第二章　6.1　第1课时　余弦定理

§6　平面向量的应用6.1　余弦定理与正弦定理第1课时　余弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.(2020山东高一月考)已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,c=,b=1,C=,则a=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.2 C. D.3解析由余弦定理推论可得,cos C==-,整理可得a2+a-6=0,解得a=2.故选B.答案B2.(2019北京十五中高一期中)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=4,C=60°,则c的值等于              (　　)A.5 B.13 C. D.解析由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+16-24×=13,所以c=.故选C.答案C3.(2019海南高二期末(文))在△ABC中,AB=3,BC=7,A=120°,则AC=(　　)A.5 B.6 C.8 D.解析根据余弦定理AC2+AB2-BC2=2·AB·AC·cos A,代入数据,得到AC2+3AC-40=0,解得AC=5.故选A.答案A4.(2019广东执信中学高三月考(理))在△ABC中,已知B=,BC边上的高恰为BC边长的一半,则cos A=(　　)A. B. C. D.解析作AH⊥CB交CB延长线上一点H,又知∠ABC=.所以△AHB为等腰直角三角形,设BC=2a,则AB=a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=a,根据余弦定理得cos∠BAC=.故选A.答案A5.(2019中央民族大学附属中学高一月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,则角A的大小为　　　　　　. 解析因为b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cos A=.因为A为△ABC的内角,所以A=60°.答案60°6.(2019北京人大附中高三开学考试)在△ABC中,a=3,b=,B=60°,则c=　　　　,△ABC的面积为　　　　. 解析由余弦定理,得9+c2-2×3c×=13,解得c=4;由三角形的面积公式,得S=acsin B=×3×4×=3.答案4　3能力提升练1.若△ABC的内角A,B,C所对应的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为(　　)A.8-4 B.1 C. D.解析因为△ABC的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,所以c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4.又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,所以2ab-4=-ab,所以ab=.故选C.答案C2.(2020四川阆中中学高三月考(理))在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c直接求三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即S=,其中p=(a+b+c).我国南宋著名数学家秦九韶(约1202—1261)也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是S=.这个公式中的Δ应该是(　　)A. B.C. D.解析因为=accos B,所以acsin B=S.故选C.答案C3.(2019北京清华附中高三月考(理))在△ABC中,A=60°,a=,b=3,则c=　　　　　. 解析由余弦定理可得,()2=32+c2-2×3c×,整理得c2-3c+2=0,解得c=1或2.答案1或24.(2020白城市第四中学高一月考)在钝角三角形ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=1,b=3,则最大边c的取值范围是　　　　　. 解析由题意知3-1<c<3+1,即2<c<4,又△ABC为钝角三角形,C为最大边,所以cos C<0,所以根据余弦定理得,a2+b2-c2<0,即c2>10,解得c>.所以<c<4,故最大边c的取值范围是(,4).答案(,4)5.(2020北京市第十三中学高三开学考试)已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①A=;②cos B=-;③a=7;④b=3.(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求△ABC的面积.解(1)△ABC同时满足①③④.理由如下:因为cos B=-<-,且B∈(0,π),所以B>.若△ABC同时满足①②,则A+B>π,显然不成立.所以△ABC只能同时满足③,④.所以a>b,所以A>B,故△ABC不满足②.故△ABC满足①③④.(2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,即72=32+c2-2×3×c×.解得c=8或c=-5(舍去).所以△ABC的面积S=bcsin A=6.素养培优练　如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为多少?解设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=(2h) m,PB=(h) m,PC= m,在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=, ①cos∠PBC=. ②因为∠PBA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0. ③由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.