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2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模二模）含解析，共62页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，计算综合题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模）
一、选一选：
1. 2sin60°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. m≠±2 B. m=2 C. m=–2 D. m≠2
3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】
A B. C. D.
4. 如图，下列图形全部属于柱体的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A. B. C. D.
6. 一个没有透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球．则下列是必然的是（ ）
A. 摸出的4个球中至少有一个球是白球
B. 摸出4个球中至少有一个球是黑球
C. 摸出的4个球中至少有两个球是黑球
D. 摸出的4个球中至少有两个球
7. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 乙和丁
9. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是( )
A. B. 4 C. 8 D. 4
11. 如图，DE∥BC，在下列比例式中，没有能成立的是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤
二、填 空 题：
13. 若△ABC∽△DEF，且∠A=70°，∠B=60°则∠D=_____，∠F=_____．
14. 关于x一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
15. 在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为20米，那么高楼的实际高度是____.米．
16. a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
17. 从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这七个数中随机抽取一个数记为a，则a的值是没有等式组的解，但没有是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为_____．
18. 如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=；
④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．
其中一定正确的是_____．
三、计算综合题：
19. x2﹣4x+1=0（用配方法）
20. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若 AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．
21. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx-1（x＞0）的图象点A（1,2）和点B（m,n）（m＞1）,过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当△ABC面积为2时,求点B的坐标．
（3）P为线段AB上一动点（P没有与A、B重合）,在（2）的情况下,直线y=ax﹣1与线段AB交于点P，直接写出a的取值范围．
22. 已知反比例函数的图象点A（1，3）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）当x=2时, 求y的值；
（3）当自变量x从5增大到8时，函数值y是怎样变化的．
23. 某商店以每件50元的价格购进某种品牌衬衫100件，为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理；次降价标出了“”，共了40件，第二次降价标出“价”，结果一抢而光，以“价”时，每件衬衫仍有14元的利润．
（1）求每次降价的百分率；
（2）在这次中商店获得多少利润？请通过计算加以说明．
四、综合题：
24. （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=×BC×AF，S△BCD=×BC×DE ．
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．
（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD
（3）应用拓展：
如图3，按此方式将大小没有同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm2．
25. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P没有重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题
（一模）
一、选一选：
1. 2sin60°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：2sin60°=2×=.
故选C．
2. 方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. m≠±2 B. m=2 C. m=–2 D. m≠2
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据一元二次方程的概念，可知m-2≠0，解得m≠2.
故选D
3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】设出反比例函数解析式，把(0.25，400)代入即可求解：
设，∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，∴k＝0.25×400＝100．
∴．故选C．
4. 如图，下列图形全部属于柱体的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：A、有一个是三棱锥，故没有符合题意；
B、有一个是没有规则的多面体，故没有符合题意；
C、分别是一个圆柱体、两个四棱柱；
D、有一个是圆台，故没有符合题意．
故选：C．
5. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：是平行四边形,
故选A.
6. 一个没有透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球．则下列是必然的是（ ）
A. 摸出的4个球中至少有一个球是白球
B. 摸出的4个球中至少有一个球是黑球
C. 摸出的4个球中至少有两个球是黑球
D. 摸出的4个球中至少有两个球
【正确答案】B
【详解】试题分析：必然就是一定发生的，因此，
A、是随机，故A选项错误；
B、是必然，故B选项正确；
C、是随机，故C选项错误；
D、是随机，故D选项错误．
故选B．
考点：必然．
7. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D
【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故选D．
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 乙和丁
【正确答案】C
【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【详解】∵甲中的三角形的三边分别是：，2，；
乙中的三角形的三边分别是：，，；
丙中的三角形的三边分别是：，，；
丁中的三角形的三边分别是：，，；
只有甲与丙中的三角形的三边成比例：，
∴甲与丙相似．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的判定方法、勾股定理等，熟记定理的内容是解题的关键．
9. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；由勾股定理可以求得答案．
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B．
此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理．解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程．
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是( )
A. B. 4 C. 8 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据三角函数的定义，co=代入各数值可得BC的值.
【详解】解：在Rt△ABC中，co=
则BC = ABco = 8cos30=8=.
故选：B.
本题主要考查三角函数的定义，牢记角的三角函数值是解题的关键.
11. 如图，DE∥BC，在下列比例式中，没有能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例.
【详解】
B.错误.
故选B.
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例.
12. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤
【正确答案】A
【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得：
，解得：，
∴点 ，
根据题意得抛物线的顶点坐标为 ，
把代入直线y=x，得： ，
∴抛物线解析式为 ，
如图，当抛物线点C时，
把点 代入得：
，解得： 或（舍去），
如图，当抛物线点B时，
将点代入得：
，解得： 或（舍去），
综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ．
故选：A
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．
二、填 空 题：
13. 若△ABC∽△DEF，且∠A=70°，∠B=60°则∠D=_____，∠F=_____．
【正确答案】 ①. 70° ②. 50°
【详解】∠A=70°，∠B=60°,所以∠C=50°，∠A=∠D=70°，∠C=∠F=50°.
故答案为(1). 70° (2). 50°.
14. 关于x的一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
【正确答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个没有相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞−
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜−＜0，
∴a＜−，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴−＜a＜-2，
故答案为−＜a＜-2．
15. 在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为20米，那么高楼的实际高度是____.米．
【正确答案】12
【详解】同一时刻，物体的高度与它的影长成比例，设 高楼的实际高度是x米,
因为，所以x=12.
所以高楼实际高度是12米.
故答案为12.
16. a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
【正确答案】＜
【详解】解：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3，
则它的对称轴是直线x=a，
抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，
点A点B均在对称轴右边且a+1
【正确答案】
【详解】解没有等式组， x>,有4个.
x2﹣3x+2=0,(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,
所以满足条件的有0,3，所以概率是.
故答案为
18. 如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=；
④当CE⊥BD时，△DFN等腰三角形．
其中一定正确的是_____．
【正确答案】①③④
【分析】由M、N是BD的三等分点，得到DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到BE=AB，故①正确；根据相似三角形的性质得到=，求得DF=BE，于是得到DF=AB=CD，求得CF=3DF，故②错误；根据已知条件得到S△BEM=S△EMN=S△CBE，求得=，于是得到S△ECF=，故③正确；根据线段垂直平分线的性质得到EB=EN，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠EBN，等量代换得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正确．
【详解】解：∵M、N是BD的三等分点，
∴DN=NM=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴，
∴BE=CD，
∴BE=AB，故①正确；
∵AB∥CD，
∴△DFN∽△BEN，
∴=，
∴DF=BE，
∴DF=AB=CD，
∴CF=3DF，故②错误；
∵BM=MN，CM=2EM，
∴△BEM=S△EMN=S△CBE，
∵BE=CD，CF=CD，
∴=，
∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，
∴S△ECF=，故③正确；
∵BM=NM，EM⊥BD，
∴EB=EN，
∴∠E=∠EBN，
∵CD∥AB，
∴∠ABN=∠CDB，
∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，
∴△DFN是等腰三角形，故④正确；
故答案为①③④．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
三、计算综合题：
19. x2﹣4x+1=0（用配方法）
【正确答案】x1=2+，x2=2﹣.
分析】先移项，然后配方，解出x即可.
