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2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共55页。试卷主要包含了 计算=， 下列计算正确的是， 如图，⊙是外接圆，则点是的等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 计算=（ ）
A. B. 1 C. D.
2. 数据2, 5, 6, 0, 6, 1, 8的中位数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 6
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，⊙是外接圆，则点是的（ ）
A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点
5. 某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为
A. B. C. D.
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，AM＝AN，CN＝CP，则∠MNP＝（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 45°
7. 如图是几何体三视图及相关数据，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象点，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在等边三角形内部，作，两两相交于三点（三点没有重合）．设，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二．认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
11. 分解因式：=____．
12. 甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳的平均成绩每分钟175个，其方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.017
0.021
0.019
则这10次跳绳中，这四个人中发挥最稳定的是_________．
13. 估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
14. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．
15. 已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值为_____．
16. 如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为__秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的值为________________．
三、全面答一答 （解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题, 共66分）
17. 解分式方程：
18. 如图，已知
（1）只能用直尺和三角尺，过C点画CD∥AB，并保留作图痕迹．
（2）说明的理由．
19. 数学教师将班中留守学生的学习状况分成四个等级，制成没有完整的统计图：
（1）该班有多少名留守学生？并将该条形统计图补充完整．
（2）数学教师决定从等级的留守学生中任选两名进行数学学习帮扶，使用列表或画树状图的方法，求出所选帮扶的两名留守学生来自同一等级的概率．
20. 如图，是⊙直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且．
（1）求劣弧的长．
（2）求阴影部分弓形的面积．
21. 直线原点，若反比例函数的图象与直线相交于点，且点的纵坐标是3．
（1）求m和k的值．
（2）图象求没有等式的解集．
22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．
（）求m的取值范围；
（）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的表达式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；
③将此二次函数图象平移，使平移后图象原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
23. 如图，在中，，于点，点在上，且，连接．
（1）求证：
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 计算=（ ）
A. B. 1 C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：根据角的三角函数值计算
详解：tan45°=1，故选B.
点睛：本题考查角三角函数值的计算，角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选一选、填 空 题为主．
2. 数据2, 5, 6, 0, 6, 1, 8的中位数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 6
【正确答案】C
【详解】分析：将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．
详解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：
0，1，2，5，6，6，8，
位于中间位置的数为5，
故中位数为5，
数据6出现了2次，至多，
故这组数据的众数是6，中位数是5，
故选C.
点睛：本题考查的是中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：分别利用同底数幂的乘、除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简求出答案.
A、,故此选项错误;
B、,故此选项错误;
C、 , 故此选项错误;
D、 ,故此选项正确;
故选D.
点睛：本题考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方与合并同类项的知识,属于基本运算,必须掌握.
4. 如图，⊙是的外接圆，则点是的（ ）
A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点
【正确答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，即可求解.
【详解】∵⊙O是三角形的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.
故选：B.
本题考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握外心的定义是解答本题的关键.
5. 某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】把x=-2代入方程3a+x=13中求出a的值，确定出方程，求出解即可．
【详解】根据题意得：x=−2为方程3a+x=13的解，
把x=−2代入得：3a−2=13，
解得：a=5，即方程为15−x=13，
解得：x=2，
故选D .
本题考查一元方程的解，解一元方程.
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，AM＝AN，CN＝CP，则∠MNP＝（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 45°
【正确答案】C
【详解】分析：先根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，再由AM=AN，CN=CP用∠A与∠C表示出∠ANM与∠CNP的度数，由补角的定义即可得出结论
详解：∵∠ABC=110°，
∴∠A+∠C=180°-110°=70°．
∵AM=AN，CN=CP，
∴∠ANM= ，∠CNP= ，
∴∠MNP=180°- -
=180°-90°+ ∠A-90°+ ∠C
= （∠A+∠C）
= ×70°
=35°． 故选C.
点睛：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
7. 如图是几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形即可作答.
详解：∵圆锥的母线长为a，圆锥的高为b，圆锥的底面半径为，且圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形，
∴根据勾股定理得：，即.
故选B．
点睛：本题考查了由三视图判断几何体及勾股定理的知识，解题的关键是明确圆锥的母线、圆锥的底面半径和圆锥的高组成直角三角形.
点睛：本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
8. 如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】只要证明∠CMD=△COA，求出cos∠COA即可.
【详解】如图1中，连接OC,OM.
设OC=r,
∴ ,
∴r=5,
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∴∠AOC=∠COM,
∵∠CMD=∠COM，
∴∠CMD=∠COA，
∴cos∠CMD=cos∠COA= .
本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象点，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a,根据菱形的性质和三角函数分别表示出C,及点B向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的特征得到方程组求解即可.
详解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在RT△CDO中，OD=a▪cos60=a，CD=a▪sin60°=，则C(a，).
点B向下平移2个单位的点的坐标为(a+a,)，即( , )，
两点在反比例函数图象上，代入计算得a=2，k=3，
反比例函数解析式为.
故选A.
点睛：本题考查了比例函数的解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.
请在此填写本题解析!
10. 如图，在等边三角形的内部，作，两两相交于三点（三点没有重合）．设，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】由题意得：△DEF是正三角形，
作AG⊥BD于G，如图所示：
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中,DG=b,AG=b，
在Rt△ABG中,c²=(a+b)²+(b)²，
∴c²=a²+ab+b².
故选B.
本题考查了正三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正三角形的判定，灵活运用勾股定理解决问题是解答本题的关键.
二．认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
11. 分解因式：=____．
【正确答案】．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：．
故
本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
12. 甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳的平均成绩每分钟175个，其方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.017
0.021
0.019
则这10次跳绳中，这四个人中发挥最稳定的是_________．
【正确答案】乙
【详解】分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
详解：∵ ，
∴这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙．
故答案为乙.
点睛：本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越没有稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
13. 估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
【正确答案】＞
【详解】分析：依据题意，首先依据 的近似值为2.236，代入可以得的近似值大于1.5，即可得解.
详解：由题意，的近似值为2.236，代入可得>1，故答案为>.
点睛：本题考查了无理数的估算，需要熟练掌握并理解.
14. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．
【正确答案】
【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上
∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN
∵∠ABC+∠CBM=180°
∴∠CBM=60°
∵AB=4
∴BC=4
∴CM=BCsin∠CBM=2
MB=BCcos∠CBM=2
∴AM=AB+MB=6
∴MN=AM=6
∴CN=MN-CM=6-2
故6-2．
本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键．
15. 已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值为_____．
【正确答案】或－
【详解】y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣2，当x=﹣2时，y=4+4m=﹣2，
解得：m=﹣ ；
m=﹣＞﹣2（舍去）；
②若m＞1，当x=1时，y=1﹣2m=﹣2，
解得：m=；
③若﹣2≤m≤1，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=﹣ 或m=＞1（舍），
∴m的值为或﹣，
故答案或﹣．
本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为__秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的值为________________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】分析：(1)如图,当B'与AD交于点E,作于F,根据轴对称性质可以得出ME=MB=2t,由勾股定理就可以表示出EF,就可以表示出AE,再由勾股定理就可以求出t的值;(2)根据三角形的面积公式,分情况讨论,当和时由求分段函数的方法就可以求出结论.
详解：(1)如图,当B'与AD交于点E,作FM⊥AD于F,
∴∠DFM=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB ,AD=BC , ∠D=∠C=90°.
∴四边形DCMF是矩形,
∴CD=MF.
∵△M与△MNE关于MN对称,
∴△M≌△MNE,
∴ME=MB,NE=BN,.
∵BN=t,BM=2t,
∴EN=t,ME=2T.
∵AB=6,BC=8,
∴CD=MF=6,CB=DA=8,AN=6-t
在和中,由勾股定理,得
,,
,
,
.
,.
故答案为:;
(2)与关于MN对称,
.
,
.
,
.
,
.
∵四边形ABCD是矩形,
,
.
,,
,.
,,
,
,,
,
.
∴当时,
,
时,.
当时,.
时,.
.
∴值为.
点睛：本题考查了的矩形的性质的运用,勾股定理的运用,轴对称的性质的运用,二次函数的解析式的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出二次函数的解析式是关键.
三、全面答一答 （解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题, 共66分）
17. 解分式方程：
【正确答案】x=-3
【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
详解：方程左右两边同时乘以(x-1)²得:2+2x=x-1,
解得:x=-3,
经检验x=-3是原分式方程的解.
