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2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共16小题.）
1. 下列数中，与2的和为0的数是（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
2. 把分解因式，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说确的是( )
A. 为了审核书稿中的错别字,选择抽样
B. 为了了解春节联欢晚会的收视率,选择全面
C. “射击运动员射击,命中靶心”是随机
D. “有交通信号灯的路口,遇到红灯”是必然
4. 某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 0.69×10﹣6 B. 6.9×10﹣7 C. 69×10﹣8 D. 6.9×107
5. 一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（ ）
A. 50° B. 60° C. 45° D. 120°
6. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法中正确的是 ( )
A. 若，则 B. 是实数，且，则
C. 有意义时， D. 0.1的平方根是
8. 化简÷结果是( )
A. B. C. D. 2(x＋1)
9. 当0＜x＜1时，x2、x、大小顺序是( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
11. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似，相似比为，在象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1)
12. 如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是（ ）
A. AD平分∠MAN B. AD垂直平分BC
C. ∠MBD=∠NCD D. 四边形ACDB一定菱形
13. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )
A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜2 C. 5＜y＜10 D. y＞10
15. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
16. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的值是（ ）
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分，17-18小题各3分，19小题共4分）
17. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
18. 一只没有透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有红球个数是__________．
19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m=时，n=_____；
（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b=a﹣2b，等式右边是通常的减法及乘法运算．例如：3⊕2=3﹣2×2=﹣1．
（1）计算：3⊕（﹣2）；
（2）若3⊕x的值小于1，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
21. 如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果到0.1）
22. 为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育，某校为了解全校1000名学生每周课外体育时间的情况，随机了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅没有完整的统计图，并知道每周课外体育时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次属于 ，样本容量是 ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺部分；
（3）求这50名学生每周课外体育时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育时间没有少于6小时的人数．
23. 教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
24. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
25. 某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，每月量y（万件）与单价x（元）之间的关系可以近似地看作函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当单价为多少元时，厂商每月获得的利润为400万元？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的单价没有能高于40元，如果厂商每月的制造成本没有超过520万元，那么当单价为多少元时，厂商每月获得的利润？利润为多少万元？
26. 平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝ °，CD＝ ；
（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共16小题.）
1. 下列数中，与2的和为0的数是（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
【正确答案】A
【分析】找出-2的相反数即为所求．
【详解】解：下列四个数中，与-2的和为0的数是2，
故选：A．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2. 把分解因式，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：x3﹣9x，
=x（x2﹣9），
=x（x+3）（x﹣3）．
故选D．
考点：1、提公因式法分解因式；2、公式法分解因式
3. 下列说确的是( )
A. 为了审核书稿中的错别字,选择抽样
B. 为了了解春节联欢晚会收视率,选择全面
C. “射击运动员射击,命中靶心”是随机
D. “有交通信号灯的路口,遇到红灯”是必然
【正确答案】C
【详解】试题分析：为了审核书稿中的错别字，应选择全面，A错误；
为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样，B错误；
“射击运动员射击，命中靶心”是随机，C正确；
“由交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机，D错误．
故选C．
考点：随机；全面与抽样．
4. 某种电子元件面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 0.69×10﹣6 B. 6.9×10﹣7 C. 69×10﹣8 D. 6.9×107
【正确答案】B
【详解】试题解析：0.00 000 069=6.9×10-7，
故选B．
点睛：值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（ ）
A. 50° B. 60° C. 45° D. 120°
【正确答案】B
【详解】设这个多边形边为n，由题意得
（n-2）²·180°=360°×2
解得n=6
360°÷6=60°
故答案为B.
6. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．
【详解】从几何体的上面看俯视图是
，
故选D．
7. 下列说法中正确的是 ( )
A. 若，则 B. 是实数，且，则
C. 有意义时， D. 0.1的平方根是
【正确答案】C
【详解】根据算术平方根的意义，可知=|a|＞0，故A没有正确；
根据一个数的平方为非负数，可知a≥0，故没有正确；
根据二次根式的有意义的条件可知-x≥0，求得x≤0，故正确；
根据一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，故没有正确.
故选C
8. 化简÷的结果是( )
A. B. C. D. 2(x＋1)
【正确答案】A
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式=•（x﹣1）=．
故选A．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9. 当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：先在没有等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在没有等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
详解：当0＜x＜1时，
在没有等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在没有等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．
故选A．
点睛：本题主要考查了没有等式，解决问题的关键是掌握没有等式的基本性质．没有等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，没有等号的方向没有变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或．
10. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
【正确答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
此题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
11. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似，相似比为，在象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1)
【正确答案】A
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
12. 如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是（ ）
A. AD平分∠MAN B. AD垂直平分BC
C. ∠MBD=∠NCD D. 四边形ACDB一定是菱形
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、由作法可得AD平分∠MAN，所以A选项的结论正确；
B、因为AB=AC，DB=DC，所以AD垂直平分BC，所以B选项的结论正确；
C、因为AB=AC，DB=DC，所以∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，则∠ABD=∠ACD，所以∠MBD=∠NCD，所以C选项的结论正确；
D、BA没有一定等于BD，所以四边形ABDC没有一定是菱形，所以D选项的结论错误．
故选D．
13. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，没有管木杆如何滑动，它的长度没有变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
14. 已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )
A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜2 C. 5＜y＜10 D. y＞10
【正确答案】C
【详解】∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1
15. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2，列出方程即可．
【详解】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：=2，
故选B．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
16. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的值是（ ）
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
【正确答案】B
【详解】试题解析：当AC是直径时，DE最长.
∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=8，
∴AC=8，
∵AE=EB，BD=DC，
∴DE=AC=4．
故选B．
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分，17-18小题各3分，19小题共4分）
17. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
【正确答案】2
【详解】解：原式==．故答案为．
18. 一只没有透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有红球个数是__________．
【正确答案】6
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】设袋中有x个红球．
由题意可得：，
解得：，
故6．
本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m=时，n=_____；
（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为_____．
【正确答案】 ①. -1 ②.
