还剩14页未读，
继续阅读
2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二上学期期中数学试题（解析版）
展开
这是一份2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二上学期期中数学试题（解析版）
2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B2．已知，，，为空间中的任意四点，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】已知，，，为空间中的任意四点，则．故选：．3．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可.【详解】双曲线，可得，，，则右焦点到它的渐近线的距离为．故选：．4．已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：B.5．在空间直角坐标系中，一束光线从点发出，被平面反射，到达点之后被吸收，则光线所走的路程为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出点关于面的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果．【详解】空间直角坐标系中，一束光线从点发出，被平面反射，所以点关于平面的对称点的坐标为，故光线所走的路程等于，故选：D6．椭圆的左右焦点为､，为椭圆上的一点，，则△的面积为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由椭圆方程可得，结合余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求△的面积.【详解】∵点是椭圆上的一点，､是焦点，∴，即①，∵在△中，∴②，①-②得：，.故选：C.7．在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将绕顺时针旋转，使得与共面，首先计算长度关系，然后利用等体积法求出点到平面的距离．【详解】将绕顺时针旋转，使得与共面，如图所示， 因为，在中，，，可得．设点到平面的距离为，由得：，，解得．故选：8．已知点在抛物线：上，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，则直线的方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，，根据条件求出，，即可得直线的方程．【详解】因为点在抛物线：上，所以，所以为抛物线：，设，，因为抛物线：，则，则，即，由与圆相切得：，即，又，则；同理，所以，都在直线上，所以直线的方程，故选：．二、多选题9．已知双曲线：，下列说法正确的是（ ）A．双曲线的离心率为B．双曲线的焦距为C．双曲线的渐近线方程为D．双曲线的虚轴长为【答案】BC【分析】由双曲线的标准方程求出的值，进而判断选项即可．【详解】因为双曲线：，所以，，，双曲线的虚轴长为，故不正确；双曲线的焦距，故正确；离心率为，故不正确；双曲线的渐近线方程为，故正确．故选：．10．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）A．B．在方向上的投影向量为C．D．在方向上的投影数量为【答案】ABD【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可.【详解】已知空间向量，，对于：，故正确；对于：由于，，所以，，，则，在方向上的投影向量为，故正确；对于：空间向量，，使, ,则不存在实数，，故错误；对于：在方向上的投影数量为，故正确．故选：．11．将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于较短这段长与较长这段长的比值，则该比值为，约为，这个分割比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比．我们将离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”已知椭圆：，其离心率，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】分别计算，，，选项中椭圆的离心率，即可求解．【详解】解：选项，由，得，解得，正确；选项，由，得，整理得，即，解得，正确；选项，由，得，整理得，无解，错误；选项，由，得，整理得，即，解得，正确．故选：．12．已知圆：与圆：相交于，两点，下列说法正确的是（ ）A．直线的一般式方程为B．公共弦长C．过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为D．同时与圆和圆相内切的最大圆的方程为【答案】ABC【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于即可求得弦长；设过，两点的圆的方程将代入，即可求解；同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，可判断.【详解】将圆：与圆：相减得，所以直线的一般式方程为，正确；圆心，半径等于，圆心到直线的距离为，，正确；过，两点的圆的方程可设为，将代入，可得，所以过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为，正确；同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，错误．故选：．三、填空题13．已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，则______．【答案】【分析】根据椭圆的定义可知，即可求解．【详解】由题意得，，为椭圆上一点，则．故答案为：14．在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则异面直线与所成角的大小为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小.【详解】在正方体中，，，分别为棱，，的中点，设棱长为，建立空间直角坐标系，如图所示： 故E，，，，所以，故，所以，所以异面直线与所成角的大小为.故答案为：15．在平面直角坐标系中，圆上一点到直线的最大距离为______．