【详解】解：x2－4x+1=0，
移项，得x2－4x=－1，
配方，得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3，
解得，x－2=，
即x1=2+，x2=2－．
本题考查配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方．
20. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若 AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）15
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又因为∠AEB=∠C=90°，所以可证△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．
详解】（1）证明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得 ，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴ ，
∴BE=20，
∴AE==15．
此题考查相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
21. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx-1（x＞0）的图象点A（1,2）和点B（m,n）（m＞1）,过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当△ABC面积为2时,求点B的坐标．
（3）P为线段AB上一动点（P没有与A、B重合）,在（2）的情况下,直线y=ax﹣1与线段AB交于点P，直接写出a的取值范围．
【正确答案】（1）y=（2）点B的坐标为（3，）（3）＜a＜3．
【详解】试题分析：（1）根据待定系数法直接代入求解即可；
（2）利用代入法直接可得到m、n的关系，然后根据三角形的面积表示出m、n即可得到B的坐标；
（3）通过代入法求出a的两个值，然后根据动点确定a的范围.
试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象点A（1，2），
∴k=1×2=2，∴反比例函数解析式为y=．
（2）∵点B（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴mn=2．
又∵S△ABC=0.5BC•（yA﹣yB）=0.5m（2﹣n）=m﹣0.5mn=m﹣1=2，
∴m=3，n=，∴点B的坐标为（3，）．
（3）将A（1，2）代入y=ax﹣1中，2=a﹣1，解得：a=3；
将B（3，）代入y=ax﹣1中，=3a﹣1，解得：a=．
∵直线y=ax﹣1与线段AB交于点P，P为线段AB上一动点（P没有与A、B重合），
∴＜a＜3．
22. 已知反比例函数的图象点A（1，3）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）当x=2时, 求y的值；
（3）当自变量x从5增大到8时，函数值y是怎样变化的．
【正确答案】（1）；（2）；（3）函数值y从减小到．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
∴k=3
∴反比例函数的解析式为；
（2） 当时，；
（3） 在象限内，由于k=3 ＞0，所以y随x的增大而减小
当时，；当时，
所以当自变量x从5增大到8时，函数值y从减小到．
23. 某商店以每件50元价格购进某种品牌衬衫100件，为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理；次降价标出了“”，共了40件，第二次降价标出“价”，结果一抢而光，以“价”时，每件衬衫仍有14元的利润．
（1）求每次降价的百分率；
（2）这次中商店获得多少利润？请通过计算加以说明．
【正确答案】（1）20%；（2）2400元；
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据题意可得等量关系：进价×2×（1﹣降价的百分率）2﹣进价=利润14元，根据等量关系列出方程，再解方程即可；
（2）首先计算出总款，然后再减去成本可得利润．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意得：
50×2（1﹣x）2﹣50=14，
解得：x1=0.2=20%．x2=1.8（没有合题意舍去），
答：每次降价的百分率为20%；
（2）10×50×2+40×50×2（1﹣20%）+（100﹣10﹣40）×50×2（1﹣20%）2﹣50×100=2400（元）
答：在这次中商店获得2400元利润．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
四、综合题：
24. （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=×BC×AF，S△BCD=×BC×DE ．
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．
（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD
（3）应用拓展：
如图3，按此方式将大小没有同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm2．
【正确答案】（1）同底等高的两三角形面积相等；（2）证明见解析（3）40
【详解】试题分析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等（2）利用（1）的结论△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，从而S▱ABCD=S△APD．
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，阴影部分面积是S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF，分别计算.
试题解析：
（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；
故答案为同底等高的两三角形面积相等.
（2）∵AB∥CE，BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴S△ABC=S△AEC，
∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，
∵S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=×b×（a﹣b）+b×b+×a×a﹣×b×（b+a）=ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab=a2，
∴S△ACF=S正方形ABCD=×80cm2=40cm2.
故答案为40．
25. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P没有重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【正确答案】（1）（2，4）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
【详解】解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A的坐标为；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，难度适中．利用数形与方程思想是解题的关键．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题
（二模）
一、选一选：本大题共8道小题，每小题2分，共16分．
1. 长城、故宫等是我国批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米．将6700 000用科学数法表示应为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×106 C. 6.7×107 D. 0.67×106
2. 如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中值最小的数对应的点是（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
3. 下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
5. 老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面画出白道，至少一道，多的是三道或五道，再将纸条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入小水罐中浸湿，即现出白道儿，按照上面的白道儿数给糖．
一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张，从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AAl，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是（ ）
A. 1200+270 B. 800+270
C. 540+600 D. 800+600
8. 如图．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4．点E为Rt△ABC边上一点，以每秒1单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D．设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填 空 题，本大题共8小题，共16分．
9. 已知m+n=3，m-n=2，那么m2-n2的值是__________．
10. 写出图象点（-l，1）的一个函数的表达式是__________．
11. 如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=__________°.
12. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是_____．
13. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
14. 如图，⊙O半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．
16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
小霞的作法如下：
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞作图依据：_____________________________________．
三、解 答 题：本大题共12小题，共68分．
17. 计算+|-2|-2tan60°+（）-1．
18. 解没有等式组：
19. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE.求证：CE//AD.
20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个没有相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．
21. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+l与双曲线y=的一个交点为A（m，-3）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过动点P（n，0）（n＜0）且垂直于x轴的直线与直线y=2x+l和双曲线y=的交点分别为B，C，当点B位于点C上方时，直接写出n的取值范围．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.
23. 如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.
24. 阅读下列材料：
2016年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市战略，加快建设国际的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展，实现了“十三五”良好开局．
在教育方面，全市共有58所普通高校和81个科研机构培养研究生，全年研究生招生9.7万人，在校研究生29.2万人．全市91所普通高校全年招收本专科学生15.5万人，在校生58.8万人．全市成人本专科招生6.1万人，在校生17.2万人．
在科技方面，2016年全年研究与试验发展（R&D）支出1479.8亿元，比2015年增长了6.9%，全市研究与试验发展（R&D）人员36.2万人，比上年增长1.1万人．2013年，2014年，2015年全年研究与试验发展（R&D）支出分别为1185.0亿元，1268.8亿元，1384.0亿元，分别比前一年度增长11.4%，7.1%，9.1%．
（以上数据来源于北京市统计局）
根据以上材料解答下列问题：
（1）请用统计图或统计表将北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生的招生人数和在校生人数表示出来；
（2）2015年北京市研究与试验发展（R&D）人员为 万人；
（3）根据材料中的信息，预估2017年北京市全年研究与试验发展（R&D）支出约 亿元，你的预估理由是 ．
25. 佳佳想探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况．根据以往的学习他想到了方程与函数的关系：函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为方程kx+b=0（k≠0）的解；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解．如：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），交点的横坐标-1和3即为方程x2-2x-3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，若知道函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知道方程x3+2x2-x-2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象：
（1）直接写出m的值________，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有________个，分别为________________；
（3）借助函数的图象，直接写出没有等式x3+2x2＞x+2的解集________________．
26. 平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．
（1）当抛物线C点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；
（3）若抛物线C：y=mx2+4x+l（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-l和0之间（没有包括-l和0）．函数的图象，求m的取值范围．
27. 在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．
（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为________．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依题意将图2补全；
②求CD的长；
（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．
28. 我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的值称为该点到这个图形的距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度______________；
B（-，）的距离跨度____________；
C（-3，-2）的距离跨度____________；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______________．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，求出圆心E的横坐标xE的取值范围．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题
（一模）
一、选一选：本大题共8道小题，每小题2分，共16分．
1. 长城、故宫等是我国批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米．将6700 000用科学数法表示应为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×106 C. 6.7×107 D. 0.67×106
【正确答案】B
【详解】根据科学记数法的表示形式（a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数）：可得：
将6700 000用科学记数法表示为6.7×106.
