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北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选(请选出各题中一个符合题意正确选项，本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D.
2. 在搜索引擎中输入“2017中考”，搜索到与之相关的结果个数约为8860000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 8.86×104 B. 886×104 C. 8.86×106 D. 88.6×106
3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 下列运算正确的是
A. a3•a3=a9 B. （﹣3a3）2=9a6 C. 5a+3b=8ab D. （a+b）2=a2+b2
5. 如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同．若设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
7. 一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中：①ac＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＞0；④c=﹣3a．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图a是某公司的商标图，由外至里，层阴影部分是由边长为1的正ΔABC和其外接圆形成的（如图b），第二层阴影部分是由正ΔABC的内切圆和这个内切圆的内接正三角形形成的（如图c），依次类推，则第8层阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（ ）
A. y=- B. y=- C. y=- D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：=_________________________．
12. 求没有等式组的正整数解．
13. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____．
14. 已知点A,B,C在⊙O上（点C没有与A,B重合），， 则= ______°.
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（-3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为__．
16. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别为4 cm2,36cm2, 点G,C,B在一条直线上，M是BF的中点，则点M到GD的距离为_________cm．
三、解 答 题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22题，23题每题12分，第24题14分，共80分.）
17. （1）计算：（）﹣2+﹣2cos60°； （2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4（a﹣1）2
18. 小明解方程﹣=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
19. 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点D去A点，要求AD是距离最短的路线.（到0.1公里，，）.
（1）在图中作出点D，并求最短距离；
（2）求BD的长.
20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？
（2）将两幅没有完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求si．
22. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接，包装成本为1万元/吨，它的平均价格y（单位：万元/吨）与数量x（≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是，平均价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润=总收入－经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
23. 阅读：圆是最完美的图形，它具有一些的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易．
解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_______个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标；
（2）记正方形DEFG的面积为S，
① 求S关于n的函数关系式；
② 当DF∥x轴时，求S值；
（3）是否存在n值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若没有存在，说明理由．
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选(请选出各题中一个符合题意的正确选项，本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D.
【正确答案】D
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为﹣．
故选：D．
本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2. 在搜索引擎中输入“2017中考”，搜索到与之相关的结果个数约为8860000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 8.86×104 B. 886×104 C. 8.86×106 D. 88.6×106
【正确答案】C
【详解】解：8860000= 8.86×106．故选C．
3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【正确答案】B
【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数．
【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．
故选B．
本题考查中位数的意义．理解题意，掌握中位数的意义是解题关键．
4. 下列运算正确的是
A. a3•a3=a9 B. （﹣3a3）2=9a6 C. 5a+3b=8ab D. （a+b）2=a2+b2
【正确答案】B
【详解】分析：根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断：
A、a3•a3=a6，本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，本选项正确；
C、5a和3b没有是同类项，没有可合并，本选项错误；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误．
故选B．
5. 如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1，依此得出图形D正确．故选D．
【详解】请在此输入详解！
6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同．若设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【正确答案】C
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．
【详解】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：＝．
故选：C．
此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
7. 一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
【正确答案】D
【分析】根据多边形的外角和是360°， 正多边形的每一个外角都等于40°，直接用360÷40即得.
【详解】解：360÷40=9.
故答案为D.
此题考查多边形外角和定理，解题关键在于掌握运算法则
8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中：①ac＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＞0；④c=﹣3a．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴ac＜0，故①正确；
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴对称轴为x=﹣==1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，∴结论②没有正确．
∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论③没有正确．
∵点A的坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0．又∵b=﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴结论④正确．
综上，可得正确的结论有两个：①④．
故选B．
点睛：本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
9. 如图a是某公司的商标图，由外至里，层阴影部分是由边长为1的正ΔABC和其外接圆形成的（如图b），第二层阴影部分是由正ΔABC的内切圆和这个内切圆的内接正三角形形成的（如图c），依次类推，则第8层阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合．如图，设圆的半径为r．Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=r，AD=OD•=r，即AB=2r；
同理可求得A1B1=，∴==．设第n内的正三角形的边长为an．∵AB=a1=1，∴a2=，同理可得：，∴，，∴阴影面积====．故选C．
10. 如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（ ）
A. y=- B. y=- C. y=- D.
【正确答案】A
【详解】解：连接CO．∵AC=AO，BC=OB，∴AB是线段OC的垂直平分线．∵直线AB的解析式为，∴直线OC的解析式为y=－2x，∴设C（a，－2a）．∵CB=OB=4，∴，解得：a=0（舍去）或a=，∴C．设直线BC为，把C代入得：，解得：k=，∴直线BC为．过O作OQ⊥AC于Q交AB于点P，连接PC，则PC+PQ=OQ最短．∵直线OQ∥直线BC，∴直线OQ的解析式为：．故选A．
点睛：本题考查了翻折变换的性质，函数图象上点的坐标特征．准确找出P的位置是解答本题的关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：=_________________________．
【正确答案】
【详解】解：==．
故答案为．
12. 求没有等式组正整数解．
【正确答案】1，2，3，4．
【详解】试题分析：先求出没有等式组的解集，再从没有等式组的解集中找出适合条件的正整数即可．
试题解析：解没有等式2x+1＞0，得：x＞-，
解没有等式x＞2x-5，得：x＜5，
∴没有等式组的解集为-＜x＜5，
∵x是正整数，
∴x=1、2、3、4．
考点：一元没有等式组的整数解．
13. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____．
【正确答案】
【详解】如图，连接AB，则根据轴对称和旋转对称的性质，从图中可知：
阴影部分面积=
．
故答案是：．
14. 已知点A,B,C在⊙O上（点C没有与A,B重合），， 则= ______°.
