江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

这是一份江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解），共20页。试卷主要包含了 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回.
第I卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则m等于（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 1或4
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数的性质即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知: SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故选：C
2. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 0B. 1C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3. 从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【详解】令事件 SKIPIF 1 < 0 为甲被选中的情况，事件 SKIPIF 1 < 0 为乙被选中的情况，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段 SKIPIF 1 < 0 四等分，则该双曲线的焦距为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出方程组 SKIPIF 1 < 0 进行求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段 SKIPIF 1 < 0 四等分，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以c=2，
所以该双曲线的焦距为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5. 在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】建系，写出相关点的坐标，根据向量求解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6. 过圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般方程得到圆心，从而得到直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，进而求出过点 SKIPIF 1 < 0 的切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
则该圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是该圆上一点，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过点 SKIPIF 1 < 0 的切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
则过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
7. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】依题意得点 SKIPIF 1 < 0 坐标，作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 即为最小值．
【详解】如图所示：作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，

由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，直线l方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答.
【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，
腰长为伞面圆的直径 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆长轴长 SKIPIF 1 < 0 为底边长，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而椭圆的短轴长 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0
故选：D
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从两点分布， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 若随机变量 SKIPIF 1 < 0 的方差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A正确；根据方差的性质，可判定B错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D正确.
【详解】对于A中，由随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从两点分布且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B中，由随机变量 SKIPIF 1 < 0 的方差 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C中，由变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D中，由随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
故选：ACD.
10. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】分别令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出对应的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 选项，然后再求出展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可判断．
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ①，故 SKIPIF 1 < 0 错误，
展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 错误，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②可得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11. 如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 D. 二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明出 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
SKIPIF 1 < 0 ，易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，B错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为锐角，故二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ACD.
12. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 都在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 B. 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】结合抛物线定义求出 SKIPIF 1 < 0 两点的坐标，利用 SKIPIF 1 < 0 两点坐标求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，判断选项A，B，根据三角形面积公式求 SKIPIF 1 < 0 ，判断C，D.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A项错误；B项正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，D错误，
故选：BC.
第II卷
注意事项：
第II卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆的方程得出圆心与半径，根据两圆外切的计算公式进行计算即可.
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
14. 在空间直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到方程组，进而解出方程组即可.
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：4
15. 从数字 SKIPIF 1 < 0 中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有__________个.
【答案】72
【解析】
【分析】先考虑千位和百位，再考虑个位，最后考虑十位，求出答案.
【详解】满足数字之和为5的两个数字为 SKIPIF 1 < 0 ，
故千位和百位上的数字排列有 SKIPIF 1 < 0 种情况，
再考虑个数，有 SKIPIF 1 < 0 种选择，最后考虑十位，有6种选择，
故这样的偶数共有 SKIPIF 1 < 0 个.
故答案为：72
16. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的动点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由渐近线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标，设 SKIPIF 1 < 0 的坐标求出直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率由 SKIPIF 1 < 0 的斜率的范围求出 SKIPIF 1 < 0 的斜率的方程．
【详解】解：依题意， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系，属于中档题．
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且__________.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；②倾斜角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；③直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求弦长 SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）选①，先得到点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，从而根据垂直关系求出直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，得到直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；选②，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；选③，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量求出 SKIPIF 1 < 0 的斜率，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程；
（2）求出圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离，利用垂径定理求出弦长.
【小问1详解】
若选①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
且圆心 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2；
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
若选②：设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
若选③：因为直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
曲线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 为圆，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以弦长 SKIPIF 1 < 0 .
18. 某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，且每个选题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数概率分布列（列出分布列表）；
（2）请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可；
（2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得.
【小问1详解】
记考生甲正确完成试题的个数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，考生甲正确完成选题数 SKIPIF 1 < 0 的概率分布列如下表：
记考生乙正确完成试题的个数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，考生乙正确完成选题数 SKIPIF 1 < 0 的概率分布列如下表：
【小问2详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此可以判断甲考生的操作能力更强.
19. 如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.

（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）通过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而证明面面垂直；
（2）通过图形建立空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角的向量计算公式计算即可.
【小问1详解】
因为直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
20. 安排6名教师 SKIPIF 1 < 0 到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且 SKIPIF 1 < 0 两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）21种 （2）150种.
【解析】
【分析】（1）分两类，结合组合知识进行求解；
（2）法一：：把 SKIPIF 1 < 0 视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，利用排列和组合知识进行求解；
法二：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分三种情况进行求解，每种情况下考虑 SKIPIF 1 < 0 安排在同一组，求出答案.
【小问1详解】
由题知，把这14个口罩按要求全部发给这6名教师有两种分配方案： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
按2，2，2，2，3，3分时，有 SKIPIF 1 < 0 种分法；按2，2，2，2，2，4分时，有 SKIPIF 1 < 0 种分法；
所以不同的发放方法有21种；
【小问2详解】
法一：把 SKIPIF 1 < 0 视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有
两类：1，1，3或 SKIPIF 1 < 0 ；
按 SKIPIF 1 < 0 安排时，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
按 SKIPIF 1 < 0 安排时，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
所以不同的安排方法有 SKIPIF 1 < 0 种.
法二：
把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有三类：
第一类 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 为2人组，有 SKIPIF 1 < 0 种分组方法；若 SKIPIF 1 < 0 在3人组，有 SKIPIF 1 < 0 种分组方法；
再分配给三个场馆，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
第二类 SKIPIF 1 < 0 ：则 SKIPIF 1 < 0 为其中一组，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
第三类 SKIPIF 1 < 0 ：则 SKIPIF 1 < 0 在4人组，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
所以不同的安排方法有 SKIPIF 1 < 0 种.
21. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上两点（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的上方），且 SKIPIF 1 < 0 .

（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离取得最大值时，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）根据三棱锥的等体积法判断要使点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，则需 SKIPIF 1 < 0 的面积最小，即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离最小；建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是正方形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值，
又点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为定值，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值，
即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值；
要使点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，则需 SKIPIF 1 < 0 的面积最小，
即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离最小；
由题知，以A为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如图空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，其图象对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离最小，
此时点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，
所以 SKIPIF 1 < 0 .

22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为2，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，是否存在这样的直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）存在直线 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到焦点 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用椭圆的定义求解；
（2）由题意设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆方程联立，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到切点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 再结合 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 求解.
【小问1详解】
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
如图所示：

由题易知直线 SKIPIF 1 < 0 存在斜率，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；①
SKIPIF 1 < 0 ，即切点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，
上式对满足①式任意的 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，故存在直线 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
SKIPIF 1 < 0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0