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2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共59页。试卷主要包含了 下列四个数中，的一个数是， 下列运算正确的是， 二次函数y=ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一.选一选（每小题3分，满分30分）
1. 下列四个数中，的一个数是（ ）
A. 2 B. C. 0 D. ﹣2
2. 节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A B. C. D.
5. 某中学随机调查了15名先生，了解他们一周在校参加体育锻炼的工夫，列表如下：
锻炼工夫/h
5
6
7
8
人数
2
6
5
2
则这 15 名先生一周在校参加体育锻炼工夫的中位数和众数分别为（ ）
A 6 h，6 h B. 7 h，7 h C. 7 h，6 h D. 6 h，7 h
6. 如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P = 40°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 35° B. 25° C. 40° D. 50°
7. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似，在象限内将线段AB减少为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1)
8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的值不可能是（ ）
A. -5 B. -2 C. 3 D. 5
9. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ）
A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二.填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________．
12. 若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=_________
13. 已知A（3,0），B（-1,0）是抛物线上两点，该抛物线的对称轴是_______.
14. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是______________
15. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD=____.
16. 如图，直线m∥n，△ABC等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=_______度．
17. 任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的可能性为____.
18. 如图，已知点A是双曲线在象限分支上的一个动点，连结AO并延伸交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的地位也在不断变化，但点C不断在双曲线上运动，则k的值是______．
三.解 答 题（本题共8个小题，共66分）
19. 计算.
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 为配合我市创建省级文明城市，某校正八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制造如下两幅不残缺的统计图．
（1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充残缺；
（2）该校决定本周开展主题理论，从八年级只需2名文明行为劝导志愿者班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．
22. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB
（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求弧长BG.
23. 某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶．
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文明墙PM能否需求拆除．请阐明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延伸线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG长．
26. 如图，在直角坐标系中有不断角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD类似时，点P的坐标；
②能否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若不存在，请阐明理由．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一.选一选（每小题3分，满分30分）
1. 下列四个数中，的一个数是（ ）
A. 2 B. C. 0 D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】根据实数比较大小的方法，可得：﹣2＜0＜＜2，故四个数中，的一个数是2．
故选A．
本题考查实数的大小比较，在理数与有理数比较大小可平方后再比较大小.
2. 节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：350000000= 3.5×108．故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：A．a2a3=a5≠a6，故A选项错误；
B．（x2）3=x6，故B选项正确；
C．m6÷m2=m4≠m3，故C选项错误；
D．6a﹣4a=2a≠2，故D选项错误．
故选B．
4. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
考点：旋转对称图形．
5. 某中学随机调查了15名先生，了解他们一周在校参加体育锻炼的工夫，列表如下：
锻炼工夫/h
5
6
7
8
人数
2
6
5
2
则这 15 名先生一周在校参加体育锻炼工夫的中位数和众数分别为（ ）
A. 6 h，6 h B. 7 h，7 h C. 7 h，6 h D. 6 h，7 h
【正确答案】A
【分析】从15个先生体育锻炼的工夫中，找出出现次数最多的数是众数，排序后处在第8位的数是中位数．
【详解】解：15名先生的锻炼工夫从小到大陈列后处在第8位的是6小时，因此中位数是6小时，
6小时的出现次数最多，是6次，因此众数是6小时，
故选：A．
考查中位数、众数的意义及求法，将一组数据从小到大陈列后处在两头地位的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数．
6. 如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P = 40°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 35° B. 25° C. 40° D. 50°
【正确答案】B
【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝50°，
∴∠ABC＝∠POA＝25°．
故选：B．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的切线垂直于切点的半径．
7. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似，在象限内将线段AB减少为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1)
【正确答案】A
【详解】试题分析：利用位似图形的性质两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似，在象限内将线段AB减少为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的值不可能是（ ）
A. -5 B. -2 C. 3 D. 5
【正确答案】B
【分析】当直线y=kx-2与线段AB的交点为A点时，把A（-2，4）代入y=kx-2，求出k=-3，根据函数的有关性质得到当k≤-3时直线y=kx-2与线段AB有交点；当直线y=kx-2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y=kx-2，求出k=1，根据函数的有关性质得到当k≥1时直线y=kx-2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．
【详解】把A（-2，4）代入y=kx-2得，4=-2k-2，解得k=-3，
∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤-3；
把B（4，2）代入y=kx-2得，4k-2=2，解得k=1，
∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过、三象限时，k满足的条件为k≥1．
即k≤-3或k≥1．
所以直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是-2．
故选B．
本题考查了函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，图象必过、三象限，k越大直线越靠近y轴；当k＜0时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴．
9. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ）
A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)
【正确答案】D
【分析】根据函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为，．
故选：D．
本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径成绩，解题的关键是找出点的地位．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，
∴4a+b=0，故（1）正确；
∵由x=-3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞-3c，故（2）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)
∴a-b+c=0，
∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a．
代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a，
∵函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）不正确；
∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）不正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），
∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
正确的共有3个．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地位，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二.填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________．
【正确答案】x≥3且x≠4．
【详解】试题解析：根据题意知：
解得：x≥3且x≠4
故x≥3且x≠4．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围普通从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=_________
【正确答案】3
【分析】利用平方差公式得到（m+n）（m-n）=6，然后把m-n=2代入计算即可．
【详解】∵，
∴m＋n=3.
13. 已知A（3,0），B（-1,0）是抛物线上两点，该抛物线的对称轴是_______.
【正确答案】x=1
【详解】解：根据A（3，0）、B（1，0）得：对称轴x==1．故答案为1．
14. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是______________
【正确答案】m>0.5
【详解】试题解析：关于的一元二次方程的两实数根之积为负，
解得：
故答案为
15. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD=____.
【正确答案】70°
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=35°，∴∠BOD=2∠C=70°．故答案为70°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
16. 如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=_______度．
【正确答案】45．
【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠1=45°；
故答案：45．
本题考查等腰直角三角形；平行线的性质．
17. 任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的可能性为____.