【详解】试题解析：（1）当m=时，连接PM，如图1，
则有∠APM=×360°=90°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=-1．
（2）①当m=时，连接PM，如图2，
∠APM=×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×=；
②当m=时，连接PM，如图3，
∠APM=360°-×360°=120°，
同理可得：NO=．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为+=．
故答案为．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b=a﹣2b，等式右边是通常的减法及乘法运算．例如：3⊕2=3﹣2×2=﹣1．
（1）计算：3⊕（﹣2）；
（2）若3⊕x的值小于1，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【正确答案】（1）7；（2）x＞1
【详解】试题分析：（1）根据公式代入计算即可；
（2）根据公式列出没有等式，解没有等式即可得．
试题解析：（1）3⊕（﹣2）=3﹣2×（﹣2）=3+4=7；
（2）3⊕x=3﹣2x＜1，
解得x＞1，
在数轴上表示为：
．
21. 如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果到0.1）
【正确答案】(1) 25°；（2）2.1.
【详解】试题分析：（1）延长AC交ON于点E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根据∠ACD=90°-∠ACB即可解决问题；
（2）接着在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可计算出BC，然后根据矩形的性质即可得到AD的长.
试题解析：（1）延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，
∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1．
22. 为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育，某校为了解全校1000名学生每周课外体育时间的情况，随机了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅没有完整的统计图，并知道每周课外体育时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次属于 ，样本容量是 ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）求这50名学生每周课外体育时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育时间没有少于6小时的人数．
【正确答案】（1）抽样，50；（2）详见解析；（3）5；（4）300人．
【详解】（1）根据题意可得：本次属于抽样，样本容量是50；
故答案为抽样，50；
(2)50×24%＝12，50－(5＋22＋12＋3)＝8，
∴抽取的样本中，时间在2≤x＜4的学生有8名，
时间在6≤x＜8的学生有12名．
因此，可补全直方图如图：
(3) ∵=（1）=5（小时）
∴这50名学生每周课外体育时间的平均数是5小时
(4)1000×＝300(人)．
∴估计全校学生每周课外体育时间没有少于6小时的人数约为300人．
23. 教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【正确答案】（1）7；（2） ；（3）6分钟（4）8：29开机
【详解】试题分析：（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；
（2）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（3）根据（2）中的函数解析式可以解答本题；
（4）根据题意和（3）中的结果可以解答本题．
试题解析：（1）由题意可得，
a=（100-30）÷10=70÷10=7，
故答案为7；
（2）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，
，
得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y=10x+30，
当x＞30时，设y=，
100=，得a=700，
即当x＞30时，y关于x的函数关系式为y=，
当y=30时，x=，
∴y与x的函数关系式为：y=，
（3）将y=70代入y=10x+30，得x=4，
将y=70代入y=，得x=10，
∵10-4=6，
∴饮水机有6分钟能使水温保持在70℃及以上；
（4）由题意可得，
6+（70-20）÷10=11（分钟），
∴40-11=29，
即8：29开机接通电源比较合适．
24. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2
【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，根据BF=BD-DF求出答案．
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC，
∴AE=AD，AB=AC，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB．
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45° ，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴BD=2，
又∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2-2．
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
25. 某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，每月量y（万件）与单价x（元）之间的关系可以近似地看作函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当单价为多少元时，厂商每月获得的利润为400万元？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的单价没有能高于40元，如果厂商每月的制造成本没有超过520万元，那么当单价为多少元时，厂商每月获得的利润？利润为多少万元？
【正确答案】（1）z=﹣2x2+140x﹣2000；（2）30元或40元；（3）当单价为37元时，厂商每月获得利润，利润为442万元．
【详解】试题分析：（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=440代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可；
（3）根据厂商每月的制造成本没有超过520万元，以及成本价20元，得出单价的取值范围，进而得出利润．
试题解析：（1）z=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000，
故z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+140x﹣2000；
（2）由z=400，得400=﹣2x2+140x﹣2000，
解这个方程得x1=30，x2=40
所以单价定为30元或40元；
（3）∵厂商每月的制造成本没有超过520万元，每件制造成本为20元，
∴每月的生产量小于等于=26万件，
由y=﹣2x+100≤26，得：x≥37，
又由限价40元，得37≤x≤40，
∵z=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+450，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴当x=37时，z为442万元．
当单价为37元时，厂商每月获得的利润，
利润为442万元．
26. 平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝ °，CD＝ ；
（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
【正确答案】（1）90°，；（2）无变化，证明见解析；（3）；（4）BD=或．
【分析】（1）根据直径的性质，由DE∥AB得即可解决问题．
（2）只要证明△ACE∽△BCD即可．
（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．
【详解】解：（1）①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．
∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴=．
∵BC=n，∴CD=．
故答案为90°，n．
（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．
∵，∴△ACE∽△BCD，
∴．
（3）如图4中，当α=∠ACB时．
在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6．
在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，
∴AE===3，
由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴=，
∴BD=．
（4）∵m=6，n=，∴CE=3，CD=2，AB==2，
①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．
在Rt△DBC中，BD===2．
②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四边形BCEM是矩形，∴，
∴AM=5，AE==，
由（2）可知=，
∴BD=．
∴BD为2或．
本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 0的相反数是____________．
2. 如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线的有_________（只填序号）.
3. 1纳米等于米，用科学记数法表示：2018纳米______米.
4. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．
5. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___.
6. 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个, 则第n个图案中正三角形的个数为_____个（用含n的代数式表示）．
二、选一选（本大题共8小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共32分）
7. 下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说法：
“明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨；
无理数是开方开没有尽的数；
若为实数，则是没有可能；
的平方根是，用式子表示是；
某班的5位同学在向“创建图书角”捐款中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是8，中位数是4，平均数是5．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A. B. C. D. 没有能确定
11. 当式子的值为零时，x的值是（ ）
A. B. C. D. 或
12. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 2π B. π C. D.