故选B.
科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中值最小的数对应的点是（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
【正确答案】B
【详解】∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，
∴原点在点P与N之间，
∴这四个数中值最小的数对应的点是点N．
故选B．
3. 下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】A、没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、没有是轴对称图形，故此选项错误；
D、没有是轴对称图形，故此选项错误；
故选B．
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
【正确答案】D
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．
5. 老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面画出白道，至少一道，多的是三道或五道，再将纸条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入小水罐中浸湿，即现出白道儿，按照上面的白道儿数给糖．
一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张，从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵共有10张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有3张，
∴从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是.
故选：B.
6. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，
∴PA=PB，
根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，
故可判断B选项正确．
故选B．
7. 如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AAl，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是（ ）
A. 1200+270 B. 800+270
C. 540+600 D. 800+600
【正确答案】C
【详解】BD=400-130=270（米），
CB2=1000-400=600（米），
在Rt△ABD中，AB=(米).
在Rt△BCB2中，BC=.
AB+BC=540+600.
故选C.
8. 如图．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4．点E为Rt△ABC边上一点，以每秒1单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D．设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】∵Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，
∴当0≤t≤4时，扇形面积S=，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误；
当4＜t≤8时，随着t的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，
∴后半段函数图象没有是抛物线，故C选项错误；
∵当t=8时，点E、D重合，
∴扇形的面积为0，故D选项错误；
故选A．
动点问题的函数图象：用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，没有仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二、填 空 题，本大题共8小题，共16分．
9. 已知m+n=3，m-n=2，那么m2-n2的值是__________．
【正确答案】6
【详解】∵m+n=3，m-n=2
∴原式=（m+n）（m-n）=6
故答案是：6．
10. 写出图象点（-l，1）的一个函数的表达式是__________．
【正确答案】y=-x（没有）
【详解】∵图象点（－1，1），
∴这个函数关系式可以是：y=-x（没有）.
故答案是：y=-x（没有）.
11. 如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=__________°.
【正确答案】48
【详解】∵正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正五边形的每个内角是：
（5-2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
∴∠1=108°-60°=48°，
故答案为48°
运用了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
12. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是_____．
【正确答案】70千米/时
【详解】试题解析：70千米/时是出现次数至多，故众数是70千米/时，
故答案为70千米/时.
点睛：根据众数是出现次数至多的数直接写出答案即可；
13. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
【正确答案】4
【分析】应用勾股定理求出AB，再由求出BE，问题可解
【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知：AB==10．
由折叠的性质得：BE=BC=6，
则AE=AB﹣BE=10-6=4．
故答案为4．
14. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
【正确答案】π
【详解】解：如图，连接OA、OB．∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，弧AB的长为=π．故答案为π．
15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．
【正确答案】（x-4）2+102=x2
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2．
【详解】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为
x2＝102＋(x－4)2，
故答案为x2＝102＋(x－4)2．
本题考查勾股定理的应用．
16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
小霞的作法如下：
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞作图依据：_____________________________________．
【正确答案】（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义．
【详解】（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义．
本题考查了基本作图：作已知角的角平分线．
三、解 答 题：本大题共12小题，共68分．
17. 计算+|-2|-2tan60°+（）-1．
【正确答案】5-．
【详解】试题分析：原式项化为最简二次根式，第二项利用去值符号方法去值符号，第三项利用角的三角函数值计算，第四项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；．
试题解析：
+|-2|-2tan60°+（）-1
＝2
＝5-
18. 解没有等式组：
【正确答案】．
【详解】分别解两个没有等式得到和，利用大于小的，小于大的，取中间可确定没有等式组的解集，再写出没有等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
解：
解没有等式①，得．
解没有等式②，得 ．
∴ 原没有等式组的解集为．
本题考查了一元没有等式组的解法：解一元没有等式组时，一般先求出其中各没有等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到．
19. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE.求证：CE//AD.
【正确答案】①∠B=∠CEB ②∠A=∠CEB ③CE//AD
【详解】试题分析：先根据等边对等角，得出∠B=∠CEB，再根据等量代换，即可得出∠A=∠CEB，进而判定CE∥AD．
试题解析：
∵CB=CE，
∴∠B=∠CEB，
又∵∠A=∠B，
∴∠A=∠CEB，
∴CE∥AD．
20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个没有相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．
【正确答案】方程的根
【分析】（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出关于k的一元没有等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣a）x+k（k+2）=0有两个没有相等的实数根，
∴△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4k（k﹣2）=﹣16k+4＞0，
解得：k＜ ．
（2）当k=0时，原方程为x2+2x=x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
∴当k=0时，方程的根为0和﹣2．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根”；（2）取k=0，再利用分解因式法解方程．
21. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+l与双曲线y=的一个交点为A（m，-3）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过动点P（n，0）（n＜0）且垂直于x轴的直线与直线y=2x+l和双曲线y=的交点分别为B，C，当点B位于点C上方时，直接写出n的取值范围．
【正确答案】（1）y=；（2）-2＜n＜0．
【详解】试题分析：（1）根据点A纵坐标利用函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出双曲线的表达式；
（2）依照题意画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，即可找出n的取值范围．
试题解析：
（1）当y=2x+1=-3时，x=-2，
∴点A的坐标为（-2，-3），
将点A（-2，-3）代入y= 中，
-3=，解得：k=6，
∴双曲线的表达式为y= ．
（2）依照题意，画出图形，如图所示．
观察函数图象，可知：当-2＜x＜0时，直线y=2x+1在双曲线y=的上方，
∴当点B位于点C上方时，n的取值范围为-2＜n＜0．
运用了反比例函数与函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是：（1）利用函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出n的取值范围．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）由四边形ABCD为平行四边形得出AD//BC，证得△BEF∽△DAF即可得出结论；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB、DF 即可得到AD的长.
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD
∵点E为BC的中点
∴BE=BC=A D
∵AD//BC,∴△BEF∽△DAF
∴
∴DF=2BF
（2）解：∵CD=
∴AB=CD=
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°
∴设AF=x，则BF=2x
∴AB = =， x =
∴x=1，AF=1，BF=2
∵DF=2BF
∴DF=4
∴ AD = =.
23. 如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°.得出∠ABC=90°，即可得出结论；
(2) 在RtΔBDF中，利用三角函数即可求出DF的长度.
解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠A+∠DBA=90°，
∵ 弧BD=弧BD，∴∠A=∠E，
∵∠CBD=∠E，∴∠CBD=∠A ，
∴∠CBD +∠DBA=90°，∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：∵∠BED=30°，
∴∠A=∠E=∠CBD=30°，
∴∠DBA=60°，
∵点E为弧AD的中点，
∴∠EBD=∠EBA=30°，
∵⊙O半径为2，
∴AB=4，BD=2，AD= .
在RtΔBDF中，∠DBF=90°，
，
∴DF.
“点睛”本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、三角函数等知识，熟练掌握切线的判定，由三角函数求出直径是解决问题（2）的关键.