【正确答案】
【详解】试题解析：∵解不等式组解集为：＜k≤3，∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，关于x的方程：2x+k=﹣1的解为：x=，∵关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数，∴k+1≤0，解得：k≤﹣1，∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的为：﹣1，﹣2；
∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为：=．故答案为．
18. 如图，已知点A是双曲线在象限分支上的一个动点，连结AO并延伸交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的地位也在不断变化，但点C不断在双曲线上运动，则k的值是______．
【正确答案】﹣3
【详解】试题分析：根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，类似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．∵双曲线的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， 连接OC，如图所示， ∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°， ∴tan∠OAC==， ∴OC=OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF， ∴△OFC∽△AEO，类似比， ∴面积比，
∵点A在象限，设点A坐标为（a，b）， ∵点A在双曲线上， ∴S△AEO=ab=，
∴S△OFC=FC•OF=， ∴设点C坐标为（x，y）， ∵点C在双曲线上， ∴k=xy，
∵点C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣
考点：（1）反比例函数图象上点的坐标特征；（2）等边三角形的性质；（3）解直角三角形；（4）类似三角形的性质和判定的运用
三.解 答 题（本题共8个小题，共66分）
19. 计算.
【正确答案】0
【详解】试题分析：原式利用角的三角函数值，值的代数意义化简以及零指数幂的意义计算即可得到结果．
试题解析：解：原式===0．
20. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】， 2
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
【详解】解；原式=[]•
=
=
当x=时，原式===2．
本题考查了分式的化简求值，化简的过程中要留意运算顺序和分式的化简．化简的结果分子、分母要进行约分，留意运算的结果要化成最简分式或整式．
21. 为配合我市创建省级文明城市，某校正八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制造如下两幅不残缺的统计图．
（1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充残缺；
（2）该校决定本周开展主题理论，从八年级只需2名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．
【正确答案】 （1）详见解析
（2）
【分析】（1）根据志愿者有6名的班级占20%，可求得班级总数，再求得志愿者是2名的班数，进而可求出每个班级平均的志愿者人数．
（2）由（1）得只需2名志愿者的班级有2个，共4名先生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图或列表可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名志愿者来自同一个班级的概率．
【详解】解：（1）∵有6名志愿者的班级有4个，∴班级总数为：4÷20%=20（个）．
∴有两名志愿者的班级有：20﹣4﹣5﹣4﹣3﹣2=2（个）．
该年级文明行为劝导志愿者平均每班有：（4×6+5×5+×4+3×3+2×2+2×1）÷20=4（名）．
将条形图补充残缺如下：
（2）由（1）得只需2名文明行为劝导志愿者的班级有2个，共4名先生，设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，画树状图：
∵ 由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，
∴所选两名文明行为劝导志愿者来自同一个班级的概率为：．
条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，列表法或树状图法，3718684概率．
22. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB
（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求弧长BG.
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；
（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∵∠AFB=∠DAE，∠B=∠DEA，AF=AD，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；
（2）∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==．
考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
23. 某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶．
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文明墙PM能否需求拆除．请阐明理由．
【正确答案】(1)α＝30°；(2)文明墙PM不需求拆除，理由见解析．
【详解】试题分析：（1）由新坡面的坡度为1：，由角的三角函数值，即可求得新坡面的坡角；（2）过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．
试题解析：（1）∵新坡面的坡度为1：，
∴tanα=tan∠CAB=，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文明墙PM不需求拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，
∴BD=CD=6，AD=6，
∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，
∴文明墙PM不需求拆除．
本题考查解直角三角形运用．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
【正确答案】（1）；（2）D（，﹣4）．
【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，解直角三角形可得出CE=3，函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
【详解】解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，
∴CE=BE•tan∠ABO=6×=3，
函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，
∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2．
∵S△BAF=AF•OB=（OA+OF）•OB=（2+）×4=4+．
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO=×|﹣6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+=4×3，
解得：n=，
证，n=是分式方程4+=4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延伸线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形类似得到三角形AED与三角形GEB类似，由类似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．
【详解】（1）证明：连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在△AED和△BFD中，
∠A=∠FBD，AD=BD，∠EDA=∠FDB，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE=BF；
（2）证明：连接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，
∵EB=2，BF=1，
∴EF=，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴cos∠DEF=，
∵EF=，
∴DE=×，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴，即GE•ED=AE•EB，
∴•GE=2，即GE=，
则GD=GE+ED=．
26. 如图，在直角坐标系中有不断角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD类似时，点P的坐标；
②能否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若不存在，请阐明理由．
【正确答案】（1）；（2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②当t=﹣时，S△PCD的值为．
【分析】（1）由三角函数的定义可求得OB，再旋转可得到A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①△COD为直角三角形，可知当△CEF与△COD类似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，当PE⊥CE时，则可得抛物线的顶点满足条件，当PE⊥CD时，过P作PG⊥x轴于点G，可证△PGE∽△COD，利用类似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标；
②可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取值时，则△PCD的面积，可求得其值．
【详解】解：（1）∵OA=1，tan∠BAO=3，
∴=3，解得OB=3，
又由旋转可得OB=OC=3，
∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD类似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则PE⊥CE，
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，
则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴，
∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，
∴
解得t=-2或t=3，
∵P点第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此时P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD解析式为y=kx+m，
把C、D两点坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，
∵P点横坐标为t，
∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，
∴当t=-时，PM有值，值为，
∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，
∴当PM有值时，△PCD的面积有值，
∴（S△PCD）max=×，
综上可知存在点P使△PCD面积，△PCD的面积有值为．
本题考查了类似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求值是难点．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. ﹣06 C. ﹣6 D. π
2. 太阳半径约696000千米，则696000用科学记数法可表示为（ ）
A 0.696×106 B. 6.96×105 C. 0.696×107 D. 6.96×108
3. 下列图形中是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算中，结果是a7的是（ ）
A. a3﹣a4 B. a3•a4 C. a3+a4 D. a3÷a4
5. 如图，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣9，6） C. （﹣1，6） D. （﹣9，2）
7. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A. 75° B. 80° C. 85° D. 90°
8. 如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A. B. C. 2π D.