13. 阅读下面文字后，解答问题
有这样一道题目：“已知：二次函数的图象点（1,0）_________，
求证：这个二次函数图象关于直线对称”
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
根据现有信息，题目中二次函数图象没有具有的性质是（ ）
A. 过点（3，0） B. 顶点是（2，-2）
C. 在X轴上截得的线段长是2 D. 与Y轴交点是（0，3）
14. 将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
三、解 答 题（本大题共9小题，共70分；写出运算步骤，推理过程或文字说明）
15. （1） ；
（2）先化简，再求值：
16. 如图，在中，AD平分，点D是BC中点，于点，于点F．
求证：是等腰三角形．
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
（1）在网格内画出和以点O为位似的位似图形，使和的位似比为2：1且位于y轴左侧；
（2）分别写出、、三个点的坐标： ______ 、 ______ 、 ______ ；
（3）求的面积为______ ．
18. “食品”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品知识的了解程度，采用随机抽样的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚没有完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述结果，估计该中学学生中对食品知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对食品知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是(6，)，DE=3．
（1）求反比例函数与函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，函数的值大于反比例函数的值?
20. 某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，若没有在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒.（已知：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
21. 人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的价格为49元，乙种牛奶的价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？
22. 如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．
（1）求证：DE是半圆切线：
（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．
23. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,−1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积?并求出此时P点的坐标和△PAC的面积；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明.
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 0的相反数是____________．
【正确答案】0
【分析】只有符号没有同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
【详解】0的相反数是0．
故答案为0．
2. 如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线的有_________（只填序号）.
【正确答案】①②③⑤
【详解】分析：根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
详解：①∵∠1=∠3,∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵,∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5,∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3没有能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3∴l1∥l2，故本小题正确.
故答案为①②③⑤
点睛：考查平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键.
3. 1纳米等于米，用科学记数法表示：2018纳米______米.
【正确答案】
【详解】分析：值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：纳米米米.
故答案为.
点睛：考查科学记数法，掌握值小于1的数的表示方法是解题的关键.
4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．
【正确答案】
【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案为90°.
本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.
5. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___.
【正确答案】8π
【分析】
【详解】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，
则底面周长为4π，
所以
所以扇形的圆心角的度数为180°，
则侧面展开图的面积为.
故答案：8π
6. 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个, 则第n个图案中正三角形的个数为_____个（用含n的代数式表示）．
【正确答案】(4n+2)##(2+4n)
【分析】分析前面几个图形的规律可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此即可求解．
【详解】解：个图案正三角形个数为6个；
第二个图案正三角形个数为6+4=(6+1×4)个；
第三个图案正三角形个数为6+4+4=(6+2×4)个；
…；
第n个图案正三角形个数为：6+(n-1)×4=(4n+2)个．
故(n+2）．
二、选一选（本大题共8小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共32分）
7. 下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据轴对称图形和对称图形的定义判断即可.
详解：A. 是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项错误；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故此选项错误；
C. 是轴对称图形，也是对称图形，故此选项正确；
D. 没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误.
故选C.
点睛：考查轴对称图形和对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键.
8. 下列说法：
“明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨；
无理数是开方开没有尽数；
若为实数，则是没有可能；
的平方根是，用式子表示是；
某班的5位同学在向“创建图书角”捐款中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是8，中位数是4，平均数是5．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】分析：根据无理数，平方根，众数，中位数，平均数的概念一一判断即可.
详解：“明天降雨的概率是”表示明天有的可能会下雨，故错误.
无理数无限没有循环小数，故错误.
若为实数，则是没有可能；正确.
的平方根是，用式子表示是；故错误.
某班的5位同学在向“创建图书角”捐款中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是8，中位数是4，平均数是5．正确.
正确的有2个.
故选B.
点睛：考查无理数，平方根，众数，中位数，平均数的概念，熟记概念是解题的关键.
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选：A．
10. 两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A. B. C. D. 没有能确定
【正确答案】B
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为4:3，
∴相似比是
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为
故选B.
考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键.
11. 当式子的值为零时，x的值是（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】C
【详解】分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
详解：由题意，得：|x|−5=0，且
由|x|−5=0，得：x=±5；
由，得：x≠5，x≠−1；
综上得：x=−5，
故选C.
点睛：考查分式值为零的条件, 分式值为零的条件是：分子为零，分母没有为零.
12. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 2π B. π C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
详解：连接OD,
∵CD⊥AB，
∴ (垂径定理)，
故
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵
∴ (圆周角定理)，
∴OC=2，
故S扇形OBD=
即阴影部分的面积为.
故选D.
点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
13. 阅读下面文字后，解答问题
有这样一道题目：“已知：二次函数的图象点（1,0）_________，
求证：这个二次函数图象关于直线对称”
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
根据现有信息，题目中二次函数图象没有具有的性质是（ ）
A. 过点（3，0） B. 顶点是（2，-2）
C. 在X轴上截得的线段长是2 D. 与Y轴交点是（0，3）
【正确答案】B
【详解】分析：由题目条件可知对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C，把x=0代入可求得y=c，可判断D，则可得出答案．
详解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1,0)，
∵抛物线对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0)，
∴在x轴上截得的线段长是2，
∴A、C正确，
抛物线对称轴为x=2，
时，
把x=0代入可求得y=c=3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴D正确，
顶点坐标为 ∴B没有正确，
故选B.
点睛：二次函数的性质, 二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称轴方程式解题的关键.
14. 将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，
则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，
故B1F=OF=OA，
设B1F=x，则AF=﹣x，
故（﹣x）2+x2=（2x）2，
解得 或（舍去），
∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．
故选B．
三、解 答 题（本大题共9小题，共70分；写出运算步骤，推理过程或文字说明）
15. （1） ；
（2）先化简，再求值：
【正确答案】（1）；（2）
【详解】分析：根据实数的混合运算顺序进行运算即可.
根据分式混合运算步骤进行化简，再把字母的值代入运算即可.
详解：（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=
因为 ，所以
当时，原式==
点睛：考查实数的混合运算以及分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.