24. 阅读下列材料：
2016年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市战略，加快建设国际的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展，实现了“十三五”良好开局．
在教育方面，全市共有58所普通高校和81个科研机构培养研究生，全年研究生招生9.7万人，在校研究生29.2万人．全市91所普通高校全年招收本专科学生15.5万人，在校生58.8万人．全市成人本专科招生6.1万人，在校生17.2万人．
在科技方面，2016年全年研究与试验发展（R&D）支出1479.8亿元，比2015年增长了6.9%，全市研究与试验发展（R&D）人员36.2万人，比上年增长1.1万人．2013年，2014年，2015年全年研究与试验发展（R&D）支出分别为1185.0亿元，1268.8亿元，1384.0亿元，分别比前一年度增长11.4%，7.1%，9.1%．
（以上数据来源于北京市统计局）
根据以上材料解答下列问题：
（1）请用统计图或统计表将北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生的招生人数和在校生人数表示出来；
（2）2015年北京市研究与试验发展（R&D）人员为 万人；
（3）根据材料中的信息，预估2017年北京市全年研究与试验发展（R&D）支出约 亿元，你的预估理由是 ．
【正确答案】（1）图表见解析; （2）35.1 ；（3）1598.1，用近3年平均增长率估计2017年的增长率．
【详解】（1） 北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生
招生人数和在校生人数统计表（单位：万人）
人数项目
类别
研究生
普通高校本专科学生
成人本专科学生
招生人数
9.7
15.5
6.1
在校生人数
29.2
58.8
17.2
（2）36.2-1.1=35.1万人；
答：2015年北京市研究与试验发展（R&D）人员为35.1万人；
故答案为35.1；
（3）设2014到2016的平均增长率为x，
则1268.8（1+x）2=1479.8，
解得x≈8%，
用近3年的平均增长率估计2017年的增长率，
则2017年北京市在研究和实验发展（R&D）中的投入约为1479.8×（1+8%）≈1598.1亿元，
理由是用近3年的平均增长率估计2017年的增长率．
故答案分别为：1598.1，用近3年的平均增长率估计2017年的增长率．
25. 佳佳想探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况．根据以往的学习他想到了方程与函数的关系：函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为方程kx+b=0（k≠0）的解；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解．如：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），交点的横坐标-1和3即为方程x2-2x-3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，若知道函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知道方程x3+2x2-x-2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象：
（1）直接写出m的值________，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有________个，分别为________________；
（3）借助函数的图象，直接写出没有等式x3+2x2＞x+2的解集________________．
【正确答案】（1）m=0，图象见解析；（2）方程的解有三个，分别是-2，-1，1；（3）没有等式的解集是-2＜x＜-1或x＞1．
【详解】试题分析：（1）求出x=-1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；
（2）利用图象以及表格即可解决问题；
（3）没有等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2-x-2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题；
试题解析：
（1）由题意m=-1+2+1-2=0．
函数图象如图所示．
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为-2，或-1或1．
故答案为3，-2，或-1或1．
（3）没有等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2-x-2的函数值大于0的自变量的取值范围．
观察图象可知，-2＜x＜-1或x＞1．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．
（1）当抛物线C点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；
（3）若抛物线C：y=mx2+4x+l（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-l和0之间（没有包括-l和0）．函数的图象，求m的取值范围．
【正确答案】（1）y=x2+4x+1，抛物线的顶点坐标是（-2，-3）；（2）m=2；（3）3＜m≤4．
【详解】试题分析：（1）把点A（-5，6）代入抛物线y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）先求出直线y=-x+1与直线y=x+3的交点，即可得出其对称轴，根据抛物线的对称轴方程求出m的值即可；
（3）根据抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间可知当x=-1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可．
试题解析：
（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1点A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-3）；
（2）∵直线y=-x+1与直线y=x+3的交点为（-1，2），
∴两直线的对称轴为直线x=-1．
∵直线y=-x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，
∴- =-1，解得m=2；
（3）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间，
∴当x=-1时，y＞0，且△≥0，即
解得3＜m≤4．
27. 在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．
（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为________．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依题意将图2补全；
②求CD的长；
（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．
【正确答案】（1）105°；（2）①答案见解析；②CD=2；（3）AC+BC=CD．
【分析】（1）先判断出∠CAD=∠DBE，再利用等腰直角三角形求出∠ABD=45°，进而求出∠CBD，用邻补角即可得出结论；
（2）①根据题意及基本作图即可补全图形；②构造出△ACD≌△BED，进而判断出△CDE是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得出解；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠ABD+∠ABC=75°，
∴∠CAD=∠DBE=180°-75°=105°
故答案为105°．
（2）①补全图形，如图所示．
②如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CE=4．
∴CD=2 ．
（3）AC+BC=CD，
理由：如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∴CE= CD，
∵CE=BC+BE=BC+AC．
即：AC+BC＝CD．
三角形综合题，主要考查了等角的补角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是构造出全等三角形，进而判断出△CDE或△CDH是等腰直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．
28. 我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的值称为该点到这个图形的距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度______________；
B（-，）的距离跨度____________；
C（-3，-2）的距离跨度____________；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______________．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，求出圆心E的横坐标xE的取值范围．
【正确答案】（1）①2；2，4；②以O为圆心，半径为1的圆；（2）-≤k≤；（3）-1≤xE≤2 ．
【详解】试题分析：（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和距离D，即可得出跨度；
②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．
（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．
试题解析：
（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，
∴直径为4，
∵A（1，0），OA=1，
∴点A到⊙O的最小距离d=1，
点A到⊙O的距离D=3，
∴点A到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵B
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG-OB=1，
点B到⊙O的距离D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴点B到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵C（-3，-2），
∴OC＝
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC-OD=－2.
点C到⊙O的距离D=CE=OC+OE=2+
∴点C到图形G1的距离跨度R=D-d=2+－（－2））=4；
故答案为2，2，4．
②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP=
∴点P到⊙O的最小距离d=2-OP，点P到⊙O的距离D=2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴＝1
∴x2+y2=1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ=
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ-2，点P到⊙O的距离D=OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况没有存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为圆；
（2）设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），
∴OP＝
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，
∴点P在图形G2⊙C内部，
∴R=2OP=2
∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，
∴2＝2
∴（k2+1）m2+2（k2-1）m+k2=0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△=4（k2-1）2-4×（k2+1）k2=-12k2+4≥0，
（3）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．
由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射线OP的解析式为y=，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
当E′（-1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，
观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：-1≤xE≤2．
故答案为-1≤xE≤2．
圆的综合题：主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由（1）的已知点的坐标计算距离跨度，观察得出规律是解本题的关键．是一道难点比较大的中考常考题，判断出图形的形状是圆，是本题的难点．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模）
一、选一选：
1. 2sin60°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. m≠±2 B. m=2 C. m=–2 D. m≠2
3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】
A B. C. D.
4. 如图，下列图形全部属于柱体的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A. B. C. D.
