2022-2023学年江西省萍乡市安源中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省萍乡市安源中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则集合的子集个数为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

【答案】B

【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有个子集求解.

【详解】解：因为集合中有两个元素，

所以集合的子集个数为，

故选：B

2．化为角度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据弧度化角度公式直接求解即可.

【详解】.

故选：B

3．已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可.

【详解】设扇形的半径为，则，解得，

所以扇形的面积为．

故选：C.

4．已知向量，，则（      ）

A． B．2 C． D．50

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，再根据向量模的坐标表示即可得答案.

【详解】由题意向量，，

则向量，

故，

故选：A

5．在中，为的中点，为的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图形特征进行向量运算即可.

【详解】因为为的中点，为的中点，

所以，

又因为，，

所以.

故选：C

6．中若有，则的形状一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用三角函数恒等变换公式对原式化简变形可得结论

【详解】由，得，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，因为，所以，

所以为直角三角形，

故选：B

7．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可选择，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为（   ）

A．码 B．码

C．码 D．码

【答案】D

【分析】选择线路，设，利用基本不等式结合结合两角差的正切公式求出正切值的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解.

【详解】若甲选择线路，设，

因为，，，

，，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，

因此，若选择线路，甲到达最佳射门位置时，需要带球距离为码.

故选：D.

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在边AB上，，则的外接圆的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，化简后可求出，在中利用正弦定理可求出，则可求出，然后在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出外接圆的半径，从而可求出圆的面积.

【详解】因为，所以由正弦定理得，

所以，

所以，所以，

所以，因为，所以，

因为，所以，所以，

在中，由正弦定理得，，

所以，

因为，

所以，得，

所以

在中，由余弦定理得，

，

所以，

设外接圆半径为，则由正弦定理得，

所以，

所以的外接圆的面积是，

故选：B

二、多选题

9．下列各式中值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用三角函数恒等变换公式逐个计算判断即可.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：CD

10．下列说法中正确的是（    ）

A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位

B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的

C．根据弧度的定义，一定等于弧度

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关

【答案】ABC

【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确；

由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；

根据弧度的定义知，一定等于弧度，所以C正确；

无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确.

故选：ABC.

11．已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（    ）

A．直线是图象的一条对称轴

B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

C．的最小正周期为

D．在区间上单调递增

【答案】ACD

【分析】先求出，利用代入检验法判断A；利用三角函数图象的平移变换法则判断B；利用周期公式判断C；利用正弦函数的单调性判断D.

【详解】由得，∴.

又，∴，∴.

根据“五点法”可得，解得，故.

令，得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；

把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B不正确；

的最小正周期为，故C正确；

当时，，故此时单调递增，故D正确.

故选：ACD

12．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】证明出当时，，利用该不等式以及二倍角的余弦公式可得出、、的大小关系.

【详解】先证明出当时，，如下图所示：

设点，设，其中，设点在轴上的射影点为，

过点作轴的垂线交射线于点，则，，，

由图可知，，即，

故当时，，

因为、，则，因为，则，

因为，则，

故选：BC.

三、填空题

13．设向量满足，，则      ．

【答案】5

【分析】根据数量积的运算律结合已知条件求解即可

【详解】因为，，

所以，

故答案为：5

14．已知，向量与垂直，则实数          .

【答案】

【分析】先求出，再由向量与垂直，能求出实数.

【详解】，

，

向量与垂直，

，

解得实数.

故答案为：.

15．关于的方程的一个解          

【答案】（答案不唯一）

【分析】令，推导出该函数为偶函数，由原方程可得，由偶函数的基本性质可得出原方程的一个解.

【详解】令，其中，则，

所以，函数为偶函数，

由，可得，

则原方程的一个解满足，可解得.

故答案为：（答案不唯一）.

16．如图，已知直线，A是直线，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为，，B，C分别为直线，上的动点，且满足，则面积的最小值为      ．

【答案】

【分析】当B,C在直线DE同侧时，设，利用直角三角形边角关系表示出，再利用三角形面积公式结合和差角的余弦公式求解，验证不在同侧的情况作答.

【详解】依题意，当点在过点垂直于的直线同侧时，，

设，则，在中，

，因此的面积

，

而，即，，当且仅当，即取等号，

当与重合时，，，，

当与重合时，，同理，

当在过点垂直于的直线两侧时，则有，，

或，，，

所以面积的最小值为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：若（为定值），求或的最值，可以设，利用对偶思想求解.

四、解答题

17．已知为第二象限角，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据为第二象限角，得到，进而得到正切值；

（2）根据二倍角公式和诱导公式化简，分子分母同时除以，代入即可.

【详解】（1）因为为第二象限角，，

所以，

所以

（2）原式，

分子分母同时除以，

则原式.

18．已知.

(1)把写成的形式，并指出它是第几象限角;

(2)求，使与的终边相同，且.

【答案】(1)，第三象限角

(2)或.

【分析】（1）利用终边相同的角的表示方法可将表示为的形式，再判断所在的象限.

（2）由（1）可得，然后解不等式，求出整数的值，代入可求出的值.

【详解】（1）因为

于是，它是第三象限角.

（2）由（1）知，

因为，所以，即，

因为，所以或.

当时，；

当时，．

所以或.

19．已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)当时，求的最小值及取得最小值自变量的值.

【答案】(1)

(2)最小值为，当时取得.

【分析】（1）根据二倍角公式，辅助角公式将函数化简，然后根据三角函数的周期公式求解；

（2）根据三角函数的单调区间，结合的范围进行求解.

【详解】（1），

故最小正周期为

（2）由于，则，

注意到在上满足，上，

于是要求的最小值只用考虑的情况，

由在上单调递减，，

于是在上递减，

故时，即，取到最小值.

20．已知内角的对边分别为，设.

(1)求；

(2)若的面积为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.

【详解】（1）原式化简可得：，

整理得：，

由正弦定理可得：，

因此三角形的内角；

（2），

，

，

.

21．如图，在平面四边形中，，，.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由同角三角函数的基本关系求出，再在中由锐角三角函数定义求出，再由三角形的面积公式即可求得；

（2）由题中条件得，在和中，由正弦定理及积化和差公式求出，最后由求得.

【详解】（1），，

所以，

在中，，

，

的面积.

（2），，

，

，

在中，，，

在中，由正弦定理有，

即，

由积化和差公式有，

，

将此结果代入式中化简可得：，

解得（舍负），

.

22．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.

(1)求边BC的长度；

(2)设，，，当时，求k的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由，可得，过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M，N，由平行线分线段成比例可得，，进而可得,结合余弦定理可得,即可得答案；

（2）由的面积是面积的一半，可得①，由三点共线，得，由，得②，由①②即可得答案.

【详解】（1）解：由，得,

又因为，所以，

又因为，

过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M，N，

所以，，

所以,

所以,

又因为,

所以；

（2）解：因为，，，

的面积是面积的一半，

所以，

所以①，

，

由，得，

又因为三点共线，

所以，即，

所以，

又，

所以，

又因为，

所以②，

由①②解得，

所以.

【点睛】结论点睛：为平面内共线的三点，为平面内任意一点，当时，则一定有.