16. 如图，在中，AD平分，点D是BC的中点，于点，于点F．
求证：是等腰三角形．
【正确答案】见解析
【分析】由条件可得出DE=DF，可证明≌，可得出，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【详解】证明：平分
在与中
，
，
为等腰三角形．
考查等腰三角形的判定， 角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
（1）在网格内画出和以点O为位似的位似图形，使和的位似比为2：1且位于y轴左侧；
（2）分别写出、、三个点的坐标： ______ 、 ______ 、 ______ ；
（3）求的面积为______ ．
【正确答案】 ①. （-4，-8） ②. （-2，-2） ③. （-8，-2） ④. 18
【详解】分析：（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出各点坐标；
（3）根据图象求出三角形的面积即可．
详解：（1）如图所示即为所求；
（2）如图所示: A1（-4，-8）， B1（-2，-2），C1（-8，-2）；
（3）为.
点睛：考查作图-位似变换以及三角形面积的求法，正确得出对应点的位置是解题的关键．
18. “食品”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品知识的了解程度，采用随机抽样的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚没有完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述结果，估计该中学学生中对食品知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对食品知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【正确答案】（1）60，90°；（2）补图见解析；（3）300；（4）．
【分析】（1）根据了解很少的人数除以了解很少的人数所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以“了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例，即可求出达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）根据题意列出表格，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）了解很少的人数有30人，占比为50%，
则总人数为（人）
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：；
故60；90°．
（2）了解人数有（人）
补全的条形统计图如图所示．
（3）对食品知识达到“了解”和“基本了解”的学生所占比例为，
由样本估计总体，该中学学生中对食品知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为．
（4）列表法如表所示，
男生
男生
女生
女生
男生
男生男生
男生女生
男生女生
男生
男生男生
男生女生
男生女生
女生
男生女生
男生女生
女生女生
女生
男生女生
男生女生
女生女生
所有等可能的情况一共12种，其中选中1个男生和1个女生的情况有8种，所以恰好选中1个男生和1个女生的概率是．
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，根据题意求出总人数是解题的关键；注意运用概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是(6，)，DE=3．
（1）求反比例函数与函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，函数的值大于反比例函数的值?
【正确答案】解：（1）比例函数的解析式为，函数的解析式；
（2）当或时．函数的值大于反比例函数的值.
【分析】（1）将C坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再由DE为3得到D纵坐标为3，将y=3代入反比例解析式中求出x的值，即为D的横坐标，设直线解析式为y=kx+b，将D与C的坐标代入求出k与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图象直接得出结论．
【详解】（1）∵点C（6，﹣1）在反比例图象上，
∴将x=6，y=﹣1代入反比例解析式得：，即，
∴反比例解析式为，
∵点D在反比例函数图象上，且DE=3，即D纵坐标为3，
将y=3代入反比例解析式得：，即x=﹣2，
∴点D坐标为（﹣2，3），
设直线解析式为，
将C与D坐标代入得：，
解得：，
∴函数解析式为；
（2）观察图像可知，当或时，．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
20. 某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，若没有在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒.（已知：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【正确答案】教室A在拖拉机的噪声污染范围内，在污染范围内，有20 s.
【详解】分析：问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到OM的距离是否大于污染半径130m，如果大于则没有受影响，反正则受影响．如果过A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的线段．中，∠AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后进行判断即可．如果设拖拉机从C到D教室受影响，那么要求教室受影响的时间，其实就是求CD的值，中，AB的值已经求得．又有AC的值，那么BC的值就能求出了．CD也就能求出了，然后根据时间=路程÷速度即可得出时间是多少．
详解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，
∵，
∴
在Rt△ABO中,
∵sin∠AOB＝ ，∴AB=AO⋅sin∠AOB= (m).
∵120m<130m.
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，
∵AB⊥OM，
∴B为CD的中点，即BC=DB，
∴ (m)，
∴CD=2BC=100(m).
即影响的时间为(s).
故答案为在污染范围内，有20 s.
点睛：考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
21. 人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的价格为49元，乙种牛奶的价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？
【正确答案】(1) 45元(2) 甲种牛奶64件，乙种牛奶23件
【详解】试题分析：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x-5）元，由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y-5）件，根据题意列出关于y的没有等式组，求出y的整数解即可得出结论．
试题解析：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得，，解得x=50．
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义
故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得（49-45）（3y-5）+（55-50）y=371，解得y=23．
答：购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件．
22. 如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．
（1）求证：DE是半圆的切线：
（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．
【正确答案】（1）证明见解析（2）四边形ODFA是菱形
【详解】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论；
（2）连接OF，可知OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论．
试题解析：（1）如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵△AED由△ACD对折得到，
∴∠CDA=∠EDA，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D点在半圆O上，
∴DE是半圆的切线；
（2）四边形ODFA是菱形，
如图，连接OF，
∵CD⊥OB，
∴△OCD是直角三角形，
∴OC=BC=OB=OD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，
∴OD∥AF，∠FAO=60°，
又∵OF=OA，
∴△FAO是等边三角形，
∴OA=AF，
∴OD=AF，
∴四边形ODFA是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形ODFA是菱形．
考点：1、切线的判定；2、菱形的判定；3、圆周角定理；4、翻折变换（折叠问题）
23. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,−1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积?并求出此时P点的坐标和△PAC的面积；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明.
【正确答案】（1） （2）P点的坐标为；（3）相交．证明解解析.