6. 一个没有透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球．则下列是必然的是（ ）
A. 摸出的4个球中至少有一个球是白球
B. 摸出4个球中至少有一个球是黑球
C. 摸出的4个球中至少有两个球是黑球
D. 摸出的4个球中至少有两个球
7. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 乙和丁
9. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是( )
A. B. 4 C. 8 D. 4
11. 如图，DE∥BC，在下列比例式中，没有能成立的是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤
二、填 空 题：
13. 若△ABC∽△DEF，且∠A=70°，∠B=60°则∠D=_____，∠F=_____．
14. 关于x一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
15. 在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为20米，那么高楼的实际高度是____.米．
16. a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
17. 从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这七个数中随机抽取一个数记为a，则a的值是没有等式组的解，但没有是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为_____．
18. 如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=；
④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．
其中一定正确的是_____．
三、计算综合题：
19. x2﹣4x+1=0（用配方法）
20. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若 AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．
21. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx-1（x＞0）的图象点A（1,2）和点B（m,n）（m＞1）,过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当△ABC面积为2时,求点B的坐标．
（3）P为线段AB上一动点（P没有与A、B重合）,在（2）的情况下,直线y=ax﹣1与线段AB交于点P，直接写出a的取值范围．
22. 已知反比例函数的图象点A（1，3）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）当x=2时, 求y的值；
（3）当自变量x从5增大到8时，函数值y是怎样变化的．
23. 某商店以每件50元的价格购进某种品牌衬衫100件，为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理；次降价标出了“”，共了40件，第二次降价标出“价”，结果一抢而光，以“价”时，每件衬衫仍有14元的利润．
（1）求每次降价的百分率；
（2）在这次中商店获得多少利润？请通过计算加以说明．
四、综合题：
24. （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=×BC×AF，S△BCD=×BC×DE ．
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．
（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD
（3）应用拓展：
如图3，按此方式将大小没有同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm2．
25. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P没有重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题
（一模）
一、选一选：
1. 2sin60°的值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：2sin60°=2×=.
故选C．
2. 方程（m–2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A. m≠±2 B. m=2 C. m=–2 D. m≠2
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据一元二次方程的概念，可知m-2≠0，解得m≠2.
故选D
3. 近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】设出反比例函数解析式，把(0.25，400)代入即可求解：
设，∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，∴k＝0.25×400＝100．
∴．故选C．
4. 如图，下列图形全部属于柱体的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：A、有一个是三棱锥，故没有符合题意；
B、有一个是没有规则的多面体，故没有符合题意；
C、分别是一个圆柱体、两个四棱柱；
D、有一个是圆台，故没有符合题意．
故选：C．
5. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题解析：是平行四边形,
故选A.
6. 一个没有透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球．则下列是必然的是（ ）
A. 摸出的4个球中至少有一个球是白球
B. 摸出的4个球中至少有一个球是黑球
C. 摸出的4个球中至少有两个球是黑球
D. 摸出的4个球中至少有两个球
【正确答案】B
【详解】试题分析：必然就是一定发生的，因此，
A、是随机，故A选项错误；
B、是必然，故B选项正确；
C、是随机，故C选项错误；
D、是随机，故D选项错误．
故选B．
考点：必然．
7. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【正确答案】D
【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故选D．
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
8. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 乙和丁
【正确答案】C
【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【详解】∵甲中的三角形的三边分别是：，2，；
乙中的三角形的三边分别是：，，；
丙中的三角形的三边分别是：，，；
丁中的三角形的三边分别是：，，；
只有甲与丙中的三角形的三边成比例：，
∴甲与丙相似．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的判定方法、勾股定理等，熟记定理的内容是解题的关键．
9. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；由勾股定理可以求得答案．
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B．
此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理．解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程．
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则 BC 的长是( )
A. B. 4 C. 8 D. 4
【正确答案】B
【分析】根据三角函数的定义，co=代入各数值可得BC的值.
【详解】解：在Rt△ABC中，co=
则BC = ABco = 8cos30=8=.
故选：B.
本题主要考查三角函数的定义，牢记角的三角函数值是解题的关键.
11. 如图，DE∥BC，在下列比例式中，没有能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例.
【详解】
B.错误.
故选B.
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例.
12. 如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A. ﹣2≤h≤ B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1≤h≤ D. ﹣1≤h≤
【正确答案】A
【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得：
，解得：，
∴点 ，
根据题意得抛物线的顶点坐标为 ，
把代入直线y=x，得： ，
∴抛物线解析式为 ，
如图，当抛物线点C时，
把点 代入得：
，解得： 或（舍去），
如图，当抛物线点B时，
将点代入得：
，解得： 或（舍去），
综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ．
故选：A
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．
二、填 空 题：
13. 若△ABC∽△DEF，且∠A=70°，∠B=60°则∠D=_____，∠F=_____．
【正确答案】 ①. 70° ②. 50°
【详解】∠A=70°，∠B=60°,所以∠C=50°，∠A=∠D=70°，∠C=∠F=50°.
故答案为(1). 70° (2). 50°.
14. 关于x的一元二次方程的两个没有相等的实数根都在-1和0之间（没有包括-1和0），则a的取值范围是___________
【正确答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个没有相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞−
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜−＜0，
∴a＜−，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴−＜a＜-2，
故答案为−＜a＜-2．
15. 在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为20米，那么高楼的实际高度是____.米．
【正确答案】12
【详解】同一时刻，物体的高度与它的影长成比例，设 高楼的实际高度是x米,
因为，所以x=12.
所以高楼实际高度是12米.
故答案为12.
16. a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
【正确答案】＜
【详解】解：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3，
则它的对称轴是直线x=a，
抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，
点A点B均在对称轴右边且a+1
【正确答案】
【详解】解没有等式组， x>,有4个.
x2﹣3x+2=0,(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,
所以满足条件的有0,3，所以概率是.
故答案为
18. 如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=；
④当CE⊥BD时，△DFN等腰三角形．
其中一定正确的是_____．
【正确答案】①③④
【分析】由M、N是BD的三等分点，得到DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到BE=AB，故①正确；根据相似三角形的性质得到=，求得DF=BE，于是得到DF=AB=CD，求得CF=3DF，故②错误；根据已知条件得到S△BEM=S△EMN=S△CBE，求得=，于是得到S△ECF=，故③正确；根据线段垂直平分线的性质得到EB=EN，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠EBN，等量代换得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正确．
【详解】解：∵M、N是BD的三等分点，
∴DN=NM=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴，
∴BE=CD，
∴BE=AB，故①正确；
∵AB∥CD，
∴△DFN∽△BEN，
∴=，
∴DF=BE，
∴DF=AB=CD，
∴CF=3DF，故②错误；
∵BM=MN，CM=2EM，
∴△BEM=S△EMN=S△CBE，
∵BE=CD，CF=CD，
∴=，
∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，
∴S△ECF=，故③正确；
∵BM=NM，EM⊥BD，
∴EB=EN，
∴∠E=∠EBN，
∵CD∥AB，
∴∠ABN=∠CDB，
∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，
∴△DFN是等腰三角形，故④正确；
故答案为①③④．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
三、计算综合题：
19. x2﹣4x+1=0（用配方法）
【正确答案】x1=2+，x2=2﹣.
分析】先移项，然后配方，解出x即可.
