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2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析
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2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：（本大题共16小题，42分.1-10小题个3分，11-16小题各2分．）
1. 计算(﹣3)+5的结果等于( )
A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8
2. 据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×105 C. 6.7×107 D. 6.7×108
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. （﹣2xy）2=﹣4x2y2 B. x6÷x3=x2 C. （x﹣y）2=x2﹣y2 D. 2x+3x=5x
5. 计算的结果为（ ）
A 1 B. a C. a+1 D.
6. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件没有能判定直线a与b平行的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠4=180° C. ∠1=∠4 D. ∠3=∠4
7. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
8. 如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
9. 函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. 1＜m＜2 C. m＜1 D. m＞2
10. 将一枚质地均匀硬币先后抛掷两次，则至少出现正面向上的概率为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A. 54° B. 62° C. 64° D. 74°
12. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
13. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A. AC B. AD C. BE D. BC
16. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
A. B. C. D.
二、选一选（本大题共3小题，共10分.17-18小题各3分，19小题2个空，每空2分）
17. -5的相反数是 _______
18. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．
19. 如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣，OA1=l，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l3交y轴于点A4…，则点A2坐标为_____；点A2018的坐标为_____．
三、解 答 题：（本大题共7个小题，共68分）
20. 计算：
（1）4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
（2）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕5=2×（2﹣5）+1
=2×（﹣3）+1
=﹣6+1
=﹣5
①求（﹣2）⊕3的值；
②若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来．
21. （1）计算：（﹣2x2y）3÷（﹣4xy2）；
（2）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：AE=CE．
22. 我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战没有可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅没有完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次中共抽取了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目人数所在的扇形的圆心角是 度．
（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？
23. 某段笔直的限速公路上，规定汽车的行驶速度没有能超过60km/h(即m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°角；
(2)写出点B、点C坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上否超速？(本小问中取1.7)
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
25. 在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB没有动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的值与最小值．
26. 如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：（本大题共16小题，42分.1-10小题个3分，11-16小题各2分．）
1. 计算(﹣3)+5的结果等于( )
A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8
【正确答案】A
【分析】依据有理数的加法法则计算即可.
【详解】（﹣3）+5=5﹣3=2．
故选：A.
本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2. 据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×105 C. 6.7×107 D. 6.7×108
【正确答案】C
【详解】解：67000000这个数用科学记数法表示为6.7×107．故选C．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. （﹣2xy）2=﹣4x2y2 B. x6÷x3=x2 C. （x﹣y）2=x2﹣y2 D. 2x+3x=5x
【正确答案】D
【详解】解：A．（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误；
B．x6÷x3=x3，故本选项错误；
C．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
D．2x+3x=5x，故本选项正确．
故选D．
5. 计算的结果为（ ）
A. 1 B. a C. a+1 D.
【正确答案】A
【详解】原式==1，
故选A．
6. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件没有能判定直线a与b平行的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠4=180° C. ∠1=∠4 D. ∠3=∠4
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．∵∠1=∠3，∴a∥b，故A正确；
B．∵∠2+∠4=180°，∠2+∠1=180°，∴∠1=∠4，∵∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故B正确；
C． ∵∠1=∠4，∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故C正确；
D．∠3和∠4是对顶角，没有能判断a与b是否平行，故D错误．
故选D．
考点：平行线的判定．
7. 估计值在（ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【正确答案】C
【详解】解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7，
故选：C．
8. 如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
【正确答案】B
【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选B．
9. 函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. 1＜m＜2 C. m＜1 D. m＞2
【正确答案】B
【详解】分析：根据函数的图象第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的没有等式组，解没有等式组即可．
详解：∵函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，∴，解得：1＜m＜2．
故选B．
点睛：本题主要考查函数图象在坐标平面内位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必一、三象限．k＜0时，直线必二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现正面向上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得，出现的所有可能性是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），∴至少正面向上的概率为：，故选C．
11. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A. 54° B. 62° C. 64° D. 74°
【正确答案】C
【详解】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．
点睛：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
12. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：观察几何体可得，这个几何体的主视图是四个正方形组成，故答案选A．
考点：几何体的主视图．
13. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：设教育的年平均增长率为x，
则2013教育为：3000×（1+x）万元，
2014的教育为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出没有同时间按增长率所得教育与预计投入的教育相等的方程．
14. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，
∴PA=PB，
根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，
故可判断B选项正确．
故选B．
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A. AC B. AD C. BE D. BC
【正确答案】C
【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，
∴∠DBC=60°，
∵BQ=2+x，QH⊥BD，
∴BH=BQ=1+x，
过H作HG⊥BC，
∴HG=BH=，
∴S=PB•GH= ，（0＜x≤2），
故选A．
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、选一选（本大题共3小题，共10分.17-18小题各3分，19小题2个空，每空2分）
17. -5的相反数是 _______
【正确答案】5
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【详解】解：-5的相反数是5，
故5．
本题主要考查了相反数的性质，只有符号没有同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
18. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．
【正确答案】35°##35度
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，
∴∠ACB=∠AOB=35°．
故答案为35°．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
19. 如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣，OA1=l，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l3交y轴于点A4…，则点A2坐标为_____；点A2018的坐标为_____．
【正确答案】 ①. （1，）， ②. （（）2016，（）2017）．
【详解】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，∴点A2017在x轴的正半轴上，∵OA2= =，OA3=（）2，OA4=（）3，…
OA2016=，∴点A2017坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
三、解 答 题：（本大题共7个小题，共68分）
20. 计算：
（1）4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
（2）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕5=2×（2﹣5）+1
=2×（﹣3）+1
=﹣6+1
=﹣5
①求（﹣2）⊕3的值；
②若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来．
【正确答案】(1)3；(2)①11；② x＞﹣1
【详解】分析：（1）根据角锐角三角函数以及零指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据题意给出的运算法则即可求出答案．
详解：（1）原式=4×+1﹣2+2=3
（2）①原式=（﹣2）×（﹣2﹣3）+1=10+1=11
②∵3⊕x=3（3﹣x）+1=10﹣3x
∴10﹣3x＜13
∴x＞﹣1
在数轴表示，如图：
点睛：本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
21. （1）计算：（﹣2x2y）3÷（﹣4xy2）；
（2）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：AE=CE．
【正确答案】(1) 2x5y．(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）根据整式的除法法则计算即可；
（2）根据ASA证明即可；
详解：（1）原式=﹣8x6y3÷（﹣4xy2）
=2x5y．
（2）∵AB∥FC，∴∠ADE=∠F．在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE，∴AE=CE．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、整式的除法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战没有可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅没有完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次中共抽取了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是 度．
（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？
【正确答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）36；（4）600人.