点睛：此题考查了解分式方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18. 如图，已知
（1）只能用直尺和三角尺，过C点画CD∥AB，并保留作图痕迹．
（2）说明的理由．
【正确答案】见解析
【分析】（1）利用一副三角板平移，由同位角相等，两直线平行即可；（2）运用平行线的的性质进行推理即可．
【详解】解：（1）把三角板的一条直角边与直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线AB重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可．
（2）∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠A+∠ACB
=∠B+∠BCD
=180°．
此题是考查平行线性质及画法，平行线的画法有多种，用一幅三角板画是比较常用的方法．
19. 数学教师将班中留守学生的学习状况分成四个等级，制成没有完整的统计图：
（1）该班有多少名留守学生？并将该条形统计图补充完整．
（2）数学教师决定从等级的留守学生中任选两名进行数学学习帮扶，使用列表或画树状图的方法，求出所选帮扶的两名留守学生来自同一等级的概率．
【正确答案】（1）10名（2）
【详解】分析：（1）因为C组留守儿童有2名，占20%，所以可得该校班级个数为20个，再求出每组对应人数，关键数据补充完整条形统计图. （2）由（1）可知，只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设、 来自一个班，、来自一个班，列表，从图中可知共有12种可能情况，其中来自一个班的共有4种情况，根据概率的计算方法即可求解.
详解：（1）2÷20%=10,该班共有10名留守儿童；
条形图略
（2）列表如下
C1
C2
D1
D2
C1
C1 C2
C1 D1
C1 D2
C2
C2 C1
C2 D1
C2 D2
D1
D1 C1
D1 C2
D1 D2
D2
D2 C1
D2 C2
D2 D1
.
点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.
20. 如图，是⊙的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且．
（1）求劣弧的长．
（2）求阴影部分弓形的面积．
【正确答案】（1）（2）
【详解】分析：(1)根据切线的性质和OC=CD证得△OCD是等腰直角三角形,证得∠COB=135°,然后根据弧长公式求得即可;(2)利用扇形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积.
详解：（1）∵CD切圆O于点C
∴OC⊥CD
∵OC=OD
∴∠COD=45°
（2）
.
点睛：本题考查了切线的性质，弧长公式，扇形的面积，解题的关键是得出△OCD是等腰直角三角形.
21. 直线原点，若反比例函数的图象与直线相交于点，且点的纵坐标是3．
（1）求m和k的值．
（2）图象求没有等式的解集．
【正确答案】（1）m=0，k=3（2）x<-1或0
【详解】分析：(1)根据平行的原则得出m的值，并计算出点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入即可求出k的值.(2)画出两函数的图象，根据交点坐标写出解集.
详解：（1）因为y=3x+m由y=3x+1向下平移一个单位长度而得，所以m=0．
因为A点纵坐标为3且在y=3x上，所以A点坐标为(1,3)．
又因为A点在反比例函数上，所以k=3．
（2）y=3x+m与y=的图象如图所示．
由图可知，当时，x<-1或0
22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．
（）求m的取值范围；
（）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的表达式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；
③将此二次函数图象平移，使平移后的图象原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【正确答案】（1）（2）① ②；③
【分析】（1）因为函数为二次函数，所以有m≠0，又因为图象与轴有两个交点，所以判别式△>0，联立即可解得的范围.
（2）①由m>- 且m≠0，可求得m取满足条件的最小的整数时m=1，代入解析式即可求得答案；
②因为二次函数的对称轴为直线x= ，所以n≤x≤1时，y随x的增大而减小，当x=1时，函数值为-6，当x=n时，函数值为4-n，即可得到关于n的一元二次方程，求解即可；
③由平移后图象对应的函数表达式可得a=1，因为平移后的图象原点O，将点(0,0)代入平移后的函数表达式可得k=-，由x<2，y随x的增大而减小得对称轴h≥2，即可确定k的取值范围.
【详解】（1）△=[-(2m+1)]2-4m(m-5)=24m+1，
∵该二次函数图像与x轴有两个交点，
∴24m+1>0，
即；
（2）①因为m>- 且m≠0，且m取满足条件的最小的整数，
所以m=1，
所以二次函数的解析式为；
②x=n时，y=n2-3n-4，
x=1时，y=-6，
函数对称轴是直线x=1.5，
因为在n≤x≤1范围内，x=n时y取到值，
而当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，
所以，
得n=-2或n=4（没有合题意）；
③由题意得a=1，图象原点，可得
∵当x<2时，y随x的增大而减小
∴
则 .
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、根的判别式、二次函数图象点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是：（1）利用根的判别式△>0及二次项系数非0求出m的取值范围；（2）①根据m的取值范围得出m的值；②根据二次函数的单调性得出关于n的一元二次方程；③利用二次函数图象上点的坐标特征得出k=-h².
23. 如图，在中，，于点，点在上，且，连接．
（1）求证：
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析（2）EF=2HG
【详解】分析：（1）先判断出AH=BH,再判断出△BHD≌△AHC即可求解.（2）方法一、先判断出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可；方法二、取EF的中点K，连接GK，HK，先证明GK=HK=EF,再证明△GKH是等边三角形即可.
详解：（1）Rt△AHB中，∠ABC=45°，
∴AH=BH，
在△BHD和△AHC中，
，
∴△BHD≌△AHC，
∴
（2）方法1:如图1，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴EF=BD，
由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC
∴
即：EF=2HG．
方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
由旋转知，∠EHF=90°，
∴EK=HK=EF
∴EK=GK=EF，
∴HK=GK，
∵EK=HK，
∴∠FKG=2∠AEF，
∵EK=GK，
∴∠HKF=2∠HEF，
由旋转知，∠AHF=30°，
∴∠AHE=120°，
由（1）知，BH=AH，
∵BH=EH，
∴AH=EH，
∴∠AEH=30°，
∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，
∴△HKG是等边三角形，
∴GH=GK，
∴EF=2GK=2GH，
即：EF=2GH．
点睛：本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形到性质和判定的运用是解答本题的关键.
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
2. 若分式有意义，则x应满足( )
A. x＝0 B. x≠0 C. x＝1 D. x≠1
3. 下列运算中，正确是( )
A. B. C. D.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
5. 对于实数a，b, 下列判断正确的是 ( )
A. 若|a|=|b|，则 a=b B. 若＞，则 a＞b
C. 若，则a=b D. 若 ，则a=b
6. 若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等四边形
7. 若与互为相反数，则的值为 （ ）
A 27 B. 9 C. –9 D. 1
8. 如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，若点E坐标为（3,2），则点B的坐标为（ ）
A. （3,-2） B. （-3,2） C. （-3,-2） D. （2,3）
9. 如图，直线a、b分别与∠A的两边相交，且a∥b．下列各角的度数关系正确的是（ ）
A. ∠2+∠5＞180° B. ∠2+∠3＜180° C. ∠1+∠6＞180° D. ∠3+∠4＜180°
10. 如图，已知，OA、OD重合，ÐAOB=120°，ÐCOD=50°，当ÐAOB绕点O顺时针旋转到AO与CO重合的过程中，下列结论正确的是（ ）
①OB旋转50°②当OA平分ÐCOD时，ÐBOC=95°，③ÐDOB+ÐAOC=170°，④ÐBOC-ÐAOD=70°
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
11. 数轴上A、B、C三点分别对应实数a、1、c，且BC-AB=AC．下列选项中，满足A、B、C三点在数轴上的位置关系是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知没有等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A. a>2 B. a≥2 C. a<2 D. a≤2
13. 正方形所在平面上一点A，到正方形一组对边的距离是2和6，则正方形的周长是（ ）
A. 10 B. 16 C. 16或32 D. 25或12
14. 已知，菱形的周长为20cm，它的锐角正弦值为，则菱形较短对角线长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 6 D.
15. 如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
16. 如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF， AB＝BC＝5．若A点坐标为(﹣3，1)，B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填 空 题
17. 化简：______．
18. 因式分解：3x3﹣12x=_____．
19. （1）如图1，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O切于点P，且AB=16，则圆环面积为________；
（2）如图2，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O相交，其中一个交点为点P，且AP=2，PB=8，则圆环面积为________.
三、解 答 题
20. （1）克糖水中有克糖（＞＞0），则糖的质量与糖水的质量比为_______；若再添加克糖，并全部溶解（＞0），则糖的质量与糖水的质量比为__________；生活常识告诉我们，添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，因此我们可以猜想出以上两个质量比之间的大小关系是______________；
（2）我们的猜想正确吗？请你证明这个猜想．
21. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
22. 某公司对用户度进行问卷，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是12．请你回答：
（1）收回问卷至多的共收到问卷_________份；
（2）本次共收回问卷共_________份；
（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？
（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
23. 如图（1），一个圆球放置在V形架中．图（2）是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．
（1）如果⊙O的半径为2cm，且AB=6cm，求∠ACB．
（2）在（1）的基础上，圆球沿射线CB滚动，圆心O滚动到O1，B1是切点，已知O O1=10，写出圆心O1到射线CO的距离．
24. 某厂有甲、乙、丙三个蓄水池，已知甲蓄水池的蓄水量x是从3万吨至6万吨，乙蓄水池的蓄水量y万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系是： ,丙蓄水池的蓄水量的3倍恰好是甲蓄水池的蓄水量与乙蓄水池的蓄水量的积.问:
（1）若丙蓄水池的蓄水量为22万吨,当甲蓄水池的蓄水量为6吨时, 丙蓄水池能否容纳?为什么?