【详解】解：x2－4x+1=0，
移项，得x2－4x=－1，
配方，得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3，
解得，x－2=，
即x1=2+，x2=2－．
本题考查配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方．
20. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若 AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）15
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又因为∠AEB=∠C=90°，所以可证△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．
详解】（1）证明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得 ，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴ ，
∴BE=20，
∴AE==15．
此题考查相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
21. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx-1（x＞0）的图象点A（1,2）和点B（m,n）（m＞1）,过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当△ABC面积为2时,求点B的坐标．
（3）P为线段AB上一动点（P没有与A、B重合）,在（2）的情况下,直线y=ax﹣1与线段AB交于点P，直接写出a的取值范围．
【正确答案】（1）y=（2）点B的坐标为（3，）（3）＜a＜3．
【详解】试题分析：（1）根据待定系数法直接代入求解即可；
（2）利用代入法直接可得到m、n的关系，然后根据三角形的面积表示出m、n即可得到B的坐标；
（3）通过代入法求出a的两个值，然后根据动点确定a的范围.
试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象点A（1，2），
∴k=1×2=2，∴反比例函数解析式为y=．
（2）∵点B（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴mn=2．
又∵S△ABC=0.5BC•（yA﹣yB）=0.5m（2﹣n）=m﹣0.5mn=m﹣1=2，
∴m=3，n=，∴点B的坐标为（3，）．
（3）将A（1，2）代入y=ax﹣1中，2=a﹣1，解得：a=3；
将B（3，）代入y=ax﹣1中，=3a﹣1，解得：a=．
∵直线y=ax﹣1与线段AB交于点P，P为线段AB上一动点（P没有与A、B重合），
∴＜a＜3．
22. 已知反比例函数的图象点A（1，3）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）当x=2时, 求y的值；
（3）当自变量x从5增大到8时，函数值y是怎样变化的．
【正确答案】（1）；（2）；（3）函数值y从减小到．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），
∴k=3
∴反比例函数的解析式为；
（2） 当时，；
（3） 在象限内，由于k=3 ＞0，所以y随x的增大而减小
当时，；当时，
所以当自变量x从5增大到8时，函数值y从减小到．
23. 某商店以每件50元价格购进某种品牌衬衫100件，为使这批衬衫尽快出售，该商店先将进价提高到原来的2倍，共了10件，再降低相同的百分率作二次降价处理；次降价标出了“”，共了40件，第二次降价标出“价”，结果一抢而光，以“价”时，每件衬衫仍有14元的利润．
（1）求每次降价的百分率；
（2）这次中商店获得多少利润？请通过计算加以说明．
【正确答案】（1）20%；（2）2400元；
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据题意可得等量关系：进价×2×（1﹣降价的百分率）2﹣进价=利润14元，根据等量关系列出方程，再解方程即可；
（2）首先计算出总款，然后再减去成本可得利润．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意得：
50×2（1﹣x）2﹣50=14，
解得：x1=0.2=20%．x2=1.8（没有合题意舍去），
答：每次降价的百分率为20%；
（2）10×50×2+40×50×2（1﹣20%）+（100﹣10﹣40）×50×2（1﹣20%）2﹣50×100=2400（元）
答：在这次中商店获得2400元利润．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
四、综合题：
24. （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC=×BC×AF，S△BCD=×BC×DE ．
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样．
（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD
（3）应用拓展：
如图3，按此方式将大小没有同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm2．
【正确答案】（1）同底等高的两三角形面积相等；（2）证明见解析（3）40
【详解】试题分析：（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等（2）利用（1）的结论△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，从而S▱ABCD=S△APD．
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，阴影部分面积是S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF，分别计算.
试题解析：
（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；
故答案为同底等高的两三角形面积相等.
（2）∵AB∥CE，BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴S△ABC=S△AEC，
∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.
（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，
∵S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF=×b×（a﹣b）+b×b+×a×a﹣×b×（b+a）=ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab=a2，
∴S△ACF=S正方形ABCD=×80cm2=40cm2.
故答案为40．
25. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用函数y=x刻画．
（1）请用配方法求二次函数图象的点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P没有重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【正确答案】（1）（2，4）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
【详解】解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A的坐标为；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，难度适中．利用数形与方程思想是解题的关键．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题
（二模）
一、选一选：本大题共8道小题，每小题2分，共16分．
1. 长城、故宫等是我国批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米．将6700 000用科学数法表示应为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×106 C. 6.7×107 D. 0.67×106
2. 如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中值最小的数对应的点是（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
3. 下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
5. 老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面画出白道，至少一道，多的是三道或五道，再将纸条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入小水罐中浸湿，即现出白道儿，按照上面的白道儿数给糖．
一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张，从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AAl，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是（ ）
A. 1200+270 B. 800+270
C. 540+600 D. 800+600
8. 如图．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4．点E为Rt△ABC边上一点，以每秒1单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D．设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填 空 题，本大题共8小题，共16分．
9. 已知m+n=3，m-n=2，那么m2-n2的值是__________．
10. 写出图象点（-l，1）的一个函数的表达式是__________．
11. 如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=__________°.
12. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是_____．
13. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
14. 如图，⊙O半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．
16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
小霞的作法如下：
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞作图依据：_____________________________________．
三、解 答 题：本大题共12小题，共68分．
17. 计算+|-2|-2tan60°+（）-1．
18. 解没有等式组：
19. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE.求证：CE//AD.
20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个没有相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．
21. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+l与双曲线y=的一个交点为A（m，-3）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过动点P（n，0）（n＜0）且垂直于x轴的直线与直线y=2x+l和双曲线y=的交点分别为B，C，当点B位于点C上方时，直接写出n的取值范围．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.
23. 如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.
24. 阅读下列材料：
2016年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市战略，加快建设国际的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展，实现了“十三五”良好开局．
在教育方面，全市共有58所普通高校和81个科研机构培养研究生，全年研究生招生9.7万人，在校研究生29.2万人．全市91所普通高校全年招收本专科学生15.5万人，在校生58.8万人．全市成人本专科招生6.1万人，在校生17.2万人．
在科技方面，2016年全年研究与试验发展（R&D）支出1479.8亿元，比2015年增长了6.9%，全市研究与试验发展（R&D）人员36.2万人，比上年增长1.1万人．2013年，2014年，2015年全年研究与试验发展（R&D）支出分别为1185.0亿元，1268.8亿元，1384.0亿元，分别比前一年度增长11.4%，7.1%，9.1%．
（以上数据来源于北京市统计局）
根据以上材料解答下列问题：
（1）请用统计图或统计表将北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生的招生人数和在校生人数表示出来；
（2）2015年北京市研究与试验发展（R&D）人员为 万人；
（3）根据材料中的信息，预估2017年北京市全年研究与试验发展（R&D）支出约 亿元，你的预估理由是 ．
25. 佳佳想探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况．根据以往的学习他想到了方程与函数的关系：函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为方程kx+b=0（k≠0）的解；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解．如：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），交点的横坐标-1和3即为方程x2-2x-3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，若知道函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知道方程x3+2x2-x-2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象：
（1）直接写出m的值________，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有________个，分别为________________；
（3）借助函数的图象，直接写出没有等式x3+2x2＞x+2的解集________________．
26. 平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．
（1）当抛物线C点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；
（3）若抛物线C：y=mx2+4x+l（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-l和0之间（没有包括-l和0）．函数的图象，求m的取值范围．
27. 在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．
（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为________．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依题意将图2补全；
②求CD的长；
（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．
28. 我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的值称为该点到这个图形的距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度______________；
B（-，）的距离跨度____________；
C（-3，-2）的距离跨度____________；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______________．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，求出圆心E的横坐标xE的取值范围．
2022-2023学年北京区域联考中考数学专项提升仿真模拟测试题
（一模）
一、选一选：本大题共8道小题，每小题2分，共16分．
1. 长城、故宫等是我国批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米．将6700 000用科学数法表示应为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×106 C. 6.7×107 D. 0.67×106
【正确答案】B
【详解】根据科学记数法的表示形式（a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数）：可得：
将6700 000用科学记数法表示为6.7×106.