【详解】试题分析：（1）用喜欢《中国诗词大会》人数除以所占的百分比列式计算即可；
（2）求得喜爱《挑战没有可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；
（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．
试题解析：
解：（1）30÷15%＝200名，
答：本次中共抽取了200名学生；
故答案为200；
（2）喜爱《挑战没有可能》节目的人数＝200﹣20﹣60﹣40﹣30＝50名，
补全条形统计图如图所示；
（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×＝36度；
故答案为36；
（4）2000×＝600名，
答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．
点睛：此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．
23. 某段笔直的限速公路上，规定汽车的行驶速度没有能超过60km/h(即m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；
(2)写出点B、点C坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(本小问中取1.7)
【正确答案】（1）∠OAB=60°，∠OAC=45°；（2）C的坐标是（100，0）；（3）该汽车在这段限速路上超速了．
【分析】（1）根据方向角的定义即可表示60°和45°的角；
（2）已知OA=100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；
（3）先求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，再与60km/h（即m/s）比较就可以判断是否超速．
【详解】（1）如图所示，∠OAB=60°，∠OAC=45°；
（2）∵在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，∴OB=OA•tan60°=100，∴点B坐标是（﹣100，0）；
∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC=OA=100，∴C的坐标是（100，0）；
（3）BC=BO+OC=100+100≈270（m）．
270÷15=18（m/s）．
∵18＞，∴该汽车在这段限速路上超速了．
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）96元.
【详解】试题分析：（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是120，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润=（单价x-2）×日数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价没有超过10元/根，就可以求出获得日利润时的日单价x．
试题解析：解：（1）∵3×40=120，4×30=120，5×24=120，6×20=120，∴y是x的反比例函数．设（k为常数且k≠0），把点（3，40）代入得，k=120，所以 ；
（2）∵W=（x﹣2）y=120﹣，
又∵x≤10，∴当x=10，W=96（元）．
点睛：本题考查了反比例函数的定义，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
25. 在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB没有动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的值与最小值．
【正确答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由见解析；（3）或；（4）PC的值=3，PC的最小值=﹣1．
【详解】分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．
（3）在图3、图4中，分别求解即可．
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的值=3，PC的最小值=﹣1．
详解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
故答案为60或240；
（2）结论：AC=BD，理由如下：
如图2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD；
（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=，OH=．在Rt△AOH中，AH==，∴BD=AC=CH+AH=．
如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
易知AC=BD=AH﹣CH=．
综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为或；
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的值=3，PC的最小值=﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
26. 如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
【正确答案】（1）D（1，﹣9）．（2）P．（3）点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
【详解】试题分析：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解析式，利用配方法可求得点D的坐标；
（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，将直线EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；
（3）先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CB的解析式为y=k2x﹣8，从而可求得点F的坐标，设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），然后分为MF=MB、FM=FB两种情况列方程求解即可．
试题解析：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8，∴抛物线的解析式为．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）；
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0），
∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0），
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线，∴∠BEP=45°，
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：，解得：x=或x=，
点P在第四象限，∴x=，∴y=，∴P；
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8，
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2，
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8，
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6），
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）；
当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5，
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）；
综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、翻折的性质、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于a的方程是解题的关键．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是
A. B. C. D. 2018
2. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A. 圆锥 B. 六棱柱 C. 球 D. 四棱锥
3. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能打开该旅行箱的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ）.
A. ＞-2 B. ≥-2 C. ＞-3 D. ≥-3
5. 如图，有四条互相没有平行的直线、、、所截出的七个角，关于这七个角的度数关系正确的是（ ）
A ∠2 =∠4 +∠7 B. ∠1+∠4+∠6=180°
C. ∠3 =∠1 +∠6 D. ∠2+∠3+∠5=360°
6. 下列是随机的是（ ）
A. 画一个三角形，其内角和为361°
B. 任意做一个矩形，其对角线相等
C. 任意取一个实数，其值是非负数
D. 外观相同的10件同种产品中有两件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品
7. 若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（ ）
A. 75° B. 45° C. 30° D. 15
8. 若是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A. -2或4 B. -4或2 C. -2或6 D. -6或2
9. 没有等式组的最小整数解是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
10. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于
A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5
11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4
12. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6题，每小题3分，共18分）
13. 因式分解： =__________．
14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
15. 已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．
16. 如图，AB是半圆直径，点D是的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数．
17. 若实数满足，则xy的立方根为______ ．
18. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好点D，则CD的长为___.
三、解 答 题（本大题共8题，共66分）：
19. 计算：
20. 解分式方程：
21. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
⑴求证：四边形AECF是平行四边形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
22. 在平面直角坐标系中，函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求△AHO的周长.
23. 为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：
（1）在这项了多少名学生？
（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若到喜欢“跳绳”5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
24. 随着铁路运量的没有断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队至多施工几个月才能使工程款没有超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
25. 如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（没有A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.
（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．
26. 如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.
（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若没有存在，请说明理由.
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（二模）
一、选一选（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是
A. B. C. D. 2018
【正确答案】A
【详解】解：的倒数是，
故选A.
2. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A. 圆锥 B. 六棱柱 C. 球 D. 四棱锥
【正确答案】C
【详解】试题分析：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项没有符合题意；
B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项没有符合题意；
C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项没有符合题意；
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
3. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能打开该旅行箱的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】小军密码的末位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种可能，由此能求出小军能打开该旅行箱的概率．
【详解】解：∵小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，
∴小军密码的末位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种可能，
∴小军能打开该旅行箱的概率为
故选A．
此题考查概率的求法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
4. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ）.
A. ＞-2 B. ≥-2 C. ＞-3 D. ≥-3
【正确答案】D
【详解】分析：直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
详解：∵式子有意义，那么2x+6≥0，
则x的取值范围是：x≥-3．
故选D．
点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
5. 如图，有四条互相没有平行的直线、、、所截出的七个角，关于这七个角的度数关系正确的是（ ）
A. ∠2 =∠4 +∠7 B. ∠1+∠4+∠6=180°
C. ∠3 =∠1 +∠6 D. ∠2+∠3+∠5=360°
【正确答案】B
【详解】分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．
详解：如图，
∵四条互相没有平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，
∵∠1=∠AOB，
∵∠AOB+∠4+∠6=180°，
∴∠1+∠4+∠6=180°．
故选B．
点睛：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．
6. 下列是随机的是（ ）
A. 画一个三角形，其内角和为361°
B. 任意做一个矩形，其对角线相等
C. 任意取一个实数，其值是非负数
D. 外观相同的10件同种产品中有两件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品
【正确答案】D
【详解】分析：根据必然、没有可能、随机的概念，可得答案．
详解：A、画一个三角形，其内角和为361°是没有可能，故A错误；
B、任意做一个矩形，其对角线相等是必然，故B错误；
C、任取一个实数，与其相反数之和为0是必然，故C错误；
D、外观相同10件同种产品中有2件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品是随机，故D正确；
故选D．
点睛：本题考查了随机，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的．没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的．没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
7. 若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（ ）
A. 75° B. 45° C. 30° D. 15
【正确答案】B
【详解】分析：先画出图形，利用角的和差关系计算．
详解：如图，
∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=60°-15°=45°，
故选B．
点睛：本题考查了角的计算，注意先画出图形，利用角的和差关系计算．
8. 若是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A. -2或4 B. -4或2 C. -2或6 D. -6或2
【正确答案】C
【详解】分析：先根据平方项求出这两个数是x和2，再根据完全平方公式表示出乘积二倍项列式求解即可．
详解：根据平方项可知这两个数是x，2，
∴-（a-2）x=±2×x×2，
解得：a=6或-2．
故选C．
点睛：本题考点为对完全平方公式的应用．在求解的过程中应注意中间项系数的符号．
9. 没有等式组最小整数解是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
【正确答案】B
【详解】试题分析：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，没有等式组的解集为﹣1＜x≤3，没有等式组的最小整数解为0，故选B．
考点：一元没有等式组的整数解．
10. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于
A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5
【正确答案】A
【分析】先由，求得的比，再由，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：A．
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
11. 若是关于x一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4
【正确答案】B
【分析】把代入关于x的方程，得到，解关于m的方程即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得
故选B．
本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m的方程是解题关键．
12. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在Rt△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
详解：如图，作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，
∴CH=DC=3，DH=，
∴EF+DE的最小值=DH=3.
故选C．
点睛：本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．
二、填 空 题（本大题共6题，每小题3分，共18分）
13. 因式分解： =__________．
【正确答案】（x+4）（x-4）
【分析】
【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，
故(x+4)(x-4)
14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9
【详解】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
考点：相似三角形的性质．
15. 已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．
【正确答案】2
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]计算方差．
【详解】解：由平均数的公式得：（3+a+4+6+7）÷5=5，
解得a=5；
∴方差=[（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]÷5=2．
故2．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．
16. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数．
【正确答案】65°
【分析】连结BD，由于点D是AC弧的中点，即，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
【详解】连接BD,
∵D是中点，
∴
∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=×50°=25°,
∵AB是半圆的直径,
∴∠BDA=90° ,
∴∠BAD=90°-∠ABD =90°-25°=65°.
17. 若实数满足，则xy的立方根为______ ．
【正确答案】
【分析】根据偶次方和值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．
【详解】解：∵（2x+3）2+|9-4y|=0，
∴2x+3=0，解得x=-，
9-4y=0，解得y=，
xy=-×=-，
∴xy的立方根为-．
故答案为-．
本题考查了偶次方和值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．
18. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好点D，则CD的长为___.
【正确答案】2 cm
【分析】如图，首先证明AG为线段DH的垂直平分线；进而证明AD=AH=4，∠DAG=∠HAG=∠HAB=α，求出α；运用直角三角形的边角关系求出AB，即可解决问题．
【详解】如图，∵点E，F分别是CD和AB的中点，
且四边形ABCD为矩形，
∴EG∥CH，而DE=CE，
∴DG=GH;由题意得：∠AGH=∠B=90°，
∴AG为线段DH的垂直平分线，
∴AD=AH=4,∠DAG=∠HAG(设为α)；
而∠BAH=∠GAH=α，
∴3α=90°,α=30°，
∴cos30°=,AB=2 (cm)，
∴CD=AB=2cm，
故答案为2 cm.
此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于运用直角三角形的边角关系求出AB
三、解 答 题（本大题共8题，共66分）：
19. 计算：
【正确答案】3-
【详解】分析：原式项利用零指数幂法则计算，第二项利用值的意义计算，第三项利用角的三角函数值计算，一项化为最简二次根式即可得到结果．
详解：原式=1+2-+2×-=3-
点睛：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 解分式方程：
【正确答案】
【分析】
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
化x的系数为1，得，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为．
21. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
⑴求证：四边形AECF是平行四边形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
【正确答案】⑴证明见解析
⑵5
【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．
（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长
【详解】⑴证明：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC
∴四边形AECF是平行四边形
⑵解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC
∴∠1=∠2分
∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，
∴∠3=∠4，
∴AE=BE
∴BE=AE=CE=BC=5
22. 在平面直角坐标系中，函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求△AHO的周长.