（2）求丙蓄水池的蓄水量z万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系？
（3）蓄水池管理员在观察三个蓄水池蓄水量的记录时发现,在整个蓄水过程中, 丙蓄水池的蓄水量多次出现整数万吨的情况,你能说出共出现过多少次?分别是多少吗?
25. 如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．
（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；
（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．
（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．
26. 如图，二次函数的图象点（0，1）坐标平面内有矩形ABCD，A（1，4），B（1，2）C（4，2），D（4，4）
（1）用a表示k；
（2）试说明抛物线图象一定（4,1）；
（3）求抛物线顶点在x轴上方时，a的取值范围；
（4）写出抛物线与矩形ABCD各边交点个数与a的对应取值范围.
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据负数的值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 若分式有意义，则x应满足( )
A. x＝0 B. x≠0 C. x＝1 D. x≠1
【正确答案】D
【详解】分析：根据分母没有等于0列式计算即可得解．
详解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．
故选D．
点睛：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法，同底数幂的除法，求出每个式子的值，再选出正确答案即可．
详解：A．没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
B．，故本选项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了对合并同类项法则、同底数幂的乘法，同底数幂的除法的应用，能灵活运用法则进行计算是解答此题的关键，题目比较典型，难度没有是很大．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
5. 对于实数a，b, 下列判断正确的是 ( )
A. 若|a|=|b|，则 a=b B. 若＞，则 a＞b
C. 若，则a=b D. 若 ，则a=b
【正确答案】D
【分析】根据值的定义判断A；根据有理数乘方的意义判断B；根据算术平方根的意义判断C；根据立方根的性质判断D．
【详解】解：A．若|a|=|b|，则a=±b，故本选项判断错误，没有符合题意；
B．若a2＞b2，则|a|＞|b|，故本选项判断错误，没有符合题意；
C．若，则|a|=b，故本选项判断错误，没有符合题意；
D．若，则a=b，故本选项判断正确，符合题意．
故选D．
本题考查了值、有理数的乘方、立方根与算术平方根，掌握定义与性质是解题的关键．
6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形
【正确答案】D
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
7. 若与互为相反数，则的值为 （ ）
A. 27 B. 9 C. –9 D. 1
【正确答案】A
【详解】分析：首先根据|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，可得：x+y+1=0，x﹣y﹣2=0，据此求出x、y的值；然后应用代入法，求出（3x﹣y）3的值为多少即可．
详解：∵|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，∴
①+②，可得：2x﹣1=0，解得：x=0.5，
把x=0.5代入①，解得：y=﹣1.5，
∴（3x﹣y）3=（3×0.5+1.5）3=27．
故选A．
点睛：本题主要考查了解二元方程组的方法，以及非负数的性质和应用，要熟练掌握，注意加减法和代入法的应用．
8. 如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，若点E坐标为（3,2），则点B的坐标为（ ）
A. （3,-2） B. （-3,2） C. （-3,-2） D. （2,3）
【正确答案】B
【详解】分析：由正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，得到B和E关于y轴对称，即可得到结论．
详解：∵正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，∴B和E关于y轴对称．
∵点E坐标为（3，2），∴点B坐标为（－3，2）．故选B．
点睛：本题考查了正多边形的性质，解题的关键是得出B和E关于y轴对称．
9. 如图，直线a、b分别与∠A的两边相交，且a∥b．下列各角的度数关系正确的是（ ）
A. ∠2+∠5＞180° B. ∠2+∠3＜180° C. ∠1+∠6＞180° D. ∠3+∠4＜180°
【正确答案】A
【详解】分析：先根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和表示出∠3，然后求出∠2+∠3，再根据两直线平行，同位角相等表示出∠2+∠5，根据邻补角的定义用∠5表示出∠6，再代入整理即可得到∠1+∠6，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠3+∠4，从而得解．
详解：根据三角形的外角性质，∠3=∠1+∠A．
∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=∠2+∠1+∠A＞180°，故B选项错误；
∵a∥b，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=∠2+∠1+∠A＞180°，故A选项正确；
∵∠6=180°﹣∠5，∴∠1+∠6=∠3﹣∠A+180°﹣∠5=180°﹣∠A＜180°，故C选项错误；
∵a∥b，∴∠3+∠4=180°，故D选项错误．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，分别用∠A表示出各选项中的两个角的和是解题的关键．
10. 如图，已知，OA、OD重合，ÐAOB=120°，ÐCOD=50°，当ÐAOB绕点O顺时针旋转到AO与CO重合的过程中，下列结论正确的是（ ）
①OB旋转50°②当OA平分ÐCOD时，ÐBOC=95°，③ÐDOB+ÐAOC=170°，④ÐBOC-ÐAOD=70°
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】D
【详解】分析：根据旋转的性质和角的和差倍分计算进行判断即可．
详解：∵∠DOC=50°，∴OA从OD旋转到OC，旋转角=∠DOC=50°，∴OB旋转50°，故①正确；
∵OA平分ÐCOD，∴∠AOC=∠COD=25°，∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=120°－25°=95°，故②正确；
∠DOB+∠AOC=∠DOA+∠AOB+∠AOC=∠DOA+∠AOC +∠AOB=∠DOC +∠AOB=50°+120°=170°，故③正确；
ÐBOC-ÐAOD=∠AOB－∠AOC－∠AOD=∠AOB－∠DOC=120°－50°=70°，故④正确．
综上所述：①②③④都正确．
故选D．
点睛：本题考查了旋转的性质和角的计算．熟练掌握旋转的性质和角的和差倍分是解题的关键．
11. 数轴上A、B、C三点分别对应实数a、1、c，且BC-AB=AC．下列选项中，满足A、B、C三点在数轴上的位置关系是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：由BC-AB=AC，得到|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|，从选项数轴上找出a、b、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|，看是否成立．
详解：∵数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，设B表示的数为b，∴b=1．
∵BC-AB=AC，∴|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|，∴|c﹣b|﹣|a﹣b|=|a﹣c|．
A．b＜a＜c，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a=|a﹣c|．正确；
B．c＜b＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣a+b=2b﹣c﹣a≠|a﹣c|．故错误；
C．a＜c＜b，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣b+a=a﹣c≠|a﹣c|．故错误；
D．b＜c＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|a﹣c|．故错误．
故选A．
点睛：本题主要考查了数轴及值．解题的关键是从数轴上找出a、b、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|是否成立．
12. 已知没有等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A. a>2 B. a≥2 C. a<2 D. a≤2
【正确答案】B
【分析】由没有等式解集的四种情况可知，小小解没有了，判断a与2的大小．
【详解】解：∵没有等式组无解，
∴a≥2．
故选B．
本题是已知没有等式组的解集，求没有等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小解没有了．
13. 正方形所在平面上一点A，到正方形一组对边的距离是2和6，则正方形的周长是（ ）
A. 10 B. 16 C. 16或32 D. 25或12
【正确答案】C
【详解】分析：分点A正方形外和点A在正方形内两种情况讨论即可．
详解：分两种情况讨论：①当点A在正方形外时，正方形边长=6－2=4，正方形周长=4×4=16；
②当点A在正方形内时，正方形边长=6+2=8，正方形周长=8×4=32．
综上所述：正方形的周长为16或32．
故选C．
点睛：本题考查了正方形的性质．解题的关键是分类讨论．
14. 已知，菱形的周长为20cm，它的锐角正弦值为，则菱形较短对角线长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 6 D.
【正确答案】D
【分析】过A作AE⊥BC于E，连接AC．由菱形的周长为20，得到边长AB=BC=5．由si=，得到AE的长，由勾股定理得到BE的长，即可得到EC的长．在Rt△AEC中，由勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，过A作AE⊥BC于E，连接AC．
∵菱形的周长为20，∴边长AB=BC=5．
∵si=，∴AE=4，∴BE==3，∴EC=BC-BE=5-3=2．在Rt△AEC中，AC===．
故选D．
本题考查了菱形的性质．熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
15. 如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
A 5 B. 6 C. D.
【正确答案】B
【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.
【详解】连接OE，OF，OG，
∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
16. 如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF， AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【详解】分析：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出结论．
详解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P，∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC和△CHA中，
∵，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4，∴KC=4．
∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．
故选C．
点睛：本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二、填 空 题
17. 化简：______．
【正确答案】3
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：因为32=9，
所以=3．
故答案为3．
此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．
18. 因式分解：3x3﹣12x=_____．
【正确答案】3x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19. （1）如图1，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O切于点P，且AB=16，则圆环面积为________；
（2）如图2，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O相交，其中一个交点为点P，且AP=2，PB=8，则圆环面积为________.