【答案】【分析】由于直线恒过点，则圆心与点连线与直线垂直，进而可得答案．【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线为，所以直线恒过点，若圆上一点到直线的距离最大，则圆心与点连线与直线垂直，又圆心与距离，所以最大距离为，故答案为：．16．设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与的左支在第二象限交于点，与的右支在第一象限交于点，若，，三点共线，且，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设，则，由已知可得，进而可得，可求离心率．【详解】设，则，由双曲线的定义得，，，，在中，，，，，由余弦定理得，，，双曲线的离心率为．故答案为：四、解答题17．已知直线：，点关于的对称点为，过点A作斜率大于的直线，交直线于点，若_____．①；②点在直线上；③．(1)求点的坐标；(2)从条件①，②，③中任选一个填入题中横线处，并求的一般方程．参考数据：注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）设，表达出线段的中点，根据斜率乘积为-1及D点在直线上，列出方程组，解得点的坐标；（2）若选，由，，可得，由直线的斜率为，进而可得直线的斜率，即可得出直线的方程；若选，可求得点的坐标，进而可得直线的一般方程；若选，由，解得，再计算，进而可得，得到直线的倾斜角，斜率，从而求出的一般方程．【详解】（1）设，则线段的中点，所以，解得：，，所以；（2）若选，，由，，可得，因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，因为直线的斜率大于，所以直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的一般方程为；若选，联立，解得：可得，因为在直线上，所以直线的一般方程为，整理得：；若选，，，得，所以，即，因为直线的倾斜角为，的斜率大于，所以直线的倾斜角为，即的斜率为，所以直线的一般方程为．18．已知圆心为的圆与两条直线，都相切．(1)求圆的标准方程；(2)经过点的直线与圆交于，两点，若线段的中点恰好为点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】由题知，点到两直线的距离相等，即，解得，进而可得圆的半径，即可得出答案．当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，又，可得直线的斜率，进而可得直线的方程，计算点到直线的距离，进而可得弦长，再计算的面积．【详解】（1）由题知，点到两直线的距离相等，即，解得，或舍去，所以圆的半径为，即圆的标准方程为．（2）当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，又，则，所以直线的方程为，点到直线的距离，，所以的面积为．19．如图，将等边绕边旋转到等边的位置，连接．(1)求证：；(2)若是棱上一点，且两三角形的面积满足，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点为，证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）设是的中点，连接，，由题知：，，则，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）由题知，、、两两垂直，以为原点，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，设，则，则，，，，．所以，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设直线与平面所成的角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为.20．已知椭圆：的长轴长为，的两个顶点和一个焦点围成等边三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，，可求椭圆的标准方程；（2）设，，将椭圆方程与直线方程联立，可得，，由已知可得，求解即可．【详解】（1）由题知，，得，要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形．两顶点只能在短轴上，则，，故椭圆的标准方程为；（2）设，，将椭圆方程与直线方程联立，化简得，其中，即，且，，．原点到直线的距离，．化简得，解得或，又且，或．21．如图，在长方体中，，，为上一点，为的中点．(1)若为的中点，求证：平面；(2)若为异于，的一点，且二面角的平面角的余弦值为，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明为平行四边形，得到，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的平面角的余弦值求得点的坐标，进而求得四棱锥的体积.【详解】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且，因为为的中点，，所以，且，即为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，设，则，，且，故，即，因为，，设平面的法向量为， 则，取，得，设平面的法向量为，所以，取，得，由题意知，，解得，即，因为四边形的面积为，则四棱锥的体积为．22．已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线的标准方程；设点，，，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出．【详解】（1）由离心率，，得，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上，则轴为的左焦点，故，代入:的方程得：，故双曲线的标准方程；（2）设点，，，其中，，由题意知，直线的斜率存在且不为，设：，代入，得，，则，，则，由题意知，直线：，直线：相交于点，所以，即，解得，故当在的左支上运动时，点在直线上．