9. 已知函数y1=x﹣3和反比例函数y2=图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1或x＞4 B. ﹣1＜x＜0或x＞4
C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D. x＜﹣1或0＜x＜4
10. 如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN没有动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题给共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x3y﹣xy3=_____．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为_____
13. 分式方程=1的解为_____
14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
15. 在一个没有透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为_____
16. 小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都没有知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小光实际策略
石头
剪子
布
石头
剪子
布
石头
剪子
布
小王实际策略
剪子
布
剪子
石头
剪子
剪子
剪子
石头
剪子
小光得分
3
3
﹣1
0
0
﹣1
3
﹣1
﹣1
小王得分
﹣1
﹣1
3
0
0
3
﹣1
3
3
已知在另游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为_____分．
三、解 答 题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17. 计算：（）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+|﹣2|
18. 先化简，再求值：．其中x=sin60°．
19. 解没有等式组，并求出没有等式组的整数解之和．
20. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个没有相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
21. 如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
22. 随着社会的发展，通过发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次中，一共了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
③若小陈共有好友150人，请根据数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
23. 某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）请填写下表
A（吨）
B（吨）
合计（吨）
C
240
D
x
260
总计（吨）
200
300
500
（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费没有变．若C、D两市的总运费的最小值没有小于10320元，求m的取值范围．
24. 在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（没有与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
（2）如图2，若EF没有与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
25. 已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. ﹣0.6 C. ﹣6 D. π
【正确答案】D
【详解】分析：
详解：A、1是整数，为有理数；
B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数；
C、﹣6是整数，属于有理数；
D、π是无理数；
故选D．
本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键．
2. 太阳半径约696000千米，则696000用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.696×106 B. 6.96×105 C. 0.696×107 D. 6.96×108
【正确答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．
【详解】696000=6.96×105，
故选B．
本题考查科学记数法——表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
3. 下列图形中是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
详解：A、没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项正确；
D、没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误．
故选C．
点睛：本题考查了对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
4. 下列计算中，结果是a7的是（ ）
A. a3﹣a4 B. a3•a4 C. a3+a4 D. a3÷a4
【正确答案】B
【详解】分析：根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可．
详解：A、a3与a4没有能合并；
B、a3•a4=a7，
C、a3与a4没有能合并；
D、a3÷a4=.
故选B．
点睛：本题考查的是同底数幂的乘、除法、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5. 如图，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：找到从几何体的上面所看到的图形即可．
详解：从几何体的上面看可得
，
故选A．
点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
6. 如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣9，6） C. （﹣1，6） D. （﹣9，2）
【正确答案】A
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【详解】由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：A．
本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
7. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A. 75° B. 80° C. 85° D. 90°
【正确答案】A
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
【详解】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
8. 如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A. B. C. 2π D.
【正确答案】D
【详解】分析：先计算圆心角120°，根据弧长公式=，可得结果．
详解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长== ，
故选D．
点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
9. 已知函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1或x＞4 B. ﹣1＜x＜0或x＞4
C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D. x＜﹣1或0＜x＜4
【正确答案】B
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据函数的图象和性质得出即可．
【详解】解方程组得：，，
即A（4，1），B（﹣1，﹣4），
所以当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞4，
故选B．
本题考查了函数与反比例函数的交点问题，能熟记函数的性质和图象是解此题的关键．
10. 如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN没有动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．
详解：∵∠P=90°，PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM=45°，
由题意得：CM=x，
分三种情况：
①当0≤x≤2时，如图1，
边CD与PM交于点E，
∵∠PMN=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
此时矩形ABCD与△PMN重叠部分△EMC，
∴y=S△EMC=CM•CE=；
故选项B和D没有正确；
②如图2，
当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，
∵∠N=45°，CD=2，
∴CN=CD=2，
∴CM=6﹣2=4，
即此时x=4，
当2＜x≤4时，如图3，
矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，
过E作EF⊥MN于F，
∴EF=MF=2，
∴ED=CF=x﹣2，
∴y=S梯形EMCD=CD•（DE+CM）==2x﹣2；
③当4＜x≤6时，如图4，
矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，
∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2，
∵MN=6，CM=x，
∴CG=CN=6﹣x，
∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4，
∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG=﹣=×2×（x﹣2+x）﹣=﹣+10x﹣18，
故选项A正确；
故选A．
点睛：此题是动点问题的函数图象，有难度，主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示，注意运用数形和分类讨论思想的应用．
二、填 空 题（本大题给共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x3y﹣xy3=_____．
【正确答案】xy（x+y）（x﹣y）．
【详解】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）．
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到没有能分解为止．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为_____
【正确答案】4π．
【详解】分析：先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．
详解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB==10，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
∴△ABC内切圆的周长=2π•2=4π．
故答案4π．
点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．
13. 分式方程=1的解为_____
【正确答案】x=0.5
【详解】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，
8x+2﹣5x﹣5=2x2﹣2，
解得x1=1，x2=0.5，
检验：当x=0.5时，x﹣1=0.5﹣1=﹣0.5≠0，
当x=1时，x﹣1=0，
所以x=0.5是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.5．
故答案为x=0.5
点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
【正确答案】100（1+）
【详解】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
详解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，
∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
故答案为100（1+）．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
15. 在一个没有透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为_____
【正确答案】
【详解】分析：列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．
详解：根据题意列表得：
2
3
4
5
2
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
（5，3）
4
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
（5，4）
5
（2，5）
（3，5）
（4，5）
﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为= ，
故答案为 ．
点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是没有放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都没有知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小光实际策略
石头
剪子
布
石头
剪子
布
石头
剪子
布
小王实际策略
剪子
布
剪子
石头
剪子
剪子
剪子
石头
剪子
小光得分
3
3
﹣1
0
0
﹣1
3
﹣1
﹣1
小王得分
﹣1
﹣1
3
0
0
3
﹣1
3
3
已知在另游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为_____分．
【正确答案】90.
