初中数学北师大版七年级下册3 用图象表示的变量间关系优质教案设计

第三章      变量之间的关系

3 用图像表示的变量间关系

课时2 折线形图像

【知识与技能】

1、了解两个变量之间的对应关系，初步形成函数的思想．

2、结合具体情境理解图象上的点所表示的意义． 

3、发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力．

4、理解用数学的方法描述变量之间的关系，感受数学的价值．

【过程与方法】

经历从图象中分析变量之间的关系的过程，进一步体会变量之间的关系，在具体情境中培养学生对变量之间关系的认识和语言描述的合理性，培养学生从图象中获取信息的广泛性和准确性．

【情感态度与价值观】

从解决大量实际问题和学生感兴趣的问题中提高学生用数学的意识，体验数学所蕴含的数学美．

把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验．

1．理解分段图象的意义，掌握分段图象各个部分的含义；

2．复习巩固运用图象表示变量间关系的方法，能够运用其解决实际问题．(重点，难点)　　　　

多媒体

一、情境导入

小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y(米)与爬山所用时间x(分钟)的关系(从小强开始爬山时计时)．

问：图中的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么？

答：横轴(x轴)表示两人爬山所用时间，纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离．

问：如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？

答：P的坐标是(3，90)．表示小强爬山3分钟时，离开山脚的距离是90米．

我们能否从图象中看出其他信息呢？

二、合作探究

探究点：用折线型图象表示变量间关系

【类型一】 用折线型图象表示两个变量间的关系

小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明搭轻轨回到家，下面能反映在此过程中小明与家的距离y与时间x的关系的大致图象是(　　)

解析：根据从学校回家，可得与家的距离是越来越近．根据步行的速度慢，可得离家的距离变化小，根据搭轻轨的速度快，可得离家的距离变化大．A.随着时间的变化，离家的距离越来越远，故A、B错误；C.随着时间的变化，步行离家的距离变化快，搭轻轨的距离变化慢，不符合题意，故C错误；D.随着时间的变化，步行离家的距离变化慢，搭轻轨的距离变化快，符合题意，故D正确．故选D.

方法总结：路程问题中，在不同的时间内，速度可以发生变化，要掌握这类问题，就要对图像中各个线段的意义正确理解．

【类型二】 利用折线型图象解决图形问题

用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OAB为折线)，这个容器的形状是图中(　　)

解析：由图象可得容器形状不是粗细均匀的物体．相比较而言，前一个阶段，用时较多，高度增加较慢，那么下面的物体应较粗．故选C.

【类型三】 通过折线型图象获取信息

星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．

(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？

(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？

(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？

解析：(1)利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案；(2)休息是路程不随时间的增加而增加；(3)用距离除以所用时间求出速度，再比较大小即可；(4)用玲玲全程所行的路程除以所用的时间即可．

解：观察图象可知：(1)玲玲到离家最远的地方需要3小时，此时离家30千米；

(2)10点半时开始第一次休息，休息了半小时；

(3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9时～10时，速度为10÷(10－9)＝10(千米/时)；10时～10时30分，速度约为(17.5－10)÷(10.5－10)＝(15千米/时)；10时30分～11时，速度为0；11时～12时，速度为(30－17.5)÷(12－11)＝12.5(千米/时)；12时～13时，速度为0；13时～15时，在返回的途中，速度为30÷(15－13)＝15(千米/时)；可见骑行最快有两段时间：10时～10时30分；13时～15时．两段时间的速度都是15千米/时；

(4)玲玲全程骑车的平均速度为(30＋30)÷(15－9)＝10(千米/时)．

答：玲玲全程骑车的平均速度是10千米/时．　　方法总结：准确理解图象上的点所表示的意义是解决问题的关键，解题时可通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息．

【类型四】 双图象问题

端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：

(1)这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？

(2)求乙与甲相遇时乙的速度．

解析：(1)根据图象的纵坐标，可得比赛的路程．根据图象的横坐标，可得比赛的结果；(2)根据乙加速后行驶的路程除以加速后的时间，可得答案．

解：(1)由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米；由横坐标看出，乙队先到达终点；

(2)由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000－400＝600(米)，加速后用的时间是3.8－2.2＝1.6(分钟)，乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6＝375(米/分钟)．

方法总结：解决双图象问题时，正确识别图象，弄清楚两图象所代表的意义，从中挖掘有用的信息，明确实际意义．

1．用折线型图象表示变量间关系

2．根据折线型图象获取信息解决问题

    经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