【正确答案】（1）函数为，反比例函数为；（2）△AHO周长为12
【详解】分析：（1）根据正切函数可得AH=4，根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出k的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k的值求出B两点的坐标，用待定系数法便可求出函数的解析式．
（2）由（1）知AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案.
详解：（1）∵tan∠AOH==
∴AH=OH=4
∴A（-4，3），代入，得
k=-4×3=-12
∴反比例函数为
∴
∴m=6
∴B（6，-2）
∴
∴=，b=1
∴函数为
（2）
△AHO的周长为：3+4+5=12
点睛：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数及反比例函数的解析式．
23. 为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：
（1）在这项了多少名学生？
（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【正确答案】（1）在这项了150名学生；
（2）本项中喜欢“立定跳远”的学生人数是45人，所占百分比是30%，图形见解析；
（3）刚好抽到同性别学生的概率是．
【详解】试题分析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出的学生数；
（2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；
（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
试题解析：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
答：在这项了150名学生；
（2）本项中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），
所占百分比是：×=30%，
画图如下：
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．
24. 随着铁路运量的没有断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队至多施工几个月才能使工程款没有超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【正确答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）甲队至多施工6个月才能使工程款没有超过1500万元．
【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”．
（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款没有超过1350万元，列没有等式求解．
【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得，即，
解得（没有合题意，舍去）．
∴．
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为：
由题意得，100m+（100+20）（10- m）≤1350，
解得：
∵施工时间为整数，
当甲队至多施工7个月时，乙需要要施工6个月；此时总费用为1420万元（舍去）；
当甲施工6个月时，乙需要施工6个月，此时总费用为1320万元；符合题目要求；
故甲至多施工6个月．
本题考查了一元二次方程的应用和一元没有等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及没有等式求解．
25. 如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（没有A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.
（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）连接OP，根据平行线的性质得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根据等腰三角形的性质得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根据全等三角形的性质得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由OQ∥AP，可得△COE∽△CAP,从而列比例式求出PC的长； 由OQ∥AP，∠E=∠APC，所以tan∠E=，从而求得结果.
解：(1)连接OP，
∵OQ∥AP，∴∠A=∠BOQ，∠APO=∠POQ，
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO．
∴∠BOQ=∠POQ,
在△OQB与△OQP中，
∠BOQ=∠POQ，OP=OB，OQ=OQ，
∴△OQB≌△OQP,
∴∠OBQ=∠OPQ，PQ=BQ．
∵BM切⊙O于点B,∴∠OBQ=∠OPQ=90°．
∴PQ与⊙O相切；
(2) ∵OQ∥AP，∴△COE∽△CAP,∴,
由AB的长为12，
∴OA=6.
∵PC=2EC， ∴OC=2，AC=4,
∴.
由OQ∥AP，∠E=∠APC，
∴tan∠E=.
26. 如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.
（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时， P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时， P（，-3），P（，-3）；④=时， P（，-），P（，-）.
【详解】分析：（1）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标，
（2）将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y＝x−m上的．求∠OAB的度数，可通过求∠OAB的正切值来得出，根据直线AB的解析式可得出B点坐标，即可得出OB的长，OA的长已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度数．
（3）本题可分成四种情况：
一：∠AQP=∠AOB=90°：
①AO=PQ，OB=AQ，此时P、B重合，即可求出P点坐标（根据抛物线的对称性可知：P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求）．
②AO=AQ，PQ=OB，此时P点纵坐标的值与A点横坐标相等，可将其代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的P点坐标．
二：∠APQ=∠AOB=90°：
①AO=PA，OB=PQ，可过P作抛物线对称轴的垂线，通过∠PAQ的度数和AP即OA的长求出P点纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标．
②AO=PQ，PA=OB，同①
因此本题共有8个符合条件的P点坐标．
详解：（1）对称轴：x=m；
顶点：A（m，0）．
（2）将x=m代入函数y=x-m，
得y=×m-m=0
∴点A（m，0）在直线l上．
当x=0时，y=-m，
∴B（0，-m）
tan∠OAB=，
∴∠OAB=30度．
（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：
①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，
如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得-m=-3m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P1（0，-）
其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．
②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时
点P坐标为（m-m，-m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P3（3-，-3）
还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．
③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时
点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=2
这时有P5（，-3）
还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．
④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时
点P坐标为（m，−m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P7（，-）
还有关于对称轴对称的点P8（，-）．
所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；
当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；
当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；
当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．
点睛：本题主要考查了二次函数的相关知识以及全等三角形的判定，要注意（3）小题中，要分类讨论，将所有的情况都考虑到，以免漏解．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：（本大题共16小题，42分.1-10小题个3分，11-16小题各2分．）
1. 计算(﹣3)+5的结果等于( )
A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8
2. 据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×105 C. 6.7×107 D. 6.7×108
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. （﹣2xy）2=﹣4x2y2 B. x6÷x3=x2 C. （x﹣y）2=x2﹣y2 D. 2x+3x=5x
5. 计算的结果为（ ）
A 1 B. a C. a+1 D.
6. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件没有能判定直线a与b平行的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠4=180° C. ∠1=∠4 D. ∠3=∠4
7. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
8. 如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
9. 函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. 1＜m＜2 C. m＜1 D. m＞2
10. 将一枚质地均匀硬币先后抛掷两次，则至少出现正面向上的概率为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A. 54° B. 62° C. 64° D. 74°
12. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
13. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A. AC B. AD C. BE D. BC
16. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
A. B. C. D.
二、选一选（本大题共3小题，共10分.17-18小题各3分，19小题2个空，每空2分）
17. -5的相反数是 _______
18. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．
19. 如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣，OA1=l，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l3交y轴于点A4…，则点A2坐标为_____；点A2018的坐标为_____．
三、解 答 题：（本大题共7个小题，共68分）
20. 计算：
（1）4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
（2）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕5=2×（2﹣5）+1
=2×（﹣3）+1
=﹣6+1
=﹣5
①求（﹣2）⊕3的值；
②若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来．
21. （1）计算：（﹣2x2y）3÷（﹣4xy2）；
（2）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：AE=CE．
22. 我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战没有可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅没有完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次中共抽取了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目人数所在的扇形的圆心角是 度．
（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？
23. 某段笔直的限速公路上，规定汽车的行驶速度没有能超过60km/h(即m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°角；
(2)写出点B、点C坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上否超速？(本小问中取1.7)
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
25. 在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB没有动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的值与最小值．
26. 如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：（本大题共16小题，42分.1-10小题个3分，11-16小题各2分．）
1. 计算(﹣3)+5的结果等于( )
A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8
【正确答案】A
【分析】依据有理数的加法法则计算即可.
【详解】（﹣3）+5=5﹣3=2．
故选：A.
本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2. 据统计，2016年长春市接待旅游人数约67000000人次，67000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 67×106 B. 6.7×105 C. 6.7×107 D. 6.7×108
【正确答案】C
【详解】解：67000000这个数用科学记数法表示为6.7×107．故选C．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. （﹣2xy）2=﹣4x2y2 B. x6÷x3=x2 C. （x﹣y）2=x2﹣y2 D. 2x+3x=5x
【正确答案】D
【详解】解：A．（﹣2xy）2=4x2y2，故本选项错误；
B．x6÷x3=x3，故本选项错误；
C．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
D．2x+3x=5x，故本选项正确．
故选D．
5. 计算的结果为（ ）
A. 1 B. a C. a+1 D.
【正确答案】A
【详解】原式==1，
故选A．
6. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件没有能判定直线a与b平行的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠4=180° C. ∠1=∠4 D. ∠3=∠4
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．∵∠1=∠3，∴a∥b，故A正确；
B．∵∠2+∠4=180°，∠2+∠1=180°，∴∠1=∠4，∵∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故B正确；
C． ∵∠1=∠4，∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故C正确；
D．∠3和∠4是对顶角，没有能判断a与b是否平行，故D错误．
故选D．
考点：平行线的判定．
7. 估计值在（ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【正确答案】C
【详解】解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7，
故选：C．
8. 如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
【正确答案】B
【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选B．
9. 函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. 1＜m＜2 C. m＜1 D. m＞2
【正确答案】B
【详解】分析：根据函数的图象第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的没有等式组，解没有等式组即可．
详解：∵函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，∴，解得：1＜m＜2．
故选B．
点睛：本题主要考查函数图象在坐标平面内位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必一、三象限．k＜0时，直线必二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现正面向上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得，出现的所有可能性是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），∴至少正面向上的概率为：，故选C．
11. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（ ）
A. 54° B. 62° C. 64° D. 74°
【正确答案】C
【详解】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．
点睛：本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
12. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：观察几何体可得，这个几何体的主视图是四个正方形组成，故答案选A．
考点：几何体的主视图．
13. 某县为发展教育事业，加强了对教育的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：设教育的年平均增长率为x，
则2013教育为：3000×（1+x）万元，
2014的教育为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出没有同时间按增长率所得教育与预计投入的教育相等的方程．
14. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，
∴PA=PB，
根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，
故可判断B选项正确．
故选B．
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A. AC B. AD C. BE D. BC
【正确答案】C
【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】∵菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，
∴∠DBC=60°，
∵BQ=2+x，QH⊥BD，
∴BH=BQ=1+x，
过H作HG⊥BC，
∴HG=BH=，
∴S=PB•GH= ，（0＜x≤2），
故选A．
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、选一选（本大题共3小题，共10分.17-18小题各3分，19小题2个空，每空2分）
17. -5的相反数是 _______
【正确答案】5
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【详解】解：-5的相反数是5，
故5．
本题主要考查了相反数的性质，只有符号没有同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
18. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．
【正确答案】35°##35度
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，
∴∠ACB=∠AOB=35°．
故答案为35°．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
19. 如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣，OA1=l，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3，再过点A3作A3A4⊥l3交y轴于点A4…，则点A2坐标为_____；点A2018的坐标为_____．
【正确答案】 ①. （1，）， ②. （（）2016，（）2017）．
【详解】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，∴点A2017在x轴的正半轴上，∵OA2= =，OA3=（）2，OA4=（）3，…
OA2016=，∴点A2017坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
三、解 答 题：（本大题共7个小题，共68分）
20. 计算：
（1）4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．
（2）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕5=2×（2﹣5）+1
=2×（﹣3）+1
=﹣6+1
=﹣5
①求（﹣2）⊕3的值；
②若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来．
【正确答案】(1)3；(2)①11；② x＞﹣1
【详解】分析：（1）根据角锐角三角函数以及零指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据题意给出的运算法则即可求出答案．
详解：（1）原式=4×+1﹣2+2=3
（2）①原式=（﹣2）×（﹣2﹣3）+1=10+1=11
②∵3⊕x=3（3﹣x）+1=10﹣3x
∴10﹣3x＜13
∴x＞﹣1
在数轴表示，如图：
点睛：本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
21. （1）计算：（﹣2x2y）3÷（﹣4xy2）；
（2）已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：AE=CE．
【正确答案】(1) 2x5y．(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）根据整式的除法法则计算即可；
（2）根据ASA证明即可；
详解：（1）原式=﹣8x6y3÷（﹣4xy2）
=2x5y．
（2）∵AB∥FC，∴∠ADE=∠F．在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE，∴AE=CE．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、整式的除法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》，《挑战没有可能》，《最强大脑》，《超级演说家》，《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅没有完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次中共抽取了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是 度．
（4）若该学校有2000人，请你估计该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是多少人？
【正确答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）36；（4）600人.