【详解】分析：观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分，进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局，设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，根据50局比赛后小光总得分为﹣6分，即可得出关于x、y的二元方程，由x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可得出x=0、y=25，再由胜一局得3分、负一局得﹣1分、平没有得分，可求出小王的总得分．
详解：由二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分．
∵50÷6=8（组）……2（局），
∴（3﹣1+0）×8+3=19（分）．
设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，
根据题意得：19+3x﹣y=﹣6，
∴y=3x+25．
∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负，
∴x=0，y=25，
∴小王的总得分=（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3=90（分）．
故答案为90．
点睛：本题考查了二元方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出二元方程是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17. 计算：（）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+|﹣2|
【正确答案】
【详解】分析：直接利用负指数幂的性质以及角的三角函数值、值的性质、零指数幂的性质进而化简得出答案．
详解：原式=+1++2﹣
=+1++2﹣
=4﹣．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 先化简，再求值：．其中x=sin60°．
【正确答案】
【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可得．
详解：原式==，
当x=sin60°=时，
原式==．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 解没有等式组，并求出没有等式组的整数解之和．
【正确答案】6.
【详解】分析：分别求出没有等式组中两没有等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
详解：解没有等式（x+1）≤2，得：x≤3，
解没有等式，得：x≥0，
则没有等式组的解集为0≤x≤3，
所以没有等式组的整数解之和为0+1+2+3=6．
点睛：此题考查了解一元没有等式组，以及一元没有等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个没有相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
【正确答案】（1）m＜1；（2）0.
【详解】分析：（1）根据根的判别式得出没有等式，求出没有等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
详解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
点睛：本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
21. 如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【正确答案】（1）3；（2）证明见解析.
【详解】分析：（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
详解：（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22. 随着社会的发展，通过发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次中，一共了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
③若小陈共有好友150人，请根据数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
【正确答案】（1）30；（2）①补图见解析；②120；③70人.
【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形；
②用360°乘以A类别人数所占比例可得；
③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．
【详解】解：（1）本次的好友人数为6÷20%=30人，
故30；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，
根据题意，得：a+6+12+5a=30，
解得：a=2，
即A类人数为10；D类人数为2，
补全图形如下：
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×=120°，
故120；
③估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150×=70人．
此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23. 某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）请填写下表
A（吨）
B（吨）
合计（吨）
C
240
D
x
260
总计（吨）
200
300
500
（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费没有变．若C、D两市的总运费的最小值没有小于10320元，求m的取值范围．
【正确答案】（1）x﹣60、300﹣x、260﹣x；（2）w=10x+10200（60≤x≤260）；（3）m的取值范围是0＜m≤8．
【详解】分析：（1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整；
（2）根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
详解：（1）∵D市运往B市x吨，
∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）=（x﹣60）吨，
故答案为x﹣60、300﹣x、260﹣x；
（2）由题意可得，
w=20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x=10x+10200，
∴w=10x+10200（60≤x≤260）；
（3）由题意可得，
w=10x+10200﹣mx=（10﹣m）x+10200，
当0＜m＜10时，
x=60时，w取得最小值，此时w=（10﹣m）×60+10200≥10320，
解得，0＜m≤8，
当m＞10时，
x=260时，w取得最小值，此时，w=（10﹣m）×260+10200≥10320，
解得，m≤，
∵＜10，
∴m＞10这种情况没有符合题意，
由上可得，m的取值范围是0＜m≤8．
点睛：本题考查函数的应用、一元没有等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和没有等式的性质解答．
24. 在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（没有与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
（2）如图2，若EF没有与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】分析：（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得，根据即可得证；
（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得，根据=即可得证；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，从而得==+a，==a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
详解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴==；
（2）若EF没有与BC平行，（1）中的结论仍然成立，
分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，
∵FN⊥AB、CH⊥AB，
∴FN∥CH，
∴△AFN∽△ACH，
∴，
∴==；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，
则MN分别是BC、AC的中点，
∴MN∥AB，且MN=AB，
∴=，且S△ABM=S△ACM，
∴=，
设=a，
由（2）知：==×=，==a，
则===+a，
而==a，
∴+a =a，
解得：a=，
∴=×=．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．
25. 已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
【正确答案】（1）y=（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（17，64）．（3）①证明见解析；②16.
【详解】分析：（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得；
（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得．
详解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0=（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴=，
∴==，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM•QN=DM•DN=16，
∴=，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一.选一选（每小题3分，满分30分）
1. 下列四个数中，的一个数是（ ）
A. 2 B. C. 0 D. ﹣2
2. 节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A B. C. D.
5. 某中学随机调查了15名先生，了解他们一周在校参加体育锻炼的工夫，列表如下：
锻炼工夫/h
5
6
7
8
人数
2
6
5
2
则这 15 名先生一周在校参加体育锻炼工夫的中位数和众数分别为（ ）
A 6 h，6 h B. 7 h，7 h C. 7 h，6 h D. 6 h，7 h
6. 如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P = 40°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 35° B. 25° C. 40° D. 50°
7. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似，在象限内将线段AB减少为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1)
8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的值不可能是（ ）
A. -5 B. -2 C. 3 D. 5
9. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ）
A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二.填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________．
12. 若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=_________
13. 已知A（3,0），B（-1,0）是抛物线上两点，该抛物线的对称轴是_______.
14. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是______________
15. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD=____.
16. 如图，直线m∥n，△ABC等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=_______度．
17. 任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的可能性为____.
18. 如图，已知点A是双曲线在象限分支上的一个动点，连结AO并延伸交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的地位也在不断变化，但点C不断在双曲线上运动，则k的值是______．
三.解 答 题（本题共8个小题，共66分）
19. 计算.
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 为配合我市创建省级文明城市，某校正八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制造如下两幅不残缺的统计图．
（1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充残缺；
（2）该校决定本周开展主题理论，从八年级只需2名文明行为劝导志愿者班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．
22. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB
（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求弧长BG.