【详解】分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出的面积及对应的P点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的方程及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
详解：（1）设抛物线为
∵抛物线点A（0，3），
∴
∴抛物线为
（2）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴
∵
∴当m=3时，的面积为；
此时，P点坐标为．
（3）相交．证明：连接CE，则，
当时，
A(0,3),B(2,0),C(6,0)，
对称轴x=4，
∴ ,
∵AB⊥BD，
∴
∴△AOB∽△BEC，
∴
∵
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
点睛：属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形思想的应用．
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共16小题.）
1. 下列数中，与2的和为0的数是（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
2. 把分解因式，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说确的是( )
A. 为了审核书稿中的错别字,选择抽样
B. 为了了解春节联欢晚会的收视率,选择全面
C. “射击运动员射击,命中靶心”是随机
D. “有交通信号灯的路口,遇到红灯”是必然
4. 某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 0.69×10﹣6 B. 6.9×10﹣7 C. 69×10﹣8 D. 6.9×107
5. 一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（ ）
A. 50° B. 60° C. 45° D. 120°
6. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法中正确的是 ( )
A. 若，则 B. 是实数，且，则
C. 有意义时， D. 0.1的平方根是
8. 化简÷结果是( )
A. B. C. D. 2(x＋1)
9. 当0＜x＜1时，x2、x、大小顺序是( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
11. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似，相似比为，在象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1)
12. 如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是（ ）
A. AD平分∠MAN B. AD垂直平分BC
C. ∠MBD=∠NCD D. 四边形ACDB一定菱形
13. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )
A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜2 C. 5＜y＜10 D. y＞10
15. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
16. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的值是（ ）
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分，17-18小题各3分，19小题共4分）
17. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
18. 一只没有透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有红球个数是__________．
19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m=时，n=_____；
（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b=a﹣2b，等式右边是通常的减法及乘法运算．例如：3⊕2=3﹣2×2=﹣1．
（1）计算：3⊕（﹣2）；
（2）若3⊕x的值小于1，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
21. 如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果到0.1）
22. 为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育，某校为了解全校1000名学生每周课外体育时间的情况，随机了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅没有完整的统计图，并知道每周课外体育时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次属于 ，样本容量是 ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺部分；
（3）求这50名学生每周课外体育时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育时间没有少于6小时的人数．
23. 教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
24. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
25. 某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，每月量y（万件）与单价x（元）之间的关系可以近似地看作函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当单价为多少元时，厂商每月获得的利润为400万元？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的单价没有能高于40元，如果厂商每月的制造成本没有超过520万元，那么当单价为多少元时，厂商每月获得的利润？利润为多少万元？
26. 平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝ °，CD＝ ；
（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本大题共16小题.）
1. 下列数中，与2的和为0的数是（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
【正确答案】A
【分析】找出-2的相反数即为所求．
【详解】解：下列四个数中，与-2的和为0的数是2，
故选：A．
此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
2. 把分解因式，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：x3﹣9x，
=x（x2﹣9），
=x（x+3）（x﹣3）．
故选D．
考点：1、提公因式法分解因式；2、公式法分解因式
3. 下列说确的是( )
A. 为了审核书稿中的错别字,选择抽样
B. 为了了解春节联欢晚会收视率,选择全面
C. “射击运动员射击,命中靶心”是随机
D. “有交通信号灯的路口,遇到红灯”是必然
【正确答案】C
【详解】试题分析：为了审核书稿中的错别字，应选择全面，A错误；
为了了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样，B错误；
“射击运动员射击，命中靶心”是随机，C正确；
“由交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机，D错误．
故选C．
考点：随机；全面与抽样．
4. 某种电子元件面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 0.69×10﹣6 B. 6.9×10﹣7 C. 69×10﹣8 D. 6.9×107
【正确答案】B
【详解】试题解析：0.00 000 069=6.9×10-7，
故选B．
点睛：值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
5. 一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角为（ ）
A. 50° B. 60° C. 45° D. 120°
【正确答案】B
【详解】设这个多边形边为n，由题意得
（n-2）²·180°=360°×2
解得n=6
360°÷6=60°
故答案为B.
6. 如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．
【详解】从几何体的上面看俯视图是
，
故选D．
7. 下列说法中正确的是 ( )
A. 若，则 B. 是实数，且，则
C. 有意义时， D. 0.1的平方根是
【正确答案】C
【详解】根据算术平方根的意义，可知=|a|＞0，故A没有正确；
根据一个数的平方为非负数，可知a≥0，故没有正确；
根据二次根式的有意义的条件可知-x≥0，求得x≤0，故正确；
根据一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，故没有正确.
故选C
8. 化简÷的结果是( )
A. B. C. D. 2(x＋1)
【正确答案】A
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式=•（x﹣1）=．
故选A．
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9. 当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：先在没有等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在没有等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
详解：当0＜x＜1时，
在没有等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在没有等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．
故选A．
点睛：本题主要考查了没有等式，解决问题的关键是掌握没有等式的基本性质．没有等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，没有等号的方向没有变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或．
10. 如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是( )
A. 35° B. 30° C. 25° D. 20°
【正确答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：B．
此题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
11. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似，相似比为，在象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1)
【正确答案】A
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
12. 如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是（ ）
A. AD平分∠MAN B. AD垂直平分BC
C. ∠MBD=∠NCD D. 四边形ACDB一定是菱形
【正确答案】D
【详解】试题解析：A、由作法可得AD平分∠MAN，所以A选项的结论正确；
B、因为AB=AC，DB=DC，所以AD垂直平分BC，所以B选项的结论正确；
C、因为AB=AC，DB=DC，所以∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，则∠ABD=∠ACD，所以∠MBD=∠NCD，所以C选项的结论正确；
D、BA没有一定等于BD，所以四边形ABDC没有一定是菱形，所以D选项的结论错误．
故选D．
13. 木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，没有管木杆如何滑动，它的长度没有变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
14. 已知反比例函数，当1＜x＜2时，y的取值范围是( )
A. 0＜y＜5 B. 1＜y＜2 C. 5＜y＜10 D. y＞10
【正确答案】C
【详解】∵反比例函数y=中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，
∴当1
15. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2，列出方程即可．
【详解】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程：=2，
故选B．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
16. 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的值是（ ）
A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
【正确答案】B
【详解】试题解析：当AC是直径时，DE最长.
∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC=8，
∴AC=8，
∵AE=EB，BD=DC，
∴DE=AC=4．
故选B．
二、填 空 题（本大题共3个小题，共10分，17-18小题各3分，19小题共4分）
17. 计算：（+1）（3﹣）=_____．
【正确答案】2
【详解】解：原式==．故答案为．
18. 一只没有透明的袋子中装有红球和白球共个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是，则袋中有红球个数是__________．
【正确答案】6
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】设袋中有x个红球．
由题意可得：，
解得：，
故6．
本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
19. 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m=时，n=_____；
（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为_____．
【正确答案】 ①. -1 ②.