【正确答案】40或140
【详解】解：当点C1所示时．∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AC1B=∠AOB=×80°=40°；
当点C2所示时．∵∠AC1B=40°，∴∠AC2B=180°﹣40°=140°．
故答案为40°或140°．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（-3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为__．
【正确答案】（-2，7）．
【详解】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴∠OAB+∠DAF＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF，
∴△AOB∽△DFA，
∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，
∵AB：BC＝3：2，点A（﹣3，0），B（0，6），
∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，
∴DF＝2，AF＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴点D的坐标为：（﹣7，2），
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣①，点C的坐标为：（﹣4，8）．
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则解得：
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6②，
联立①②得： 或（舍去），
∴点E的坐标为：（﹣2，7）．
故答案为（﹣2，7）．
16. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG面积分别为4 cm2,36cm2, 点G,C,B在一条直线上，M是BF的中点，则点M到GD的距离为_________cm．
【正确答案】
【详解】解：如图，作MK⊥DG于K，CN⊥DG于N，FH⊥DG于H，BT⊥DG于T．
∵正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别为4平方厘米和36平方厘米，∴FG=CG=6cm，CD=CB=2cm，∠FGC=∠GCD=∠H=∠CNG=90°，∴∠FGH+∠HFG=90°，∠FGH+∠CGN=90°，∴∠HFG=∠CGN．在△FGH和△GCN中，，∴△FGH≌△GCN，∴FH=GN．在Rt△GCD中，DG==2cm，CN==cm，∴FH=GN===cm．∵CN∥BT，∴=，∴=，∴BT=cm．∵FM=MB，MK∥FH∥BT，∴KH=KT，∴MK==cm．
故答案为．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、梯形的中位线定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，构造梯形利用梯形中位线定理解决三角形的高，属于中考填 空 题中的压轴题．
三、解 答 题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22题，23题每题12分，第24题14分，共80分.）
17. （1）计算：（）﹣2+﹣2cos60°； （2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4（a﹣1）2
【正确答案】（1）5；（2）8a﹣5．
【详解】试题分析：（1）依据负指数幂的性质、二次根式的性质、锐角三角函数值求解即可；
（2）先依据平方差公式和完全平方公式计算，然后再合并同类项即可．
试题解析：解：（1）原式=4+2﹣2×=6-1=5；
（2）原式=4a2﹣1﹣4（a2－2a+1）=4a2﹣1﹣4a2+8a-4=8a－5．
18. 小明解方程﹣=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
【正确答案】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
【详解】试题分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．
试题解析：解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，
去括号得：1﹣x+2=x，
移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣2x=﹣3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解，
则方程的解为x=．
考点：1．解分式方程；．2．专题：图表型．
19. 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点D去A点，要求AD是距离最短的路线.（到0.1公里，，）.
（1）在图中作出点D，并求最短距离；
（2）求BD的长.
【正确答案】（1）见解析；(2) BD= 1.5（公里）
【详解】试题分析：（1）过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离；
（2）在Rt△ABD中，由AD=BD即可得出结论．
试题解析：解：（1）过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．
答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．
（2）在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，∴AD=BD，∴BD==≈1.46≈1.5（公里）．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. “端午节”是我国传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？
（2）将两幅没有完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【正确答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）
【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样的居民有600人．
（2）如图，
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求si．
【正确答案】(1) AF与⊙O相切 理由见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．
试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：
连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；
（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE=AC=12，∴EF=．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴，即，∴OA=20，∴AB=40，si=．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
22. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接，包装成本为1万元/吨，它的平均价格y（单位：万元/吨）与数量x（≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是，平均价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润=总收入－经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
【正确答案】（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨9万元；（2）此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；（3）当毛利润达到30万元时，用于直销的A类杨梅为18吨．
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求得y与x的函数解析式，把x=5代入即可；
（2）根据“毛利润=总收入﹣经营总成本”计算即可求得结论；
（3）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=总收入﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20；
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量．
试题解析：解：（1）设x，y的解析式为y=kx+b，把x=2时，y=12，x=8时，y=6得：
解得：，∴y=﹣x+14（2≤x≤8），∴x=5时，y=9．
答：A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨9万元；
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则B类杨梅有6吨，易得：WA=（10﹣3﹣1）×4=24（万元），WA=6×（9﹣3）﹣（12+3×6）=6（万元），∴W=24+6=30（万元）．
答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；
（3）设A类杨梅x吨，则B类杨梅（20﹣x）吨，①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x，wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x，∴w=wA+wB﹣3×20
=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
=﹣x2+7x+48；
当x≥8时，wA=6x﹣x=5x，wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x
∴w=wA+wB﹣3×20
=（5x）+（108﹣6x）﹣60
=﹣x+48，∴w关于x的函数关系式为：
w=；
②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均没有合题意．
当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18，∴当毛利润达到30万元时，直接的A类杨梅有18吨．
点睛：本题是二次函数、函数的综合应用题，难度较大．解题的关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．
23. 阅读：圆是最完美的图形，它具有一些的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易．
解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_______个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．
【正确答案】（1）无数；（2）（0，）或（0，）；（3）0﹤m﹤.
【详解】试题分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB的点P，由此即可求出m的范围．
试题解析：解：（1）以AB为边，在象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°，∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为无数．
（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2，∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=
=
=2，∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．
∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．
∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=，∴P1（0，2+），P2（0，2﹣）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB．
理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB时，∠AEH．由sin∠AEH= 得：当AE最小即PE最小时，∠AEH．所以当圆与y轴相切时，∠APB．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=，∴m的取值范围是．
点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标；
（2）记正方形DEFG的面积为S，
① 求S关于n的函数关系式；
② 当DF∥x轴时，求S的值；
（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）点D的坐标为（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．
【分析】（1）由于点D（m，4）在直线AC上，代入直线AC的解析式可得关于m的方程，解方程即可得到点D的坐标为（﹣3，4）；
（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，根据正方形的面积公式和勾股定理可得S关于n的函数关系式；
②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的，可得n=7，再代入函数关系式即可得到S的值；
（3）根据待定系数法可得BC为：；再分四种情况：①当点F落在BC边上时；②当点G落在BC边上时；③当点F落在AB边上时；④当点G落在AC边上时；进行讨论可得所有满足条件n的值．
【详解】解：（1）∵点D（m，4）在直线AC上；
∴4=m+8，解得m=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，4）；
（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，
∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；
②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的，
∴EH=DH=3，
∴n=4+3=7，
∴S=（7﹣4）2+9=18；
（3）∵OB=2OC=16，
∴B为（16，0），
∴BC：；
①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．
在△DEM与△EFN中，
，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3，
∴F为（n﹣4，n﹣3）
∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，
∴n=；
②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，
∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，
∴点G纵坐标为1，
∴，
∴x=14，
∴DN=14+3=17=n﹣4，
∴n=21；
③当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，
∴OE=DM=3，即n=3；
④当点G落在AC边上时，如图5．
∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，
∴△DCE∽△OCA，
∴，
∴，
∴n=，
显然，点G没有落在AB边上，点F没有落在AC边上，故只存在以上四种情况．
综上可得，当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．
考查了函数综合题，时间的知识点有：直线上的点的特征，正方形的面积公式和勾股定理，待定系数法求直线解析式，方程思想的运用，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，共30分）
1. 下列各对数是互为倒数是（ ）
A. 4和－4 B. －3和 C. －2和 D. 0和0
2. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 或
3. 温家宝有一句名言：“多么小的问题，乘以13亿，都会变得很大，多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小”如果每人每天浪费0.01千克粮食，我国13亿人每天就浪费粮食（ ）
A. 1.3×105千克 B. 1.3×106千克 C. 1.3×107千克 D. 1.3×108千克
4. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1
5. 某班组12名同学在“爱心捐款”中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成一组数据中，中位数与众数分别是（ ）