23. 某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶．
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文明墙PM能否需求拆除．请阐明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延伸线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG长．
26. 如图，在直角坐标系中有不断角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD类似时，点P的坐标；
②能否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若不存在，请阐明理由．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一.选一选（每小题3分，满分30分）
1. 下列四个数中，的一个数是（ ）
A. 2 B. C. 0 D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】根据实数比较大小的方法，可得：﹣2＜0＜＜2，故四个数中，的一个数是2．
故选A．
本题考查实数的大小比较，在理数与有理数比较大小可平方后再比较大小.
2. 节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】解：350000000= 3.5×108．故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：A．a2a3=a5≠a6，故A选项错误；
B．（x2）3=x6，故B选项正确；
C．m6÷m2=m4≠m3，故C选项错误；
D．6a﹣4a=2a≠2，故D选项错误．
故选B．
4. 下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选A．
考点：旋转对称图形．
5. 某中学随机调查了15名先生，了解他们一周在校参加体育锻炼的工夫，列表如下：
锻炼工夫/h
5
6
7
8
人数
2
6
5
2
则这 15 名先生一周在校参加体育锻炼工夫的中位数和众数分别为（ ）
A. 6 h，6 h B. 7 h，7 h C. 7 h，6 h D. 6 h，7 h
【正确答案】A
【分析】从15个先生体育锻炼的工夫中，找出出现次数最多的数是众数，排序后处在第8位的数是中位数．
【详解】解：15名先生的锻炼工夫从小到大陈列后处在第8位的是6小时，因此中位数是6小时，
6小时的出现次数最多，是6次，因此众数是6小时，
故选：A．
考查中位数、众数的意义及求法，将一组数据从小到大陈列后处在两头地位的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数．
6. 如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P = 40°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 35° B. 25° C. 40° D. 50°
【正确答案】B
【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝50°，
∴∠ABC＝∠POA＝25°．
故选：B．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的切线垂直于切点的半径．
7. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似，在象限内将线段AB减少为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1)
【正确答案】A
【详解】试题分析：利用位似图形的性质两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似，在象限内将线段AB减少为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2,4），B（4,2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的值不可能是（ ）
A. -5 B. -2 C. 3 D. 5
【正确答案】B
【分析】当直线y=kx-2与线段AB的交点为A点时，把A（-2，4）代入y=kx-2，求出k=-3，根据函数的有关性质得到当k≤-3时直线y=kx-2与线段AB有交点；当直线y=kx-2与线段AB的交点为B点时，把B（4，2）代入y=kx-2，求出k=1，根据函数的有关性质得到当k≥1时直线y=kx-2与线段AB有交点，从而能得到正确选项．
【详解】把A（-2，4）代入y=kx-2得，4=-2k-2，解得k=-3，
∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k≤-3；
把B（4，2）代入y=kx-2得，4k-2=2，解得k=1，
∴当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过、三象限时，k满足的条件为k≥1．
即k≤-3或k≥1．
所以直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是-2．
故选B．
本题考查了函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0时，图象必过、三象限，k越大直线越靠近y轴；当k＜0时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴．
9. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ）
A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)
【正确答案】D
【分析】根据函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为，．
故选：D．
本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径成绩，解题的关键是找出点的地位．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，即b=-4a，
∴4a+b=0，故（1）正确；
∵由x=-3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴9a+c＞-3c，故（2）正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)
∴a-b+c=0，
∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a．
代入可得7a﹣3b+2c=7a+12a-10a=9a，
∵函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∴7a﹣3b+2c＜0，故（3）不正确；
∵当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小，
∴若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1=y3＜y2，故（4）不正确；
根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5，0），
∴若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2，故（5）正确．
正确的共有3个．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地位，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二.填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________．
【正确答案】x≥3且x≠4．
【详解】试题解析：根据题意知：
解得：x≥3且x≠4
故x≥3且x≠4．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围普通从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=_________
【正确答案】3
【分析】利用平方差公式得到（m+n）（m-n）=6，然后把m-n=2代入计算即可．
【详解】∵，
∴m＋n=3.
13. 已知A（3,0），B（-1,0）是抛物线上两点，该抛物线的对称轴是_______.
【正确答案】x=1
【详解】解：根据A（3，0）、B（1，0）得：对称轴x==1．故答案为1．
14. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是______________
【正确答案】m>0.5
【详解】试题解析：关于的一元二次方程的两实数根之积为负，
解得：
故答案为
15. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，则∠BOD=____.
【正确答案】70°
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=35°，∴∠BOD=2∠C=70°．故答案为70°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．
16. 如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=_______度．
【正确答案】45．
【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠1=45°；
故答案：45．
本题考查等腰直角三角形；平行线的性质．
17. 任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的可能性为____.
【正确答案】
【详解】试题解析：∵解不等式组解集为：＜k≤3，∴整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，关于x的方程：2x+k=﹣1的解为：x=，∵关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数，∴k+1≤0，解得：k≤﹣1，∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的为：﹣1，﹣2；
∴能使关于x的方程：2x+k=﹣1的解为非负数的概率为：=．故答案为．
18. 如图，已知点A是双曲线在象限分支上的一个动点，连结AO并延伸交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的地位也在不断变化，但点C不断在双曲线上运动，则k的值是______．
【正确答案】﹣3
【详解】试题分析：根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，类似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．∵双曲线的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， 连接OC，如图所示， ∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°， ∴tan∠OAC==， ∴OC=OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF， ∴△OFC∽△AEO，类似比， ∴面积比，
∵点A在象限，设点A坐标为（a，b）， ∵点A在双曲线上， ∴S△AEO=ab=，
∴S△OFC=FC•OF=， ∴设点C坐标为（x，y）， ∵点C在双曲线上， ∴k=xy，
∵点C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣
考点：（1）反比例函数图象上点的坐标特征；（2）等边三角形的性质；（3）解直角三角形；（4）类似三角形的性质和判定的运用
三.解 答 题（本题共8个小题，共66分）
19. 计算.