【详解】试题解析：（1）当m=时，连接PM，如图1，
则有∠APM=×360°=90°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=-1．
（2）①当m=时，连接PM，如图2，
∠APM=×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×=；
②当m=时，连接PM，如图3，
∠APM=360°-×360°=120°，
同理可得：NO=．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为+=．
故答案为．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b=a﹣2b，等式右边是通常的减法及乘法运算．例如：3⊕2=3﹣2×2=﹣1．
（1）计算：3⊕（﹣2）；
（2）若3⊕x的值小于1，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【正确答案】（1）7；（2）x＞1
【详解】试题分析：（1）根据公式代入计算即可；
（2）根据公式列出没有等式，解没有等式即可得．
试题解析：（1）3⊕（﹣2）=3﹣2×（﹣2）=3+4=7；
（2）3⊕x=3﹣2x＜1，
解得x＞1，
在数轴上表示为：
．
21. 如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果到0.1）
【正确答案】(1) 25°；（2）2.1.
【详解】试题分析：（1）延长AC交ON于点E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根据∠ACD=90°-∠ACB即可解决问题；
（2）接着在Rt△ABC中利用∠ACB的余弦可计算出BC，然后根据矩形的性质即可得到AD的长.
试题解析：（1）延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，
∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1．
22. 为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育，某校为了解全校1000名学生每周课外体育时间的情况，随机了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅没有完整的统计图，并知道每周课外体育时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次属于 ，样本容量是 ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）求这50名学生每周课外体育时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育时间没有少于6小时的人数．
【正确答案】（1）抽样，50；（2）详见解析；（3）5；（4）300人．
【详解】（1）根据题意可得：本次属于抽样，样本容量是50；
故答案为抽样，50；
(2)50×24%＝12，50－(5＋22＋12＋3)＝8，
∴抽取的样本中，时间在2≤x＜4的学生有8名，
时间在6≤x＜8的学生有12名．
因此，可补全直方图如图：
(3) ∵=（1）=5（小时）
∴这50名学生每周课外体育时间的平均数是5小时
(4)1000×＝300(人)．
∴估计全校学生每周课外体育时间没有少于6小时的人数约为300人．
23. 教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（分钟）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（分钟）的关系如图．
（1）a= ；
（2）直接写出图中y关于x的函数关系式；
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？
（4）若饮水机早上已加满水，开机温度是20℃，为了使8：40下课时水温达到70℃及以上，并节约能源，直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适？
【正确答案】（1）7；（2） ；（3）6分钟（4）8：29开机
【详解】试题分析：（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；
（2）根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（3）根据（2）中的函数解析式可以解答本题；
（4）根据题意和（3）中的结果可以解答本题．
试题解析：（1）由题意可得，
a=（100-30）÷10=70÷10=7，
故答案为7；
（2）当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，
，
得，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y=10x+30，
当x＞30时，设y=，
100=，得a=700，
即当x＞30时，y关于x的函数关系式为y=，
当y=30时，x=，
∴y与x的函数关系式为：y=，
（3）将y=70代入y=10x+30，得x=4，
将y=70代入y=，得x=10，
∵10-4=6，
∴饮水机有6分钟能使水温保持在70℃及以上；
（4）由题意可得，
6+（70-20）÷10=11（分钟），
∴40-11=29，
即8：29开机接通电源比较合适．
24. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2
【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，根据BF=BD-DF求出答案．
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC，
∴AE=AD，AB=AC，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB．
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45° ，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴BD=2，
又∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2-2．
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
25. 某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，每月量y（万件）与单价x（元）之间的关系可以近似地看作函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当单价为多少元时，厂商每月获得的利润为400万元？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的单价没有能高于40元，如果厂商每月的制造成本没有超过520万元，那么当单价为多少元时，厂商每月获得的利润？利润为多少万元？
【正确答案】（1）z=﹣2x2+140x﹣2000；（2）30元或40元；（3）当单价为37元时，厂商每月获得利润，利润为442万元．
【详解】试题分析：（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=440代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可；
（3）根据厂商每月的制造成本没有超过520万元，以及成本价20元，得出单价的取值范围，进而得出利润．
试题解析：（1）z=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000，
故z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+140x﹣2000；
（2）由z=400，得400=﹣2x2+140x﹣2000，
解这个方程得x1=30，x2=40
所以单价定为30元或40元；
（3）∵厂商每月的制造成本没有超过520万元，每件制造成本为20元，
∴每月的生产量小于等于=26万件，
由y=﹣2x+100≤26，得：x≥37，
又由限价40元，得37≤x≤40，
∵z=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+450，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴当x=37时，z为442万元．
当单价为37元时，厂商每月获得的利润，
利润为442万元．
26. 平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝ °，CD＝ ；
（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
【正确答案】（1）90°，；（2）无变化，证明见解析；（3）；（4）BD=或．
【分析】（1）根据直径的性质，由DE∥AB得即可解决问题．
（2）只要证明△ACE∽△BCD即可．
（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，分别求出BD即可．
【详解】解：（1）①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．
∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴=．
∵BC=n，∴CD=．
故答案为90°，n．
（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．
∵，∴△ACE∽△BCD，
∴．
（3）如图4中，当α=∠ACB时．
在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6．
在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，
∴AE===3，
由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴=，
∴BD=．
（4）∵m=6，n=，∴CE=3，CD=2，AB==2，
①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．
在Rt△DBC中，BD===2．
②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四边形BCEM是矩形，∴，
∴AM=5，AE==，
由（2）可知=，
∴BD=．
∴BD为2或．
本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 0的相反数是____________．
2. 如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线的有_________（只填序号）.
3. 1纳米等于米，用科学记数法表示：2018纳米______米.
4. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．
5. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___.
6. 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个, 则第n个图案中正三角形的个数为_____个（用含n的代数式表示）．
二、选一选（本大题共8小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共32分）
7. 下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说法：
“明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨；
无理数是开方开没有尽的数；
若为实数，则是没有可能；
的平方根是，用式子表示是；
某班的5位同学在向“创建图书角”捐款中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是8，中位数是4，平均数是5．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A. B. C. D. 没有能确定
11. 当式子的值为零时，x的值是（ ）
A. B. C. D. 或
12. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 2π B. π C. D.