捐款（元）
10
15
20
50
人数
1
5
4
2
A. 15，15 B. 17.5，15 C. 20，20 D. 15，20
6. 如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为
A. B. C. D.
7. 如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，第2015次运动后，动点P的坐标是（ ）
A. （2015，0） B. （2015，1） C. （2015，2） D. （2016，0）
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
12. 从1，2，3，4中任意取出两个没有同的数，其和为5的概率是_____．
13. 若方程有增根，则=________．
14. 抛物线可以由抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到，则mn值为______ ．
15. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
16. 如果一个数平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i．
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为_____．
三、计算题（本大题共7小题，共42.0分）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x=2．
18. 近几年孝感市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会.某校随机了九年级名学生的升学意向，并根据结果绘制出如下两幅没有完整的统计图.请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）________；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角_________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？
19. 近年来，手机红包迅速流行．去年春节，小米的爷爷也尝试用发红包，他分别将10元、30元、60元的三个红包发到只有爷爷、爸爸、妈妈和小米的群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发没有抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）．
（1）求小米抢到60元红包的概率；
（2）如果小米的奶奶也加入“抢红包”的群，他们四个人中将有一个人抢没有到红包，那么这种情况下，求小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．
(1)求m的值和函数的解析式；
(2)设函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．
21. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
23. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4A、B两点．
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
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（二模）
一、选一选（本大题共10小题，共30分）
1. 下列各对数是互为倒数是（ ）
A. 4和－4 B. －3和 C. －2和 D. 0和0
【正确答案】C
【详解】A、4×（-4）≠1，选项错误，没有符合题意；
B、-3×≠1，选项错误，没有符合题意；
C、-2×（-）=1，选项正确，符合题意；
D、0×0≠1，选项错误，没有符合题意．
故选C．
2. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 或
【正确答案】A
【详解】要使函数有意义，
则
所以，
故选A．
考点：函数自变量的取值范围．
3. 温家宝有一句名言：“多么小的问题，乘以13亿，都会变得很大，多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小”如果每人每天浪费0.01千克粮食，我国13亿人每天就浪费粮食（ ）
A. 1.3×105千克 B. 1.3×106千克 C. 1.3×107千克 D. 1.3×108千克
【正确答案】C
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【详解】13亿=1 300 000 000，
1 300 000 000×0.01=1.3×107千克，
所以13亿人每天就浪费粮食1.3×107千克．
故选C．
4. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1
【正确答案】C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5. 某班组12名同学在“爱心捐款”中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成的一组数据中，中位数与众数分别是（ ）
捐款（元）
10
15
20
50
人数
1
5
4
2
A. 15，15 B. 17.5，15 C. 20，20 D. 15，20
【正确答案】B
【分析】根据中位数和众数的概念进行判断.
【详解】共有数据12个，第6个数和第7个数分别是15，20，所以中位数是：（15+20）÷2=17.5；捐款金额的众数是15．
故选B．
本题考查中位数和众数，将数据从小到大或从大到小排列后，最中间的一个数或两个数的平均数称为中位数，出现次数至多的是众数.
6. 如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
【详解】由点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，得．
解一元没有等式组，先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）．因此，．
没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．故选C．
7. 如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵双曲线y=（k＞0）与⊙O在象限内交于P、Q两点，∴点P与点Q关于直线y=x对称，∴Q点的坐标为（3，1），∴图中阴影部分的面积=2×（3-1）=4．故选D．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴= ，
即，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合，
故选B．
9. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，第2015次运动后，动点P的坐标是（ ）
A （2015，0） B. （2015，1） C. （2015，2） D. （2016，0）
【正确答案】C
【详解】解：设第n次到达的点为Pn点，
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，2），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，2）（n为自然数）．
∵2015=4×503+3，
∴P2015点的坐标为（4×503+3，2）=（2015，2）．
故选C．
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴得到b=-4a＜0，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），再根据二次函数的图象可对④进行判断．
【详解】①由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，①错误；
②直线x=1和x=3关于对称轴x=2对称，所以当x=1和x=3时，函数值相等，②正确；
③根据图象可知：，即可得4a+b=0，③正确；
④根据图象可知：抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴为x=2，根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），当-1＜x＜5时，抛物线位于x轴的下方，即y＜0，④正确．
所以正确的有3个，故选C.
点睛：本题考查二次函数=ax2+bx+c（a≠0）图象与二次函数系数之间的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．
②项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 从1，2，3，4中任意取出两个没有同的数，其和为5的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：列表得：
1
2
3
4
1
12
13
14
2
21
23
24
3
31
32
34
4
41
42
43
∵共有12种等可能的结果，和为5的有4种，
∴P（和为5）=．
13. 若方程有增根，则=________．
【正确答案】4.
【分析】先去掉分母将分式方程转化为整式方程，再根据原方程有增根而得出的值，将其代入之前得到的整式方程进一步求解即可.
【详解】将分式方程去掉分母可得：，
即：，
∵原方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为.
本题主要考查了分式方程中增根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
14. 抛物线可以由抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到，则mn值为______ ．
【正确答案】－42
【详解】根据题意可得，平移后的解析式为，整理得y=，所以m=-6，n=7，即可得mn=-42.