故选B.
科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中值最小的数对应的点是（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
【正确答案】B
【详解】∵实数-3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，
∴原点在点P与N之间，
∴这四个数中值最小的数对应的点是点N．
故选B．
3. 下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】A、没有是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、没有是轴对称图形，故此选项错误；
D、没有是轴对称图形，故此选项错误；
故选B．
4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=，则∠BOC的大小为（ ）
A. 40° B. 30° C. 80° D. 100°
【正确答案】D
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D．
5. 老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面画出白道，至少一道，多的是三道或五道，再将纸条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入小水罐中浸湿，即现出白道儿，按照上面的白道儿数给糖．
一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张，从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵共有10张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有3张，
∴从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是.
故选：B.
6. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，
∴PA=PB，
根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，
故可判断B选项正确．
故选B．
7. 如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AAl，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是（ ）
A. 1200+270 B. 800+270
C. 540+600 D. 800+600
【正确答案】C
【详解】BD=400-130=270（米），
CB2=1000-400=600（米），
在Rt△ABD中，AB=(米).
在Rt△BCB2中，BC=.
AB+BC=540+600.
故选C.
8. 如图．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4．点E为Rt△ABC边上一点，以每秒1单位的速度从点C出发，沿着C→A→B的路径运动到点B为止．连接CE，以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与线段BC交于点D．设扇形DCE面积为S，点E的运动时间为t．则在以下四个函数图象中，扇形面积S关于运动时间t的变化趋势的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】∵Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E以每秒1个单位的速度从点C出发，
∴当0≤t≤4时，扇形面积S=，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故B选项错误；
当4＜t≤8时，随着t的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，
∴后半段函数图象没有是抛物线，故C选项错误；
∵当t=8时，点E、D重合，
∴扇形的面积为0，故D选项错误；
故选A．
动点问题的函数图象：用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，没有仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
二、填 空 题，本大题共8小题，共16分．
9. 已知m+n=3，m-n=2，那么m2-n2的值是__________．
【正确答案】6
【详解】∵m+n=3，m-n=2
∴原式=（m+n）（m-n）=6
故答案是：6．
10. 写出图象点（-l，1）的一个函数的表达式是__________．
【正确答案】y=-x（没有）
【详解】∵图象点（－1，1），
∴这个函数关系式可以是：y=-x（没有）.
故答案是：y=-x（没有）.
11. 如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1=__________°.
【正确答案】48
【详解】∵正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正五边形的每个内角是：
（5-2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
∴∠1=108°-60°=48°，
故答案为48°
运用了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
12. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是_____．
【正确答案】70千米/时
【详解】试题解析：70千米/时是出现次数至多，故众数是70千米/时，
故答案为70千米/时.
点睛：根据众数是出现次数至多的数直接写出答案即可；
13. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．
【正确答案】4
【分析】应用勾股定理求出AB，再由求出BE，问题可解
【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知：AB==10．
由折叠的性质得：BE=BC=6，
则AE=AB﹣BE=10-6=4．
故答案为4．
14. 如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为__________．
【正确答案】π
【详解】解：如图，连接OA、OB．∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB=360°×=60°，弧AB的长为=π．故答案为π．
15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．
【正确答案】（x-4）2+102=x2
【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2．
【详解】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为
x2＝102＋(x－4)2，
故答案为x2＝102＋(x－4)2．
本题考查勾股定理的应用．
16. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
小霞的作法如下：
老师说：“小霞的作确．”
请回答：小霞作图依据：_____________________________________．
【正确答案】（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义．
【详解】（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义．
本题考查了基本作图：作已知角的角平分线．
三、解 答 题：本大题共12小题，共68分．
17. 计算+|-2|-2tan60°+（）-1．
【正确答案】5-．
【详解】试题分析：原式项化为最简二次根式，第二项利用去值符号方法去值符号，第三项利用角的三角函数值计算，第四项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；．
试题解析：
+|-2|-2tan60°+（）-1
＝2
＝5-
18. 解没有等式组：
【正确答案】．
【详解】分别解两个没有等式得到和，利用大于小的，小于大的，取中间可确定没有等式组的解集，再写出没有等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
解：
解没有等式①，得．
解没有等式②，得 ．
∴ 原没有等式组的解集为．
本题考查了一元没有等式组的解法：解一元没有等式组时，一般先求出其中各没有等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到．
19. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE.求证：CE//AD.
【正确答案】①∠B=∠CEB ②∠A=∠CEB ③CE//AD
【详解】试题分析：先根据等边对等角，得出∠B=∠CEB，再根据等量代换，即可得出∠A=∠CEB，进而判定CE∥AD．
试题解析：
∵CB=CE，
∴∠B=∠CEB，
又∵∠A=∠B，
∴∠A=∠CEB，
∴CE∥AD．
20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个没有相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．
【正确答案】方程的根
【分析】（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出关于k的一元没有等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣a）x+k（k+2）=0有两个没有相等的实数根，
∴△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4k（k﹣2）=﹣16k+4＞0，
解得：k＜ ．
（2）当k=0时，原方程为x2+2x=x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
∴当k=0时，方程的根为0和﹣2．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根”；（2）取k=0，再利用分解因式法解方程．
21. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+l与双曲线y=的一个交点为A（m，-3）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过动点P（n，0）（n＜0）且垂直于x轴的直线与直线y=2x+l和双曲线y=的交点分别为B，C，当点B位于点C上方时，直接写出n的取值范围．
【正确答案】（1）y=；（2）-2＜n＜0．
【详解】试题分析：（1）根据点A纵坐标利用函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出双曲线的表达式；
（2）依照题意画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，即可找出n的取值范围．
试题解析：
（1）当y=2x+1=-3时，x=-2，
∴点A的坐标为（-2，-3），
将点A（-2，-3）代入y= 中，
-3=，解得：k=6，
∴双曲线的表达式为y= ．
（2）依照题意，画出图形，如图所示．
观察函数图象，可知：当-2＜x＜0时，直线y=2x+1在双曲线y=的上方，
∴当点B位于点C上方时，n的取值范围为-2＜n＜0．
运用了反比例函数与函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是：（1）利用函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出n的取值范围．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）由四边形ABCD为平行四边形得出AD//BC，证得△BEF∽△DAF即可得出结论；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB、DF 即可得到AD的长.
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD
∵点E为BC的中点
∴BE=BC=A D
∵AD//BC,∴△BEF∽△DAF
∴
∴DF=2BF
（2）解：∵CD=
∴AB=CD=
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°
∴设AF=x，则BF=2x
∴AB = =， x =
∴x=1，AF=1，BF=2
∵DF=2BF
∴DF=4
∴ AD = =.
23. 如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD=90°.得出∠ABC=90°，即可得出结论；
(2) 在RtΔBDF中，利用三角函数即可求出DF的长度.