13. 阅读下面文字后，解答问题
有这样一道题目：“已知：二次函数的图象点（1,0）_________，
求证：这个二次函数图象关于直线对称”
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
根据现有信息，题目中二次函数图象没有具有的性质是（ ）
A. 过点（3，0） B. 顶点是（2，-2）
C. 在X轴上截得的线段长是2 D. 与Y轴交点是（0，3）
14. 将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
三、解 答 题（本大题共9小题，共70分；写出运算步骤，推理过程或文字说明）
15. （1） ；
（2）先化简，再求值：
16. 如图，在中，AD平分，点D是BC中点，于点，于点F．
求证：是等腰三角形．
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
（1）在网格内画出和以点O为位似的位似图形，使和的位似比为2：1且位于y轴左侧；
（2）分别写出、、三个点的坐标： ______ 、 ______ 、 ______ ；
（3）求的面积为______ ．
18. “食品”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品知识的了解程度，采用随机抽样的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚没有完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述结果，估计该中学学生中对食品知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对食品知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是(6，)，DE=3．
（1）求反比例函数与函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，函数的值大于反比例函数的值?
20. 某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，若没有在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒.（已知：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
21. 人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的价格为49元，乙种牛奶的价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？
22. 如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．
（1）求证：DE是半圆切线：
（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．
23. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,−1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积?并求出此时P点的坐标和△PAC的面积；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明.
2022-2023学年北京市平谷区中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 0的相反数是____________．
【正确答案】0
【分析】只有符号没有同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
【详解】0的相反数是0．
故答案为0．
2. 如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线的有_________（只填序号）.
【正确答案】①②③⑤
【详解】分析：根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
详解：①∵∠1=∠3,∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵,∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5,∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3没有能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠3∴l1∥l2，故本小题正确.
故答案为①②③⑤
点睛：考查平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键.
3. 1纳米等于米，用科学记数法表示：2018纳米______米.
【正确答案】
【详解】分析：值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：纳米米米.
故答案为.
点睛：考查科学记数法，掌握值小于1的数的表示方法是解题的关键.
4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．
【正确答案】
【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案为90°.
本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.
5. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___.
【正确答案】8π
【分析】
【详解】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，
则底面周长为4π，
所以
所以扇形的圆心角的度数为180°，
则侧面展开图的面积为.
故答案：8π
6. 用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个, 则第n个图案中正三角形的个数为_____个（用含n的代数式表示）．
【正确答案】(4n+2)##(2+4n)
【分析】分析前面几个图形的规律可知：每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，由此即可求解．
【详解】解：个图案正三角形个数为6个；
第二个图案正三角形个数为6+4=(6+1×4)个；
第三个图案正三角形个数为6+4+4=(6+2×4)个；
…；
第n个图案正三角形个数为：6+(n-1)×4=(4n+2)个．
故(n+2）．
二、选一选（本大题共8小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共32分）
7. 下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据轴对称图形和对称图形的定义判断即可.
详解：A. 是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项错误；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故此选项错误；
C. 是轴对称图形，也是对称图形，故此选项正确；
D. 没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误.
故选C.
点睛：考查轴对称图形和对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键.
8. 下列说法：
“明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨；
无理数是开方开没有尽数；
若为实数，则是没有可能；
的平方根是，用式子表示是；
某班的5位同学在向“创建图书角”捐款中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是8，中位数是4，平均数是5．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】分析：根据无理数，平方根，众数，中位数，平均数的概念一一判断即可.
详解：“明天降雨的概率是”表示明天有的可能会下雨，故错误.
无理数无限没有循环小数，故错误.
若为实数，则是没有可能；正确.
的平方根是，用式子表示是；故错误.
某班的5位同学在向“创建图书角”捐款中，捐款数如下（单位：元）：8，3，8，2，4，那么这组数据的众数是8，中位数是4，平均数是5．正确.
正确的有2个.
故选B.
点睛：考查无理数，平方根，众数，中位数，平均数的概念，熟记概念是解题的关键.
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选：A．
10. 两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为（ ）
A. B. C. D. 没有能确定
【正确答案】B
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为4:3，
∴相似比是
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为
故选B.
考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键.
11. 当式子的值为零时，x的值是（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】C
【详解】分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
详解：由题意，得：|x|−5=0，且
由|x|−5=0，得：x=±5；
由，得：x≠5，x≠−1；
综上得：x=−5，
故选C.
点睛：考查分式值为零的条件, 分式值为零的条件是：分子为零，分母没有为零.
12. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 2π B. π C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
详解：连接OD,
∵CD⊥AB，
∴ (垂径定理)，
故
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵
∴ (圆周角定理)，
∴OC=2，
故S扇形OBD=
即阴影部分的面积为.
故选D.
点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
13. 阅读下面文字后，解答问题
有这样一道题目：“已知：二次函数的图象点（1,0）_________，
求证：这个二次函数图象关于直线对称”
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
根据现有信息，题目中二次函数图象没有具有的性质是（ ）
A. 过点（3，0） B. 顶点是（2，-2）
C. 在X轴上截得的线段长是2 D. 与Y轴交点是（0，3）
【正确答案】B
【详解】分析：由题目条件可知对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C，把x=0代入可求得y=c，可判断D，则可得出答案．
详解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1,0)，
∵抛物线对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0)，
∴在x轴上截得的线段长是2，
∴A、C正确，
抛物线对称轴为x=2，
时，
把x=0代入可求得y=c=3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴D正确，
顶点坐标为 ∴B没有正确，
故选B.
点睛：二次函数的性质, 二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称轴方程式解题的关键.
14. 将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，
则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，
故B1F=OF=OA，
设B1F=x，则AF=﹣x，
故（﹣x）2+x2=（2x）2，
解得 或（舍去），
∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．
故选B．
三、解 答 题（本大题共9小题，共70分；写出运算步骤，推理过程或文字说明）
15. （1） ；
（2）先化简，再求值：
【正确答案】（1）；（2）
【详解】分析：根据实数的混合运算顺序进行运算即可.
根据分式混合运算步骤进行化简，再把字母的值代入运算即可.
详解：（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=
因为 ，所以
当时，原式==
点睛：考查实数的混合运算以及分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.