【正确答案】 ①. ②.
【详解】分析：（1）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解；
（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据垂径定理、勾股定理求解即可．
详解：（1）连接OA、OB、OP．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（16÷2）2=64．
∵S圆环=S大﹣S小=π•OB2﹣π•OP2=π•（OB2﹣OP2），∴S圆环=64π．
（2）过O作OD⊥AB于D，连接OP，OA．
∵AP=2，PB=8，∴AB=10．
∵OD⊥AB，∴AD=AB=5．
∵AP=2，∴PD=3．
在Rt△AOD和Rt△POD中，
∵OA2=AD2+OD2，OP2=PD2+OD2，∴OA2-OP2= AD2-PD2= 52-32=16．
S圆环=S大﹣S小=π•OA2﹣π•OP2=π•（OA2﹣OP2），∴S圆环=16π．
故答案为（1）64π；（2）16π．
点睛：注意：可直接利用圆环的面积公式=两圆的面积差求解．
三、解 答 题
20. （1）克糖水中有克糖（＞＞0），则糖的质量与糖水的质量比为_______；若再添加克糖，并全部溶解（＞0），则糖的质量与糖水的质量比为__________；生活常识告诉我们，添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，因此我们可以猜想出以上两个质量比之间的大小关系是______________；
（2）我们的猜想正确吗？请你证明这个猜想．
【正确答案】（1）；；<（2）正确；证明见解析
【详解】分析：（1）加入糖后，糖水也将增加加进去的糖的质量；随着糖的增加，糖占糖水的比例也将越来越大；
（2）作差后与0作比较即可．
详解：（1）根据题意，得：
a克糖水中有b克糖，则糖的质量与糖水的质量比为；
若再加c克糖，则糖的质量与糖水的质量比为；
根据加的糖完全溶解后，糖水会更甜，得：．
（2）正确．证明如下：
-===
∵＞＞0，c＞0，
∴(a-c)c＞0，(a+c)a＞0，
∴-＞0，
∴结论成立．
点睛：关于溶液问题，难点在于需掌握浓度=溶质÷溶液，而溶液是溶质和水的．
21. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
【正确答案】（1）ab﹣4x2（2）
【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．
【详解】解：（1）ab﹣4x2．
（2）依题意有：，将a=6，b=4，代入上式，得x2=3．
解得x1=，x2=（舍去）．
∴正方形的边长为．
22. 某公司对用户度进行问卷，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是12．请你回答：
（1）收回问卷至多的共收到问卷_________份；
（2）本次共收回问卷共_________份；
（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？
（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
【正确答案】（1）18；（2）60分（3）（4）第6天收回问卷获奖率高；答案见解析
【详解】分析：（1）观察图形可知，第4天收到问卷至多，用矩形的高度比=频数之比即可得出结论；
（2）由于组距相同，各矩形的高度比即为频数的比，可由数据总数=某组的频数÷频率计算；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）分别计算第4天，第6天的获奖率后比较即可．
详解：（1）由图可知：第4天收到问卷至多，设份数为x，则：4：6=12：x，解得：x=18；
（2）12÷[4÷（2+3+4+6+4+1）]=60份；
（3）抽到第4天回收问卷概率是；
（4）第4天收回问卷获奖率，第6天收回问卷获奖率．
∵，
∴第6天收回问卷获奖率高．
点睛：本题考查了对频数分布直方图的掌握情况，根据图中信息，求出频率，用来估计概率．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图（1），一个圆球放置在V形架中．图（2）是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．
（1）如果⊙O的半径为2cm，且AB=6cm，求∠ACB．
（2）在（1）的基础上，圆球沿射线CB滚动，圆心O滚动到O1，B1是切点，已知O O1=10，写出圆心O1到射线CO的距离．
【正确答案】（1）60°；（2）圆心O1到射线CO的距离为5
【详解】分析：（1）通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC交AB于点D，得出AD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COA的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OA的长，AD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODA中根据三角形函数我们没有难得出∠COA的值，也就能求出∠ACB的度数了；
（2）过O1作O1M⊥CO于M，可以求出∠MOO1=30°，再由30°所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．
详解：（1）连接OC交AB于点D．
∵CA和CB都是⊙O的切线，
∴AC=CB，CO平分∠ACB，
∴AD=AB=6．
在Rt△ADO中，AO=2，
sin∠AOC=，
∴∠AOC=60°．
∵AC为⊙O的切线，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACB=60°．
（2）过O1作O1M⊥CO于M．
∵∠AOD=60°，∴∠BOD=60°．
∵∠BOO1=90°，∴∠MOO1=30°．
∵OO1=10，∴O1M= OO1=5．
∴圆心O1到射线CO的距离为5．
点睛：本题主要考查切线性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．
24. 某厂有甲、乙、丙三个蓄水池，已知甲蓄水池的蓄水量x是从3万吨至6万吨，乙蓄水池的蓄水量y万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系是： ,丙蓄水池的蓄水量的3倍恰好是甲蓄水池的蓄水量与乙蓄水池的蓄水量的积.问:
（1）若丙蓄水池的蓄水量为22万吨,当甲蓄水池的蓄水量为6吨时, 丙蓄水池能否容纳?为什么?
（2）求丙蓄水池的蓄水量z万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系？
（3）蓄水池管理员在观察三个蓄水池蓄水量的记录时发现,在整个蓄水过程中, 丙蓄水池的蓄水量多次出现整数万吨的情况,你能说出共出现过多少次?分别是多少吗?
【正确答案】见解析
【详解】分析：（1）把x=6代入y=3x-8，得到y=10，然后计算出丙池水量，比较即可；
（2）由已知得到z=，把y=3x-8代入即可；
（3）根据抛物线的性质解答即可．
详解：（1）能容纳，
x=6时，y=3×6-8=10．
所以，丙池水量为；
（2）由已知，
z=；
（3）由(2)可知a=1>0，抛物线对称轴直线x=，
∴x>时，z随x的增大而增大．
当x=3时，z=1；当x=6时，z=22．
∵x从3万吨增至6万吨时，
∴z由1增加到22，
∴出现整数万吨的情况共有22次，分别是1到22的正整数．
点睛：本题考查了二次函数的应用．根据题意求出解析式是解题的关键．
25. 如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．
（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；
（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．
（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．
【正确答案】1
【详解】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．
由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；
（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（3）分两种情况讨论即可．
详解：（1）D’A=1．理由如下：
过D′作D′N⊥CD于N．
∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= CD′=1．
由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，
∴四边形ACED’为平行四边形．
又∵∠DCE=90°，
∴四边形ACED’为矩形；
（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．
∵∠DCE=∠D’CE’=90°，
∴∠DCE’=∠D’CG．
又∵D’C= DC，CG=CE’，
∴△DCE’≌△D’CG，
∴GD’=E’D．
（3）分两种情况讨论：①如图1．
∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．
②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角．
26. 如图，二次函数的图象点（0，1）坐标平面内有矩形ABCD，A（1，4），B（1，2）C（4，2），D（4，4）
（1）用a表示k；
（2）试说明抛物线图象一定（4,1）；
（3）求抛物线顶点在x轴上方时，a的取值范围；
（4）写出抛物线与矩形ABCD各边交点个数与a的对应取值范围.
【正确答案】见解析
【详解】分析：(1)把(0，1)代入抛物线解析式即可得到结论，
(2)由(1)得二次函数解析式为： ，把x=4代入即可得到结论；
(3)当抛物线顶点在x上方时，由k＞0且a≠0，解没有等式即可得到结论．
(4)分五种情况讨论即可．
详解：(1)由已知把(0，1)代入，得：
∴．
(2)由(1)二次函数解析式可化为：
当x=4时，
∴抛物线图象一定（4，1）；
(3)当抛物线顶点在x上方时，>0，解得：，
∴当且a≠0时，抛物线顶点在x轴上方．
(4)①时，无交点；
②时，1个交点；
③时，2个交点；
④时，3个交点；
⑤时，4个交点．
点睛：本题是二次函数的综合题．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和分类讨论．
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 计算=（ ）
A. B. 1 C. D.
2. 数据2, 5, 6, 0, 6, 1, 8的中位数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 6
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，⊙是外接圆，则点是的（ ）
A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点
5. 某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为
A. B. C. D.
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，AM＝AN，CN＝CP，则∠MNP＝（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 45°
7. 如图是几何体三视图及相关数据，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象点，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在等边三角形内部，作，两两相交于三点（三点没有重合）．设，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二．认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
11. 分解因式：=____．
12. 甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳的平均成绩每分钟175个，其方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.017
0.021
0.019
则这10次跳绳中，这四个人中发挥最稳定的是_________．
13. 估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
14. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．
15. 已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值为_____．
16. 如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为__秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的值为________________．
三、全面答一答 （解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题, 共66分）
17. 解分式方程：
18. 如图，已知
（1）只能用直尺和三角尺，过C点画CD∥AB，并保留作图痕迹．
（2）说明的理由．
19. 数学教师将班中留守学生的学习状况分成四个等级，制成没有完整的统计图：
（1）该班有多少名留守学生？并将该条形统计图补充完整．
（2）数学教师决定从等级的留守学生中任选两名进行数学学习帮扶，使用列表或画树状图的方法，求出所选帮扶的两名留守学生来自同一等级的概率．
20. 如图，是⊙直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且．
（1）求劣弧的长．
（2）求阴影部分弓形的面积．
21. 直线原点，若反比例函数的图象与直线相交于点，且点的纵坐标是3．
（1）求m和k的值．
（2）图象求没有等式的解集．
22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．
（）求m的取值范围；
（）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的表达式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；
③将此二次函数图象平移，使平移后图象原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
23. 如图，在中，，于点，点在上，且，连接．
（1）求证：
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 计算=（ ）
A. B. 1 C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：根据角的三角函数值计算
详解：tan45°=1，故选B.