2022-2023学年江西省萍乡市安源区高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B2．已知，，，为空间中的任意四点，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】已知，，，为空间中的任意四点，则．故选：．3．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可.【详解】双曲线，可得，，，则右焦点到它的渐近线的距离为．故选：．4．已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：B.5．在空间直角坐标系中，一束光线从点发出，被平面反射，到达点之后被吸收，则光线所走的路程为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出点关于面的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出结果．【详解】空间直角坐标系中，一束光线从点发出，被平面反射，所以点关于平面的对称点的坐标为，故光线所走的路程等于，故选：D6．椭圆的左右焦点为､，为椭圆上的一点，，则△的面积为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由椭圆方程可得，结合余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求△的面积.【详解】∵点是椭圆上的一点，､是焦点，∴，即①，∵在△中，∴②，①-②得：，.故选：C.7．在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将绕顺时针旋转，使得与共面，首先计算长度关系，然后利用等体积法求出点到平面的距离．【详解】将绕顺时针旋转，使得与共面，如图所示， 因为，在中，，，可得．设点到平面的距离为，由得：，，解得．故选：8．已知点在抛物线：上，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，则直线的方程为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】设，，根据条件求出，，即可得直线的方程．【详解】因为点在抛物线：上，所以，所以为抛物线：，设，，因为抛物线：，则，则，即，由与圆相切得：，即，又，则；同理，所以，都在直线上，所以直线的方程，故选：．二、多选题9．已知双曲线：，下列说法正确的是（ ）A．双曲线的离心率为B．双曲线的焦距为C．双曲线的渐近线方程为D．双曲线的虚轴长为【答案】BC【分析】由双曲线的标准方程求出的值，进而判断选项即可．【详解】因为双曲线：，所以，，，双曲线的虚轴长为，故不正确；双曲线的焦距，故正确；离心率为，故不正确；双曲线的渐近线方程为，故正确．故选：．10．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）A．B．在方向上的投影向量为C．D．在方向上的投影数量为【答案】ABD【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可.【详解】已知空间向量，，对于：，故正确；对于：由于，，所以，，，则，在方向上的投影向量为，故正确；对于：空间向量，，使, ,则不存在实数，，故错误；对于：在方向上的投影数量为，故正确．故选：．11．将一线段按如下比例分割：较长这段长与总长的比值等于较短这段长与较长这段长的比值，则该比值为，约为，这个分割比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比．我们将离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”已知椭圆：，其离心率，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】分别计算，，，选项中椭圆的离心率，即可求解．【详解】解：选项，由，得，解得，正确；选项，由，得，整理得，即，解得，正确；选项，由，得，整理得，无解，错误；选项，由，得，整理得，即，解得，正确．故选：．12．已知圆：与圆：相交于，两点，下列说法正确的是（ ）A．直线的一般式方程为B．公共弦长C．过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为D．同时与圆和圆相内切的最大圆的方程为【答案】ABC【分析】两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程；求得圆心到直线的距离，利用弦长等于即可求得弦长；设过，两点的圆的方程将代入，即可求解；同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，可判断.【详解】将圆：与圆：相减得，所以直线的一般式方程为，正确；圆心，半径等于，圆心到直线的距离为，，正确；过，两点的圆的方程可设为，将代入，可得，所以过，，三点其中点为圆的圆心的圆的一般方程为，正确；同时与圆，圆，相内切的圆没有最大，错误．故选：．三、填空题13．已知，为椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，则______．【答案】【分析】根据椭圆的定义可知，即可求解．【详解】由题意得，，为椭圆上一点，则．故答案为：14．在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则异面直线与所成角的大小为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小.【详解】在正方体中，，，分别为棱，，的中点，设棱长为，建立空间直角坐标系，如图所示： 故E，，，，所以，故，所以，所以异面直线与所成角的大小为.故答案为：15．在平面直角坐标系中，圆上一点到直线的最大距离为______．【答案】【分析】由于直线恒过点，则圆心与点连线与直线垂直，进而可得答案．【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线为，所以直线恒过点，若圆上一点到直线的距离最大，则圆心与点连线与直线垂直，又圆心与距离，所以最大距离为，故答案为：．16．设双曲线：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与的左支在第二象限交于点，与的右支在第一象限交于点，若，，三点共线，且，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】设，则，由已知可得，进而可得，可求离心率．