解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠A+∠DBA=90°，
∵ 弧BD=弧BD，∴∠A=∠E，
∵∠CBD=∠E，∴∠CBD=∠A ，
∴∠CBD +∠DBA=90°，∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：∵∠BED=30°，
∴∠A=∠E=∠CBD=30°，
∴∠DBA=60°，
∵点E为弧AD的中点，
∴∠EBD=∠EBA=30°，
∵⊙O半径为2，
∴AB=4，BD=2，AD= .
在RtΔBDF中，∠DBF=90°，
，
∴DF.
“点睛”本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、三角函数等知识，熟练掌握切线的判定，由三角函数求出直径是解决问题（2）的关键.
24. 阅读下列材料：
2016年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市战略，加快建设国际的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展，实现了“十三五”良好开局．
在教育方面，全市共有58所普通高校和81个科研机构培养研究生，全年研究生招生9.7万人，在校研究生29.2万人．全市91所普通高校全年招收本专科学生15.5万人，在校生58.8万人．全市成人本专科招生6.1万人，在校生17.2万人．
在科技方面，2016年全年研究与试验发展（R&D）支出1479.8亿元，比2015年增长了6.9%，全市研究与试验发展（R&D）人员36.2万人，比上年增长1.1万人．2013年，2014年，2015年全年研究与试验发展（R&D）支出分别为1185.0亿元，1268.8亿元，1384.0亿元，分别比前一年度增长11.4%，7.1%，9.1%．
（以上数据来源于北京市统计局）
根据以上材料解答下列问题：
（1）请用统计图或统计表将北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生的招生人数和在校生人数表示出来；
（2）2015年北京市研究与试验发展（R&D）人员为 万人；
（3）根据材料中的信息，预估2017年北京市全年研究与试验发展（R&D）支出约 亿元，你的预估理由是 ．
【正确答案】（1）图表见解析; （2）35.1 ；（3）1598.1，用近3年平均增长率估计2017年的增长率．
【详解】（1） 北京市2016年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生
招生人数和在校生人数统计表（单位：万人）
人数项目
类别
研究生
普通高校本专科学生
成人本专科学生
招生人数
9.7
15.5
6.1
在校生人数
29.2
58.8
17.2
（2）36.2-1.1=35.1万人；
答：2015年北京市研究与试验发展（R&D）人员为35.1万人；
故答案为35.1；
（3）设2014到2016的平均增长率为x，
则1268.8（1+x）2=1479.8，
解得x≈8%，
用近3年的平均增长率估计2017年的增长率，
则2017年北京市在研究和实验发展（R&D）中的投入约为1479.8×（1+8%）≈1598.1亿元，
理由是用近3年的平均增长率估计2017年的增长率．
故答案分别为：1598.1，用近3年的平均增长率估计2017年的增长率．
25. 佳佳想探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况．根据以往的学习他想到了方程与函数的关系：函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为方程kx+b=0（k≠0）的解；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解．如：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），交点的横坐标-1和3即为方程x2-2x-3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，若知道函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知道方程x3+2x2-x-2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象：
（1）直接写出m的值________，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有________个，分别为________________；
（3）借助函数的图象，直接写出没有等式x3+2x2＞x+2的解集________________．
【正确答案】（1）m=0，图象见解析；（2）方程的解有三个，分别是-2，-1，1；（3）没有等式的解集是-2＜x＜-1或x＞1．
【详解】试题分析：（1）求出x=-1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；
（2）利用图象以及表格即可解决问题；
（3）没有等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2-x-2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题；
试题解析：
（1）由题意m=-1+2+1-2=0．
函数图象如图所示．
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为-2，或-1或1．
故答案为3，-2，或-1或1．
（3）没有等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2-x-2的函数值大于0的自变量的取值范围．
观察图象可知，-2＜x＜-1或x＞1．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．
（1）当抛物线C点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；
（3）若抛物线C：y=mx2+4x+l（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-l和0之间（没有包括-l和0）．函数的图象，求m的取值范围．
【正确答案】（1）y=x2+4x+1，抛物线的顶点坐标是（-2，-3）；（2）m=2；（3）3＜m≤4．
【详解】试题分析：（1）把点A（-5，6）代入抛物线y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）先求出直线y=-x+1与直线y=x+3的交点，即可得出其对称轴，根据抛物线的对称轴方程求出m的值即可；
（3）根据抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间可知当x=-1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可．
试题解析：
（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1点A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2-3，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-3）；
（2）∵直线y=-x+1与直线y=x+3的交点为（-1，2），
∴两直线的对称轴为直线x=-1．
∵直线y=-x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，
∴- =-1，解得m=2；
（3）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间，
∴当x=-1时，y＞0，且△≥0，即
解得3＜m≤4．
27. 在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．
（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为________．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依题意将图2补全；
②求CD的长；
（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．
【正确答案】（1）105°；（2）①答案见解析；②CD=2；（3）AC+BC=CD．
【分析】（1）先判断出∠CAD=∠DBE，再利用等腰直角三角形求出∠ABD=45°，进而求出∠CBD，用邻补角即可得出结论；
（2）①根据题意及基本作图即可补全图形；②构造出△ACD≌△BED，进而判断出△CDE是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得出解；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠ABD+∠ABC=75°，
∴∠CAD=∠DBE=180°-75°=105°
故答案为105°．
（2）①补全图形，如图所示．
②如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CE=4．
∴CD=2 ．
（3）AC+BC=CD，
理由：如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∴CE= CD，
∵CE=BC+BE=BC+AC．
即：AC+BC＝CD．
三角形综合题，主要考查了等角的补角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是构造出全等三角形，进而判断出△CDE或△CDH是等腰直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．
28. 我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的值称为该点到这个图形的距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度______________；
B（-，）的距离跨度____________；
C（-3，-2）的距离跨度____________；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______________．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，求出圆心E的横坐标xE的取值范围．
【正确答案】（1）①2；2，4；②以O为圆心，半径为1的圆；（2）-≤k≤；（3）-1≤xE≤2 ．
【详解】试题分析：（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和距离D，即可得出跨度；
②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．
（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．
试题解析：
（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，
∴直径为4，
∵A（1，0），OA=1，
∴点A到⊙O的最小距离d=1，
点A到⊙O的距离D=3，
∴点A到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵B
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG-OB=1，
点B到⊙O的距离D=BF=FO+OB=2+1=3，
∴点B到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；
∵C（-3，-2），
∴OC＝
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC-OD=－2.
点C到⊙O的距离D=CE=OC+OE=2+
∴点C到图形G1的距离跨度R=D-d=2+－（－2））=4；
故答案为2，2，4．
②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP=
∴点P到⊙O的最小距离d=2-OP，点P到⊙O的距离D=2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP=2，
∴OP=1，
∴＝1
∴x2+y2=1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ=
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ-2，点P到⊙O的距离D=OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况没有存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为圆；
（2）设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），
∴OP＝
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，
∴点P在图形G2⊙C内部，
∴R=2OP=2
∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，
∴2＝2
∴（k2+1）m2+2（k2-1）m+k2=0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△=4（k2-1）2-4×（k2+1）k2=-12k2+4≥0，
（3）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．
由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD=2，CH=4，CE=1，
∵射线OP的解析式为y=，
∴∠COE=30°，OE=2CE=2，
当E′（-1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，
观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：-1≤xE≤2．
故答案为-1≤xE≤2．
圆的综合题：主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由（1）的已知点的坐标计算距离跨度，观察得出规律是解本题的关键．是一道难点比较大的中考常考题，判断出图形的形状是圆，是本题的难点．
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