初中人教版第五章 相交线与平行线综合与测试课堂检测

第04讲 平行线中的“拐点”问题突破技巧（原卷版）

第一部分  专题典例剖析+针对训练

类型一 过拐点作平行线——“M”型图形研究

（1）基本型“M”型及变式运用

典例1 如图，已知：AB∥CD，试说明：∠B＋∠D＋∠BED＝360°．

典例2（2019•菏泽）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是　 　．

针对练习1

1．（2019•荆州）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

2．(2021•徐州期中)如图，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，则∠BCD＝　   　°．

（2）“M”型套“M”型

典例2 如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AEC的度数为　     　．

针对练习2

3．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．

（3）“M”型叠“M”型

典例3 （2019春•老河口市期中）如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为　35°　．

针对训练3

4．如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为　 　．

类型二 过拐点作平行线——“钩”型图形研究

典例4（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD

（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°

（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F

①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．

②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝　 　°．

针对练习 4

5．如图，AB∥CD，点E在AB与CD的上方，请你探索∠1，∠2，∠E三者之间的数量关系，并说明理由．

6．（2021春•揭阳期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°）

（1）如图1，若∠A＝40°，求∠C的度数；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，说明：∠ABD＝∠C；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．

类型三 过拐点作平行线——“C”型图形研究

典例5（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　 　；

如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　  　，请你说明理由；

（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　  　；

（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．

典例6（2019春•越城区期末）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，

（1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA；

（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．

针对训练5

7．已知AB∥DE.

 （1）如图①，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A＋∠D是多少吗？

 （2）如图②，点C1，C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A＋∠C1＋∠C2＋∠D的度数为______；

 （3）如图③，随着AB与DE之间点的增加，那么∠A＋∠C1＋∠C2＋…＋∠Cn－1＋∠D的度数为________．(不必说明理由)

类型四 几种基本图形的组合

典例7 (2021•金坛区期末)将一根铁丝AF按如下步骤弯折：

第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF；

第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF．

解答下列问题：

（1）如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数；

（2）如图②，求证：∠B＋∠C＝∠D＋∠E；

（3）将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数．

针对训练6

8．如图①，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．

 （1）求证：∠AEC＝∠BAE＋∠ECD．

 （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG.

 ①如图②，若∠AEC＝90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；

 ②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系，并说明理由．

第二部分 专题提优训练

1．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）

A．35° B．10° C．20° D．15°

第1题图                   第2题图              第3题图              第4题图

2．如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（　　）

A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° 

C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°

3．如图AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为（　　）

A．60° B．80° C．75° D．70°

4．(2021 •鼓楼区校级期中)如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝　   　．

5．如图，已知平面内有两条直线AB，CD，且AB∥CD，P为一动点．

（1）当点P移动到AB，CD之间时，如图①，这时∠P与∠A，∠C有怎样的数量关系？证明你的结论；

（2）当点P移动到图②、图③的位置时，∠P，∠A，∠C又有怎样的关系？请分别写出你的结论．

6．（2020春•潼南区期末）已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE．

（1）如图①，当∠A＝48°，∠B＝108°时，求∠C的度数；

（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠BCF与∠AQB的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠ACB：∠DAC：∠CBE的值．

7．（2021春•肥东县期末）（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．

阅读并补充下面的求解过程，

解：过点A画ED∥BC．

根据“　                     　”，可以得到∠B＝　  　，∠C＝∠DAC．

而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．

（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）

8．（2021春•渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．

（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．

①填空：∠G＝　   　°．

②求出∠EHF的度数；

（2）如图2，∠AEF 和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．