【详解】试题分析：（1）用喜欢《中国诗词大会》人数除以所占的百分比列式计算即可；
（2）求得喜爱《挑战没有可能》节目的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）用360°×喜爱《地理中国》节目的人数占总人数的百分数即可得到结论；
（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．
试题解析：
解：（1）30÷15%＝200名，
答：本次中共抽取了200名学生；
故答案为200；
（2）喜爱《挑战没有可能》节目的人数＝200﹣20﹣60﹣40﹣30＝50名，
补全条形统计图如图所示；
（3）喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×＝36度；
故答案为36；
（4）2000×＝600名，
答：该学校喜欢《最强大脑》节目的学生人数是600人．
点睛：此题考查了条形统计图与扇形统计图的知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．
23. 某段笔直的限速公路上，规定汽车的行驶速度没有能超过60km/h(即m/s)，交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；
(2)写出点B、点C坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(本小问中取1.7)
【正确答案】（1）∠OAB=60°，∠OAC=45°；（2）C的坐标是（100，0）；（3）该汽车在这段限速路上超速了．
【分析】（1）根据方向角的定义即可表示60°和45°的角；
（2）已知OA=100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；
（3）先求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，再与60km/h（即m/s）比较就可以判断是否超速．
【详解】（1）如图所示，∠OAB=60°，∠OAC=45°；
（2）∵在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，∴OB=OA•tan60°=100，∴点B坐标是（﹣100，0）；
∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC=OA=100，∴C的坐标是（100，0）；
（3）BC=BO+OC=100+100≈270（m）．
270÷15=18（m/s）．
∵18＞，∴该汽车在这段限速路上超速了．
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24. 某超市进价为2元的雪糕，在中发现，此商品的日单价x（元）与日量y（根）之间有如下关系：
日单价x（元）
3
4
5
6
日量y（根）
40
30
24
20
（1）猜测并确定y和x之间的函数关系式；
（2）设此商品利润为W，求W与x的函数关系式，若物价局规定此商品限价为10元/根，你是否能求出商品日利润？若能请求出，没有能请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）96元.
【详解】试题分析：（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是120，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）首先要知道纯利润=（单价x-2）×日数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价没有超过10元/根，就可以求出获得日利润时的日单价x．
试题解析：解：（1）∵3×40=120，4×30=120，5×24=120，6×20=120，∴y是x的反比例函数．设（k为常数且k≠0），把点（3，40）代入得，k=120，所以 ；
（2）∵W=（x﹣2）y=120﹣，
又∵x≤10，∴当x=10，W=96（元）．
点睛：本题考查了反比例函数的定义，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
25. 在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB没有动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）
（1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．
应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的值与最小值．
【正确答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由见解析；（3）或；（4）PC的值=3，PC的最小值=﹣1．
【详解】分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．
（3）在图3、图4中，分别求解即可．
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的值=3，PC的最小值=﹣1．
详解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
故答案为60或240；
（2）结论：AC=BD，理由如下：
如图2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD；
（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=，OH=．在Rt△AOH中，AH==，∴BD=AC=CH+AH=．
如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
易知AC=BD=AH﹣CH=．
综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为或；
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的值=3，PC的最小值=﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
26. 如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
【正确答案】（1）D（1，﹣9）．（2）P．（3）点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
【详解】试题分析：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解析式，利用配方法可求得点D的坐标；
（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，将直线EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；
（3）先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CB的解析式为y=k2x﹣8，从而可求得点F的坐标，设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），然后分为MF=MB、FM=FB两种情况列方程求解即可．
试题解析：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8，∴抛物线的解析式为．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）；
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0），
∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0），
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线，∴∠BEP=45°，
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：，解得：x=或x=，
点P在第四象限，∴x=，∴y=，∴P；
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8，
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2，
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8，
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6），
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8），
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）；
当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5，
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）；
综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、翻折的性质、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于a的方程是解题的关键．
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是
A. B. C. D. 2018
2. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A. 圆锥 B. 六棱柱 C. 球 D. 四棱锥
3. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能打开该旅行箱的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ）.
A. ＞-2 B. ≥-2 C. ＞-3 D. ≥-3
5. 如图，有四条互相没有平行的直线、、、所截出的七个角，关于这七个角的度数关系正确的是（ ）
A ∠2 =∠4 +∠7 B. ∠1+∠4+∠6=180°
C. ∠3 =∠1 +∠6 D. ∠2+∠3+∠5=360°
6. 下列是随机的是（ ）
A. 画一个三角形，其内角和为361°
B. 任意做一个矩形，其对角线相等
C. 任意取一个实数，其值是非负数
D. 外观相同的10件同种产品中有两件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品
7. 若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（ ）
A. 75° B. 45° C. 30° D. 15
8. 若是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A. -2或4 B. -4或2 C. -2或6 D. -6或2
9. 没有等式组的最小整数解是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
10. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于
A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5
11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4
12. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6题，每小题3分，共18分）
13. 因式分解： =__________．
14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
15. 已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．
16. 如图，AB是半圆直径，点D是的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数．
17. 若实数满足，则xy的立方根为______ ．
18. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好点D，则CD的长为___.
三、解 答 题（本大题共8题，共66分）：
19. 计算：
20. 解分式方程：
21. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
⑴求证：四边形AECF是平行四边形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
22. 在平面直角坐标系中，函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求△AHO的周长.
23. 为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：
（1）在这项了多少名学生？
（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若到喜欢“跳绳”5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
24. 随着铁路运量的没有断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队至多施工几个月才能使工程款没有超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
25. 如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（没有A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.