16. 如图，在中，AD平分，点D是BC的中点，于点，于点F．
求证：是等腰三角形．
【正确答案】见解析
【分析】由条件可得出DE=DF，可证明≌，可得出，再由等腰三角形的判定可得出结论．
【详解】证明：平分
在与中
，
，
为等腰三角形．
考查等腰三角形的判定， 角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
（1）在网格内画出和以点O为位似的位似图形，使和的位似比为2：1且位于y轴左侧；
（2）分别写出、、三个点的坐标： ______ 、 ______ 、 ______ ；
（3）求的面积为______ ．
【正确答案】 ①. （-4，-8） ②. （-2，-2） ③. （-8，-2） ④. 18
【详解】分析：（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出各点坐标；
（3）根据图象求出三角形的面积即可．
详解：（1）如图所示即为所求；
（2）如图所示: A1（-4，-8）， B1（-2，-2），C1（-8，-2）；
（3）为.
点睛：考查作图-位似变换以及三角形面积的求法，正确得出对应点的位置是解题的关键．
18. “食品”受到全社会的广泛关注，济南市某中学对部分学生就食品知识的了解程度，采用随机抽样的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚没有完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述结果，估计该中学学生中对食品知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对食品知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【正确答案】（1）60，90°；（2）补图见解析；（3）300；（4）．
【分析】（1）根据了解很少的人数除以了解很少的人数所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以“了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例，即可求出达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）根据题意列出表格，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）了解很少的人数有30人，占比为50%，
则总人数为（人）
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：；
故60；90°．
（2）了解人数有（人）
补全的条形统计图如图所示．
（3）对食品知识达到“了解”和“基本了解”的学生所占比例为，
由样本估计总体，该中学学生中对食品知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为．
（4）列表法如表所示，
男生
男生
女生
女生
男生
男生男生
男生女生
男生女生
男生
男生男生
男生女生
男生女生
女生
男生女生
男生女生
女生女生
女生
男生女生
男生女生
女生女生
所有等可能的情况一共12种，其中选中1个男生和1个女生的情况有8种，所以恰好选中1个男生和1个女生的概率是．
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率，根据题意求出总人数是解题的关键；注意运用概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E．已知C点的坐标是(6，)，DE=3．
（1）求反比例函数与函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，函数的值大于反比例函数的值?
【正确答案】解：（1）比例函数的解析式为，函数的解析式；
（2）当或时．函数的值大于反比例函数的值.
【分析】（1）将C坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再由DE为3得到D纵坐标为3，将y=3代入反比例解析式中求出x的值，即为D的横坐标，设直线解析式为y=kx+b，将D与C的坐标代入求出k与b的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据图象直接得出结论．
【详解】（1）∵点C（6，﹣1）在反比例图象上，
∴将x=6，y=﹣1代入反比例解析式得：，即，
∴反比例解析式为，
∵点D在反比例函数图象上，且DE=3，即D纵坐标为3，
将y=3代入反比例解析式得：，即x=﹣2，
∴点D坐标为（﹣2，3），
设直线解析式为，
将C与D坐标代入得：，
解得：，
∴函数解析式为；
（2）观察图像可知，当或时，．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
20. 某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，若没有在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒.（已知：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【正确答案】教室A在拖拉机的噪声污染范围内，在污染范围内，有20 s.
【详解】分析：问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到OM的距离是否大于污染半径130m，如果大于则没有受影响，反正则受影响．如果过A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的线段．中，∠AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后进行判断即可．如果设拖拉机从C到D教室受影响，那么要求教室受影响的时间，其实就是求CD的值，中，AB的值已经求得．又有AC的值，那么BC的值就能求出了．CD也就能求出了，然后根据时间=路程÷速度即可得出时间是多少．
详解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，
∵，
∴
在Rt△ABO中,
∵sin∠AOB＝ ，∴AB=AO⋅sin∠AOB= (m).
∵120m<130m.
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，
∵AB⊥OM，
∴B为CD的中点，即BC=DB，
∴ (m)，
∴CD=2BC=100(m).
即影响的时间为(s).
故答案为在污染范围内，有20 s.
点睛：考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
21. 人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，该商场甲种牛奶的价格为49元，乙种牛奶的价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使的总利润（利润=售价﹣进价）等于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件？
【正确答案】(1) 45元(2) 甲种牛奶64件，乙种牛奶23件
【详解】试题分析：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x-5）元，由题意列出关于x的方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y-5）件，根据题意列出关于y的没有等式组，求出y的整数解即可得出结论．
试题解析：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得，，解得x=50．
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义
故乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得（49-45）（3y-5）+（55-50）y=371，解得y=23．
答：购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件．
22. 如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．
（1）求证：DE是半圆的切线：
（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．
【正确答案】（1）证明见解析（2）四边形ODFA是菱形
【详解】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论；
（2）连接OF，可知OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论．
试题解析：（1）如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵△AED由△ACD对折得到，
∴∠CDA=∠EDA，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D点在半圆O上，
∴DE是半圆的切线；
（2）四边形ODFA是菱形，
如图，连接OF，
∵CD⊥OB，
∴△OCD是直角三角形，
∴OC=BC=OB=OD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，
∴OD∥AF，∠FAO=60°，
又∵OF=OA，
∴△FAO是等边三角形，
∴OA=AF，
∴OD=AF，
∴四边形ODFA是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形ODFA是菱形．
考点：1、切线的判定；2、菱形的判定；3、圆周角定理；4、翻折变换（折叠问题）
23. 如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,−1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积?并求出此时P点的坐标和△PAC的面积；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明.
【正确答案】（1） （2）P点的坐标为；（3）相交．证明解解析.
【详解】分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出的面积及对应的P点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的方程及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
详解：（1）设抛物线为
∵抛物线点A（0，3），
∴
∴抛物线为
（2）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴
∵
∴当m=3时，的面积为；
此时，P点坐标为．
（3）相交．证明：连接CE，则，
当时，
A(0,3),B(2,0),C(6,0)，
对称轴x=4，
∴ ,
∵AB⊥BD，
∴
∴△AOB∽△BEC，
∴
∵
∴抛物线的对称轴与⊙C相交．
点睛：属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形思想的应用．
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