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七下数学专题 平行线中的拐点问题（考点突破）
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这是一份七下数学专题 平行线中的拐点问题（考点突破），共35页。
平行线中的拐点问题
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目录
【典型例题】 1
【考点一 平行线中一个拐点问题】 1
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 3
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 6
【过关检测】 9
【典型例题】
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线，射线AB分别交直线于点B，C，于点A，若则的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）如图，直线，，为直角，则___________．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．
7．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，和的平分线相交于F，，___________°．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
三、解答题
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）填空完成本题．如图，已知，∠ABC=75°，∠CDE=130°，求∠BCD的大小．
解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．
∵ (已作)，又∵ (已知)
∴(______)，
∴∠CDE+∠DCN=180°(______)
∵∠CDE=130°(已知)
∴∠DCN=50°(等式性质)，同理∠BCM=______°
∵∠BCM+∠BCD+∠DCN=180°(______)
∴∠BCD=25°(______)
10．（2022春·上海松江·七年级校考期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．
（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．
11．（2021春·浙江·七年级校考期中）（1）如图（1）：直线ABCD，写出∠A、∠E、∠C满足的等量关系，并说明理由．
（2）如图（2）：直线ABDE，直接写出∠ABC、∠BCD、∠CDE满足的一个等量关系．
（3）如图（3）：直线ABCDEF，直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF满足的一个等量关系．
12．（2022春·江西上饶·七年级校考期中）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东30°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD=70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至．
(1)求的度数；
(2)原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连接DM和MN．
①若，求的度数；
②求与的数量关系．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
14．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点．
(1)【基础问题】如图 1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线，
又∵，
∴ ①
∵，
∴∠ ② ．
∵，
∴ ③ （ ④ ）
∴．
(2)【类比探究】如图 2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图 3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为 °．
15．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线，射线AB分别交直线于点B，C，于点A，若则的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】先根据垂线的定义得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质．三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
4．（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先过点O作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：如图，过点O作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．
二、填空题
5．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）如图，直线，，为直角，则___________．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．
【答案】##15度
【分析】过点C作，，根据得，即可得，即可得．
【详解】解：如图所示，过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
7．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，和的平分线相交于F，，___________°．
【答案】111
【分析】过点E作，然后由，可得，然后根据两直线平行内错角相等可得，，然后根据周角的定义可求的度数；再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求的度数．
【详解】解：过点E作，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，
∵，
∴．
故答案为：111．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．另外过点E作，也是解题的关键．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．
【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，
，
∴，
由平行线的性质可得出：，，，，
∴（1），
（2），
（3），
（4），
∴．
故答案为：900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）填空完成本题．如图，已知，∠ABC=75°，∠CDE=130°，求∠BCD的大小．
解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．
∵ (已作)，又∵ (已知)
∴(______)，
∴∠CDE+∠DCN=180°(______)
∵∠CDE=130°(已知)
∴∠DCN=50°(等式性质)，同理∠BCM=______°
∵∠BCM+∠BCD+∠DCN=180°(______)
∴∠BCD=25°(______)
【答案】平行同一直线的两条直线平行； 两直线平行，同旁内角互补；105°；平角的定义；等式的性质
【分析】根据平行线的性质得出∠DCN=50°；∠BCM=105°，再根据平角的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．
∵ (已作)，又∵ (已知)，
∴(平行同一直线的两条直线平行)，
∴∠CDE+∠DCN=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠CDE=130°(已知)，
∴∠DCN=50°(等式性质)，同理∠BCM=105°，
∵∠BCM+∠BCD+∠DCN=180°(平角的定义)，
∴∠BCD=25°(等式的性质) ．
故答案为：平行同一直线的两条直线平行； 两直线平行，同旁内角互补；105°；平角的定义；等式的性质．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
10．（2022春·上海松江·七年级校考期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．
（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．
【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；理由见解析；（2）∠1+∠2-∠AEC=180°．
【分析】（1）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【详解】解：（1）当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC=∠A+∠C时，有ABCD．
理由如下：
过点E作EFAB，如图：
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，
∴∠2=∠C，
∴EFCD（内错角相等，两直线平行），
∵EFAB，
∴ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：∠AEC=∠A+∠C；
（2）当ABCD时，∠1，∠2，∠AEC的关系是∠1+∠2-∠AEC=180°，
理由如下：
过点E作EFAB，如图：
∴∠3+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ABCD（已知），
∴EFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠AEC+∠3=∠2，
∴∠3=∠2-∠AEC，
∴∠2-∠AEC+∠1=180°（等量代换），
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
故答案为：∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质．能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键．
11．（2021春·浙江·七年级校考期中）（1）如图（1）：直线ABCD，写出∠A、∠E、∠C满足的等量关系，并说明理由．
（2）如图（2）：直线ABDE，直接写出∠ABC、∠BCD、∠CDE满足的一个等量关系．
（3）如图（3）：直线ABCDEF，直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF满足的一个等量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过点作，然后根据两直线平行，同旁内角互补详解；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据等量代换即可得解；