点睛：本题考查角三角函数值的计算，角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选一选、填 空 题为主．
2. 数据2, 5, 6, 0, 6, 1, 8的中位数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 5 D. 6
【正确答案】C
【详解】分析：将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．
详解：将2、5、6、0、6、1、8按照从小到大排列是：
0，1，2，5，6，6，8，
位于中间位置的数为5，
故中位数为5，
数据6出现了2次，至多，
故这组数据的众数是6，中位数是5，
故选C.
点睛：本题考查的是中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：分别利用同底数幂的乘、除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简求出答案.
A、,故此选项错误;
B、,故此选项错误;
C、 , 故此选项错误;
D、 ,故此选项正确;
故选D.
点睛：本题考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方与合并同类项的知识,属于基本运算,必须掌握.
4. 如图，⊙是的外接圆，则点是的（ ）
A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点
【正确答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，即可求解.
【详解】∵⊙O是三角形的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.
故选：B.
本题考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握外心的定义是解答本题的关键.
5. 某同学在解关于的方程时，误将“”看成“”，从而得到方程的解为，则原方程正确的解为
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】把x=-2代入方程3a+x=13中求出a的值，确定出方程，求出解即可．
【详解】根据题意得：x=−2为方程3a+x=13的解，
把x=−2代入得：3a−2=13，
解得：a=5，即方程为15−x=13，
解得：x=2，
故选D .
本题考查一元方程的解，解一元方程.
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，AM＝AN，CN＝CP，则∠MNP＝（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 45°
【正确答案】C
【详解】分析：先根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，再由AM=AN，CN=CP用∠A与∠C表示出∠ANM与∠CNP的度数，由补角的定义即可得出结论
详解：∵∠ABC=110°，
∴∠A+∠C=180°-110°=70°．
∵AM=AN，CN=CP，
∴∠ANM= ，∠CNP= ，
∴∠MNP=180°- -
=180°-90°+ ∠A-90°+ ∠C
= （∠A+∠C）
= ×70°
=35°． 故选C.
点睛：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
7. 如图是几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形即可作答.
详解：∵圆锥的母线长为a，圆锥的高为b，圆锥的底面半径为，且圆锥的母线、圆锥的底面半径及圆锥的高组成直角三角形，
∴根据勾股定理得：，即.
故选B．
点睛：本题考查了由三视图判断几何体及勾股定理的知识，解题的关键是明确圆锥的母线、圆锥的底面半径和圆锥的高组成直角三角形.
点睛：本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
8. 如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】只要证明∠CMD=△COA，求出cos∠COA即可.
【详解】如图1中，连接OC,OM.
设OC=r,
∴ ,
∴r=5,
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∴∠AOC=∠COM,
∵∠CMD=∠COM，
∴∠CMD=∠COA，
∴cos∠CMD=cos∠COA= .
本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象点，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a,根据菱形的性质和三角函数分别表示出C,及点B向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的特征得到方程组求解即可.
详解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在RT△CDO中，OD=a▪cos60=a，CD=a▪sin60°=，则C(a，).
点B向下平移2个单位的点的坐标为(a+a,)，即( , )，
两点在反比例函数图象上，代入计算得a=2，k=3，
反比例函数解析式为.
故选A.
点睛：本题考查了比例函数的解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.
请在此填写本题解析!
10. 如图，在等边三角形的内部，作，两两相交于三点（三点没有重合）．设，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】由题意得：△DEF是正三角形，
作AG⊥BD于G，如图所示：
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中,DG=b,AG=b，
在Rt△ABG中,c²=(a+b)²+(b)²，
∴c²=a²+ab+b².
故选B.
本题考查了正三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正三角形的判定，灵活运用勾股定理解决问题是解答本题的关键.
二．认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
11. 分解因式：=____．
【正确答案】．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
【详解】解：．
故
本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
12. 甲、乙、丙、丁参加体育训练，近期10次跳绳的平均成绩每分钟175个，其方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.023
0.017
0.021
0.019
则这10次跳绳中，这四个人中发挥最稳定的是_________．
【正确答案】乙
【详解】分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
详解：∵ ，
∴这10次跳绳中，这四个人发挥最稳定的是乙．
故答案为乙.
点睛：本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越没有稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
13. 估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
【正确答案】＞
【详解】分析：依据题意，首先依据 的近似值为2.236，代入可以得的近似值大于1.5，即可得解.
详解：由题意，的近似值为2.236，代入可得>1，故答案为>.
点睛：本题考查了无理数的估算，需要熟练掌握并理解.
14. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．
【正确答案】
【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上
∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN
∵∠ABC+∠CBM=180°
∴∠CBM=60°
∵AB=4
∴BC=4
∴CM=BCsin∠CBM=2
MB=BCcos∠CBM=2
∴AM=AB+MB=6
∴MN=AM=6
∴CN=MN-CM=6-2
故6-2．
本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键．
15. 已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值为_____．
【正确答案】或－
【详解】y=x2﹣2mx=（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣2，当x=﹣2时，y=4+4m=﹣2，
解得：m=﹣ ；
m=﹣＞﹣2（舍去）；
②若m＞1，当x=1时，y=1﹣2m=﹣2，
解得：m=；
③若﹣2≤m≤1，当x=m时，y=﹣m2=﹣2，
解得：m=﹣ 或m=＞1（舍），
∴m的值为或﹣，
故答案或﹣．
本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为__秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的值为________________．
【正确答案】 ①. ②.
【详解】分析：(1)如图,当B'与AD交于点E,作于F,根据轴对称性质可以得出ME=MB=2t,由勾股定理就可以表示出EF,就可以表示出AE,再由勾股定理就可以求出t的值;(2)根据三角形的面积公式,分情况讨论,当和时由求分段函数的方法就可以求出结论.
详解：(1)如图,当B'与AD交于点E,作FM⊥AD于F,
∴∠DFM=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB ,AD=BC , ∠D=∠C=90°.
∴四边形DCMF是矩形,
∴CD=MF.
∵△M与△MNE关于MN对称,
∴△M≌△MNE,
∴ME=MB,NE=BN,.
∵BN=t,BM=2t,
∴EN=t,ME=2T.
∵AB=6,BC=8,
∴CD=MF=6,CB=DA=8,AN=6-t
在和中,由勾股定理,得
,,
,
,
.
,.
故答案为:;
(2)与关于MN对称,
.
,
.
,
.
,
.
∵四边形ABCD是矩形,
,
.
,,
,.
,,
,
,,
,
.
∴当时,
,
时,.
当时,.
时,.
.
∴值为.
点睛：本题考查了的矩形的性质的运用,勾股定理的运用,轴对称的性质的运用,二次函数的解析式的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出二次函数的解析式是关键.
三、全面答一答 （解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题, 共66分）
17. 解分式方程：
【正确答案】x=-3
【详解】分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
详解：方程左右两边同时乘以(x-1)²得:2+2x=x-1,
解得:x=-3,
经检验x=-3是原分式方程的解.
点睛：此题考查了解分式方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18. 如图，已知
（1）只能用直尺和三角尺，过C点画CD∥AB，并保留作图痕迹．
（2）说明的理由．
【正确答案】见解析
【分析】（1）利用一副三角板平移，由同位角相等，两直线平行即可；（2）运用平行线的的性质进行推理即可．
【详解】解：（1）把三角板的一条直角边与直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线AB重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可．
（2）∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠A+∠ACB
=∠B+∠BCD
=180°．
此题是考查平行线性质及画法，平行线的画法有多种，用一幅三角板画是比较常用的方法．
19. 数学教师将班中留守学生的学习状况分成四个等级，制成没有完整的统计图：
（1）该班有多少名留守学生？并将该条形统计图补充完整．
（2）数学教师决定从等级的留守学生中任选两名进行数学学习帮扶，使用列表或画树状图的方法，求出所选帮扶的两名留守学生来自同一等级的概率．
【正确答案】（1）10名（2）
【详解】分析：（1）因为C组留守儿童有2名，占20%，所以可得该校班级个数为20个，再求出每组对应人数，关键数据补充完整条形统计图. （2）由（1）可知，只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设、 来自一个班，、来自一个班，列表，从图中可知共有12种可能情况，其中来自一个班的共有4种情况，根据概率的计算方法即可求解.