【详解】设，则，由双曲线的定义得，，，，在中，，，，，由余弦定理得，，，双曲线的离心率为．故答案为：四、解答题17．已知直线：，点关于的对称点为，过点A作斜率大于的直线，交直线于点，若_____．①；②点在直线上；③．(1)求点的坐标；(2)从条件①，②，③中任选一个填入题中横线处，并求的一般方程．参考数据：注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答记分．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）设，表达出线段的中点，根据斜率乘积为-1及D点在直线上，列出方程组，解得点的坐标；（2）若选，由，，可得，由直线的斜率为，进而可得直线的斜率，即可得出直线的方程；若选，可求得点的坐标，进而可得直线的一般方程；若选，由，解得，再计算，进而可得，得到直线的倾斜角，斜率，从而求出的一般方程．【详解】（1）设，则线段的中点，所以，解得：，，所以；（2）若选，，由，，可得，因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，因为直线的斜率大于，所以直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的一般方程为；若选，联立，解得：可得，因为在直线上，所以直线的一般方程为，整理得：；若选，，，得，所以，即，因为直线的倾斜角为，的斜率大于，所以直线的倾斜角为，即的斜率为，所以直线的一般方程为．18．已知圆心为的圆与两条直线，都相切．(1)求圆的标准方程；(2)经过点的直线与圆交于，两点，若线段的中点恰好为点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】由题知，点到两直线的距离相等，即，解得，进而可得圆的半径，即可得出答案．当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，又，可得直线的斜率，进而可得直线的方程，计算点到直线的距离，进而可得弦长，再计算的面积．【详解】（1）由题知，点到两直线的距离相等，即，解得，或舍去，所以圆的半径为，即圆的标准方程为．（2）当直线与直线垂直时，线段的中点恰好为，又，则，所以直线的方程为，点到直线的距离，，所以的面积为．19．如图，将等边绕边旋转到等边的位置，连接．(1)求证：；(2)若是棱上一点，且两三角形的面积满足，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点为，证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）设是的中点，连接，，由题知：，，则，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）由题知，、、两两垂直，以为原点，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，设，则，则，，，，．所以，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设直线与平面所成的角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为.20．已知椭圆：的长轴长为，的两个顶点和一个焦点围成等边三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，，可求椭圆的标准方程；（2）设，，将椭圆方程与直线方程联立，可得，，由已知可得，求解即可．【详解】（1）由题知，，得，要满足两个顶点和一个焦点围成等边三角形．两顶点只能在短轴上，则，，故椭圆的标准方程为；（2）设，，将椭圆方程与直线方程联立，化简得，其中，即，且，，．原点到直线的距离，．化简得，解得或，又且，或．21．如图，在长方体中，，，为上一点，为的中点．(1)若为的中点，求证：平面；(2)若为异于，的一点，且二面角的平面角的余弦值为，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明为平行四边形，得到，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的平面角的余弦值求得点的坐标，进而求得四棱锥的体积.【详解】（1）取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且，因为为的中点，，所以，且，即为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，设，则，，且，故，即，因为，，设平面的法向量为， 则，取，得，设平面的法向量为，所以，取，得，由题意知，，解得，即，因为四边形的面积为，则四棱锥的体积为．22．已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线的标准方程；设点，，，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出．【详解】（1）由离心率，，得，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上，则轴为的左焦点，故，代入:的方程得：，故双曲线的标准方程；（2）设点，，，其中，，由题意知，直线的斜率存在且不为，设：，代入，得，，则，，则，由题意知，直线：，直线：相交于点，所以，即，解得，故当在的左支上运动时，点在直线上．
相关试卷
2023-2024学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题(含解析）： 这是一份2023-2024学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题(含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）： 这是一份江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题： 这是一份江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题，共20页。试卷主要包含了 过圆上一点的切线方程为， 下列结论正确的是， 已知，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