（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．
26. 如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.
（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年北京市西城区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1. 的倒数是
A. B. C. D. 2018
【正确答案】A
【详解】解：的倒数是，
故选A.
2. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A. 圆锥 B. 六棱柱 C. 球 D. 四棱锥
【正确答案】C
【详解】试题分析：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项没有符合题意；
B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项没有符合题意；
C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项没有符合题意；
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
3. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能打开该旅行箱的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】小军密码的末位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种可能，由此能求出小军能打开该旅行箱的概率．
【详解】解：∵小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，
∴小军密码的末位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种可能，
∴小军能打开该旅行箱的概率为
故选A．
此题考查概率的求法：如果一个有n种可能，而且这些的可能性相同，其中A出现m种结果，那么A的概率P（A）=．
4. 如果式子有意义，那么x的取值范围是（ ）.
A. ＞-2 B. ≥-2 C. ＞-3 D. ≥-3
【正确答案】D
【详解】分析：直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
详解：∵式子有意义，那么2x+6≥0，
则x的取值范围是：x≥-3．
故选D．
点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
5. 如图，有四条互相没有平行的直线、、、所截出的七个角，关于这七个角的度数关系正确的是（ ）
A. ∠2 =∠4 +∠7 B. ∠1+∠4+∠6=180°
C. ∠3 =∠1 +∠6 D. ∠2+∠3+∠5=360°
【正确答案】B
【详解】分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．
详解：如图，
∵四条互相没有平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，
∵∠1=∠AOB，
∵∠AOB+∠4+∠6=180°，
∴∠1+∠4+∠6=180°．
故选B．
点睛：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．
6. 下列是随机的是（ ）
A. 画一个三角形，其内角和为361°
B. 任意做一个矩形，其对角线相等
C. 任意取一个实数，其值是非负数
D. 外观相同的10件同种产品中有两件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品
【正确答案】D
【详解】分析：根据必然、没有可能、随机的概念，可得答案．
详解：A、画一个三角形，其内角和为361°是没有可能，故A错误；
B、任意做一个矩形，其对角线相等是必然，故B错误；
C、任取一个实数，与其相反数之和为0是必然，故C错误；
D、外观相同10件同种产品中有2件是没有合格产品，现从中抽取一件恰为合格品是随机，故D正确；
故选D．
点睛：本题考查了随机，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的．没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的．没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
7. 若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（ ）
A. 75° B. 45° C. 30° D. 15
【正确答案】B
【详解】分析：先画出图形，利用角的和差关系计算．
详解：如图，
∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=60°-15°=45°，
故选B．
点睛：本题考查了角的计算，注意先画出图形，利用角的和差关系计算．
8. 若是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A. -2或4 B. -4或2 C. -2或6 D. -6或2
【正确答案】C
【详解】分析：先根据平方项求出这两个数是x和2，再根据完全平方公式表示出乘积二倍项列式求解即可．
详解：根据平方项可知这两个数是x，2，
∴-（a-2）x=±2×x×2，
解得：a=6或-2．
故选C．
点睛：本题考点为对完全平方公式的应用．在求解的过程中应注意中间项系数的符号．
9. 没有等式组最小整数解是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
【正确答案】B
【详解】试题分析：，解①得x＞﹣1，解②得x≤3，没有等式组的解集为﹣1＜x≤3，没有等式组的最小整数解为0，故选B．
考点：一元没有等式组的整数解．
10. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于
A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5
【正确答案】A
【分析】先由，求得的比，再由，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：A．
此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
11. 若是关于x一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-4
【正确答案】B
【分析】把代入关于x的方程，得到，解关于m的方程即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得
故选B．
本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m的方程是解题关键．
12. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在Rt△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
详解：如图，作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，
∴CH=DC=3，DH=，
∴EF+DE的最小值=DH=3.
故选C．
点睛：本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．
二、填 空 题（本大题共6题，每小题3分，共18分）
13. 因式分解： =__________．
【正确答案】（x+4）（x-4）
【分析】
【详解】x2-16=(x+4)(x-4)，
故(x+4)(x-4)
14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9
【详解】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
考点：相似三角形的性质．
15. 已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．
【正确答案】2
【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]计算方差．
【详解】解：由平均数的公式得：（3+a+4+6+7）÷5=5，
解得a=5；
∴方差=[（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]÷5=2．
故2．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．
16. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数．
【正确答案】65°
【分析】连结BD，由于点D是AC弧的中点，即，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
【详解】连接BD,
∵D是中点，
∴
∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=×50°=25°,
∵AB是半圆的直径,
∴∠BDA=90° ,
∴∠BAD=90°-∠ABD =90°-25°=65°.
17. 若实数满足，则xy的立方根为______ ．
【正确答案】
【分析】根据偶次方和值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．
【详解】解：∵（2x+3）2+|9-4y|=0，
∴2x+3=0，解得x=-，
9-4y=0，解得y=，
xy=-×=-，
∴xy的立方根为-．
故答案为-．
本题考查了偶次方和值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．
18. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好点D，则CD的长为___.
【正确答案】2 cm
【分析】如图，首先证明AG为线段DH的垂直平分线；进而证明AD=AH=4，∠DAG=∠HAG=∠HAB=α，求出α；运用直角三角形的边角关系求出AB，即可解决问题．
【详解】如图，∵点E，F分别是CD和AB的中点，
且四边形ABCD为矩形，
∴EG∥CH，而DE=CE，
∴DG=GH;由题意得：∠AGH=∠B=90°，
∴AG为线段DH的垂直平分线，
∴AD=AH=4,∠DAG=∠HAG(设为α)；
而∠BAH=∠GAH=α，
∴3α=90°,α=30°，
∴cos30°=,AB=2 (cm)，
∴CD=AB=2cm，
故答案为2 cm.