【正确答案】0
【详解】试题分析：原式利用角的三角函数值，值的代数意义化简以及零指数幂的意义计算即可得到结果．
试题解析：解：原式===0．
20. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】， 2
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可．
【详解】解；原式=[]•
=
=
当x=时，原式===2．
本题考查了分式的化简求值，化简的过程中要留意运算顺序和分式的化简．化简的结果分子、分母要进行约分，留意运算的结果要化成最简分式或整式．
21. 为配合我市创建省级文明城市，某校正八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制造如下两幅不残缺的统计图．
（1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充残缺；
（2）该校决定本周开展主题理论，从八年级只需2名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．
【正确答案】 （1）详见解析
（2）
【分析】（1）根据志愿者有6名的班级占20%，可求得班级总数，再求得志愿者是2名的班数，进而可求出每个班级平均的志愿者人数．
（2）由（1）得只需2名志愿者的班级有2个，共4名先生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图或列表可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名志愿者来自同一个班级的概率．
【详解】解：（1）∵有6名志愿者的班级有4个，∴班级总数为：4÷20%=20（个）．
∴有两名志愿者的班级有：20﹣4﹣5﹣4﹣3﹣2=2（个）．
该年级文明行为劝导志愿者平均每班有：（4×6+5×5+×4+3×3+2×2+2×1）÷20=4（名）．
将条形图补充残缺如下：
（2）由（1）得只需2名文明行为劝导志愿者的班级有2个，共4名先生，设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，画树状图：
∵ 由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，
∴所选两名文明行为劝导志愿者来自同一个班级的概率为：．
条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，列表法或树状图法，3718684概率．
22. 如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
（1）求证：DE=AB
（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求弧长BG.
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；
（2）根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∵∠AFB=∠DAE，∠B=∠DEA，AF=AD，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；
（2）∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==．
考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
23. 某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为1∶．
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文明墙PM能否需求拆除．请阐明理由．
【正确答案】(1)α＝30°；(2)文明墙PM不需求拆除，理由见解析．
【详解】试题分析：（1）由新坡面的坡度为1：，由角的三角函数值，即可求得新坡面的坡角；（2）过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．
试题解析：（1）∵新坡面的坡度为1：，
∴tanα=tan∠CAB=，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文明墙PM不需求拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，
∴BD=CD=6，AD=6，
∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，
∴文明墙PM不需求拆除．
本题考查解直角三角形运用．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
【正确答案】（1）；（2）D（，﹣4）．
【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，解直角三角形可得出CE=3，函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
【详解】解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=，
∴CE=BE•tan∠ABO=6×=3，
函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=，
∴OA=OB•tan∠ABO=4×=2．
∵S△BAF=AF•OB=（OA+OF）•OB=（2+）×4=4+．
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO=×|﹣6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+=4×3，
解得：n=，
证，n=是分式方程4+=4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延伸线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；
（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．
【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形类似得到三角形AED与三角形GEB类似，由类似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．
【详解】（1）证明：连接BD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG=90°，
∴∠FDB+∠BDG=90°，
∵∠EDA+∠BDG=90°，
∴∠EDA=∠FDB，
在△AED和△BFD中，
∠A=∠FBD，AD=BD，∠EDA=∠FDB，
∴△AED≌△BFD（ASA），
∴AE=BF；
（2）证明：连接EF，BG，
∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，
∵∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∵∠G=∠A=45°，
∴∠G=∠DEF，
∴GB∥EF；
（3）∵AE=BF，AE=1，
∴BF=1，
在Rt△EBF中，∠EBF=90°，
∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，
∵EB=2，BF=1，
∴EF=，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴cos∠DEF=，
∵EF=，
∴DE=×，
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，
∴△GEB∽△AED，
∴，即GE•ED=AE•EB，
∴•GE=2，即GE=，
则GD=GE+ED=．
26. 如图，在直角坐标系中有不断角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD类似时，点P的坐标；
②能否存在一点P，使△PCD的面积？若存在，求出△PCD的面积的值；若不存在，请阐明理由．
【正确答案】（1）；（2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②当t=﹣时，S△PCD的值为．
【分析】（1）由三角函数的定义可求得OB，再旋转可得到A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①△COD为直角三角形，可知当△CEF与△COD类似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，当PE⊥CE时，则可得抛物线的顶点满足条件，当PE⊥CD时，过P作PG⊥x轴于点G，可证△PGE∽△COD，利用类似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标；
②可求得直线CD的解析式，过P作PN⊥x轴于点N，交CD于点M，可用t表示出PM的长，当PM取值时，则△PCD的面积，可求得其值．
【详解】解：（1）∵OA=1，tan∠BAO=3，
∴=3，解得OB=3，
又由旋转可得OB=OC=3，
∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入可得
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
（2）①由（1）可知抛物线对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，4），
∵△COD为直角三角形，
∴当△CEF与△COD类似时有两种情况，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，
若∠FEC=90°，则PE⊥CE，
∵对称轴与x轴垂直，
∴此时抛物线的顶点即为满足条件的P点，此时P点坐标为（-1，4）；
若∠EFC=90°，则PE⊥CD，
如图，过P作PG⊥x轴于点G，
则∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，
∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，
∴△PGE∽△COD，
∴，
∵E（-1，0），G（t，0），且P点横坐标为t，
∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，
∴
解得t=-2或t=3，
∵P点第二象限，
∴t＜0，即t=-2，
此时P点坐标为（-2，3），
综上可知满足条件的P点坐标为（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD解析式为y=kx+m，
把C、D两点坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=x+1，
如图2，过P作PN⊥x轴，交x轴于点N，交直线CD于点M，
∵P点横坐标为t，
∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，
∵P点在第二象限，
∴P点在M点上方，
∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，
∴当t=-时，PM有值，值为，
∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，
∴当PM有值时，△PCD的面积有值，
∴（S△PCD）max=×，
综上可知存在点P使△PCD面积，△PCD的面积有值为．
本题考查了类似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求值是难点．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. ﹣06 C. ﹣6 D. π
2. 太阳半径约696000千米，则696000用科学记数法可表示为（ ）
A 0.696×106 B. 6.96×105 C. 0.696×107 D. 6.96×108
3. 下列图形中是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算中，结果是a7的是（ ）
A. a3﹣a4 B. a3•a4 C. a3+a4 D. a3÷a4
5. 如图，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣9，6） C. （﹣1，6） D. （﹣9，2）
7. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A. 75° B. 80° C. 85° D. 90°
8. 如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A. B. C. 2π D.