故答案-42.
点睛：本题主要考查了抛物线的平移规律，平移规律为：左加右减，上加下减.
15. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
【正确答案】2
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
16. 如果一个数平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i．
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为_____．
【正确答案】2．
【详解】试题分析：先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可．
试题解析：（1+i）（1-i）
=1-i2
=1-（-1）
=2．
考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算．
三、计算题（本大题共7小题，共42.0分）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x=2．
【正确答案】（1）10；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据实数的混合运算顺序依次计算即可；（2）根据分式的混合运算法则先把分式化为最简分式后，再代入求值即可.
试题解析：
（1）原式=1+1-+9=1+1-1+9=10；
（2）
=
=
=
=；
当x=2时，原式=.
18. 近几年孝感市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会.某校随机了九年级名学生的升学意向，并根据结果绘制出如下两幅没有完整的统计图.请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）________；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角_________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？
【正确答案】（1）40 （2）108°（3）画图见解析（4）270（名）
【分析】（1）用其他的人数除以所占的百分比，即为九年级学生的人数m；
（2）职职高所占百分比为1-60%-10%，再乘以360°即可；
（3）根据普高和职高所占的百分比，求得学生数，补全图即可；
（4）用职高所占的百分比乘以900即可．
【详解】（1）4÷10%=40（人），
（2）（1-60%-10%）×360°=30%×360°=108°；
（3）普高：60%×40=24（人），
职高：30%×40=12（人），
如图：
（4）900×30%=270（名）．
该校共有270名毕业生的升学意向是职高．
故答案为40，108°，270名．
本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本来估计总体，是基础知识要熟练掌握．
19. 近年来，手机红包迅速流行．去年春节，小米的爷爷也尝试用发红包，他分别将10元、30元、60元的三个红包发到只有爷爷、爸爸、妈妈和小米的群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发没有抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）．
（1）求小米抢到60元红包的概率；
（2）如果小米的奶奶也加入“抢红包”的群，他们四个人中将有一个人抢没有到红包，那么这种情况下，求小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的概率．
【正确答案】（1）； （2）．
【详解】试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：
（1）小米抢到60元红包的概率：；
（2）画树状图为：
共有24种等可能的结果数，其中小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的结果数为8，所以小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的概率=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．
(1)求m的值和函数的解析式；
(2)设函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）y=2x﹣2（2）2（3）x＞2
【详解】试题分析：（1）先把A（m，2）代入正比例函数解析式可计算出m=2，然后把A（2，2）代入y=kx﹣k计算出k的值，从而得到函数解析式为y=2x﹣2；
（2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；
（3）观察函数图象得到当x＞2时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x的值．
试题解析：（1）把A（m，2）代入y=x得m=2，则点A的坐标为（2，2），
把A（2，2）代入y=kx﹣k得2k﹣k=2，解得k=2，
所以函数解析式为y=2x﹣2；
（2）把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2，则B点坐标为（0，﹣2），
所以S△AOB=×2×2=2；
（3）自变量x的取值范围是x＞2．
考点：两条直线相交或平行问题
21. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2
【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，根据BF=BD-DF求出答案．
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC，
∴AE=AD，AB=AC，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB．
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45° ，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴BD=2，
又∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2-2．
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
【正确答案】 ①. y=x2+x ②. g=-x2+32x-150 ③. 16 ④. 6
【分析】（1）分别把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系数法求解即可；
（2）纯g=x个月的总利润-总150万-x个月的维修保养费用，化简即可求的g关于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化为顶点式，求得顶点坐标即可知其值问题；只有当g＞0时，才能回收，所以可根据二次函数g＞0时对应的x值来确定其在第6个月可回收．
【详解】解：（1）根据题意可知
当x=1时，y=2，
当x=2时，y=6，
所以
解得
∴y=x2+x；
（2）纯g=33x-150-（x2+x），
=-x2+32x-150；
（3）g=-x2+32x-150=-（x-16）2+106，
即设施开放16个月后游乐场的纯达到．
又在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，
当x≤5时，g＜0；
而当x=6时，g＞0，
所以6个月后能收回．
故答案为(1). y=x2+x (2). g=-x2+32x-150 (3). 16 (4). 6
本题考查利用二次函数的模型解决实际问题．先根据题意求出二次函数的解析式是解题关键．求最值问题可利用抛物线的顶点坐标解决．
23. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4A、B两点．
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）A（8，0）、B（0，4）;（2）S=﹣8t2+32t+32,S值为64．（3）存在符合条件的点P，坐标为（3，10）．
【详解】试题分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标．（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（PQ•OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的值．（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也没有可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为-1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标．
试题解析：
（1）抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；
令y=0，0=﹣0.5x2+3.5x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．
（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．
由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣0.5x+4；
依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；
∴当t=2时，S有值，且值为64．
（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=0.5x﹣4；
所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16
∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．
点睛：此题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及直角三角形的判定；一题中，先将没有可能的情况排除掉，可的简化解答过程．
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选(请选出各题中一个符合题意正确选项，本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D.
2. 在搜索引擎中输入“2017中考”，搜索到与之相关的结果个数约为8860000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 8.86×104 B. 886×104 C. 8.86×106 D. 88.6×106
3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 下列运算正确的是
A. a3•a3=a9 B. （﹣3a3）2=9a6 C. 5a+3b=8ab D. （a+b）2=a2+b2
5. 如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同．若设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
7. 一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中：①ac＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＞0；④c=﹣3a．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图a是某公司的商标图，由外至里，层阴影部分是由边长为1的正ΔABC和其外接圆形成的（如图b），第二层阴影部分是由正ΔABC的内切圆和这个内切圆的内接正三角形形成的（如图c），依次类推，则第8层阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（ ）
A. y=- B. y=- C. y=- D.
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：=_________________________．
12. 求没有等式组的正整数解．
13. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____．
14. 已知点A,B,C在⊙O上（点C没有与A,B重合），， 则= ______°.
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（-3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为__．
16. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别为4 cm2,36cm2, 点G,C,B在一条直线上，M是BF的中点，则点M到GD的距离为_________cm．
三、解 答 题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22题，23题每题12分，第24题14分，共80分.）
17. （1）计算：（）﹣2+﹣2cos60°； （2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4（a﹣1）2
18. 小明解方程﹣=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
19. 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点D去A点，要求AD是距离最短的路线.（到0.1公里，，）.