（3）延长交于，然后根据平行线的性质即可详解．
【详解】解：（1），理由如下：
过点作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）．
证明如下：过点作，
，
，
，，
，
，
；
（3）．
证明如下：延长交于，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握平行线的性质，过拐点作平行线是解题的关键．
12．（2022春·江西上饶·七年级校考期中）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东30°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD=70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至．
(1)求的度数；
(2)原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连接DM和MN．
①若，求的度数；
②求与的数量关系．
【答案】(1)∠CDE=130°；
(2)①∠DMN=120°；②∠DMN-∠CDM=50°．
【分析】（1）过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则lm，由平行线性质可得到∠CDH=40°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；
（2）①由平行线的性质得到∠CDM=70°，求得∠EDM，再根据平行线的性质即可求解；
②设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DEFN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=130°-（180°-x）=x-50°，则x-y=50°，从而得∠DMN-∠CDM=50°．
（1）
解：过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则lm，
根据平行线的性质可得：∠BCG=30°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-30°=40°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=40°+90°=130°；
（2）
解：①∵DMBC，
∴∠CDM=∠BCD=70°，
由（1）得∠CDE=130°，
∴∠EDM=130°-70°=60°．
∵DEFN，
∴∠DMN=180°-60°=120°；
②设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DEFN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=130°-（180°-x）=x-50°，
则x-y=50°，
即∠DMN-∠CDM=50°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=130°是解题的关键．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：和满足：．理由：
过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴；
（3）解：设与交于点F，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由（2）知：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点．
(1)【基础问题】如图 1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线，
又∵，
∴ ①
∵，
∴∠ ② ．
∵，
∴ ③ （ ④ ）
∴．
(2)【类比探究】如图 2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图 3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为 °．
【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等
(2)．理由见解析
(3)
【分析】（1）由，可得，由，可得，则；
（2）如图所示，过点G作直线，同理可得，，则．
（3）如图所示，过点G作直线，过点H作直线，得到，由，得到，再由，可得，再由平分，即可得到，则．
【详解】（1）过点G作直线，
又∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴．
故答案为：；；；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图所示，过点G作直线，过点H作直线，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
15．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【详解】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，
过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
平行线中的拐点问题
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【考点一 平行线中一个拐点问题】 1
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 3
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 6
【过关检测】 9
【典型例题】
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线，射线AB分别交直线于点B，C，于点A，若则的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）如图，直线，，为直角，则___________．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．
7．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，和的平分线相交于F，，___________°．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
三、解答题
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）填空完成本题．如图，已知，∠ABC=75°，∠CDE=130°，求∠BCD的大小．
解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．
∵ (已作)，又∵ (已知)
∴(______)，
∴∠CDE+∠DCN=180°(______)
∵∠CDE=130°(已知)
∴∠DCN=50°(等式性质)，同理∠BCM=______°
∵∠BCM+∠BCD+∠DCN=180°(______)
∴∠BCD=25°(______)
10．（2022春·上海松江·七年级校考期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．
（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．
11．（2021春·浙江·七年级校考期中）（1）如图（1）：直线ABCD，写出∠A、∠E、∠C满足的等量关系，并说明理由．
（2）如图（2）：直线ABDE，直接写出∠ABC、∠BCD、∠CDE满足的一个等量关系．
（3）如图（3）：直线ABCDEF，直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF满足的一个等量关系．
12．（2022春·江西上饶·七年级校考期中）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东30°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD=70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至．
(1)求的度数；
(2)原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连接DM和MN．
①若，求的度数；
②求与的数量关系．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
14．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点．
(1)【基础问题】如图 1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线，
又∵，
∴ ①
∵，
∴∠ ② ．
∵，
∴ ③ （ ④ ）
∴．
(2)【类比探究】如图 2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图 3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为 °．
15．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，直线，射线AB分别交直线于点B，C，于点A，若则的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】先根据垂线的定义得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质．三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
4．（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先过点O作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：如图，过点O作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法．
二、填空题
5．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）如图，直线，，为直角，则___________．
【答案】
【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
6．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）如图，已知，，，则的度数为______．
【答案】##15度
【分析】过点C作，，根据得，即可得，即可得．
【详解】解：如图所示，过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