详解：（1）2÷20%=10,该班共有10名留守儿童；
条形图略
（2）列表如下
C1
C2
D1
D2
C1
C1 C2
C1 D1
C1 D2
C2
C2 C1
C2 D1
C2 D2
D1
D1 C1
D1 C2
D1 D2
D2
D2 C1
D2 C2
D2 D1
.
点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.
20. 如图，是⊙的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且．
（1）求劣弧的长．
（2）求阴影部分弓形的面积．
【正确答案】（1）（2）
【详解】分析：(1)根据切线的性质和OC=CD证得△OCD是等腰直角三角形,证得∠COB=135°,然后根据弧长公式求得即可;(2)利用扇形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积.
详解：（1）∵CD切圆O于点C
∴OC⊥CD
∵OC=OD
∴∠COD=45°
（2）
.
点睛：本题考查了切线的性质，弧长公式，扇形的面积，解题的关键是得出△OCD是等腰直角三角形.
21. 直线原点，若反比例函数的图象与直线相交于点，且点的纵坐标是3．
（1）求m和k的值．
（2）图象求没有等式的解集．
【正确答案】（1）m=0，k=3（2）x<-1或0
【详解】分析：(1)根据平行的原则得出m的值，并计算出点A的坐标，因为A在反比例函数的图象上，代入即可求出k的值.(2)画出两函数的图象，根据交点坐标写出解集.
详解：（1）因为y=3x+m由y=3x+1向下平移一个单位长度而得，所以m=0．
因为A点纵坐标为3且在y=3x上，所以A点坐标为(1,3)．
又因为A点在反比例函数上，所以k=3．
（2）y=3x+m与y=的图象如图所示．
由图可知，当时，x<-1或0
22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．
（）求m的取值范围；
（）若m取满足条件的最小的整数，
①写出这个二次函数的表达式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；
③将此二次函数图象平移，使平移后的图象原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【正确答案】（1）（2）① ②；③
【分析】（1）因为函数为二次函数，所以有m≠0，又因为图象与轴有两个交点，所以判别式△>0，联立即可解得的范围.
（2）①由m>- 且m≠0，可求得m取满足条件的最小的整数时m=1，代入解析式即可求得答案；
②因为二次函数的对称轴为直线x= ，所以n≤x≤1时，y随x的增大而减小，当x=1时，函数值为-6，当x=n时，函数值为4-n，即可得到关于n的一元二次方程，求解即可；
③由平移后图象对应的函数表达式可得a=1，因为平移后的图象原点O，将点(0,0)代入平移后的函数表达式可得k=-，由x<2，y随x的增大而减小得对称轴h≥2，即可确定k的取值范围.
【详解】（1）△=[-(2m+1)]2-4m(m-5)=24m+1，
∵该二次函数图像与x轴有两个交点，
∴24m+1>0，
即；
（2）①因为m>- 且m≠0，且m取满足条件的最小的整数，
所以m=1，
所以二次函数的解析式为；
②x=n时，y=n2-3n-4，
x=1时，y=-6，
函数对称轴是直线x=1.5，
因为在n≤x≤1范围内，x=n时y取到值，
而当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，
所以，
得n=-2或n=4（没有合题意）；
③由题意得a=1，图象原点，可得
∵当x<2时，y随x的增大而减小
∴
则 .
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、根的判别式、二次函数图象点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是：（1）利用根的判别式△>0及二次项系数非0求出m的取值范围；（2）①根据m的取值范围得出m的值；②根据二次函数的单调性得出关于n的一元二次方程；③利用二次函数图象上点的坐标特征得出k=-h².
23. 如图，在中，，于点，点在上，且，连接．
（1）求证：
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析（2）EF=2HG
【详解】分析：（1）先判断出AH=BH,再判断出△BHD≌△AHC即可求解.（2）方法一、先判断出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可；方法二、取EF的中点K，连接GK，HK，先证明GK=HK=EF,再证明△GKH是等边三角形即可.
详解：（1）Rt△AHB中，∠ABC=45°，
∴AH=BH，
在△BHD和△AHC中，
，
∴△BHD≌△AHC，
∴
（2）方法1:如图1，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴EF=BD，
由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC
∴
即：EF=2HG．
方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
由旋转知，∠EHF=90°，
∴EK=HK=EF
∴EK=GK=EF，
∴HK=GK，
∵EK=HK，
∴∠FKG=2∠AEF，
∵EK=GK，
∴∠HKF=2∠HEF，
由旋转知，∠AHF=30°，
∴∠AHE=120°，
由（1）知，BH=AH，
∵BH=EH，
∴AH=EH，
∴∠AEH=30°，
∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，
∴△HKG是等边三角形，
∴GH=GK，
∴EF=2GK=2GH，
即：EF=2GH．
点睛：本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形到性质和判定的运用是解答本题的关键.
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
2. 若分式有意义，则x应满足( )
A. x＝0 B. x≠0 C. x＝1 D. x≠1
3. 下列运算中，正确是( )
A. B. C. D.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
5. 对于实数a，b, 下列判断正确的是 ( )
A. 若|a|=|b|，则 a=b B. 若＞，则 a＞b
C. 若，则a=b D. 若 ，则a=b
6. 若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等四边形
7. 若与互为相反数，则的值为 （ ）
A 27 B. 9 C. –9 D. 1
8. 如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，若点E坐标为（3,2），则点B的坐标为（ ）
A. （3,-2） B. （-3,2） C. （-3,-2） D. （2,3）
9. 如图，直线a、b分别与∠A的两边相交，且a∥b．下列各角的度数关系正确的是（ ）
A. ∠2+∠5＞180° B. ∠2+∠3＜180° C. ∠1+∠6＞180° D. ∠3+∠4＜180°
10. 如图，已知，OA、OD重合，ÐAOB=120°，ÐCOD=50°，当ÐAOB绕点O顺时针旋转到AO与CO重合的过程中，下列结论正确的是（ ）
①OB旋转50°②当OA平分ÐCOD时，ÐBOC=95°，③ÐDOB+ÐAOC=170°，④ÐBOC-ÐAOD=70°
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
11. 数轴上A、B、C三点分别对应实数a、1、c，且BC-AB=AC．下列选项中，满足A、B、C三点在数轴上的位置关系是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知没有等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A. a>2 B. a≥2 C. a<2 D. a≤2
13. 正方形所在平面上一点A，到正方形一组对边的距离是2和6，则正方形的周长是（ ）
A. 10 B. 16 C. 16或32 D. 25或12
14. 已知，菱形的周长为20cm，它的锐角正弦值为，则菱形较短对角线长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 6 D.
15. 如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
16. 如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF， AB＝BC＝5．若A点坐标为(﹣3，1)，B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填 空 题
17. 化简：______．
18. 因式分解：3x3﹣12x=_____．
19. （1）如图1，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O切于点P，且AB=16，则圆环面积为________；
（2）如图2，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O相交，其中一个交点为点P，且AP=2，PB=8，则圆环面积为________.
三、解 答 题
20. （1）克糖水中有克糖（＞＞0），则糖的质量与糖水的质量比为_______；若再添加克糖，并全部溶解（＞0），则糖的质量与糖水的质量比为__________；生活常识告诉我们，添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，因此我们可以猜想出以上两个质量比之间的大小关系是______________；
（2）我们的猜想正确吗？请你证明这个猜想．
21. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
22. 某公司对用户度进行问卷，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是12．请你回答：
（1）收回问卷至多的共收到问卷_________份；
（2）本次共收回问卷共_________份；
（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？
（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
23. 如图（1），一个圆球放置在V形架中．图（2）是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．
（1）如果⊙O的半径为2cm，且AB=6cm，求∠ACB．
（2）在（1）的基础上，圆球沿射线CB滚动，圆心O滚动到O1，B1是切点，已知O O1=10，写出圆心O1到射线CO的距离．
24. 某厂有甲、乙、丙三个蓄水池，已知甲蓄水池的蓄水量x是从3万吨至6万吨，乙蓄水池的蓄水量y万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系是： ,丙蓄水池的蓄水量的3倍恰好是甲蓄水池的蓄水量与乙蓄水池的蓄水量的积.问:
（1）若丙蓄水池的蓄水量为22万吨,当甲蓄水池的蓄水量为6吨时, 丙蓄水池能否容纳?为什么?