（1）在图中作出点D，并求最短距离；
（2）求BD的长.
20. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？
（2）将两幅没有完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求si．
22. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接，包装成本为1万元/吨，它的平均价格y（单位：万元/吨）与数量x（≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是，平均价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润=总收入－经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
23. 阅读：圆是最完美的图形，它具有一些的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易．
解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_______个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标；
（2）记正方形DEFG的面积为S，
① 求S关于n的函数关系式；
② 当DF∥x轴时，求S值；
（3）是否存在n值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若没有存在，说明理由．
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选(请选出各题中一个符合题意的正确选项，本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. D.
【正确答案】D
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为﹣．
故选：D．
本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2. 在搜索引擎中输入“2017中考”，搜索到与之相关的结果个数约为8860000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 8.86×104 B. 886×104 C. 8.86×106 D. 88.6×106
【正确答案】C
【详解】解：8860000= 8.86×106．故选C．
3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【正确答案】B
【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数．
【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互没有相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．
故选B．
本题考查中位数的意义．理解题意，掌握中位数的意义是解题关键．
4. 下列运算正确的是
A. a3•a3=a9 B. （﹣3a3）2=9a6 C. 5a+3b=8ab D. （a+b）2=a2+b2
【正确答案】B
【详解】分析：根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断：
A、a3•a3=a6，本选项错误；
B、（﹣3a3）2=9a6，本选项正确；
C、5a和3b没有是同类项，没有可合并，本选项错误；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误．
故选B．
5. 如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】左视图从左往右，2列正方形的个数依次为2，1，依此得出图形D正确．故选D．
【详解】请在此输入详解！
6. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同．若设原计划平均每天生产x台机器，则可列方程为( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【正确答案】C
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．
【详解】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：＝．
故选：C．
此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
7. 一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）
A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形
【正确答案】D
【分析】根据多边形的外角和是360°， 正多边形的每一个外角都等于40°，直接用360÷40即得.
【详解】解：360÷40=9.
故答案为D.
此题考查多边形外角和定理，解题关键在于掌握运算法则
8. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中：①ac＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＞0；④c=﹣3a．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴ac＜0，故①正确；
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴对称轴为x=﹣==1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，∴结论②没有正确．
∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论③没有正确．
∵点A的坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0．又∵b=﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴结论④正确．
综上，可得正确的结论有两个：①④．
故选B．
点睛：本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
9. 如图a是某公司的商标图，由外至里，层阴影部分是由边长为1的正ΔABC和其外接圆形成的（如图b），第二层阴影部分是由正ΔABC的内切圆和这个内切圆的内接正三角形形成的（如图c），依次类推，则第8层阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合．如图，设圆的半径为r．Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=r，AD=OD•=r，即AB=2r；
同理可求得A1B1=，∴==．设第n内的正三角形的边长为an．∵AB=a1=1，∴a2=，同理可得：，∴，，∴阴影面积====．故选C．
10. 如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（ ）
A. y=- B. y=- C. y=- D.
【正确答案】A
【详解】解：连接CO．∵AC=AO，BC=OB，∴AB是线段OC的垂直平分线．∵直线AB的解析式为，∴直线OC的解析式为y=－2x，∴设C（a，－2a）．∵CB=OB=4，∴，解得：a=0（舍去）或a=，∴C．设直线BC为，把C代入得：，解得：k=，∴直线BC为．过O作OQ⊥AC于Q交AB于点P，连接PC，则PC+PQ=OQ最短．∵直线OQ∥直线BC，∴直线OQ的解析式为：．故选A．
点睛：本题考查了翻折变换的性质，函数图象上点的坐标特征．准确找出P的位置是解答本题的关键．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 分解因式：=_________________________．
【正确答案】
【详解】解：==．
故答案为．
12. 求没有等式组正整数解．
【正确答案】1，2，3，4．
【详解】试题分析：先求出没有等式组的解集，再从没有等式组的解集中找出适合条件的正整数即可．
试题解析：解没有等式2x+1＞0，得：x＞-，
解没有等式x＞2x-5，得：x＜5，
∴没有等式组的解集为-＜x＜5，
∵x是正整数，
∴x=1、2、3、4．
考点：一元没有等式组的整数解．
13. 如图，小方格都是边长为1 的正方形．则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为____．
【正确答案】
【详解】如图，连接AB，则根据轴对称和旋转对称的性质，从图中可知：
阴影部分面积=
．
故答案是：．
14. 已知点A,B,C在⊙O上（点C没有与A,B重合），， 则= ______°.
【正确答案】40或140
【详解】解：当点C1所示时．∵∠AC1B与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AC1B=∠AOB=×80°=40°；
当点C2所示时．∵∠AC1B=40°，∴∠AC2B=180°﹣40°=140°．
故答案为40°或140°．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（-3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为__．
【正确答案】（-2，7）．
【详解】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AOB＝∠DFA＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴∠OAB+∠DAF＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF，
∴△AOB∽△DFA，
∴OA：DF＝OB：AF＝AB：AD，
∵AB：BC＝3：2，点A（﹣3，0），B（0，6），
∴AB：AD＝3：2，OA＝3，OB＝6，
∴DF＝2，AF＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴点D的坐标为：（﹣7，2），
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣①，点C的坐标为：（﹣4，8）．
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则解得：
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6②，
联立①②得： 或（舍去），
∴点E的坐标为：（﹣2，7）．
故答案为（﹣2，7）．
16. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG面积分别为4 cm2,36cm2, 点G,C,B在一条直线上，M是BF的中点，则点M到GD的距离为_________cm．
【正确答案】
【详解】解：如图，作MK⊥DG于K，CN⊥DG于N，FH⊥DG于H，BT⊥DG于T．
∵正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别为4平方厘米和36平方厘米，∴FG=CG=6cm，CD=CB=2cm，∠FGC=∠GCD=∠H=∠CNG=90°，∴∠FGH+∠HFG=90°，∠FGH+∠CGN=90°，∴∠HFG=∠CGN．在△FGH和△GCN中，，∴△FGH≌△GCN，∴FH=GN．在Rt△GCD中，DG==2cm，CN==cm，∴FH=GN===cm．∵CN∥BT，∴=，∴=，∴BT=cm．∵FM=MB，MK∥FH∥BT，∴KH=KT，∴MK==cm．
故答案为．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、梯形的中位线定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，构造梯形利用梯形中位线定理解决三角形的高，属于中考填 空 题中的压轴题．
三、解 答 题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22题，23题每题12分，第24题14分，共80分.）
17. （1）计算：（）﹣2+﹣2cos60°； （2）化简：（2a+1）（2a﹣1）﹣4（a﹣1）2
【正确答案】（1）5；（2）8a﹣5．
【详解】试题分析：（1）依据负指数幂的性质、二次根式的性质、锐角三角函数值求解即可；
（2）先依据平方差公式和完全平方公式计算，然后再合并同类项即可．
试题解析：解：（1）原式=4+2﹣2×=6-1=5；
（2）原式=4a2﹣1﹣4（a2－2a+1）=4a2﹣1﹣4a2+8a-4=8a－5．
18. 小明解方程﹣=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
【正确答案】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
【详解】试题分析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．
试题解析：解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，
去括号得：1﹣x+2=x，
移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣2x=﹣3，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解，
则方程的解为x=．
考点：1．解分式方程；．2．专题：图表型．
19. 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）.如果某人要从BC路上的某点D去A点，要求AD是距离最短的路线.（到0.1公里，，）.