9. 已知函数y1=x﹣3和反比例函数y2=图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1或x＞4 B. ﹣1＜x＜0或x＞4
C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D. x＜﹣1或0＜x＜4
10. 如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN没有动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题给共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x3y﹣xy3=_____．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为_____
13. 分式方程=1的解为_____
14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
15. 在一个没有透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为_____
16. 小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都没有知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小光实际策略
石头
剪子
布
石头
剪子
布
石头
剪子
布
小王实际策略
剪子
布
剪子
石头
剪子
剪子
剪子
石头
剪子
小光得分
3
3
﹣1
0
0
﹣1
3
﹣1
﹣1
小王得分
﹣1
﹣1
3
0
0
3
﹣1
3
3
已知在另游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为_____分．
三、解 答 题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17. 计算：（）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+|﹣2|
18. 先化简，再求值：．其中x=sin60°．
19. 解没有等式组，并求出没有等式组的整数解之和．
20. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个没有相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
21. 如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
22. 随着社会的发展，通过发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次中，一共了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
③若小陈共有好友150人，请根据数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
23. 某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）请填写下表
A（吨）
B（吨）
合计（吨）
C
240
D
x
260
总计（吨）
200
300
500
（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费没有变．若C、D两市的总运费的最小值没有小于10320元，求m的取值范围．
24. 在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（没有与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
（2）如图2，若EF没有与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
25. 已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
2022-2023学年广东省佛山市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 1 B. ﹣0.6 C. ﹣6 D. π
【正确答案】D
【详解】分析：
详解：A、1是整数，为有理数；
B、﹣0.6是有限小数，即分数，属于有理数；
C、﹣6是整数，属于有理数；
D、π是无理数；
故选D．
本题主要考查的是无理数的定义，熟练掌握无理数的三种常见类型是解题的关键．
2. 太阳半径约696000千米，则696000用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.696×106 B. 6.96×105 C. 0.696×107 D. 6.96×108
【正确答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．
【详解】696000=6.96×105，
故选B．
本题考查科学记数法——表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
3. 下列图形中是轴对称图形但没有是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据轴对称图形与对称图形的概念求解．
详解：A、没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项正确；
D、没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项错误．
故选C．
点睛：本题考查了对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
4. 下列计算中，结果是a7的是（ ）
A. a3﹣a4 B. a3•a4 C. a3+a4 D. a3÷a4
【正确答案】B
【详解】分析：根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可．
详解：A、a3与a4没有能合并；
B、a3•a4=a7，
C、a3与a4没有能合并；
D、a3÷a4=.
故选B．
点睛：本题考查的是同底数幂的乘、除法、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5. 如图，该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：找到从几何体的上面所看到的图形即可．
详解：从几何体的上面看可得
，
故选A．
点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
6. 如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）
A. （﹣1，2） B. （﹣9，6） C. （﹣1，6） D. （﹣9，2）
【正确答案】A
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【详解】由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：A．
本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
7. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A. 75° B. 80° C. 85° D. 90°
【正确答案】A
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
【详解】∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
8. 如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A. B. C. 2π D.
【正确答案】D
【详解】分析：先计算圆心角120°，根据弧长公式=，可得结果．
详解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长== ，
故选D．
点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
9. 已知函数y1=x﹣3和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣1或x＞4 B. ﹣1＜x＜0或x＞4
C. ﹣1＜x＜0或0＜x＜4 D. x＜﹣1或0＜x＜4
【正确答案】B
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据函数的图象和性质得出即可．
【详解】解方程组得：，，
即A（4，1），B（﹣1，﹣4），
所以当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞4，
故选B．
本题考查了函数与反比例函数的交点问题，能熟记函数的性质和图象是解此题的关键．
10. 如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN没有动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．
详解：∵∠P=90°，PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM=45°，
由题意得：CM=x，
分三种情况：
①当0≤x≤2时，如图1，
边CD与PM交于点E，
∵∠PMN=45°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
此时矩形ABCD与△PMN重叠部分△EMC，
∴y=S△EMC=CM•CE=；
故选项B和D没有正确；
②如图2，
当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，
∵∠N=45°，CD=2，
∴CN=CD=2，
∴CM=6﹣2=4，
即此时x=4，
当2＜x≤4时，如图3，
矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，
过E作EF⊥MN于F，
∴EF=MF=2，
∴ED=CF=x﹣2，
∴y=S梯形EMCD=CD•（DE+CM）==2x﹣2；
③当4＜x≤6时，如图4，
矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，
∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2，
∵MN=6，CM=x，
∴CG=CN=6﹣x，
∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4，
∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG=﹣=×2×（x﹣2+x）﹣=﹣+10x﹣18，
故选项A正确；
故选A．
点睛：此题是动点问题的函数图象，有难度，主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示，注意运用数形和分类讨论思想的应用．
二、填 空 题（本大题给共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x3y﹣xy3=_____．
【正确答案】xy（x+y）（x﹣y）．
【详解】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）．
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到没有能分解为止．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为_____
【正确答案】4π．
【详解】分析：先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．
详解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB==10，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
∴△ABC内切圆的周长=2π•2=4π．
故答案4π．
点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．
13. 分式方程=1的解为_____
【正确答案】x=0.5
【详解】分析：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验．
详解：方程两边都乘以2（x2﹣1）得，
8x+2﹣5x﹣5=2x2﹣2，
解得x1=1，x2=0.5，
检验：当x=0.5时，x﹣1=0.5﹣1=﹣0.5≠0，
当x=1时，x﹣1=0，
所以x=0.5是方程的解，
故原分式方程的解是x=0.5．
故答案为x=0.5
点睛：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）
【正确答案】100（1+）
【详解】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
详解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，
∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
故答案为100（1+）．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
15. 在一个没有透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为_____
【正确答案】
【详解】分析：列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．
详解：根据题意列表得：
2
3
4
5
2
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
（5，3）
4
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
（5，4）
5
（2，5）
（3，5）
（4，5）
﹣﹣﹣
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为= ，
故答案为 ．
点睛：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是没有放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得﹣1分，平局两人都得0分，小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都没有知道对方的策略．
小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、……
小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）
例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表
局数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
小光实际策略
石头
剪子
布
石头
剪子
布
石头
剪子
布
小王实际策略
剪子
布
剪子
石头
剪子
剪子
剪子
石头
剪子
小光得分
3
3
﹣1
0
0
﹣1
3
﹣1
﹣1
小王得分
﹣1
﹣1
3
0
0
3
﹣1
3
3
已知在另游戏中，50局比赛后，小光总得分为﹣6分，则小王总得分为_____分．
【正确答案】90.