7．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，和的平分线相交于F，，___________°．
【答案】111
【分析】过点E作，然后由，可得，然后根据两直线平行内错角相等可得，，然后根据周角的定义可求的度数；再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据四边形的内角和定理即可求的度数．
【详解】解：过点E作，如图所示，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，
∵，
∴．
故答案为：111．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．另外过点E作，也是解题的关键．
8．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．
【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，
，
∴，
由平行线的性质可得出：，，，，
∴（1），
（2），
（3），
（4），
∴．
故答案为：900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）填空完成本题．如图，已知，∠ABC=75°，∠CDE=130°，求∠BCD的大小．
解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．
∵ (已作)，又∵ (已知)
∴(______)，
∴∠CDE+∠DCN=180°(______)
∵∠CDE=130°(已知)
∴∠DCN=50°(等式性质)，同理∠BCM=______°
∵∠BCM+∠BCD+∠DCN=180°(______)
∴∠BCD=25°(______)
【答案】平行同一直线的两条直线平行； 两直线平行，同旁内角互补；105°；平角的定义；等式的性质
【分析】根据平行线的性质得出∠DCN=50°；∠BCM=105°，再根据平角的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作直线AB的平行线MN．
∵ (已作)，又∵ (已知)，
∴(平行同一直线的两条直线平行)，
∴∠CDE+∠DCN=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠CDE=130°(已知)，
∴∠DCN=50°(等式性质)，同理∠BCM=105°，
∵∠BCM+∠BCD+∠DCN=180°(平角的定义)，
∴∠BCD=25°(等式的性质) ．
故答案为：平行同一直线的两条直线平行； 两直线平行，同旁内角互补；105°；平角的定义；等式的性质．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
10．（2022春·上海松江·七年级校考期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．
（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．
【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；理由见解析；（2）∠1+∠2-∠AEC=180°．
【分析】（1）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）如图，过点E作EFAB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【详解】解：（1）当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC=∠A+∠C时，有ABCD．
理由如下：
过点E作EFAB，如图：
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，
∴∠2=∠C，
∴EFCD（内错角相等，两直线平行），
∵EFAB，
∴ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：∠AEC=∠A+∠C；
（2）当ABCD时，∠1，∠2，∠AEC的关系是∠1+∠2-∠AEC=180°，
理由如下：
过点E作EFAB，如图：
∴∠3+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ABCD（已知），
∴EFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠AEC+∠3=∠2，
∴∠3=∠2-∠AEC，
∴∠2-∠AEC+∠1=180°（等量代换），
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
故答案为：∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质．能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键．
11．（2021春·浙江·七年级校考期中）（1）如图（1）：直线ABCD，写出∠A、∠E、∠C满足的等量关系，并说明理由．
（2）如图（2）：直线ABDE，直接写出∠ABC、∠BCD、∠CDE满足的一个等量关系．
（3）如图（3）：直线ABCDEF，直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF满足的一个等量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过点作，然后根据两直线平行，同旁内角互补详解；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据等量代换即可得解；
（3）延长交于，然后根据平行线的性质即可详解．
【详解】解：（1），理由如下：
过点作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）．
证明如下：过点作，
，
，
，，
，
，
；
（3）．
证明如下：延长交于，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握平行线的性质，过拐点作平行线是解题的关键．
12．（2022春·江西上饶·七年级校考期中）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东30°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD=70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至．
(1)求的度数；
(2)原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连接DM和MN．
①若，求的度数；
②求与的数量关系．
【答案】(1)∠CDE=130°；
(2)①∠DMN=120°；②∠DMN-∠CDM=50°．
【分析】（1）过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则lm，由平行线性质可得到∠CDH=40°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；
（2）①由平行线的性质得到∠CDM=70°，求得∠EDM，再根据平行线的性质即可求解；
②设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DEFN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=130°-（180°-x）=x-50°，则x-y=50°，从而得∠DMN-∠CDM=50°．
（1）
解：过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则lm，
根据平行线的性质可得：∠BCG=30°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-30°=40°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=40°+90°=130°；
（2）
解：①∵DMBC，
∴∠CDM=∠BCD=70°，
由（1）得∠CDE=130°，
∴∠EDM=130°-70°=60°．
∵DEFN，
∴∠DMN=180°-60°=120°；
②设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DEFN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=130°-（180°-x）=x-50°，
则x-y=50°，
即∠DMN-∠CDM=50°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=130°是解题的关键．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：和满足：．理由：
过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴；
（3）解：设与交于点F，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由（2）知：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点．
(1)【基础问题】如图 1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线，
又∵，
∴ ①
∵，
∴∠ ② ．
∵，
∴ ③ （ ④ ）
∴．
(2)【类比探究】如图 2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图 3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为 °．
【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等
(2)．理由见解析
(3)
【分析】（1）由，可得，由，可得，则；
（2）如图所示，过点G作直线，同理可得，，则．
（3）如图所示，过点G作直线，过点H作直线，得到，由，得到，再由，可得，再由平分，即可得到，则．
【详解】（1）过点G作直线，
又∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴．
故答案为：；；；两直线平行，内错角相等．
（2）如图所示，过点G作直线，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图所示，过点G作直线，过点H作直线，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
15．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【详解】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，
过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
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