此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于运用直角三角形的边角关系求出AB
三、解 答 题（本大题共8题，共66分）：
19. 计算：
【正确答案】3-
【详解】分析：原式项利用零指数幂法则计算，第二项利用值的意义计算，第三项利用角的三角函数值计算，一项化为最简二次根式即可得到结果．
详解：原式=1+2-+2×-=3-
点睛：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 解分式方程：
【正确答案】
【分析】
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
化x的系数为1，得，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为．
21. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
⑴求证：四边形AECF是平行四边形；
⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
【正确答案】⑴证明见解析
⑵5
【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．
（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长
【详解】⑴证明：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC
∴四边形AECF是平行四边形
⑵解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC
∴∠1=∠2分
∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，
∴∠3=∠4，
∴AE=BE
∴BE=AE=CE=BC=5
22. 在平面直角坐标系中，函数（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与轴交于点C，过点A作AH⊥轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（，-2）.
（1）求该反比例函数和函数的解析式；
（2）求△AHO的周长.
【正确答案】（1）函数为，反比例函数为；（2）△AHO周长为12
【详解】分析：（1）根据正切函数可得AH=4，根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出k的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k的值求出B两点的坐标，用待定系数法便可求出函数的解析式．
（2）由（1）知AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案.
详解：（1）∵tan∠AOH==
∴AH=OH=4
∴A（-4，3），代入，得
k=-4×3=-12
∴反比例函数为
∴
∴m=6
∴B（6，-2）
∴
∴=，b=1
∴函数为
（2）
△AHO的周长为：3+4+5=12
点睛：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数及反比例函数的解析式．
23. 为推广阳光体育“大课间”，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行，并将结果绘制成如图①②的统计图．请图中的信息解答下列问题：
（1）在这项了多少名学生？
（2）请计算本项中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【正确答案】（1）在这项了150名学生；
（2）本项中喜欢“立定跳远”的学生人数是45人，所占百分比是30%，图形见解析；
（3）刚好抽到同性别学生的概率是．
【详解】试题分析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出的学生数；
（2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；
（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
试题解析：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
答：在这项了150名学生；
（2）本项中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），
所占百分比是：×=30%，
画图如下：
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．
24. 随着铁路运量的没有断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队至多施工几个月才能使工程款没有超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【正确答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）甲队至多施工6个月才能使工程款没有超过1500万元．
【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”．
（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款没有超过1350万元，列没有等式求解．
【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，
根据题意，得，即，
解得（没有合题意，舍去）．
∴．
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为：
由题意得，100m+（100+20）（10- m）≤1350，
解得：
∵施工时间为整数，
当甲队至多施工7个月时，乙需要要施工6个月；此时总费用为1420万元（舍去）；
当甲施工6个月时，乙需要施工6个月，此时总费用为1320万元；符合题目要求；
故甲至多施工6个月．
本题考查了一元二次方程的应用和一元没有等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及没有等式求解．
25. 如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（没有A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.
（1）求证：PQ与⊙O相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）连接OP，根据平行线的性质得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根据等腰三角形的性质得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根据全等三角形的性质得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由OQ∥AP，可得△COE∽△CAP,从而列比例式求出PC的长； 由OQ∥AP，∠E=∠APC，所以tan∠E=，从而求得结果.
解：(1)连接OP，
∵OQ∥AP，∴∠A=∠BOQ，∠APO=∠POQ，
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO．
∴∠BOQ=∠POQ,
在△OQB与△OQP中，
∠BOQ=∠POQ，OP=OB，OQ=OQ，
∴△OQB≌△OQP,
∴∠OBQ=∠OPQ，PQ=BQ．
∵BM切⊙O于点B,∴∠OBQ=∠OPQ=90°．
∴PQ与⊙O相切；
(2) ∵OQ∥AP，∴△COE∽△CAP,∴,
由AB的长为12，
∴OA=6.
∵PC=2EC， ∴OC=2，AC=4,
∴.
由OQ∥AP，∠E=∠APC，
∴tan∠E=.
26. 如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.
（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时， P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时， P（，-3），P（，-3）；④=时， P（，-），P（，-）.
【详解】分析：（1）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标，
（2）将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y＝x−m上的．求∠OAB的度数，可通过求∠OAB的正切值来得出，根据直线AB的解析式可得出B点坐标，即可得出OB的长，OA的长已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度数．
（3）本题可分成四种情况：
一：∠AQP=∠AOB=90°：
①AO=PQ，OB=AQ，此时P、B重合，即可求出P点坐标（根据抛物线的对称性可知：P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求）．
②AO=AQ，PQ=OB，此时P点纵坐标的值与A点横坐标相等，可将其代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的P点坐标．
二：∠APQ=∠AOB=90°：
①AO=PA，OB=PQ，可过P作抛物线对称轴的垂线，通过∠PAQ的度数和AP即OA的长求出P点纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标．
②AO=PQ，PA=OB，同①
因此本题共有8个符合条件的P点坐标．
详解：（1）对称轴：x=m；
顶点：A（m，0）．
（2）将x=m代入函数y=x-m，
得y=×m-m=0
∴点A（m，0）在直线l上．
当x=0时，y=-m，
∴B（0，-m）
tan∠OAB=，
∴∠OAB=30度．
（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：
①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，
如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得-m=-3m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P1（0，-）
其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．
②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时
点P坐标为（m-m，-m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P3（3-，-3）
还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．
③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时
点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=2
这时有P5（，-3）
还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．
④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时
点P坐标为（m，−m），
代入抛物线y=-（x-m）2
得m=m2，
∵m＞0，
∴m=
这时有P7（，-）
还有关于对称轴对称的点P8（，-）．
所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；
当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；
当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；
当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．
点睛：本题主要考查了二次函数的相关知识以及全等三角形的判定，要注意（3）小题中，要分类讨论，将所有的情况都考虑到，以免漏解．
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