【详解】分析：观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分，进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局，设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，根据50局比赛后小光总得分为﹣6分，即可得出关于x、y的二元方程，由x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可得出x=0、y=25，再由胜一局得3分、负一局得﹣1分、平没有得分，可求出小王的总得分．
详解：由二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分．
∵50÷6=8（组）……2（局），
∴（3﹣1+0）×8+3=19（分）．
设其它二十五局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25﹣x﹣y）局，
根据题意得：19+3x﹣y=﹣6，
∴y=3x+25．
∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负，
∴x=0，y=25，
∴小王的总得分=（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3=90（分）．
故答案为90．
点睛：本题考查了二元方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出二元方程是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共9小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
17. 计算：（）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+|﹣2|
【正确答案】
【详解】分析：直接利用负指数幂的性质以及角的三角函数值、值的性质、零指数幂的性质进而化简得出答案．
详解：原式=+1++2﹣
=+1++2﹣
=4﹣．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 先化简，再求值：．其中x=sin60°．
【正确答案】
【详解】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代入计算可得．
详解：原式==，
当x=sin60°=时，
原式==．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 解没有等式组，并求出没有等式组的整数解之和．
【正确答案】6.
【详解】分析：分别求出没有等式组中两没有等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
详解：解没有等式（x+1）≤2，得：x≤3，
解没有等式，得：x≥0，
则没有等式组的解集为0≤x≤3，
所以没有等式组的整数解之和为0+1+2+3=6．
点睛：此题考查了解一元没有等式组，以及一元没有等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个没有相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
【正确答案】（1）m＜1；（2）0.
【详解】分析：（1）根据根的判别式得出没有等式，求出没有等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
详解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
点睛：本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
21. 如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【正确答案】（1）3；（2）证明见解析.
【详解】分析：（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
详解：（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22. 随着社会的发展，通过发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B（5001～10000步），C（10001～15000步），D（15000步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次中，一共了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度．
③若小陈共有好友150人，请根据数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
【正确答案】（1）30；（2）①补图见解析；②120；③70人.
【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形；
②用360°乘以A类别人数所占比例可得；
③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．
【详解】解：（1）本次的好友人数为6÷20%=30人，
故30；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，
根据题意，得：a+6+12+5a=30，
解得：a=2，
即A类人数为10；D类人数为2，
补全图形如下：
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×=120°，
故120；
③估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150×=70人．
此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23. 某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．
（1）请填写下表
A（吨）
B（吨）
合计（吨）
C
240
D
x
260
总计（吨）
200
300
500
（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费没有变．若C、D两市的总运费的最小值没有小于10320元，求m的取值范围．
【正确答案】（1）x﹣60、300﹣x、260﹣x；（2）w=10x+10200（60≤x≤260）；（3）m的取值范围是0＜m≤8．
【详解】分析：（1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整；
（2）根据题意可以求得w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
详解：（1）∵D市运往B市x吨，
∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）=（x﹣60）吨，
故答案为x﹣60、300﹣x、260﹣x；
（2）由题意可得，
w=20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x=10x+10200，
∴w=10x+10200（60≤x≤260）；
（3）由题意可得，
w=10x+10200﹣mx=（10﹣m）x+10200，
当0＜m＜10时，
x=60时，w取得最小值，此时w=（10﹣m）×60+10200≥10320，
解得，0＜m≤8，
当m＞10时，
x=260时，w取得最小值，此时，w=（10﹣m）×260+10200≥10320，
解得，m≤，
∵＜10，
∴m＞10这种情况没有符合题意，
由上可得，m的取值范围是0＜m≤8．
点睛：本题考查函数的应用、一元没有等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和没有等式的性质解答．
24. 在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（没有与A、B、C重合）．
（1）如图1，若EF∥BC，求证：
（2）如图2，若EF没有与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【详解】分析：（1）由EF∥BC知△AEF∽△ABC，据此得，根据即可得证；
（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，据此知△AFN∽△ACH，得，根据=即可得证；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，由重心性质知S△ABM=S△ACM、=，设=a，利用（2）中结论知==、==a，从而得==+a，==a可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
详解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴==；
（2）若EF没有与BC平行，（1）中的结论仍然成立，
分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H，
∵FN⊥AB、CH⊥AB，
∴FN∥CH，
∴△AFN∽△ACH，
∴，
∴==；
（3）连接AG并延长交BC于点M，连接BG并延长交AC于点N，连接MN，
则MN分别是BC、AC的中点，
∴MN∥AB，且MN=AB，
∴=，且S△ABM=S△ACM，
∴=，
设=a，
由（2）知：==×=，==a，
则===+a，
而==a，
∴+a =a，
解得：a=，
∴=×=．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点．
25. 已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
【正确答案】（1）y=（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（17，64）．（3）①证明见解析；②16.
【详解】分析：（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得=，即==据此求得x0的值即可得；
（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即=，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得．
详解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0=（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴=，
∴==，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM•QN=DM•DN=16，
∴=，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
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