（1）在图中作出点D，并求最短距离；
（2）求BD的长.
【正确答案】（1）见解析；(2) BD= 1.5（公里）
【详解】试题分析：（1）过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离；
（2）在Rt△ABD中，由AD=BD即可得出结论．
试题解析：解：（1）过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x．在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．
答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．
（2）在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，∴AD=BD，∴BD==≈1.46≈1.5（公里）．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. “端午节”是我国传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种没有同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样，并将情况绘制成如下两幅统计图（尚没有完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样的居民有多少人？
（2）将两幅没有完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【正确答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）
【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样的居民有600人．
（2）如图，
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC＝24，AF＝15，求si．
【正确答案】(1) AF与⊙O相切 理由见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．
试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：
连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；
（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE=AC=12，∴EF=．∵∠OAF=90°，∴△OAE∽△AFE，∴，即，∴OA=20，∴AB=40，si=．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
22. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接，包装成本为1万元/吨，它的平均价格y（单位：万元/吨）与数量x（≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是，平均价格为9万元/吨．
（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨多少万元？
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润=总收入－经营总成本）
（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
【正确答案】（1）A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨9万元；（2）此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；（3）当毛利润达到30万元时，用于直销的A类杨梅为18吨．
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求得y与x的函数解析式，把x=5代入即可；
（2）根据“毛利润=总收入﹣经营总成本”计算即可求得结论；
（3）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=总收入﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20；
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量．
试题解析：解：（1）设x，y的解析式为y=kx+b，把x=2时，y=12，x=8时，y=6得：
解得：，∴y=﹣x+14（2≤x≤8），∴x=5时，y=9．
答：A类杨梅的量为5吨时，它的平均价格是每吨9万元；
（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则B类杨梅有6吨，易得：WA=（10﹣3﹣1）×4=24（万元），WA=6×（9﹣3）﹣（12+3×6）=6（万元），∴W=24+6=30（万元）．
答：此时经营这批杨梅所获得的毛利润w为30万元；
（3）设A类杨梅x吨，则B类杨梅（20﹣x）吨，①当2≤x＜8时，wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x，wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x，∴w=wA+wB﹣3×20
=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
=﹣x2+7x+48；
当x≥8时，wA=6x﹣x=5x，wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x
∴w=wA+wB﹣3×20
=（5x）+（108﹣6x）﹣60
=﹣x+48，∴w关于x的函数关系式为：
w=；
②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均没有合题意．
当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18，∴当毛利润达到30万元时，直接的A类杨梅有18吨．
点睛：本题是二次函数、函数的综合应用题，难度较大．解题的关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．
23. 阅读：圆是最完美的图形，它具有一些的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易．
解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有_______个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．
【正确答案】（1）无数；（2）（0，）或（0，）；（3）0﹤m﹤.
【详解】试题分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB的点P，由此即可求出m的范围．
试题解析：解：（1）以AB为边，在象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°，∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为无数．
（2）点P在y轴的正半轴上，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2，∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=
=
=2，∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1．∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．
∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．
∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=，∴P1（0，2+），P2（0，2﹣）．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB．
理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB时，∠AEH．由sin∠AEH= 得：当AE最小即PE最小时，∠AEH．所以当圆与y轴相切时，∠APB．∵∠APB为锐角，∴sin∠APB随∠APB增大而增大，．
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四边形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=，∴m的取值范围是．
点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．
（1）求点D的坐标；
（2）记正方形DEFG的面积为S，
① 求S关于n的函数关系式；
② 当DF∥x轴时，求S的值；
（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）点D的坐标为（-3，4）；（2）①S=（n-4）2+9；②S=（7-4）2+9=18；当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．
【分析】（1）由于点D（m，4）在直线AC上，代入直线AC的解析式可得关于m的方程，解方程即可得到点D的坐标为（﹣3，4）；
（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，根据正方形的面积公式和勾股定理可得S关于n的函数关系式；
②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的，可得n=7，再代入函数关系式即可得到S的值；
（3）根据待定系数法可得BC为：；再分四种情况：①当点F落在BC边上时；②当点G落在BC边上时；③当点F落在AB边上时；④当点G落在AC边上时；进行讨论可得所有满足条件n的值．
【详解】解：（1）∵点D（m，4）在直线AC上；
∴4=m+8，解得m=﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，4）；
（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，则EH=|n﹣4|，
∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；
②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的，
∴EH=DH=3，
∴n=4+3=7，
∴S=（7﹣4）2+9=18；
（3）∵OB=2OC=16，
∴B为（16，0），
∴BC：；
①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．
在△DEM与△EFN中，
，
∴△DEM≌△EFN（AAS），
∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3，
∴F为（n﹣4，n﹣3）
∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，
∴n=；
②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，
∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，
∴点G纵坐标为1，
∴，
∴x=14，
∴DN=14+3=17=n﹣4，
∴n=21；
③当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，
∴OE=DM=3，即n=3；
④当点G落在AC边上时，如图5．
∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，
∴△DCE∽△OCA，
∴，
∴，
∴n=，
显然，点G没有落在AB边上，点F没有落在AC边上，故只存在以上四种情况．
综上可得，当n=或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．
考查了函数综合题，时间的知识点有：直线上的点的特征，正方形的面积公式和勾股定理，待定系数法求直线解析式，方程思想的运用，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，共30分）
1. 下列各对数是互为倒数是（ ）
A. 4和－4 B. －3和 C. －2和 D. 0和0
2. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 或
3. 温家宝有一句名言：“多么小的问题，乘以13亿，都会变得很大，多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小”如果每人每天浪费0.01千克粮食，我国13亿人每天就浪费粮食（ ）
A. 1.3×105千克 B. 1.3×106千克 C. 1.3×107千克 D. 1.3×108千克
4. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1
5. 某班组12名同学在“爱心捐款”中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成一组数据中，中位数与众数分别是（ ）