（2）求丙蓄水池的蓄水量z万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系？
（3）蓄水池管理员在观察三个蓄水池蓄水量的记录时发现,在整个蓄水过程中, 丙蓄水池的蓄水量多次出现整数万吨的情况,你能说出共出现过多少次?分别是多少吗?
25. 如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．
（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；
（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．
（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．
26. 如图，二次函数的图象点（0，1）坐标平面内有矩形ABCD，A（1，4），B（1，2）C（4，2），D（4，4）
（1）用a表示k；
（2）试说明抛物线图象一定（4,1）；
（3）求抛物线顶点在x轴上方时，a的取值范围；
（4）写出抛物线与矩形ABCD各边交点个数与a的对应取值范围.
2022-2023学年陕西省太原市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选
1. ﹣5的值是（ ）
A. 5 B. ﹣5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据负数的值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：|﹣5|=5．
故选A．
2. 若分式有意义，则x应满足( )
A. x＝0 B. x≠0 C. x＝1 D. x≠1
【正确答案】D
【详解】分析：根据分母没有等于0列式计算即可得解．
详解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．
故选D．
点睛：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法，同底数幂的除法，求出每个式子的值，再选出正确答案即可．
详解：A．没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
B．，故本选项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了对合并同类项法则、同底数幂的乘法，同底数幂的除法的应用，能灵活运用法则进行计算是解答此题的关键，题目比较典型，难度没有是很大．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
5. 对于实数a，b, 下列判断正确的是 ( )
A. 若|a|=|b|，则 a=b B. 若＞，则 a＞b
C. 若，则a=b D. 若 ，则a=b
【正确答案】D
【分析】根据值的定义判断A；根据有理数乘方的意义判断B；根据算术平方根的意义判断C；根据立方根的性质判断D．
【详解】解：A．若|a|=|b|，则a=±b，故本选项判断错误，没有符合题意；
B．若a2＞b2，则|a|＞|b|，故本选项判断错误，没有符合题意；
C．若，则|a|=b，故本选项判断错误，没有符合题意；
D．若，则a=b，故本选项判断正确，符合题意．
故选D．
本题考查了值、有理数的乘方、立方根与算术平方根，掌握定义与性质是解题的关键．
6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形
【正确答案】D
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
7. 若与互为相反数，则的值为 （ ）
A. 27 B. 9 C. –9 D. 1
【正确答案】A
【详解】分析：首先根据|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，可得：x+y+1=0，x﹣y﹣2=0，据此求出x、y的值；然后应用代入法，求出（3x﹣y）3的值为多少即可．
详解：∵|x+y+1|与（x﹣y﹣2）2互为相反数，∴
①+②，可得：2x﹣1=0，解得：x=0.5，
把x=0.5代入①，解得：y=﹣1.5，
∴（3x﹣y）3=（3×0.5+1.5）3=27．
故选A．
点睛：本题主要考查了解二元方程组的方法，以及非负数的性质和应用，要熟练掌握，注意加减法和代入法的应用．
8. 如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，若点E坐标为（3,2），则点B的坐标为（ ）
A. （3,-2） B. （-3,2） C. （-3,-2） D. （2,3）
【正确答案】B
【详解】分析：由正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，得到B和E关于y轴对称，即可得到结论．
详解：∵正五边形ABCDE的顶点A在y轴上，边CD∥x轴，∴B和E关于y轴对称．
∵点E坐标为（3，2），∴点B坐标为（－3，2）．故选B．
点睛：本题考查了正多边形的性质，解题的关键是得出B和E关于y轴对称．
9. 如图，直线a、b分别与∠A的两边相交，且a∥b．下列各角的度数关系正确的是（ ）
A. ∠2+∠5＞180° B. ∠2+∠3＜180° C. ∠1+∠6＞180° D. ∠3+∠4＜180°
【正确答案】A
【详解】分析：先根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和表示出∠3，然后求出∠2+∠3，再根据两直线平行，同位角相等表示出∠2+∠5，根据邻补角的定义用∠5表示出∠6，再代入整理即可得到∠1+∠6，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠3+∠4，从而得解．
详解：根据三角形的外角性质，∠3=∠1+∠A．
∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=∠2+∠1+∠A＞180°，故B选项错误；
∵a∥b，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=∠2+∠1+∠A＞180°，故A选项正确；
∵∠6=180°﹣∠5，∴∠1+∠6=∠3﹣∠A+180°﹣∠5=180°﹣∠A＜180°，故C选项错误；
∵a∥b，∴∠3+∠4=180°，故D选项错误．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，分别用∠A表示出各选项中的两个角的和是解题的关键．
10. 如图，已知，OA、OD重合，ÐAOB=120°，ÐCOD=50°，当ÐAOB绕点O顺时针旋转到AO与CO重合的过程中，下列结论正确的是（ ）
①OB旋转50°②当OA平分ÐCOD时，ÐBOC=95°，③ÐDOB+ÐAOC=170°，④ÐBOC-ÐAOD=70°
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】D
【详解】分析：根据旋转的性质和角的和差倍分计算进行判断即可．
详解：∵∠DOC=50°，∴OA从OD旋转到OC，旋转角=∠DOC=50°，∴OB旋转50°，故①正确；
∵OA平分ÐCOD，∴∠AOC=∠COD=25°，∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=120°－25°=95°，故②正确；
∠DOB+∠AOC=∠DOA+∠AOB+∠AOC=∠DOA+∠AOC +∠AOB=∠DOC +∠AOB=50°+120°=170°，故③正确；
ÐBOC-ÐAOD=∠AOB－∠AOC－∠AOD=∠AOB－∠DOC=120°－50°=70°，故④正确．
综上所述：①②③④都正确．
故选D．
点睛：本题考查了旋转的性质和角的计算．熟练掌握旋转的性质和角的和差倍分是解题的关键．
11. 数轴上A、B、C三点分别对应实数a、1、c，且BC-AB=AC．下列选项中，满足A、B、C三点在数轴上的位置关系是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：由BC-AB=AC，得到|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|，从选项数轴上找出a、b、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|，看是否成立．
详解：∵数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，设B表示的数为b，∴b=1．
∵BC-AB=AC，∴|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|，∴|c﹣b|﹣|a﹣b|=|a﹣c|．
A．b＜a＜c，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a=|a﹣c|．正确；
B．c＜b＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣a+b=2b﹣c﹣a≠|a﹣c|．故错误；
C．a＜c＜b，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣b+a=a﹣c≠|a﹣c|．故错误；
D．b＜c＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|a﹣c|．故错误．
故选A．
点睛：本题主要考查了数轴及值．解题的关键是从数轴上找出a、b、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|是否成立．
12. 已知没有等式组无解，则a的取值范围为（ ）
A. a>2 B. a≥2 C. a<2 D. a≤2
【正确答案】B
【分析】由没有等式解集的四种情况可知，小小解没有了，判断a与2的大小．
【详解】解：∵没有等式组无解，
∴a≥2．
故选B．
本题是已知没有等式组的解集，求没有等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小小中间找，小小解没有了．
13. 正方形所在平面上一点A，到正方形一组对边的距离是2和6，则正方形的周长是（ ）
A. 10 B. 16 C. 16或32 D. 25或12
【正确答案】C
【详解】分析：分点A正方形外和点A在正方形内两种情况讨论即可．
详解：分两种情况讨论：①当点A在正方形外时，正方形边长=6－2=4，正方形周长=4×4=16；
②当点A在正方形内时，正方形边长=6+2=8，正方形周长=8×4=32．
综上所述：正方形的周长为16或32．
故选C．
点睛：本题考查了正方形的性质．解题的关键是分类讨论．
14. 已知，菱形的周长为20cm，它的锐角正弦值为，则菱形较短对角线长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 6 D.
【正确答案】D
【分析】过A作AE⊥BC于E，连接AC．由菱形的周长为20，得到边长AB=BC=5．由si=，得到AE的长，由勾股定理得到BE的长，即可得到EC的长．在Rt△AEC中，由勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，过A作AE⊥BC于E，连接AC．
∵菱形的周长为20，∴边长AB=BC=5．
∵si=，∴AE=4，∴BE==3，∴EC=BC-BE=5-3=2．在Rt△AEC中，AC===．
故选D．
本题考查了菱形的性质．熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
15. 如图，与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与相切于点E．若的半径为5，且，则DE的长度为（ ）
A 5 B. 6 C. D.
【正确答案】B
【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.
【详解】连接OE，OF，OG，
∵AB，AD，DE都与圆O相切，
∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=11，∠A=90°，
∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，
∵OF=OG=5，
∴四边形AFOG为正方形，
则DE=DF=11-5=6，
故选：B
考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.
