．
【正确答案】
【详解】分析：将原式的分子、分母因式分解,除法化为乘法,约分,再代值计算,代值时,x的取值没有能使原式的分母,除式为0.
本题解析：
原式= ，当x=-2时，原式=.
点睛：本题考查了实数的运算,分式的化简求值.解答本题的关键是把分式化到最简,然后代值计算.
17. 用圆规、直尺作图，没有写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A．
求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l )，垂足为C，斜边AB=c．
【正确答案】图见解析
【分析】
【详解】解：首先过点作直线的垂线，以点为圆心为半径画弧，交直线于点，连接线段，则为所求三角形.
作图如下，
18. 为开展“争当书香少年”，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷，结果统计后，绘制了如下两幅没有完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被的学生共 人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为 度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书学生有 人．
【正确答案】（1）40；（2）答案见试题解析；（3）72°；（4）300．
【详解】试题分析：（1）由被学生数=喜欢“社科类”的人数÷其在扇形图中所占百分比；
（2）由条形图可知喜欢“文学类”的有12人，即可补全条形统计图；
（3）计算出喜欢“艺术类”的人数，由总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（4）用该年级的总人数乘以“文史类”的学生所占比例，即可求出喜欢的学生人数．
试题解析：（1）5÷12.5%=40（人）；
答：此次被的学生共40人；
（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）；
（3）8÷40=20%，360°×20%=72°；
答：扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为72度；
（4）1200×=300（人）；
答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有300人．
考点：1．条形统计图；2．用样本估计总体；3．扇形统计图．
19. 如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形，理由见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；
（2）此题应用菱形判定，先说明四边形AFCE已经是平行四边形，再应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是CA的中点，
∴OA=OC，
又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．
本题考查平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
20. 如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（结果到1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【正确答案】137．
【详解】试题分析：由题意得到Rt△ADB是含30°的直角三角形，Rt△BDC是等腰直角三角形，解这两个直角三角形，用AC=AD+CD即可求出结论．
试题解析：由题意得：∠ABC=25°+50°=75°，∠BAC=180°－70°－50°=60°，∴∠ABD=30°，∴在△ABC中，∠C=45°，过B作BD⊥AC于D，∵AB=20×5=100，∠ABD=30°，∴AD=AB=50，BD=AD=，在Rt△BCD中，∵∠C=45°，∴CD=BD=，∴AC=AD+CD=≈137（海里）．
答：小岛A距离小岛C约是137海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
21. 现在正是热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进40箱，已知、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比次多付款700元．
（1）设、二次购进的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；
（2）若商店对这40箱先按每箱60元了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店完全部所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x的值至少为多少时，商店才没有会．（注：按整箱出售，利润＝总收入－进货总成本）
【正确答案】（1）;（2）①y＝25x－300 ;② x至少为12时，商店才没有会．
【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；
（2）①根据利润=总收入-进货总成本，即可得出结果；
②商店要没有，则y≥0，得出没有等式，解没有等式即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
解得：；
答：a，b的值分别为10，30；
（2）①根据题意得：y=60x+35（40-x）-（10×50+30×40），
∴y=25x-300；
②商店要没有，则y≥0，
∴25x-300≥0，
解得：x≥12；
答：当x的值至少为12时，商店才没有会．
本题考查了二元方程组的应用、函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由没有等关系得出没有等式是解决问题的关键．
22. 一个没有透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．
（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是多少；
（2）请用列表法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；
（3）若规定：点P（x，y）在象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．
【正确答案】（1）；（2）列表见解析；（3）小红获胜的概率，小颖获胜的概率．
【分析】（1）口袋中四个小球形状、大小相同，随机抽取一个小球有四种情况，只有标有的小球满足题意，所以小红摸出标有数字3的小球的概率是；
（2）根据列表法可以将所有结果一一列举出来，一共有种情况；
（3）根据表格可知一共有种情况，其中有种情况小红获胜，有种情况小颖获胜，即可分别求得两人获胜的概率．
【详解】解：（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是 ；
（2）列表如下：
（3）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中点（x，y）在象限或第三象限的结果有4种，第二象限或第四象限的结果有8种，
所以小红获胜的概率== ，小颖获胜的概率==．
本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出A或B的概率.
23. AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接OD交AC于点G，若 ，求sin∠E的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】分析：（1）连结OC，如图1，先利用切线的性质得到OC⊥CD，再判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，则有∠1=∠2，于是可判断AC平分∠DAB；（2）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG得到，则设OC=3x，则AD=4x，再证明△EOC∽△EAD，利用相似比可表示出EO=9x，然后在Rt△OCE中利用正弦的定义求sin∠E的值．
本题解析：
(1)证明：连结OC，如图1，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
(2)连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG,
∴，
设OC=3x，则AD=4x，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴EO:EA=OC:AD,即EO:(EO+3x)=3x:4x，
∴EO=9x，
在Rt△OCE中,sin∠E=.
!
24. 如图，抛物线与轴交于两点，直线与轴交于点，与轴交于点．点是轴上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若点是点关于直线的对称点，是否存在点，使点落在轴上？若存在，请直接写出相应的点的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）2或
（3）存在．点的坐标为：
【分析】（1）由点A， B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）利用函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，由点P的横坐标可得出点P，E，F的坐标，进而可得出PF，EF的值，分和两种情况考虑，由PE=5EF可得出关m的一元方程，解之即可得出结果．
（3）解题关键是识别出当四边形PECE'是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解，当四边形PECE'是菱形没有存在时，P点y轴上，即可得到m的值．
【小问1详解】
解：将点A，B坐标代入解析式，得：
解得
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点的横坐标为，
，．
又∵点在轴上方，要使，点应在轴右侧，
∴，
∴．
令时，
分两种情况讨论：
①当时，
．
∵，
∴，
即，解得，（舍去）；
②当时，．
∵，
∴，
即，
解得（舍去）；
故的值为：2，；
【小问3详解】
假设存在．
如下图所示：
∵点关于直线PC对称，
∵PE平行于y轴，
∴四边形是菱形，
当四边形是菱形存在时，
∵直线CD的解析式为：
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，
①若
或
②
或
若三点重合与y轴上，此时P点横坐标为0，也符合题意，
故存在，点P的坐标为：
本题考查二次函数综合题、函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论思想与方程思想解决问题，解题时注意没有能漏解．
25. 已知两条平行线l、l之间的距离为6，截线CD分别交l、l于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P没有与点C、D重合），直角的两边分别交l、l与A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l∥l，作PE⊥l，点E是垂足，过点B作BF⊥l，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4 ？请说明理由．
【正确答案】（1）同意，理由见解析；（2）PA=PB，理由见解析；（3）没有存在满足条件的实数x，理由见解析
【详解】分析：（1）根据题意得到：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，从而得到∠EPA=∠FPB，然后根据∠PEA=∠PFB=90°证得△PEA∽△PFB；
（2）根据∠APB=90°得到要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，然后根据当AE=BF时，PA=PB，从而得到△PEA≌△PFB，利用全等三角形的性质证得结论即可；
（3）在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°从而得到PE=x，然后利用PE+BF=6，BF=AE得到AE=6-x，然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方程x2-12x-8=0，求得x的值后大于12，从而得到矛盾说明没有存在满足条件的x．
本题解析：（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，
∴∠EPA=∠FPB，
又∵∠PEA=∠PFB=90°，
∴△PEA∽△PFB；
（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，
∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，
当AE=BF时，PA=PB，
∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，
∴△PEA≌△PFB，
∴PA=PB；
（3）如图2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，
∴PE=x，
由题意，PE+BF=6，BF=AE，
∴AE=6﹣x，
当AB=4时，由题意得PA=2，
Rt△PEA中，PE2+AE2=PA2，
即（）2+（6﹣x）2=40，
整理得：x2﹣12x﹣8=0，解得：x=6﹣2＜0（舍去）或x=6+2，
∵x=6+2＞6+6=12，又CD=12，
∴点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，
∴没有合题意，
综上，没有存在满足条件的实数x．
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