捐款（元）
10
15
20
50
人数
1
5
4
2
A. 15，15 B. 17.5，15 C. 20，20 D. 15，20
6. 如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为
A. B. C. D.
7. 如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，第2015次运动后，动点P的坐标是（ ）
A. （2015，0） B. （2015，1） C. （2015，2） D. （2016，0）
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
12. 从1，2，3，4中任意取出两个没有同的数，其和为5的概率是_____．
13. 若方程有增根，则=________．
14. 抛物线可以由抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到，则mn值为______ ．
15. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
16. 如果一个数平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i．
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为_____．
三、计算题（本大题共7小题，共42.0分）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x=2．
18. 近几年孝感市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会.某校随机了九年级名学生的升学意向，并根据结果绘制出如下两幅没有完整的统计图.请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）________；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角_________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？
19. 近年来，手机红包迅速流行．去年春节，小米的爷爷也尝试用发红包，他分别将10元、30元、60元的三个红包发到只有爷爷、爸爸、妈妈和小米的群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发没有抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）．
（1）求小米抢到60元红包的概率；
（2）如果小米的奶奶也加入“抢红包”的群，他们四个人中将有一个人抢没有到红包，那么这种情况下，求小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．
(1)求m的值和函数的解析式；
(2)设函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．
21. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
23. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4A、B两点．
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
北京市平谷区2022-2023学年中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，共30分）
1. 下列各对数是互为倒数是（ ）
A. 4和－4 B. －3和 C. －2和 D. 0和0
【正确答案】C
【详解】A、4×（-4）≠1，选项错误，没有符合题意；
B、-3×≠1，选项错误，没有符合题意；
C、-2×（-）=1，选项正确，符合题意；
D、0×0≠1，选项错误，没有符合题意．
故选C．
2. 函数的自变量x的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 或
【正确答案】A
【详解】要使函数有意义，
则
所以，
故选A．
考点：函数自变量的取值范围．
3. 温家宝有一句名言：“多么小的问题，乘以13亿，都会变得很大，多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小”如果每人每天浪费0.01千克粮食，我国13亿人每天就浪费粮食（ ）
A. 1.3×105千克 B. 1.3×106千克 C. 1.3×107千克 D. 1.3×108千克
【正确答案】C
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【详解】13亿=1 300 000 000，
1 300 000 000×0.01=1.3×107千克，
所以13亿人每天就浪费粮食1.3×107千克．
故选C．
4. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1
【正确答案】C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5. 某班组12名同学在“爱心捐款”中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成的一组数据中，中位数与众数分别是（ ）
捐款（元）
10
15
20
50
人数
1
5
4
2
A. 15，15 B. 17.5，15 C. 20，20 D. 15，20
【正确答案】B
【分析】根据中位数和众数的概念进行判断.
【详解】共有数据12个，第6个数和第7个数分别是15，20，所以中位数是：（15+20）÷2=17.5；捐款金额的众数是15．
故选B．
本题考查中位数和众数，将数据从小到大或从大到小排列后，最中间的一个数或两个数的平均数称为中位数，出现次数至多的是众数.
6. 如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
【详解】由点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，得．
解一元没有等式组，先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小解没有了（无解）．因此，．
没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．故选C．
7. 如图，双曲线y＝（k＞0）与⊙O在象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵双曲线y=（k＞0）与⊙O在象限内交于P、Q两点，∴点P与点Q关于直线y=x对称，∴Q点的坐标为（3，1），∴图中阴影部分的面积=2×（3-1）=4．故选D．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴= ，
即，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合，
故选B．
9. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，第2015次运动后，动点P的坐标是（ ）
A （2015，0） B. （2015，1） C. （2015，2） D. （2016，0）
【正确答案】C
【详解】解：设第n次到达的点为Pn点，
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，2），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，2）（n为自然数）．
∵2015=4×503+3，
∴P2015点的坐标为（4×503+3，2）=（2015，2）．
故选C．
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴得到b=-4a＜0，则可对①③进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），再根据二次函数的图象可对④进行判断．
【详解】①由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，①错误；
②直线x=1和x=3关于对称轴x=2对称，所以当x=1和x=3时，函数值相等，②正确；
③根据图象可知：，即可得4a+b=0，③正确；
④根据图象可知：抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴为x=2，根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），当-1＜x＜5时，抛物线位于x轴的下方，即y＜0，④正确．
所以正确的有3个，故选C.
点睛：本题考查二次函数=ax2+bx+c（a≠0）图象与二次函数系数之间的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．
②项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 从1，2，3，4中任意取出两个没有同的数，其和为5的概率是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：列表得：
1
2
3
4
1
12
13
14
2
21
23
24
3
31
32
34
4
41
42
43
∵共有12种等可能的结果，和为5的有4种，
∴P（和为5）=．
13. 若方程有增根，则=________．
【正确答案】4.
【分析】先去掉分母将分式方程转化为整式方程，再根据原方程有增根而得出的值，将其代入之前得到的整式方程进一步求解即可.
【详解】将分式方程去掉分母可得：，
即：，
∵原方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为.