16. 如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF， AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在直线y＝﹣3上，D、E两点在y轴上，则点F的横坐标为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】C
【详解】分析：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．由AB=BC，△ABC≌△DEF，就可以得出△AKC≌△CHA≌△DPF，就可以得出结论．
详解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P，∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC和△CHA中，
∵，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4，∴KC=4．
∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．
故选C．
点睛：本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二、填 空 题
17. 化简：______．
【正确答案】3
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：因为32=9，
所以=3．
故答案为3．
此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．
18. 因式分解：3x3﹣12x=_____．
【正确答案】3x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x3﹣12x
=3x（x2﹣4）
=3x（x+2）（x﹣2），
故答案为3x（x+2）（x﹣2）．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19. （1）如图1，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O切于点P，且AB=16，则圆环面积为________；
（2）如图2，同心圆中，大圆O的弦AB与小圆O相交，其中一个交点为点P，且AP=2，PB=8，则圆环面积为________.
【正确答案】 ①. ②.
【详解】分析：（1）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解；
（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据垂径定理、勾股定理求解即可．
详解：（1）连接OA、OB、OP．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（16÷2）2=64．
∵S圆环=S大﹣S小=π•OB2﹣π•OP2=π•（OB2﹣OP2），∴S圆环=64π．
（2）过O作OD⊥AB于D，连接OP，OA．
∵AP=2，PB=8，∴AB=10．
∵OD⊥AB，∴AD=AB=5．
∵AP=2，∴PD=3．
在Rt△AOD和Rt△POD中，
∵OA2=AD2+OD2，OP2=PD2+OD2，∴OA2-OP2= AD2-PD2= 52-32=16．
S圆环=S大﹣S小=π•OA2﹣π•OP2=π•（OA2﹣OP2），∴S圆环=16π．
故答案为（1）64π；（2）16π．
点睛：注意：可直接利用圆环的面积公式=两圆的面积差求解．
三、解 答 题
20. （1）克糖水中有克糖（＞＞0），则糖的质量与糖水的质量比为_______；若再添加克糖，并全部溶解（＞0），则糖的质量与糖水的质量比为__________；生活常识告诉我们，添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，因此我们可以猜想出以上两个质量比之间的大小关系是______________；
（2）我们的猜想正确吗？请你证明这个猜想．
【正确答案】（1）；；<（2）正确；证明见解析
【详解】分析：（1）加入糖后，糖水也将增加加进去的糖的质量；随着糖的增加，糖占糖水的比例也将越来越大；
（2）作差后与0作比较即可．
详解：（1）根据题意，得：
a克糖水中有b克糖，则糖的质量与糖水的质量比为；
若再加c克糖，则糖的质量与糖水的质量比为；
根据加的糖完全溶解后，糖水会更甜，得：．
（2）正确．证明如下：
-===
∵＞＞0，c＞0，
∴(a-c)c＞0，(a+c)a＞0，
∴-＞0，
∴结论成立．
点睛：关于溶液问题，难点在于需掌握浓度=溶质÷溶液，而溶液是溶质和水的．
21. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
【正确答案】（1）ab﹣4x2（2）
【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．
【详解】解：（1）ab﹣4x2．
（2）依题意有：，将a=6，b=4，代入上式，得x2=3．
解得x1=，x2=（舍去）．
∴正方形的边长为．
22. 某公司对用户度进行问卷，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是12．请你回答：
（1）收回问卷至多的共收到问卷_________份；
（2）本次共收回问卷共_________份；
（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？
（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
【正确答案】（1）18；（2）60分（3）（4）第6天收回问卷获奖率高；答案见解析
【详解】分析：（1）观察图形可知，第4天收到问卷至多，用矩形的高度比=频数之比即可得出结论；
（2）由于组距相同，各矩形的高度比即为频数的比，可由数据总数=某组的频数÷频率计算；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）分别计算第4天，第6天的获奖率后比较即可．
详解：（1）由图可知：第4天收到问卷至多，设份数为x，则：4：6=12：x，解得：x=18；
（2）12÷[4÷（2+3+4+6+4+1）]=60份；
（3）抽到第4天回收问卷概率是；
（4）第4天收回问卷获奖率，第6天收回问卷获奖率．
∵，
∴第6天收回问卷获奖率高．
点睛：本题考查了对频数分布直方图的掌握情况，根据图中信息，求出频率，用来估计概率．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图（1），一个圆球放置在V形架中．图（2）是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．
（1）如果⊙O的半径为2cm，且AB=6cm，求∠ACB．
（2）在（1）的基础上，圆球沿射线CB滚动，圆心O滚动到O1，B1是切点，已知O O1=10，写出圆心O1到射线CO的距离．
【正确答案】（1）60°；（2）圆心O1到射线CO的距离为5
【详解】分析：（1）通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC交AB于点D，得出AD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COA的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OA的长，AD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODA中根据三角形函数我们没有难得出∠COA的值，也就能求出∠ACB的度数了；
（2）过O1作O1M⊥CO于M，可以求出∠MOO1=30°，再由30°所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．
详解：（1）连接OC交AB于点D．
∵CA和CB都是⊙O的切线，
∴AC=CB，CO平分∠ACB，
∴AD=AB=6．
在Rt△ADO中，AO=2，
sin∠AOC=，
∴∠AOC=60°．
∵AC为⊙O的切线，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACB=60°．
（2）过O1作O1M⊥CO于M．
∵∠AOD=60°，∴∠BOD=60°．
∵∠BOO1=90°，∴∠MOO1=30°．
∵OO1=10，∴O1M= OO1=5．
∴圆心O1到射线CO的距离为5．
点睛：本题主要考查切线性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．
24. 某厂有甲、乙、丙三个蓄水池，已知甲蓄水池的蓄水量x是从3万吨至6万吨，乙蓄水池的蓄水量y万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系是： ,丙蓄水池的蓄水量的3倍恰好是甲蓄水池的蓄水量与乙蓄水池的蓄水量的积.问:
（1）若丙蓄水池的蓄水量为22万吨,当甲蓄水池的蓄水量为6吨时, 丙蓄水池能否容纳?为什么?
（2）求丙蓄水池的蓄水量z万吨与甲蓄水池蓄水量x万吨之间的关系？
（3）蓄水池管理员在观察三个蓄水池蓄水量的记录时发现,在整个蓄水过程中, 丙蓄水池的蓄水量多次出现整数万吨的情况,你能说出共出现过多少次?分别是多少吗?
【正确答案】见解析
【详解】分析：（1）把x=6代入y=3x-8，得到y=10，然后计算出丙池水量，比较即可；
（2）由已知得到z=，把y=3x-8代入即可；
（3）根据抛物线的性质解答即可．
详解：（1）能容纳，
x=6时，y=3×6-8=10．
所以，丙池水量为；
（2）由已知，
z=；
（3）由(2)可知a=1>0，抛物线对称轴直线x=，
∴x>时，z随x的增大而增大．
当x=3时，z=1；当x=6时，z=22．
∵x从3万吨增至6万吨时，
∴z由1增加到22，
∴出现整数万吨的情况共有22次，分别是1到22的正整数．
点睛：本题考查了二次函数的应用．根据题意求出解析式是解题的关键．
25. 如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．
（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；
（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．
（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．
【正确答案】1
【详解】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．
由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；
（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（3）分两种情况讨论即可．
详解：（1）D’A=1．理由如下：
过D′作D′N⊥CD于N．
∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= CD′=1．
由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，
∴四边形ACED’为平行四边形．
又∵∠DCE=90°，
∴四边形ACED’为矩形；
（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．
∵∠DCE=∠D’CE’=90°，
∴∠DCE’=∠D’CG．
又∵D’C= DC，CG=CE’，
∴△DCE’≌△D’CG，
∴GD’=E’D．
（3）分两种情况讨论：①如图1．
∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．
②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转的连线段的夹角等于旋转角．
26. 如图，二次函数的图象点（0，1）坐标平面内有矩形ABCD，A（1，4），B（1，2）C（4，2），D（4，4）
（1）用a表示k；
（2）试说明抛物线图象一定（4,1）；
（3）求抛物线顶点在x轴上方时，a的取值范围；
（4）写出抛物线与矩形ABCD各边交点个数与a的对应取值范围.
【正确答案】见解析
【详解】分析：(1)把(0，1)代入抛物线解析式即可得到结论，
(2)由(1)得二次函数解析式为： ，把x=4代入即可得到结论；
(3)当抛物线顶点在x上方时，由k＞0且a≠0，解没有等式即可得到结论．
(4)分五种情况讨论即可．
详解：(1)由已知把(0，1)代入，得：
∴．
(2)由(1)二次函数解析式可化为：
当x=4时，
∴抛物线图象一定（4，1）；
(3)当抛物线顶点在x上方时，>0，解得：，
∴当且a≠0时，抛物线顶点在x轴上方．
(4)①时，无交点；
②时，1个交点；
③时，2个交点；
④时，3个交点；
⑤时，4个交点．
点睛：本题是二次函数的综合题．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和分类讨论．
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