本题主要考查了分式方程中增根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
14. 抛物线可以由抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到，则mn值为______ ．
【正确答案】－42
【详解】根据题意可得，平移后的解析式为，整理得y=，所以m=-6，n=7，即可得mn=-42.
故答案-42.
点睛：本题主要考查了抛物线的平移规律，平移规律为：左加右减，上加下减.
15. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
【正确答案】2
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
16. 如果一个数平方等于﹣1，记作i2=﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣5i）=（2+3）+（1﹣5）i=5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4×i2=15﹣17i﹣4×（﹣1）=19﹣17i．
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+i）（1﹣i）化简结果为为_____．
【正确答案】2．
【详解】试题分析：先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可．
试题解析：（1+i）（1-i）
=1-i2
=1-（-1）
=2．
考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算．
三、计算题（本大题共7小题，共42.0分）
17. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x=2．
【正确答案】（1）10；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据实数的混合运算顺序依次计算即可；（2）根据分式的混合运算法则先把分式化为最简分式后，再代入求值即可.
试题解析：
（1）原式=1+1-+9=1+1-1+9=10；
（2）
=
=
=
=；
当x=2时，原式=.
18. 近几年孝感市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会.某校随机了九年级名学生的升学意向，并根据结果绘制出如下两幅没有完整的统计图.请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）________；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角_________；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？
【正确答案】（1）40 （2）108°（3）画图见解析（4）270（名）
【分析】（1）用其他的人数除以所占的百分比，即为九年级学生的人数m；
（2）职职高所占百分比为1-60%-10%，再乘以360°即可；
（3）根据普高和职高所占的百分比，求得学生数，补全图即可；
（4）用职高所占的百分比乘以900即可．
【详解】（1）4÷10%=40（人），
（2）（1-60%-10%）×360°=30%×360°=108°；
（3）普高：60%×40=24（人），
职高：30%×40=12（人），
如图：
（4）900×30%=270（名）．
该校共有270名毕业生的升学意向是职高．
故答案为40，108°，270名．
本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本来估计总体，是基础知识要熟练掌握．
19. 近年来，手机红包迅速流行．去年春节，小米的爷爷也尝试用发红包，他分别将10元、30元、60元的三个红包发到只有爷爷、爸爸、妈妈和小米的群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发没有抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）．
（1）求小米抢到60元红包的概率；
（2）如果小米的奶奶也加入“抢红包”的群，他们四个人中将有一个人抢没有到红包，那么这种情况下，求小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的概率．
【正确答案】（1）； （2）．
【详解】试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：
（1）小米抢到60元红包的概率：；
（2）画树状图为：
共有24种等可能的结果数，其中小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的结果数为8，所以小米和妈妈两个人抢到红包的钱数之和没有少于70元的概率=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．
(1)求m的值和函数的解析式；
(2)设函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）y=2x﹣2（2）2（3）x＞2
【详解】试题分析：（1）先把A（m，2）代入正比例函数解析式可计算出m=2，然后把A（2，2）代入y=kx﹣k计算出k的值，从而得到函数解析式为y=2x﹣2；
（2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；
（3）观察函数图象得到当x＞2时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x的值．
试题解析：（1）把A（m，2）代入y=x得m=2，则点A的坐标为（2，2），
把A（2，2）代入y=kx﹣k得2k﹣k=2，解得k=2，
所以函数解析式为y=2x﹣2；
（2）把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2，则B点坐标为（0，﹣2），
所以S△AOB=×2×2=2；
（3）自变量x的取值范围是x＞2．
考点：两条直线相交或平行问题
21. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F．
（1）求证：；
（2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【正确答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2-2
【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等；
（2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，根据BF=BD-DF求出答案．
【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC，
∴AE=AD，AB=AC，
∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠DAB，
∴△AEC≌△ADB．
（3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45° ，
∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，
∴BD=2，
又∵四边形ADFC是菱形，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=2-2．
考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质
22. 杭州体博会期间，嘉年华游乐场150万元引进一项大型游乐设施，若没有计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（单位：万元），且y=ax2+bx，若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元；若将创收扣除和维修保养费用称为游乐场的纯g（单位：万元），g也是关于x的二次函数.
（1）y关于x的解析式______________；
（2）纯g关于x的解析式______________；
（3）设施开放________个月后，游乐场纯达到？____个月后，能收回？
【正确答案】 ①. y=x2+x ②. g=-x2+32x-150 ③. 16 ④. 6
【分析】（1）分别把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系数法求解即可；
（2）纯g=x个月的总利润-总150万-x个月的维修保养费用，化简即可求的g关于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化为顶点式，求得顶点坐标即可知其值问题；只有当g＞0时，才能回收，所以可根据二次函数g＞0时对应的x值来确定其在第6个月可回收．
【详解】解：（1）根据题意可知
当x=1时，y=2，
当x=2时，y=6，
所以
解得
∴y=x2+x；
（2）纯g=33x-150-（x2+x），
=-x2+32x-150；
（3）g=-x2+32x-150=-（x-16）2+106，
即设施开放16个月后游乐场的纯达到．
又在0＜x≤16时，g随x的增大而增大，
当x≤5时，g＜0；
而当x=6时，g＞0，
所以6个月后能收回．
故答案为(1). y=x2+x (2). g=-x2+32x-150 (3). 16 (4). 6
本题考查利用二次函数的模型解决实际问题．先根据题意求出二次函数的解析式是解题关键．求最值问题可利用抛物线的顶点坐标解决．
23. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4A、B两点．
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在t，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）A（8，0）、B（0，4）;（2）S=﹣8t2+32t+32,S值为64．（3）存在符合条件的点P，坐标为（3，10）．
【详解】试题分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标．（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（PQ•OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的值．（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也没有可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为-1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标．
试题解析：
（1）抛物线y=﹣0.5x2+3.5x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；
令y=0，0=﹣0.5x2+3.5x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．
（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．
由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣0.5x+4；
依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；
∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；
S=S△ABC+S△PAB=0.5×8×8+0.5×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；
∴当t=2时，S有值，且值为64．
（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；
由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=0.5x﹣4；
所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16
∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．
点睛：此题主要考查的是函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、图形面积的解法以及直角三角形的判定；一题中，先将没有可能的情况排除掉，可的简化解答过程．
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